Komisionální přezkoušení 1T (druhé pololetí) 2 x. 1) Z dané rovnice vypočtěte neznámou x:. 2) Určete, pro která x R není daný výraz definován:

Transkript

1 1) Z dané rovnice vypočtěte neznámou :. ) Určete, pro která R není daný výraz definován: 3) Určete obor hodnot funkce Komisionální přezkoušení 1T (druhé pololetí) f : y ) Vyšetřete vzájemnou polohu přímky AB a kuželosečky dané rovnicí y A = [ ; 0], B = [6; 1]. 5) Dvěma bratrům je dohromady 84 let. Když bylo staršímu bratrovi tolik let, kolik je dnes mladšímu, bylo mladšímu právě polovina toho, kolik je dnes staršímu. Udejte stáří obou bratrů.. 40 min

2 ad1) Jedná se o jednoduché vyjádření neznámé ze vzorce pomocí ekvivalentních úprav rovnic. Začnu tím, že zlomek s neznámou přičtu napravo, gamu odečtu nalevo. To kvůli tomu mínusu před zlomkem, kdyby to náhodou někoho zajímalo. Teď se zbavím zlomku vhodným násobením rovnice. Roznásobím závorky vlevo. Členy s neznámou směřuju nalevo, zbytek napravo. Neznámou vytknu před závorku. Vydělím rovnici závorkou. Ještě provedu nějaké dílčí vytýkání, aby to trochu vypadalo. 1

3 ad) Mám najít všechna reálná čísla, pro která není výraz definován. Začnu 1 jmenovatelem zlomku. Ten nesmí být nula, takže první hledané číslo je 1. Gut. Nyní přikročím ke druhé odmocnině v čitateli zlomku. Sudá odmocnina není definována pro záporná čísla. Zapíšu-li tento fakt matematicky, dostanu jednoduchou kvadratickou nerovnici Nejprve vyřeším příslušnou kvadratickou rovnici a = 5, b = 8, c = , 10 ; 5 D D 1 Graf funkce y je parabola tvaru kopečku, která protíná osu v bodech ; 0 5 a ; 0. Je tedy záporná (pod osou ) pro všechna ; ;. Přidám- 5 ; 1 ;. 5 li k těmto dvěma intervalům jedničku, dostanu výsledek: Pro názornost přikládám ještě graf funkce y Kopec jak bejk.

4 ad3) Graf lineární funkce s absolutní hodnotou f : y 4 3 je lomená čára tvaru obráceného písmene V, jelikož před absolutní hodnotou je mínus. Tím pádem je zcela evidentní, že obor hodnot této funkce bude interval ; y. Zbývá určit y ma. ma Lomená čára se někde láme. Proto jí říkáme lomená. A láme se v tzv. nulovém bodě, což je takové číslo, pro které je vnitřek absolutní hodnoty roven nule. Položím tedy vnitřek absolutní hodnoty roven nule a dostanu jednoduchou rovnici. 3 0 = 6 Číslo y ma je funkční hodnota v bodě = 6. Její určení je otázkou vteřin. y ma Závěr: H ; 4 f Pozn. Výše uvedené řešení je zbytečně zdlouhavé. Osobně bych daný příklad řešil takto: Graf lineární funkce s absolutní hodnotou f : y 4 3 je lomená čára tvaru obráceného písmene V, jelikož před absolutní hodnotou je mínus. Nejmenší hodnota, jaké může nabývat výraz 3, je nula. Proto je maimální hodnota výrazu 4 3 rovna čtyřem. Závěr je uveden výše. Pro ilustraci ještě přikládám graf funkce y f : y 4 3.

5 ad4) Nejdřív je třeba vytvořit rovnici přímky procházející body A = [ ; 0] a B = [6; 1]. To není nic složitého, znám-li ovšem obecný předpis lineární funkce: y = a + b. Potřebuju znát hodnotu čísel a, b, takže do předpisu funkce postupně dosadím body A a B, čímž získám jednoduchou soustavu dvou lineárních rovnic. A B 0 a b 1 6a b Rovnice od sebe odečtu v libovolném pořadí. B A 1 8a 0 a b 3 0 b b 3 3 a Dopočítat b je hračka. OK, mám tedy předpis lineární funkce 3 y 3. Nyní výraz vpravo dosadím do rovnice kuželosečky za neznámou y. Tím získám jednu rovnici o jedné neznámé. Ještě před tím však rovnici kuželosečky vynásobím číslem y y 36 Teď tedy dosadím Provedu naznačenou druhou mocninu. Podle vzorce! Roznásobím Jak tak koukám, vyklubala se z toho lineární rovnice. Přímka je tudíž asymptotickou sečnou kuželosečky (hyperboly) Dopočítám ještě druhou souřadnici průsečíku přímky s kuželosečkou. Vlastně nemusím, už ji znám! Je to totiž bod A. Závěr: Přímka je asymptotickou sečnou kuželosečky. Jejich průsečík je zadaný bod A.

6 ad5) Dvěma bratrům je dohromady 84 let. Když bylo staršímu bratrovi tolik let, kolik je dnes mladšímu, bylo mladšímu právě polovina toho, kolik je dnes staršímu. Udejte stáří obou bratrů. Základem úspěšného řešení každé slovní úlohy je vhodné označení neznámých. Napadá mě toto: starší bratr mladší bratr věk dnes 84 věk před lety 84 0,5 Všichni stárneme stejně rychle (i když to tak leckdy nevypadá), proto rozdíl věků obou bratrů zůstává konstantní. Označím ho například R. R = (84 ) R = 84 0, R = 84 R = 84 1,5 starší mínus mladší dnes starší mínus mladší před lety Získal jsem jednoduchou soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých. Volím metodu odčítací. 0 = 3,5 168 = = 36 Odpověď: Staršímu bratrovi je dnes 48 let, mladšímu 36 let.