4. Model M1 sytetiká geometrie V této kapitole se udeme zaývat vektory, jejih vlastostmi a využitím v geometrii. Neudeme přitom rozlišovat, jestli se jedá je o roviu (dvě dimeze) eo prostor (tři dimeze). 4.1 Iterpretae pojem vektor viz 1.4 rovost vektorů viz 1.5 sčítáí vektorů viz.1 ásoeí vektoru reál.č. viz.7 všehy vlastosti def 3.1 jsou splěy => jde skutečě o model Na tomto modelu jsme udovali své představy vektoru (primitiví pojmy i axiomy). Už proto musí model fugovat. 4. Příklad: šestiúhelíky Je dá pravidelý šestiúhelík ABCDEF. Určete vektory AB, AC, AD, AE, AF pomoí červeýh vektorů z orázku. (Určit vektory XY jako lieárí komiai červeýh vektorů.) a) ) ) d) e) a) AB = u umístěí vektoru u AC = u + v defiie součtu u + v AD = v defiie ásoeí v AE = AD + DA = v u DA má opačou orietai ež u AF = AE + EF = v u v = -u + v příklad a) ) ) d) e) AB = u -w r s m a AC = u + v -w + t r s m + 3/ a + 1/ AD = v -w + t r m + a + AE = -u + v -w + t r + s m + AF = -u + v t s -1/ a + 1/ 4.3 Příklad: osmiúhelík Je dá pravidelý osmiúhelík ABCDEFGH. Určete vektory AB, AC, AD, AE, AF, AG, AH pomoí vektorů u a v viz orázek.
AB = v AC = AH + HC = u + (1+ ) v AD = (1+ ) BC = (1+ ) (-v + u + (1+ ) v ) = =(1+ ) (u + v) = (1+ ) u + (+ ) v AE = AD + DE = AD + u = (+ ) u + (+ ) v AF = AE + EF = AE BA = AE v = (+ ) u + (1+ ) v AG = AD + DG = AD HC = = (1+ ) u + (+ ) v - (1+ ) v = (1+ ) u + v AH = u 4.4 Příklad: osmiúhelík Je dá pravidelý osmiúhelík ABCDEFGH. Určete vektory AB, AC, AD, AE, AF, AG, AH pomoí vektorů u a w viz orázek. ozačme 1 AB = -λu + t = - λu + (1- λ)w AC = -λu + (1- λ)w AD = w AE = u + w AF = (1 + λ)u + (1 - λ)w AG = AF BC = AF (AC - AB) = (1+ λ)u + λw AH = u 4.5 Příklad: od a úseče Nehť od C leží mezi ody A,B a pro vzdáleosti platí AC =m, BC =, m,>0. Dokažte, že pak platí pro liovolý od P PA mpb PC m Vektory AC a CB mají stejý směr je růzou velikost, vzhledem k podmíkám v zadáí tedy platí
AC m AC CB mcb (1) PA + AC = PC => PC PA = AC () PC + CB = PB => PB PC = CB (3) do (1) dosadíme z () a z (3) (PC PA) = m(pb PC) (m+)pc = PA + mpb PC PA m mpb q.e.d. 4.6 Pozámka: V matematikýh kiháh se důkazy ukočují zkratkou q.e.d. quod errat demostratum = ož ylo třea dokázat počešťovatelé to překřtili a..d. (ož ylo dokázat) 4.7 Pozámka: střed úsečky Je-li S střed úsečky AB, pak pro liovolý od P platí PS = ½ (PA+PB) Důkaz: do předhozího příkladu položme S=C a m== ½ a, kde a= AB. 4.8 Pozámka: CZ ykliká záměa pro trojúhelík ve stadardím začeí o platí pro a,,,α,β,γ,v a,v,v,t a,t,t platí i pro,,a,β,γ,α,v,v,v a,t,t,t a a pro,a,,γ,α,β,v,v a,v,t,t a,t Vzore, který se dokáže pro jedu sadu údajů platí i pro druhou a třetí. Například osah trojúhelíka S = ½ a v a CZ => poloměr kružie opsaé a r CZ představuje tři vzore, ještě r si S = ½ v, S = ½ v si, r si věta kosiová ATD. a aos CZ
4.9 Příklad: Je dá trojúhelík ABC. Dokažte, že platí: 1. AB + BC + CA = o. Ozačíme-li S XY střed úsečky XY, pak AS BC + BS CA + CS AB = o 3. Je-li T těžiště ABC, pak AT + BT + CT = o ad 1. AB + BC + CA = AC + CA = AC AC = o ad. AS BC = AB + AC CZ tedy BS CA = BC + BA CS AB = CA + CB a všehy tři vztahy sečteme z toho plye (AS BC + BS CA + CS AB ) = (AB + BC + CA) + (AC + CB + AC) = o + o AS BC + BS CA + CS AB = o ad 3. AT = /3 AS BC CZ opět všehy tři vztahy sečteme AT + BT + CT = /3 (AS BC + BS CA + CS AB ) = /3 o = o q.e.d. 4.10 Příklad: těžiště Je dá trojúhelík ABC, T je jeho těžiště a P je liovolý od. Dokažte, že platí PT 1 ( PA 3 PB PC) AT = PT PA BT = PT PB CT = PT PC CZ vztahy sečteme AT + BT + CT = 3 PT (PA + PB + PC) a levé straě je podle předhozího příkladu ulový vektor, tedy PA + PB + PC = 3 PT a poděleím 3 dostaeme to, o jsme měli dokázat.
q.e.d. 4.11 Pozámka: těžiště odů Zoeěí předhozíh příkladů Pro liovolý od P a těžiště T odů A 1, A, A 3,, A platí 1 PT ( PA PA PA3 PA 1 = T střed =3 T těžiště trojúhelíka i degeerovaého do přímky =4 T těžiště čtyřstěu i degeerovaého do roviy eo přímky 4.1 Příklad: ulový vektor Pro která reálá čísla x,y platí rovie (x+y-) u + (x-y+1) v = o, kde u, v jsou dva eulové ekolieárí vektory, tj. eexistuje žádé reálé číslo takové, ay vektor u yl ásokem vektoru v ( eexist. λ R: u=λv) Násoeí vektoru reálým číslem představuje pouhé atahováí vektoru v jedé eo druhé orietai při zahováí směru. Součet dvou vektorů se grafiky provádí doplěím a rovoěžík a součet je představová úhlopříčkou. Má-li ýt úhlopříčka ulová (výsledkem má ýt ulový vektor), musí mít stray rovoěžíka ulovou délku. Jediá možost jak to split je, že u dvou eulovýh vektorů to ude rovie 0 u + 0 v = o, Tedy musí platit x+y-=0 x-y+1=0 Soustava dvou lieáríh rovi pro dvě ezáme má jedié řešeí x = y = 1. 4.13 Příklad: osa úhlu Nehť AD je osa úhlu <BAC v trojúhelíku ABC. Dokažte, že platí AB AC AD, kde, jsou stray trojúhelíka ABC. ozačme X AB, Y AC tak, ay AX = AY =1 ) tedy AB = AX, AC = AY AZ = AX + AY hledat ozačme ho λ AD je ásoek AZ je evíme jak veliký, udeme ho
AD AZ AB AC AB AC ( AB AC) kde jsme ozačili ω=λ/() - musíme to přesě určit pomoí stra AB = AD + DB AC = AD + DC = AD - CD a dosadíme AD = ωad + ωdb + ωad - ωcd AD (1 ω ω) = ω DB ω CD vázaé vektory DB a CD jsou stejého směru, tedy existuje ějaké reálé číslo k, pro které ude platit, že CD=kDB upravme eo AD (1 ω ω) = ω DB ωk DB AD (1 ω ω) = DB(ω ωk) AD (1 ω ω) - DB(ω ωk) = o Podle příkladu 4.1 je tato rovie splitelá pouze tehdy, když ude platit: úprava výrazu vlevo po dosazeí 1 ω ω = 0 a zároveň ω = ωk AD ω = 1/(+) 1 ( AB Jako vedlejší produkt dostáváme úpravou výrazu vpravo: 0 k k 4.14 Pozámka: Předhozí příklad platí pouze pro osu úhlu AC) DC DB CZ qed AD AB AC Příklad 4.5 platí pro liovolé ody ABC kolieárí PC PA m mpb
Jestliže přiřadíme odům z 4.5 ody z 4.13 P->A, A->C, B->B, C->D, můžeme psát AC mab mab AC AB AC AD m m Toto je možé jediě, když existuje k R tak, že =km, =k, Tedy m DB DC CZ (srovejte s vedlejším produktem příkladu 4.13) Výsledek slovy: Osa úhlu v trojúhelíku dělí protější strau v převráeém poměru přilehlýh stra. 4.15 Příklad: čtyřstě Je dá čtyřstě ABCD, T je jeho těžiště; ody A, B, C, D jsou těžiště stě (trojúhelíků) BCD, ACD, ABD, ABC, P je liovolý od. Dokažte, že platí: 1. AA + BB + CC + DD = o. AT + BT + CT + DT = o 3. PT = ¼ (PA + PB + PC + PD) Návod: Těžiště ve čtyřstěu dělí těžii v poměru 1:3 1. AA = 1/3 (AB + AC + AD) CZ. AT = ¾ AA CZ 3. AT = PT PA CZ Úpravy po dosazeí podle ávodu jsou jedoduhé. 4.16 Příklad: kružie vepsaá Nehť a,, jsou stray ABC. Nehť O je střed kružie vepsaé ABC. Dokažte, že pro liovolý od P platí a OA OB OC o apa PB PC PO a OC = OB 1 + OA 1 = x OB + y OA OB1 x OB OB 1 a OB, mají opačou orietai. (číslo x musí ýt záporé, protože vektory z podoosti BOA 0 ~ BB 1 C prví rovost je defiie (zavedeí) čísla x x OB1 OB A0C A B 0 x = - OB 1 /OB
druhá rovost je z podoosti BOA 0 ~ BB 1 C, podoé jsou proto, že u vrholu B sdílejí úhel a vzhledem k rovoěžosti CB 1 a A 0 O mají stejý i úhel u vrholu B 1 resp O, tedy OB 1 /OB = A 0 C/A 0 B třetí rovost je z pozámky 4.14 AO je osa úhlu BAC, tedy BC je děleo v poměru stra, tedy A 0 C/A 0 B=/ podoě y = - a/ Dosadíme úprava OC = - / OB a/ OA a OA + OB + OC = o Druhý vztah se dokáže, když do právě dokázaého vztahu dosadíme OA = PA PO CZ a upravíme q.e.d. 4.17 Příklad: čtyřúhelík Dokažte, že středy stra liovolého čtyřúhelíka jsou vrholy rovoěžíka. Podaří-li se dokázat, že MN = QP, pak ude tvrzeí dokázáo. MN QP = MN + PQ = (MB + BN) + (PD + DQ) = MNPQ jsou středa stra = ½ AB + ½ BC + ½ CD + ½ DA = = ½ (AB + BC + CD + DA) = ½ o = o q.e.d. 4.18 Příklad: Víte, že pro vektory a,,u,v platí a = u + v, = ½ u v Vyjádřete vektory u, v jako lieárí komiai vektorů a,. Druhou rovii vyásome dvěma a sečtěme s prví, dostaeme a + = u v = ½ u = ¼ a + ½ - Tedy výsledě u = ½ a + v = ¼ a ½ KONEC