PRŮJEZD RELATIVISTICKÉHO AUTA GARÁŽÍ Auto a garáž 2018-04-15/1 Zadání: Jednorozměrná relativistická úloha: Auto vlastní délky da0 = 1 projíždí zleva garáží vlastní délky dg0 = 1 rychlostí = v / c = 0,6. Když je prostředek auta uprostřed garáže, přeskočí jiskra (událost L) a záblesk světla letí na obě strany. Vyneste do grafu a určete souřadnice různých událostí v soustavě S (vůči garáži) i v soustavě S (vůči autu). Berte c = 1 (např. jednotky délky l0 = 5 m, času t0 166 ns). Lorentzův činitel je = 1/ (1 2 ) = 5/4. Garáž: Garáž je v klidu v soustavě S. Má vlastní délku dg0 = 1 = dg, vjezd (vlevo) A, výjezd B. Garážní čas značíme t a vynášíme svisle vzhůru (plná červená šipka). Polohu vůči garáži značíme x a vynášíme vodorovně (zleva doprava, plná červená šipka). Počátek souřadnic x = 0 volíme v A, výjezd B má tedy x = 1. Časový počátek t = 0 v S volíme, když do vjezdu A do garáže vjíždí příď D auta (událost AD). Souřadnice události píšeme ve vztažné soustavě S v pořadí [x; t]. Vše je bez čárky. Auto: Auto je v klidu v soustavě S, zepředu na něj najíždí garáž. Auto má vlastní délku da0 = 1 = da, vlevo záď (C) se souřadnicí x = 1, vpravo příď (D) se souřadnicí x = 0. Časový počátek t = 0 v S volíme stejně když do vjezdu A do garáže vjíždí příď D auta (událost AD). V soustavě S (auta) značíme časy t, polohy x, souřadnice událostí [x ; t ]. Vše je s čárkou, i závorka. Základní události značíme dvěma písmeny (setkání auta C, D s garáží A, B) nebo L: AD: = [0; 0] = [0; 0] do garáže vjíždí (A) příď (D) auta. AC: = [0; 4/3] = [ 1; 5/3] do garáže vjíždí (A) záď (C) auta. Z hlediska S je čas t = 4/3 = (4/5)/(3/5), protože auto, v S dlouhé jen 4/5, přejelo kolem rychlostí 3/5. Z hlediska S je čas t = 5/3, protože přední vrata A garáže musela rychlostí 3/5 urazit celou délku auta v S stojícího, tedy 1,0 (podél auta od přídě D k zádi C). BD: = [1; 5/3] = [0; 4/3] z garáže vyjíždí (B) příď (D) auta. Z hlediska S je čas t = 5/3 = (1)/(3/5), protože předek D auta jel v garáži od předních vrat A k zadním vratům C úsek v délce 1,0 rychlostí 3/5. Z hlediska S je čas jen t = 4/3, protože garáž délky pouhých 4/5 míjela auto rychlostí 3/5. Z hlediska S tedy proběhne napřed událost AC, a potom BD. Naopak, z hlediska S proběhne napřed událost BD, a potom AC. Interval AC-BD je prostorové povahy. BC: = [1; 3] = [ 1; 3] z garáže vyjíždí (B) záď (C) auta. Z hlediska S i S zdůvodněte sami. Záblesk světla L: = [1/2; 3/2] = [ 1/2; 3/2] setkání středu auta se středem garáže. Poloha auta při záblesku L světla: současnost podle garáže: tlustá červená současnost podle auta: tlustá modrá Světlo a garáž Q = [0; 2] = [ 3/2; 5/2] záblesk dostihne vjezd do garáže. V = [1; 2] = [ 1/4; 7/4] záblesk dostihne výjezd z garáže. Světlo a auto I = [1/4; 7/4] = [ 1; 2] záblesk dostihne záď auta. M = [3/2; 5/2] = [0; 2] záblesk dostihne příď auta.
Auto a garáž 2018-04-15/2 Světočáry garáže, auta a světla. Hlavní události. D 3,3 zavřeno zavřeno 3,2 A B 3,1 3,0 BC. 2,9 2,8 C otevřeno 2,7 2,6 2,5 M 2,4 2,3 2,2 t t' 2,1 2,0 V 1,9 Q 1,8 1,7 I otevřen 1,6 BD o 1,5 zavřeno 1,4 zavřeno L 1,3 AC 1,2 otevřeno 1,1 1,0 0,9 0,8 x 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 otevřeno 0 AD x -0,1-0,2 zavřeno -0,3 záblesk světla (L) -0,4-0,5-0,6-0,7 Auto Auto -0,8 zavřeno -0,9 A vjezd GARÁŽ výjezd B zavřeno -1,4-1,3-1,2-1,1-1,0-0,9-0,8-0,7-0,6-0,5-0,4-0,3-0,2-0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 Graf není rýsovaný počítačem, ale rukou ve Wordu. Je proto jen informativní.
Auto a garáž 2018-04-15/4 Totéž zpracováno mnohem detailněji: Auto chameleon mění barvu (zelená, žlutá, modrá, oranžová, šedá, černá), a to po t = 1/6. To nám umožňuje v soustavě S pohodlně odečítat čárkované hodnoty t ; silnější modré šipky odpovídají celistvým hodnotám času t, tj. 0; 1; 2; 3. Garáž (soustava S) má opět jako osy červenou plnou šipku vodorovnou pro x (pro t = 0) a svislou pro t (pro x = 0, vjezd do garáže, A). Výjezd B z garáže je svislá tlustá červená čárkovaná čára se souřadnicí x = 1. Zavřená vrata vjezdní i výjezdní jsou vyznačena tlustou svislou černou čarou. Vnitřek garáže je znázorněn dole tučnou vodorovnou čarou s označením A vjezd GARÁŽ výjezd B. V časovém úseku 4/3 < t < 5/3 jsou obojí vrata zavřena a auto je mezi nimi. Auto je z pohledu S znázorněno vodorovnou černou šipkou (vždy má délku 0,8 a barevné puntíky na ní vyznačují barvu příslušného místa). Auto je v klidu v soustavě S. Ta má osy x (tenká bleděmodrá mírně šikmá šipka) a t (strmá bleděmodrá tučná čárkovaná šipka); ta je současně světočárou přídě D (mající x = 0). Světočára zádě C (mající x = 1) je s ní rovnoběžná, bleděmodrá dlouhá tenká čárkovaná přímka. Auto v různých okamžicích v S znázorňují zleva napravo stoupající šikmé barevné šipky. Auto má samo vůči sobě v každém svém okamžiku všude stejnou barvu. Ovšem v S, z hlediska garáže, ho vidí v každém (svém) okamžiku duhově (černé vodorovné šipky s barevnými puntíky podle příslušné barvy). V době 4/3 < t < 5/3, od šedého auta G-BD k zelenému AC-J, je krátká garáž navlečena na auto. Světelný signál vyslaný při setkání středu auta se středem garáže (událost L, t = t = 1,5) je vyznačen a popsán jasně žlutě. V příslušných soustavách dojde signál současně k oběma koncům garáže (t = 2) či auta (t = 2). Může být využit pro synchronizaci hodin v autě i v garáži. Souřadnice různých doplňujících událostí; malé červené kroužky, pro černé kroužky Poloha zádi auta (C), když: E = [ 5/4; 3/4] = [ 1; 0] podle auta (S ) do garáže vjíždí (A) příď (D) auta F = [ 4/5; 0] = [ 1; 3/5] podle garáže (S) do garáže vjíždí (A) příď (D) auta G = [ 1/4; 11/12] = [ 1; 4/3] podle auta (S ) z garáže vyjíždí (B) příď (D) auta H = [1/5; 5/3] = [ 1; 29/15] podle garáže (S) z garáže vyjíždí (B) příď (D) auta Poloha přídi auta (D), když: J = [5/4; 25/12] = [0; 5/3] podle auta (S ) do garáže vjíždí (A) záď (C) auta K = [4/5; 4/3] = [0; 16/15] podle garáže (S) do garáže vjíždí (A) záď (C) auta Poloha vjezdu (A) do garáže, když N = [0; 16/15] = [ 4/5; 4/3] podle auta (S ) z garáže vyjíždí (B) příď (D) auta P = [0 ; 5/3] = [ 5/4; 25/12] podle garáže (S) z garáže vyjíždí (B) příď (D) auta Poloha výjezdu (B) z garáže, když R = [1; 3/5] = [ 4/5; 0] podle auta (S ) do garáže vjíždí (A) příď (D) auta S = [1; 0] = [5/4; 3/4] podle garáže (S) do garáže vjíždí (B) příď (D) auta T = [1; 4/3] = [1/4; 11/12] podle garáže (S) do garáže vjíždí (B) záď (C) auta U = [1; 29/15] = [ 1/5; 5/3] podle auta (S ) do garáže vjíždí (B) záď (C) auta Významné intervaly: čtverec intervalu má velikost I 2 = x 2 (ct) 2 = x 2 (ct ) 2 (a ovšem zde c = 1). Interval časové povahy, I 2 < 0, je např. AD-AC: (AD-AC) 2 = 0 2 (4/3) 2 = 16/9 = (doba t) 2 průjezdu auta bodem na zemi (v S) BD-AD: (BD-AD) 2 = (5/3) 2 + 1 2 = 16/9 = (doba t ) 2 průjezdu bodu na autě garáží (v S ) Platí (AD AC) 2 = (R U) 2 = (AD BD) 2 (= 16/9).
Auto a garáž 2018-04-15/5 Interval prostorové povahy, I 2 > 0, je např. AC-BD, vyznačený zde růžově: (AC BD) 2 = 1 2 (1/3) 2 = 8/9, = max. (vzdálenost) 2 setkání AC a BD. Proto události AC (záď auta A míjí vstup do garáže C) a BD (příď auta B míjí výstup garáže D), tedy krajní body růžového intervalu, mohou být vůči sobě v různém časovém vztahu: v soustavě S nastane napřed AC a pak BD, tedy celé krátké auto je jistou dobu ( t = 1/3) uvnitř garáže, v soustavě S nastane naopak napřed BD a pak AC, tedy krátká garáž je jistou dobu ( t = 1/3) navlečena kolem dlouhého auta. v jisté vztažné soustavě S jsou obě krajní události současné. Auto má v této vztažné soustavě rychlost 1/3, garáž 1/3 a auto je v ní stejně dlouhé jako garáž, totiž (8/9). Jan Obdržálek, 2018-04-15
Auto chameleon s rychlostí 3/5 c jede skrz stejně dlouhou garáž Počátek O = AD je zvolen při setkání přídě D auta s vjezdem A (další doplňující události) 3,3 zavřeno zavřeno 3,2 A B 3,1 3,0 BC. 2,9 otevřeno 2,8 2,7 2,6 2,5 M 2,4 2,3 2,2 t' 2,1 2,0 Q V J 1,9 U 1,8 I 1,7 P H BD otevřeno 1,6 1,5 zavřeno 1,4 zavřeno L 1,3 AC Z 1,2 otevřeno K T 1,1 1,0 N 0,9 G 0,8 0,7 0,6 0,5 R 0,4 0,3 t Auto a garáž 2018-04-15/5 C záblesk světla (L) x D t 0,2 0,1 otevřeno 0 F x AD x -0,1 S -0,2 zavřeno -0,3 x -0,4-0,5-0,6-0,7 Auto Auto -0,8 E zavřeno -0,9 A vjezd GARÁŽ výjezd B zavřeno -1,4-1,3-1,2-1,1-1,0-0,9-0,8-0,7-0,6-0,5-0,4-0,3-0,2-0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 Graf opět není rýsovaný počítačem, ale rukou ve Wordu. Je proto jen informativní.