3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

Transkript

1 : Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se dá zapsat ve tvaru: y p ( ) y p ( ) y p ( ) y q( ) (3) ( ) ( ) Fukce p,, p se azývají koeficiety lieárí difereciálí rovice Jestliže jsou fukce p,, p kostatí, hovoříme o lieárí difereciálí rovici s kostatími koeficiety Fukce q() se azývá pravá straa lieárí difereciálí rovice Jestliže q je ulová fukce, rovice (3) se azývá homogeí, ebo rovice bez pravé stray Pozámka 3 Vždy budeme předpokládat, že fukce p,, p a q jsou spojité a ějakém itervalu I = (a, b), a < b Příklad 3 (a) Rovice (3) je lieárí, y y y si( ) l( 3) (3) p( ), p ( ), si( ) q ( ) l( 3) (b) Řešeí rovice budeme uvažovat a itervalech, a kterých jsou všechy fukce p, p, q spojité, tj a itervalech (-3, -),(-, -), (-, ), (, + Pozámka 3 Rovice (3) se azývá lieárí, protože zobrazeí L, L[ y]: y p ( ) y p ( ) y p ( ) y, (33) ( ) ( ) je lieárí zobrazeí, tj L[ y y] L[ y] L[ y], (34) L[ y] L[ y] Podroběji, echť fukce p,, p jsou spojité a itervalu I = (a, b), a < b Ozačíme-li ( k symbolem C ) ( I ) k-krát spojitě diferecovatelé fukce a eprázdém itervalu I, pak ( k C ) ( I ) je lieárí prostor a L je lieárí zobrazeí:

2 : Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie ( k ) () L : C ( I ) C ( I ) Relace f f je lieárí zobrazeí Kompozice lieárích zobrazeí je lieárí zobrazeí, ( ) ( ) ( ) tj pro libovolé k je ( f g) k f k g k, lieárích zobrazeí je lieárí zobrazeí, tj ( k) ( k) ( g) ( g ) Lieálí kombiace je lieárí zobrazeí L[ y]: pk( ) y k ( k ) Lieárí difereciálí rovici (3) můžeme pomocí zobrazeí L zapsat stručě L[ y] q (35) Struktura možiy všech řešeí rovice (35) (tj obecého řešeí) je stejá jako struktura řešeí lieárí soustavy rovic, která je záma z úvodu do algebry Vlastosti řešeí soustavy rovic byly totiž odvozey pouze z liearity podobého zobrazeí a z toho, že defiičí obor i obor hodot tohoto zobrazeí jsou lieárí prostory, tj z podmíek (34) Pojmy a výsledky můžeme proto z lieárí algebry bezezbytku přejmout Partikulárí řešeí, je kterékoliv vybraé řešeí rovice (35) Budeme-li potřebovat jej odlišit od ostatích typů řešeí, apř od obecého (tj od formule, která popisuje možiu všech řešeí rovice), budeme jej ozačovat ŷ, platí tedy: L[ yˆ ] q Řešeí homogeí rovice, je řešeím přidružeé homogeí rovice Budeme-li potřebovat jej odlišit od řešeí partikulárího ebo obecého, budeme jej ozačovat y, platí tedy: Ly [ ] (36) Z algebry je zámo, že možia všech řešeí lieárí homogeí rovice tvoří lieárí podprostor zvaý jádro zobrazeí L, ozačme jej ker(l) Pro dimezi tohoto jádra později odvodíme velmi zajímavý vztah: dim ker(l) = řád dif rovice (35) Obecé řešeí rovice, tj možia všech řešeí rovice (35), je opět dáa zámým výsledkem z lieárí algebry Je-li ŷ libovolě vybraé partikulárí řešeí, pak platí: { y L[ y] q} { yˆ y L[ y ] }, ebo stručě L[ y] q y yˆ ker( L), (37) kde jsme ozačili yˆ ker( L) { yˆ y L[ y ] }

3 : Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Pozámka 33 (pricip superpozice) Sloví spojeí pricip superpozice eí ozačeím obecě platého, apř fyzikálího zákoa či pricipu Je to pouze jié ozačeí vlastostí ějakého lieárího zobrazeí, ebo vlastostí z ěj odvozeých Pricip superpozice je často chápá v ásledujícím smyslu, který sado vyplývá z liearity zobrazeí L: Je-li y řešeím li dif rovice s pravou straou q, tj L[ y] q, je-li y řešeím li dif rovice s pravou straou q, tj L[ y] q, pak y y je řešeím rovice s pravou straou q q, tj L[ y y] q q Věta 3 (o eisteci a jedozačosti) Mějme lieárí difereciálí rovici -tého řádu y p ( ) y p ( ) y p ( ) y q( ), (38) ( ) ( ) kde fukce p,, p a q jsou spojité a itervalu I = (a, b), a < b Pak platí: Pro každý bod I a libovolý vektor ( b, b,, b ) eistuje jedié řešeí y C ( ) I rovice (38), které splňuje dále uvedeé počátečí podmíky: y( ) b, y( ) b, ( ) y ( ) b Piccardovy aproimace aplikovaé a soustavu dif rov řádu ekvivaletí s (38) S pomocí Věty 3 můžeme řešit otázku dimeze ker(l) Pozámka 34 Fukce y,, y jsou a eprázdém itervalu I lieárě ezávislé (zkratka LN), právě když platí: cy a I c c c (39) Podmíka cy a I je ekvivaletí s podmíkou I( ( ) ( ) ) Podmíka cy cy a I tedy reprezetuje ekoečě moho algebraických rovic, tj soustavu ekoečě moha lieárích rovic 3

4 : Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Vybereme-li libovolě,,, k I, pak musí platit: ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ), 3 3 c ( ) ( ) y k k Je zřejmé, že takto lze vygeerovat soustavu lieárích rovic o espočetě moha rovicích Pokud jsou fukce y,, y diferecovatelé, pak je možo sestavovat další soustavy rovic ( derivováím rovice (39), apř patří-li fukce do C ) ( I), pak a I platí: cy cy cy,,, ( ) ( ) Věta 3 (dim ker(l) = řád L) Nechť fukce p,, p jsou spojité a itervalu I = (a, b), a < b, I je libovolé Mějme homogeí rovici -tého řádu L[ y]: y p ( ) y p ( ) y p ( ) y (3) ( ) ( ) Pak fukce y,, y, které řeší homogeí rovici Ly [ k ], k =,,, a itervalu I a vyhovují počátečím podmíkám y( ) y( ) y ( ) y( ) y ( ) y ( ) y ( ) y( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y ( ) y ( ) y ( ) y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y ( ) y ( ) y ( ) y ( ) =, (3) tvoří bázi prostoru ker(l) Podle Věty 3 (o eisteci a jedozačosti) takové fukce y,, y musí eistovat (a) y,, y, jsou lieárě ezávislé Utvořme ulovou lieárí kombiaci cy (3) 4

5 : Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Nulová fukce je diferecovatelá, všechy její derivace jsou ulové fukce Protože ( y C ) () I pro k =,,, z rovice (3) derivováím získáme soustavu rovic: k cy cy,, ( ) ( ), ( ) ( ) cy, která je splěa a itervalu I V maticové formě má soustava tvar: y y y y c y y y y c (33) ( ) ( ) ( ) ( ) y y y y c ( ) ( ) ( ) ( ) y y y y c Vyjádříme-li soustavu (33) v bodě, podle (3) je matice soustavy (33) jedotková, tj platí y( ) y( ) y ( ) y( ) c y( ) y ( ) y ( ) y ( ) c ( ) ( ) ( ) ( ) y ( ) y ( ) y ( ) y ( ) c ( ) ( ) ( ) ( ) y ( ) y ( ) y ( ) y ( ) c c c Fukce y,, y jsou tedy lieárě ezávislé c c c c c c (b) Každé řešeí homogeí rovice je lieárí kombiací fukcí y,, y Nechť y je libovolé řešeí rovice (3), tj L[ y] = Defiujme vektor ( b, b,, b ) : ( y( ), y( ),, y ( )) ( ) Pak ovšem fukce y je zároveň řešeím počátečí úlohy Defiujme dále fukci z: Ly [ ], ( k ) y ( ) bk, k,,, (34) 5

6 : Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie z b y b y b y : Fukce z je rověž řešeím počátečí úlohy (34): Lz [ ] L[ b y b y by] b L[ y ] b L[ y ] b L[ y ] b b b, ( ) ( ) ( ) ( ) z k ( ) b y k ( ) b k y ( ) b k y ( ) bk, k,,, Podle věty o eisteci a jedozačosti emohou eistovat dvě růzá řešeí téže počátečí úlohy, proto utě y = z, tedy platí y b y b y by Pozámka 35 Řešit lieárí homogeí difereciálí rovici L[ y] = zameá ajít ějakou bázi prostoru ker(l), tj je-li rovice řádu, pak je třeba ajít lieárě ezávislých řešeí této rovice Možiě fukcí, které tvoří bázi prostoru ker(l), se říká fudametálí systém Defiice 3 (Wroského matice, wroskiá) Jestliže fukce y,, y jsou diferecovatelé a itervalu I až do řádu včetě, pak a itervalu I je defiováa tzv Wroského matice Je to matice soustavy (33), tj je to fukce defiovaá a I, která k daému I přiřadí dále uvedeou matici: y( ) y( ) y ( ) y( ) y ( ) y ( ) y ( ) y ( ) [ y,, y]( ) : ( ) ( ) ( ) ( ) y ( ) y ( ) y ( ) y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y ( ) y ( ) y ( ) y ( ) Wroskiá je determiat Wroského matice, defiujme: W[ y,, y ]( ) : det( [ y,, y ]( )) Je-li možia fukcí y,, y záma z kotetu, píšeme stručě W( ) : det( [ y,, y ]( )) Wroskiá je užitečý ástroj aalýzy lieárí ezávislosti poslouposti fukcí, jak ukazuje ásledující věta Věta 33 (test LN, LZ) Nechť fukce y,, y, jsou diferecovatelé a itervalu I až do řádu včetě Pat platí: (a) Jestliže I(W[ y,, y]( ) ) pak y,, y jsou lieárě ezávislé a I 6

7 : Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie (b) Jestliže I(W[ y,, y]( ) ) a fukce y,, y jsou a itervalu I řešeím ějaké homogeí lieárí dif rovice -tého řádu (se spojitými koeficiety a I ), pak y,, y jsou LZ a itervalu I (a) Nechť I( ( ) ( ) ) (35) Stejě jako v důkazu Věty 3, z rovice (35) odvodíme soustavu rovic pro ezámé koeficiety c,,c Dostaeme pro každé I : c [ y,, y]( ) (36) c Podle předpokladu eistuje I, pro které je wroskiá eulový, tj W[ y,, y]( ), matice [ y,, y]( ) je pak regulárí a jediým řešeím rovice (36) je řešeí triviálí, tj fukce y,, y jsou lieárě ezávislé a I (b) Podle předpokladu eistuje bod I pro který je wroskiá ulový, tj W[ y,, y]( ), tj matice [ y,, y]( ) je pak sigulárí a tudíž eistuje etriviálí řešeí c,, c soustavy, * c [ y,, y]( ), (37) * c tj ( c,, c) Nyí ukážu, že cy cy a I, tj c,, c jsou koeficiety hledaé etriviálí ulové lieárí kombiace fukcí y,, y Ozačme z (38) : Podle předpokladu jsou fukce y,, y řešeím ějaké lieárí homogeí difereciálí rovice -tého řádu se spojitými koeficiety a I, echť tedy platí L[y k ] =, k =,, a tudíž i z je řešeím takové rovice, tj L[z] = Každé řešeí rovice L[z] = je i řešeím počátečí úlohy L[ z], z ( ) z ( ), k,, ( k) ( k) ( k ) Hodoty derivací z ( ) vyplývají z rovic (37), (38) Platí: 7

8 : Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie ( k ) z ( ) ( ) ( ) * ( k) * ( k) c * ( k) ( k) y ( ) y ( ) * c pro k =,,, tj z( ) y( ) y( ) c c [ y,, y]( ) (39) ( ) ( ) ( ) z ( ) y ( ) y ( ) c c Vektor počátečích hodot je tedy podle (39) ulový Stejé počátečí podmíky splňuje ovšem také ulová fukce Podle věty o jedozačosti to zameá, že z je ulová fukce a I, tj a I, což se mělo dokázat Příklad 3 Fukce e a e jsou LN a libovolém eprázdém itervalu právě když (a) Nechť Pak pro libovolé je e e e e W[ e, e ]( ) e e e e ( ) V každém eprázdém itervalu I tedy eistuje bod, ve kterém W[ e, e ]( ), tj podle Věty 33 jsou fukce LN a každém eprázdém itervalu I (b) Nechť Položme c = c = Potom ce ce e e Našli jsme ulovou etriviálí lieárí kombiaci, tj fukce jsou LZ a libovolém eprázdém itervalu V tomto případě LZ elze vyvodit z faktu, že W[ e, e ], eboť zatím evíme, zda eistuje difereciálí rovice řádu, jejímž řešeím je fukce e Příklad 33 Ukažte, že fukce e a e jsou LN a libovolém eprázdém itervalu I pro libovolé e e W[ e, e ]( ) e e e e e e Příklad 34 Jsou dáy fukce y ( ), y ( ) Pak platí: (a) Fukce y, y jsou LN a každém itervalu, který obsahuje jak kladá tak záporá čísla (b) Na itervalu, který eobsahuje čísla obou zaméek, jsou fukce y, y LZ (c) W[ y, y] a každém eprázdém itervalu 8

9 : Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie (a) Nechť I je iterval,, I,, echť c c I Pak platí c c, (3) c c Koeficiety c, c řeší soustavu (3) Matice soustavy (3) je regulárí, det ( ) eistuje tedy pouze triviálí řešeí, fukce y, y, jsou tedy LN (b) V případě, že iterval I eobsahuje čísla obou zaméek, pak eistuje kostata taková, že y = y, tj fukce jsou LZ, (c) Protože ( ), je W[ y, y]( ) Důsledek 3 Fukce y, y z Příkladu 34 emohou být řešeím ějaké lieárí difereciálí rovice řádu (se spojitými koeficiety) a itervalu I, který obsahuje čísla obou zaméek Příklad 35 Jsou dáy fukce y ( ), y( ) Staovte li dif rovici Řádu, jejíž fudametálí systém je tvoře fukcemi y, y Úloha má smysl, fukce y, y jsou LN a libovolém eprázdém itervalu Jestliže fukce y, y tvoří fudametálí systém ějaké lieárí homogeí difereciálí rovice, pak obecé řešeí y této rovice bude lieárí kombiace y = c y + c y Trojice fukcí y, y, y je tedy LZ, jejich wroskiá tedy musí být ulový, y W[ y,, ]( ) y y 3 Hledaou difereciálí rovici dostaeme rozvojem determiatu podle sloupce, tj, y y 3 y po úpravě y y y 9