7 Analytická geometrie

Transkript

1 7 Anlytiká geometrie 7. Poznámk: Když geometriké prolémy převedeme pomoí modelu M systému souřdni n lgeriké ritmetiké prolémy pk mluvíme o nlytiké geometrii neo též o metodě souřdni užité v geometrii. 7. Poznámk: Zákldní vzthy v rovině π souřdný systém <Pij> pro lepší zpmtování AB B-A P počátek i j vektory jimž odpovídá úsečk délky které jsou n see kolmé A = [ ] B = [ ] u = AB = ( - - ) vektory u = (u u ) v = (v v ) u + v = (u +v u +v ) λu = (λu λu ) v prostoru π souřdný systém <Pijk> P počátek i j k vektory jimž odpovídá úsečk délky které jsou n see kolmé A = [ ] B = [ ] u = AB = ( ) pro lepší zpmtování AB B-A vektory u = (u u u ) v = (v v v ) u + v = (u +v u +v u +v ) λu = (λu λu λu ) 7. Poznámk: Dále udeme provt v prostoru π. Všehny výsledky lze sndno převést do roviny π vyneháním třetí souřdnie. 7.4 Příkld: souřdnie středu úsečky Známe-li souřdnie krjníh odů úsečky AB A = [ ] B = [ ] jk se vypočítjí souřdnie středu S úsečky AB? z poznámky 4.7 víme že pro liovolný od P pltí PS = ½ (PA + PB) převedeno do souřdni PA = ( ) PB = ( )

2 )) ( ) (( S PS Je-li S = [s s s ] pk s i = ( i + i )/ i =. 7.5 Příkld: souřdnie těžiště Odvoďte souřdnie těžiště T ABC znáte-li souřdnie jeho vrholů. příkld 4.0 PT = / (PA + PB + PC) převedeno do souřdni PA = ( ) PB = ( ) PC = ( ) )) ( ) ( ) (( T PT Je-li T = [t t t ] pk t i = ( i + i + i )/ i =. 7.6 Poznámk: Souřdnie těžiště víe odů se vypočítjí nlogiky tj. jko ritmetiký průměr souřdni těhto odů. 7.7 Příkld: Je dán ABC A = [-4-] B = [-4] C = []. Určete souřdnie odu D tk y čtyřúhelník ABCD yl rovnoěžník. ) BD = BA + BC D = [d d d ] BA = ( - -6 ) BC = ( - -) BD = (0-8 0) = (d + d -4 d -) porovnáním D = [- -4 ] ) S AC = S BD [- 0 ] = [(d -)/ (d +4)/ (d +)/]

3 výpočtem D = [- -4 ] ) BC=AD ( - -) = (d +4 d + d -) porovnáním výpočtem D = [- -4 ] 7.8 Příkld: Je dán ABC A = [-] B = [-] C = [00-]. Určete souřdnie odu D tk y čtyřstěn ABCD měl těžiště v odě T = [-0]. t i = ( i + i + i + d i )/4 i = 4.(-) = d d = - 4. = d d = = + + d d = Poznámk: Prmetriké rovnie přímky. Nenulovým vektorem u je určen směr týž směr je určen i vektorem ku k 0. Dný směr určuje svzek rovnoěžnýh přímek. Jednotlivou přímku z tohoto svzku vyčleníme zdáme-li od kterým má přímk proházet. Přímk p je určen odem A směrovým vektorem u oznčení p = {A u} X p t R : AX tu t se nzývá prmetr přímky Je-li A = [ ] u = (u u u ) X = [xyz] pk AX = tu (x- y- z- )=(tu tu tu ) q = {A AB} = {B DE} = {D BA} = {F DA} td. 7.0 Definie: prmetriké rovnie přímky Nehť pltí symoly z poznámky 7.9. Jestliže X p = {A u} pk jeho souřdnie musí pro nějké t reálné splňovt prmetriké rovnie přímky

4 p: x = + tu y = + tu z = + tu Pro lepší zpmtování t R p: X = A + tu 7. Poznámk: Prmetriké rovnie úsečky polopřímky X t = [ + tu + tu + tu ] měřítk n příme p prmetr t má význm přímk: AX : x = + tu y = + tu z = + tu t R úsečk: AX : x = + tu y = + tu z = + tu t <0> X - X : x = + tu y = + tu z = + tu t <-> X - X : x = + tu y = + tu z = + tu t <-> polopřímk: X - A: x = + tu y = + tu z = + tu X 4 X : x = + tu y = + tu z = + tu t <-+oo) t (-oo4> 7. Příkld: Npište prmetriké rovnie přímek určenýh ) {A i} {A j} {A k} A = [-] ) {B i-j+k} B = [0] ) ody R = [] S = [-0] d) ody T = [0-] U = [- -] ) {A i}: x = - + t y = z = {A j}: x = - y = + t z = {A k}: x = - y = z = + t ) {B i-j+k}: x = + t y = t z = t] ) {R RS}: x = t y = t z = - t d) {T TU}: x = t y = t z = - 7. Poznámk: Průsečík přímek p = {A u} q = {B v} X = p q

5 X p => r R : x = + ru y = + ru z = + ru X q => s R : x = + sv y = + sv z = + sv porovnáním rovni dostneme tři rovnie pro dvě neznámé (x =) + ru = + sv (y =) + ru = + sv (z =) + ru = + sv Soustvu řešíme tk že si vyereme dvě z rovni tu vyřešíme výsledek prověříme v rovnii třetí. Pokud ji splňuje pk existuje průsečík pokud ji nesplňuje průsečík neexistuje (mimoěžky). Souřdnie průsečíku pk dostneme doszením vypočtené hodnoty r do rovnie přímky p (neo hodnoty s do rovnie přímky q). 7.4 Příkld: Určete průsečík přímek ) p = {A = [ ] u = ( - -)} q = {B = [0 0] v = (5 0 5)} ) p = {A = [ - -] u = ( 6 9)} q = {B = [5 4 9] v = ( -/ -/ )} ) místo v = (5 0 5) použijeme jiný směrový vektor w = ( 0 ) + r = 0 + s s = -0 r = r = - r = 0 + s L=4 P=0 zkoušk nevyšl => průsečík neexistuje mimoěžky ) u = (69) ~ () v = (-/ -/ ) ~ (- - ) + r = 5 s r = s = r = 4 s - + r = 9 + s L = 7 P = 7 X = p q = [6 5 7] 7.5 Příkld: Určete prmetriké rovnie přímky která prohází průsečíkem přímek p: x = + t y = t z = - q: x = - + s y = -5 + s z = -s dále prohází: ) počátkem souřdni ) je rovnoěžná s osou x ) prohází odem [4 - ] A = p q = [- - -] s = t = - ) ) ) x = t y = t z = t x = - + t y = - z = - x = - + 5t y = - t z = - + t

6 7.6 Příkld: Je dán ABC jehož vrholy mjí souřdnie A = [9-4 0] B = [-4 9 0] C = [7 4 ] ) Npište rovnie strn ABC ) Npište rovnii přímky {A BC} ) Určete souřdnie těžiště ABC d) Npište rovnie přímek v nihž leží těžnie ABC e) Určete průsečíky strn ABC s přímkou p: x = t y = 4 4t z = - + t ) AB: x = 9 r y = -4 + r z = 0 r <0> BC: x = -4 + r y = 9-5r z = r r <0> CA: x = 7 + r y = 4-8r z = - r r <0> ) {A BC}: x = 9 s y = -4 5s z = s s R ) T = [4 ] ritmetiký průměr vrholů d) TA: x = 4 + 5t y = 7t z = - t TB: x = 4-8t y = + 5t z = - t TC: x = 4 + t y = t z = - t e) 9 r = t t = r = 4/ L=P průsečík [5 0 0] -4 + r = 4 4t 0 = - + t -4 + r = t t = 0 r = 9 <0> 9-5r = 4 4t L = P existuje průsečík le ne se strnou BC r = - + t 7 + r = t t = 4/ r = / 4-8r = 4 4t L = P průsečík [5/ -4/ ] - r = - + t 7.7 Poznámk: prmetriké rovnie roviny Rovin je určen dvěm nenulovými nekomplnárními vektory nzývjí se změření roviny odem ρ = {A u v} X ρ rs R: AX = r u + s v V souřdniíh 7.8 Definie: prmetriké rovnie roviny (x y z ) = r (u u u ) + s (v v v ) = = (ru + sv ru + sv ru + sv ) Nehť pltí symoly poznámky 7.7. Jestliže X ρ = {A u v} pk jeho souřdnie musí pro nějké rs splňovt prmetriké rovnie roviny:

7 ρ: x = + r u + s v y = + r u + s v z = + r u + s v Pro lepší zpmtování rs R ρ: X = A + ru + sv 7.9 Příkld: Npište prmetriké rovnie roviny ρ určené ody A = [-] B = [ 0 -] C = [0 4 ] ρ = {A AB AC} AB = (- - 0) AC = (- - ) ~ (- ) ρ: x = r s y = r + s z = - + s 7.0 Příkld: Nlezněte průsečík přímky p: x = + t y = z = - s rovinou ρ z příkldu 7.9. (x =) r s = + t t + r s = t = 0 (y =) r + s = => - r + s = 0 => r = - (z =) - + s = - s = s = p ρ = [0 -] 7. Příkld: Určete vzájemnou polohu přímky q = {[] (0)} roviny ρ z příkldu 7.9. neexistuje průsečík q ρ => q rovnoěžná s ρ neleží v ní existuje jediný => q různoěžná s ρ existuje nekon. mnoho => q leží v rovině ρ r - s = t + r s = - t + r s = -4 r + s = + t => -r - s = - => -r - s = s = + t -t + s = -t + s = => s = t = - r = 0 => průsečík [ -] 7. Příkld: Jsou dány dvě přímky p: x = + t y = - + t z = q: x = -t y = + t z = - + t t R. Npište rovnii roviny která prohází počátkem oě přímky jsou s ní rovnoěžné. Budou-li směrové vektory přímek změřením roviny pk přímky udou s rovinou rovnoěžné. rovin: x = r s y = r + s z = s rs R KONEC