Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).

Transkript

1 37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Přímky p, q rozdělují roviu a čtyři kovexí eorietovaé úhly, z ichž dva a dva mají stejou velikost Ozačme jejich velikost α, β Odchylkou přímek p, q pak rozumíme úhel ϕ, kde ϕ = mi {α, β} π Pro totožé přímky položíme ϕ = Odchylka dvou přímek je tedy úhel ϕ, Nechť 2 π pro směrové vektory u, v je jejich úhel ψ Pak buď ψ, a ψ je odchylkou obou 2 π přímek, tj ϕ = ψ, ebo ψ, π, potom odchylkou ϕ přímek je číslo π ψ, tj ϕ = π - ψ 2 Pro oba případy můžeme užít jediého vztahu cos ϕ= cos ψ = u v u v (1) Odchylku ϕ dvou rovi ρ, σ defiujeme pomocí jejich ormálových vektorů ρ, σ vztahem cos ϕ = ρ ρ σ σ (2) Správost vztahu plye z věty o rovosti úhlů s ramey a sebe kolmými (obr 13) Obdobě defiujeme odchylku přímky p se směrovým vektorem u od roviy ρ s ormálovým vektorem vztahem si u ϕ = cos ψ =, (3) u 169

2 kde ϕ = π ψ 2 (obr 14) ρ ρ φ ψ p σ u φ σ σ φ ρ Obr 13 Obr 14 Řešeé úlohy Příklad Určeme odchylku ϕ rovi ABC a BCD: A = (1, 1, 1), B = (1, 1, 3), C = (1, 2, ), D = (1, 2, 3) Řešeí: K určeí ormálových vektorů 1 a 2 rovi ABC a BCD užijeme vektorového součiu: i j k = ( B A) x (C A) = 2 = ( 2,, ), i j k = ( D B) x (D C) = 1 ( 3,, ) 2 = 3 17

3 Užijeme vztahu (2) pro odchylku dvou rovi: cos ϕ = ( 2) 3 23 = 1, ϕ = Řešeé úlohy Příklad Vypočtěme odchylku roviy α: x - y + 3 = a přímky AB, A = (5, 5, 5), B = (3, 5, 3) Řešeí: Dostáváme = (1, -1, ) pro ormálový vektor roviy α a u = B - A = = (-2,, -2) pro směrový vektor přímky AB Dále podle (3) si ϕ = ( 2,, 2)( 1, 1, ) ( 1) ( 2) + ( 2) 1 π = atedy ϕ = 2 6 Výklad ρ(x, α) Vzdáleost bodu X = (x, y, z ) od roviy α: ax + by + cz + d = ozačíme Z bodu X vedeme kolmici p a roviu α (obr 15) Ozačíme průsečík A = p α X x p α A Obr

4 Vzdáleost bodů X, A je pak hledaou vzdáleostí Pro ormálový vektor = (a, b, c) roviy α platí X A = t, t R a tedy A - X = t = t a 2 + b + c 2 2 Ozačme A = (x A, y A, z A ) Z vektorové rovice X A = t dostaeme x = x + t a A y = y + t b A z = z + t c A Poěvadž A α musí být ax A + by A + cz A + d = Dosadíme za x A, y A a z A do předchozí rovice a dostaeme a(x + ta) + b(y + tb) + c(z + tc) + d = Odtud ax + by + cz + d t = a + b + c Užijeme rovici pro vzdáleost bodů A, X a získáme vztah A X = ax + by + cz + d a + b + c = ρ ( X α), Vzdáleost bodu X = (x, y, z ) od přímky p: x = x 1 + u 1 t, y = y 1 + u 2 t, z = z 1 + u 3 t, která je dáa bodem X 1 = (x 1, y 1, z 1 ) a směrovým vektorem u(u 1, u 2, u 3 ), ozačíme ρ(x, p) Z vlastostí vektorového součiu a ze vztahu pro výpočet obsahu rovoběžíka (obr 16) vyplývá rovost u X1X = u d Z rovice vyjádříme d a dostaeme vztah : 172

5 X u X1X d = = ρ ( X, p) u d p u X 1 Obr 16 Práce v aalytické geometrii je atolik rozmaitá, že se elze spoléhat je a použití vzorců Obvykle je uto ejprve rozvážit prostorové řešeí příkladu a potom jej aalytickou metodou vyřešit Řešeé úlohy Příklad Určeme bod Y, který má stejou vzdáleost od bodů A = (1, 1, 1) a B = (-1,, 1) a leží a přímce p: x = t, y = 1 - t, z = 2-2t Rozbor úlohy (obr 17): 1 Určíme souřadice bodu C, který je středem úsečky s kocovými body A, B 2 Staovíme rovici roviy α procházející bodem C kolmo k přímce AB (Rovia α je možia všech bodů, které mají stejou vzdáleost od bodů A, B) 3 Určíme Y = p α Bod Y má požadovaou vlastost Řešeí: 1 1 Bod C je středem úsečky s kocovými body A, B a tedy platí C= ( A + B), tj 2 C = (, 1 2, 1) 173

6 A p C Y α B Obr 17 2 Rovia α má rovici ax + by + cz + d = Má-li C ležet v roviě α, je a + b c1 + d = Vektor AB = (-2, -1, ) můžeme považovat za ormálový vektor roviy α Platí d =, d = 1 2 Rovia α má pak rovici a po úpravě 1 2x y + = 2 4x + 2y - 1 = 3 Souřadice společého bodu přímky p a roviy α alezeme řešeím soustavy rovic x = t, y = 1 - t, z = 2-2t, 4x + 2y - 1 = Z prvích tří rovic dosadíme do čtvrté a dostaeme t = Dosazeím do prvích tří rovic získáme souřadice bodu Y = ( 1 3,, )

7 Kotrolí otázky 1 Jsou-li směrové vektory uv, lieárě ezávislé, která z možostí platí pro přímky p, q: a) rovoběžé růzé ebo růzoběžé, b) ) rovoběžé růzé ebo mimoběžé, c) růzoběžé ebo mimoběžé 2 Obecé rovice dvou rovi αβ, určují soustavu dvou lieárích rovic o třech ezámých Která z možostí platí, jsou-li roviy růzoběžé: a) h = 1,h = 2, b) h = h = 2, c) h= h = 1 3 Rovice přímky a rovice roviy určují soustavu lieárích rovic Jaká je vzájemá poloha přímky s roviou, má-li soustava právě jedo řešeí: a) rovoběžá, b) růzoběžá, c) totožá 4 Jaký souči vektorů používáme pro výpočet odchylek lieárích útvarů v E 3 : a) skalárí, b) vektorový, c) smíšeý 5 Který ze vztahů defiuje odchylku ϕ přímky p se směrovým vektorem u od roviyα s ormálovým vektorem : a) cos ϕ = u u, u b) si ϕ =, u c) tg ϕ = u u, 6 Jakou metodu použijeme při výpočtu vzdáleosti bodu od přímky: a) výpočet výšky v trojúhelíka, b) výpočet objemu trojstěu, c) výpočet odchylky dvou přímek 175

8 Odpovědi a kotrolí otázky 1 c), 2 b), 3 b), 4 a), 5 b), 6 a) Úlohy k samostatému řešeí 1 Určete odchylku přímek p, q: a) p: x = 3 + t, y = -2 - t, z = 2t, q: x = -2 + t, y = 3 + t, z = t, x b) p: x = t, y =, z = 3 - t, q: 2z 5 = y =, 4 5 c) p: x y z = q: 2x + y 2z 4 =, 2 Vypočtěte odchylku rovi α a β, jestliže x 6y 6z + 2 = 2x + 2y + 9z 1 = a) rovia α je dáa body A, B, C a rovia β body B, C, D: A = (1, 1, 1), B = (1, 1, 3), C = (1, 2, ), D = (1, 2, 3), b) α: 4x - 2y + z - 3 =, β: x = 3-2r + 3s, y = 1 - r + s, z = 2 + r - 2s, c) α, β jsou roviy stě čtyřstěu ABCD protíající se v hraě AB, A = (, 2, 6), B = (2, 1, 4), C = (5,, 1), D = (, 2, ) 3 Najděte odchylku přímky p od roviy ρ, jestliže a) p: x = 3 + t, y = 3 + 2t, z = -2 - t, ρ: x + y 1 =, b) přímka p je dáa body A = (5, 5, 5) a B = (3, 5, 3) a ρ: x - y + 3 = 4 Staovte vzdáleost bodu M od roviy α, jestliže a) M = (-2, -4, 3), α: 2x - y + 2z + 3 =, b) M = (1, 2, -3), α: 5x - 3y + z + 4 =, c) M = (-1, 1, -2) a rovia α je dáa body A, B, C: A = (1, -1, 1), B = (-2, 1, 3), C = (4, -5, -2), d) M = (2, 3, -1), α: x = r + s, y = 1 - r + s, z = -1 + s 5 Určete vzdáleost bodu X od přímky a, jestliže a) X = (3, 2, 1), a: x = 2-3t, y = 1 + t, z = 7-2t, b) X = (2, 3, -1), a: x = 1 + t, y = 2 + t, z = t, 176

9 c) X = (2, 3, -1), a: 2x 3y 9 = y 2z + 7 = 2x 2y + z + 3 = 3x 2y + 2z + 17 = 6 Napište rovici přímky m, která prochází bodem K = (3, 3, 2) a je kolmá k roviě ρ: x = 1-2r + 3s, y = 2 + r + s, z = 4 - r + 2s 7 Určete rovici roviy souměrosti úsečky AB: A = (2, 3, ), B = (-1, 5, 4) 8 Určete bod Q souměrě sdružeý s bodem P = (2, -5, 7) podle přímky p, která prochází body A = (5, 4, 6) a B = (-2, -17, -8) 9 Zjistěte souřadice bodu Q souměrě sdružeého s bodem P = (1, 3, -4) podle roviy α: 3x + y - 2z = 1 Určete vzdáleost rovoběžých rovi α a β: a) α: x - 2y - 2z - 12 =, β: x - 2y - 2z - 6 =, b) α: 2x - 3y + 6z - 14 =, β: 4x - 6y + 12z + 21 = 11 Vypočtěte vzdáleost rovoběžých přímek p a q, jestliže a) p: x = 2 + t, y = t, z = t, q: x = 1 + t, y = 1 + 2t, z = t, b) přímka p je dáa body A, B: A = (7, 7, 3), B = (1, 9, 4) a q: 12 Najděte kolmý průmět bodu A = (2, -1, 4) do roviy α: 3x + y + z - 2 = 13 Určete obecou rovici roviy procházející bodem X = (1, 2, -3) rovoběžě s přímkami p: x = 1 + 2t, y = -1-3t, z = 7 + 3t, q: x = t, y = 2-2t, z = -3 - t 14 Určete obecou rovici roviy, která prochází bodem X = (2, -2, 1) a přímkou p: x = 1 + 2t, y = 2-3t, z = t 15 Určete obecou rovici roviy procházející přímkou p: x = 1 + 3t, y = 3 + 2t, z = -2 - t rovoběžě s přímkou q : 2x y + z 3 = x + 2y z 5 == 16 Určete parametrické rovice přímky procházející bodem X = (3, -2, -4) rovoběžě s roviou α: 3x - 2y - 3z - 7 =, která protíá přímku p: x = 2 + 3t, y = -4-2t, z = 1 + 2t 17 Staovte parametrické rovice přímky, která je rovoběžá s roviami α: 3x + 12y - 3z - 5 =, β: 3x - 4y + 9z + 7 = a protíá přímky p: x = t, y = 3-4t, z = t, q: x = 3-2t, y = t, z = 2 + 4t, 177

10 Výsledky úloh k samostatému řešeí π π 4 1 a) ϕ =, b) ϕ =, c) cosϕ = 2a) ϕ =, b) ϕ = , c) ϕ = a) ϕ = π, b) ϕ = π 4 a) ρ (M, α) = 3, b) ρ (M, α) =, c) ρ (M, α) = 4, 3 6 d) ρ (M, α) = a) ρ (X, a) = ,6, b) ρ (X, a) = 6, c) ρ (X, a) = 15 6 x = 3 + 3t, y = 3 + t, z = 2-5t 7 6x - 4y - 8z + 29 = 8 Q = (4, 1, -3) 9Q = (-5, 1, ) 1 a) d = 2, b) d = 3,5 11 a) d = 4 2, b) d = (5,, 5) x + 11y + 5z - 16 = 14 4x + 6y + 5z - 1 = 15 13x - 14y + 11z + 51 = 16 x = 3 + 5t, y = -2-6t, z = t 17 x = t, y = -1-3t, z = 2-4t Kotrolí test 1 Jsou dáy body 1 A = (2, 1, 4), B = ( 2,1, 4), C = ( 1,, 2), D = (1, 5, 2) Určete 2 vzájemou polohu přímek AB, CD: a) růzoběžé, b) rovoběžé totožé, c) mimoběžé 2 Určete vzájemou polohu rovi: α :2x y+ z+ 3=, β : A = (2,7,), u= (1,2,), v= (, 1, 1) a) rovoběžé, b) růzoběžé, c) rovoběžé totožé 3 Napište rovici průsečice rovi α :x+ y+ z 1=, β :4x+ 5y z+ 1= a) b) x = 6 6t y = 5+ 5t z = t x = 6+ 6t y = 5 5t z = 5t 178

11 4 Určete vzájemou rovici přímky a roviy: p : P = (1,3, 2), u= (1, 1, 3), α :9x+ 3y+ 2z+ 2= a) růzoběžé, b) rovoběžé, c) leží v roviě 5 Vypočtěte odchylku přímek p, q, jsou-li: p: 2x+ y z= y+ 3z 4=, q : x + 2y z + 4 = 4x y + 3z 1 = o o o a) 79 2, b) 81 3, c) Vypočtěte odchylku přímky p a roviy α : p : P = (2, 1,), u= (9,2, 4), α : A = (5,4,3), B = (8,7,6),C = (2,2,2) o o a) 75 o 3, b) 87 4, c) Určete vzdáleost dvou rovi: α : 3x 2y 6y+ 35=, β :3x 2y 6z= a) 35, b) 5, c) 35 8 Určete vzdáleost bodu A = ( 2,3,1) od přímky p :B = (2,1,),C = (1,4,1) a) 6, b) 11 6, 11 c) Výsledky testu 1 b), 2 c), 3 a), 4 b), 5 a), 6 b), 7 b), 8 a) Průvodce studiem Pokud jste správě odpověděli ejméě v 6 případech, pokračujte další kapitolou V opačém případě je třeba prostudovat kapitoly 36, 37 zovu 179