Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Transkript

1 Projekt OPVK - CZ..07/..00/ Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: Mocninné funkce Autor: Pomykalová Eva Poznámka pro toho, kdo bude kreslit obrázky: Obrázky jsou jen nahozeny, je třeba je popsat, tj. např. ke křivkám v obr. a připsat jejich předpis nebo aspoň označení f, resp. f, podobně k ose. a. kvadrantu předpis y = x; je třeba popsat i souřadnicové osy Klíčové pojmy: kvadratická funkce, mocninné funkce, funkce druhá a třetí odmocnina Úloha (úroveň ) Předpokládané znalosti: základní pojmy - funkce, graf funkce, definiční obor a obor hodnot funkce, inverzní funkce; funkce y x, y x, y x, y x, y x Zadání Nakreslete graf funkce a) f : y x, b) f : y x. Určete její definiční obor a obor hodnot. Pokud k dané funkci existuje funkce inverzní, určete její předpis, nakreslete její graf v téže soustavě souřadnic, určete její definiční obor a obor hodnot. Řešení. a) Grafem funkce f y x je parabola s vrcholem 0;. : D f, H( f ) ;. Pokud uvažujeme pouze část definičního oboru funkce f, v níž je funkce prostá, tj. interval 0;, lze definovat inverzní funkci f : y x. Graf funkce f můžeme získat jako obraz grafu funkce f v osové souměrnosti podle osy. a. kvadrantu, tj. podle přímky y = x. D f ;, 0; Obr. a H f.

2 b) Grafem funkce D f H( f ). f y x je kubická parabola procházející body 0;, ;, ;0 :. Funkce f je prostá v celém svém definičním oboru, proto k ní existuje funkce inverzní f y x. Graf funkce : f můžeme získat jako obraz grafu funkce f v osové souměrnosti podle osy. a. kvadrantu, tj. podle přímky y = x. D f H f Obr. b. Metodické poznámky Při kreslení grafu funkcí je vhodné využívat posunutí: graf funkce y f x m n lze sestrojit jako obraz grafu funkce y f ( x) v posunutí, které je určeno vektorem (m; n). Pro funkci f to znamená, že její graf získáme posunutím grafu funkce y x v posunutí, které je určeno vektorem (0;), tj. posunutím ve směru osy y o dvě jednotky nahoru. Podobně graf funkce f získáme posunutím grafu funkce y x v posunutí, které je určeno vektorem (0; ), tj. posunutím ve směru osy y o jednu jednotku dolu.

3 Základem úvah o inverzní funkci je věta: K funkci f existuje inverzní funkce f, a to jediná, právě když je funkce f prostá. Proto je třeba u funkcí, které prosté nejsou, zvolit pouze část jejich definičního oboru, na níž prosté jsou, a na této části pak definovat inverzní funkci. Ve středoškolských učebnicích je pro n a uvedena podmínka nezápornosti odmocněnce a pro n N. Je žádoucí studenty nebalamutit a rozlišit n a pro n sudé, kde a 0 a pro n liché, kde a. Při hledání předpisu pro inverzní funkci k funkci y f ( x) postupujeme obvykle tak, že z funkčního předpisu funkce f vyjádříme x a pak provedeme záměnu proměnných. Lze také naopak, napřed provést záměnu proměnných a pak vyjádřit y. Záměna proměnných představuje v soustavě souřadnic Oxy souměrnost grafů funkcí f a f podle přímky y = x, tj. podle osy. a. kvadrantu. Ke kreslení grafu funkcí lze využít software Geogebra (volně stažitelný). Úloha (úroveň ) Předpokládané znalosti: základní pojmy - funkce, graf funkce, definiční obor a obor hodnot funkce, inverzní funkce; funkce y x, y x, y x, y x, y x Zadání Nakreslete graf funkce a) g : y ( x ), b) g : y ( x ). Určete její definiční obor a obor hodnot. Pokud k dané funkci existuje funkce inverzní, určete její předpis, nakreslete její graf v téže soustavě souřadnic, určete její definiční obor a obor hodnot. Řešení a) Grafem funkce g : y ( x ) je bod 0;4. Dg, H( g ) 0;. je parabola s vrcholem ;0. Průsečík paraboly s osou y Pokud uvažujeme pouze část definičního oboru funkce g, v níž je funkce prostá, tj. interval ;, lze definovat inverzní funkci g y x. Graf funkce : g můžeme získat jako obraz grafu funkce g v osové souměrnosti podle osy. a. kvadrantu, tj. podle přímky y = x. Dg, Obr. a 0; H g 0;.

4 b) Grafem funkce D g H( g ). je kubická parabola procházející body ;0, 0;, ; g : y ( x ). Funkce g je prostá v celém svém definičním oboru, proto k ní existuje funkce inverzní g y x. Graf funkce : g můžeme získat jako obraz grafu funkce g v osové souměrnosti podle osy. a. kvadrantu, tj. podle přímky y = x. Dg H g Obr. b. Metodické poznámky Obecné poznámky: viz Metodické poznámky k. příkladu Graf funkce g získáme posunutím grafu funkce y x v posunutí, které je určeno vektorem ( ;0), tj. posunutím ve směru osy x o dvě jednotky doleva. Graf funkce g získáme posunutím grafu funkce y x v posunutí, které je určeno vektorem (;0), tj. posunutím ve směru osy x o jednu jednotku doprava. 4

5 Úloha (úroveň) Předpokládané znalosti: základní pojmy - funkce, graf funkce, definiční obor a obor hodnot funkce, inverzní funkce; funkce y x, y x, y x, y x, y x Zadání Nakreslete graf funkce a) h : y ( x ), b) h : y ( x ). Určete její definiční obor a obor hodnot. Pokud k dané funkci existuje funkce inverzní, určete její předpis, nakreslete její graf v téže soustavě souřadnic, určete její definiční obor a obor hodnot. Řešení a) Grafem funkce h : y ( x ) je parabola s vrcholem ;, s osou y bod 0;. jsou body ;0, ;0 Dh, Hh ( ) ;.. Její průsečíky s osou x Pokud uvažujeme pouze část definičního oboru funkce h, v níž je funkce prostá, tj. interval ;, lze definovat inverzní funkci h y x. Graf funkce : h můžeme získat jako obraz grafu funkce h v osové souměrnosti podle osy. a. kvadrantu, tj. podle přímky y = x. Dh, Obr. a ; H h ;. b) Grafem funkce D h H( h ). h y x je kubická parabola procházející body : ( ) ;, 0;, ;. Funkce h je prostá v celém svém definičním oboru, proto k ní existuje funkce inverzní h y x. Graf funkce : h můžeme získat jako obraz grafu funkce h v osové souměrnosti podle osy. a. kvadrantu, tj. podle přímky y = x. Dh H h Obr. b. 5

6 Metodické poznámky Obecné poznámky: viz Metodické poznámky k. příkladu Graf funkce h získáme posunutím grafu funkce y x v posunutí, které je určeno vektorem ( ; ), tj. posunutím ve směru osy x o dvě jednotky doleva a jednu jednotku dolu. Graf funkce h získáme posunutím grafu funkce y x v posunutí, které je určeno vektorem (;), tj. posunutím ve směru osy x o jednu jednotku doprava a dvě jednotky nahoru. Zdroj: vlastní tvorba Obrazový materiál: vlastní tvorba Autor: Eva Pomykalová; eva.pomykalova@ .cz 6