MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

Transkript

1 MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D.

2 Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY LOMENÉ VÝRAZY MOCNINY A ODMOCNINY.... ABSOLUTNÍ HODNOTA... 5 ROVNICE A NEROVNICE LINEÁRNÍ ROVNICE SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC LINEÁRNÍ NEROVNICE SOUSTAVY LINEÁRNÍCH NEROVNIC.... KVADRATICKÁ ROVNICE....5 KVADRATICKÉ NEROVNICE....6 EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE....7 LOGARITMUS ČÍSLA LOGARITMICKÁ ROVNICE... 5 REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ VLASTNOSTI REÁLNÝCH FUNKCÍ; DEFINIČNÍ OBOR FUNKCE LINEÁRNÍ FUNKCE KVADRATICKÁ FUNKCE.... EXPONENCIÁLNÍ FUNKCE....5 LOGARITMICKÁ FUNKCE... 5 POSLOUPNOSTI A ŘADY POJEM POSLOUPNOSTI ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI POSLOUPNOSTI ARITMETICKÁ POSLOUPNOST GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST NEKONEČNÁ GEOMETRICKÁ ŘADA KOMBINATORIKA FAKTORIÁL VARIACE A PERMUTACE KOMBINAČNÍ ČÍSLO KOMBINACE ANALYTICKÁ GEOMETRIE ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY V ROVINĚ KUŽELOSEČKY KRUŽNICE VZÁJEMNÁ POLOHA PŘÍMKY A KRUŽNICE... 5 LITERATURA... 5

3 MNOŽINY. ČÍSELNÉ MNOŽINY Možia přirozeých čísel N... N Možia celých čísel Z Možia racioálích čísel Q je rozšířeím možiy celých čísel o všecha ecelá racioálí p čísla tvaru kde p p p 0 jsou esoudělá celá čísla. p Možia reálých čísel R. Někdy amísto používáme a teto symbol se azývá plus ekoečo. Možia iracioálích čísel R Q. Jsou to čísla která jsou reálá ale ejsou racioálí. Například Ludolfovo číslo. Termíy racioálí a iracioálí čísla vzikly zlatiského slova ratio tj. rozum. Proto racioálí čísla jsou čísla rozumá a iracioálí čísla jsou čísla erozumá. Nerozumého však a ich ic eí! Kvůli zjedodušeí se v tomto tetu využívá také běžá součtová a součiová symbolika ebo též sumačí a multiplikačí symbolika. Pro zápis součtu více sčítaců ebo součiu více čiitelů se používá symbolika která podstatě zjedodušuje vyjadřováí. Nechť N a a a...a R. Potom začíme symbolem a i i a. součet b. a souči a.a.a...a. i i a a a... a Ide i se azývá součtový (resp. součiový) ide číslo se azývá dolí mez a číslo horí mez tohoto součtu (resp. součiu). Příklad. Zapište pomocí sumačí symboliky aritmetický průměr čísel a a a...a. Aritmetický průměr a a a... a i a. i Příklad. Vypočtěte: a. b. i. i 5 i i

4 a. i i 0 b. 5 i i OPERACE S MNOŽINAMI Základím vztahem mezi prvkem a možiou je vztah býti prvkem možiy začíme jej symbolem a A. Symbolem a A ozačujeme skutečost že prvek epatří do možiy A. Možiou rozumíme souhr libovolých objektů které jsou vzájemě rozlišitelé. Objekty tvořící možiu se azývají prvky (elemety) možiy. Základí vlastostí možiy je jedozačé určeí možiy jejími prvky. O každém objektu (abstraktím ebo reálém) můžeme jedozačě rozhodout zda do daé možiy patří ebo epatří. Možiy ozačujeme velkými písmey prvky malými písmey. Pro zadáí moži používáme složeé závorky. Zadáí moži a. výčtem (vyjmeováím) prvků možiy apř. a b c b. uvedeím charakteristické vlastosti společé všem prvkům možiy. Žádý jiý prvek (epatřící do možiy) tuto vlastost emá apř. R; 0. Podle počtu prvků dělíme možiy a koečé ekoečé a možiu prázdou. Prázdá možia eobsahuje žádý prvek. V teorii moži má obdobý výzam jako ula v teorii čísel. Základí vztahy mezi možiami jsou vztahy: a. rovosti: A = B ( A B) b. ikluze (být podmožiou): A B ( A B). Operace s možiami: a. sjedoceí moži A B: A B = ; A B b. průik moži A B: A B = ; A B c. rozdíl moži A B: A B = ; A B d. doplěk možiy A v základí možiě Z: A ; Z A e. kartézský souči moži A B: A B = y A y B. Příklad. Určete pomocí itervalů prvky moži A B C D A C B C B D A B kde A R; 6 7 B R; C R; 8 0 D R; 0.

5 Možia A:. Možia B:. Možia C: Řešeím kvadratické erovice je tedy. Možia D: Protože diskrimiat je záporý jsou řešeím erovice v oboru reálých čísel buď všecha reálá čísla ebo možia prázdá. V ašem případě je D = R.. Příklad. Graficky zázorěme možiy A B C D E F G kde A 0 0 B C 0 D 6 C A B R B B C B A 6 A 9 y ; R y A y ; R y B 0 y ; R y C y ; R y D y ; R y E y ; R y F 0 y y ; R y G

6 5 Možia A je kruh se středem S 0 0 a poloměrem r = bez své hraice. Možia B je vější oblast paraboly která má vrchol v bodě V 0 0a větve paraboly jsou směrem ahoru. Možia C je průikem poloroviy < 0 (hraicí je osa y která do možiy C epatří) a poloroviy y (hraicí je přímka y která do možiy C epatří). Možia D je průikem dvou oblastí: ) vější oblastí pásu který je omeze přímkami y y které do možiy D epatří ) vitří oblastí pásu který je omeze přímkami které do možiy D patří. Možia E je plocha pod přímkou která prochází body 0 0. Přímka do možiy E patří. Možia F je parabola která má vrchol v bodě V 0 0a větve paraboly jsou směrem doprava. Možia G je průikem dvou polorovi: ) dolí polorovia která je omezea přímkou y přičemž přímka do možiy G epatří ) horí polorovia která je omezea přímkou y 0 (osa ) která do možiy G patří. Možia je doplňkem možiy A tj. vější oblast kružice se středem S 0 0 a poloměrem r = včetě hraice kružice. A

7 6 ALGEBRAICKÉ VÝRAZY Algebraický výraz je zápis který je slože z čísel a písme vyjadřujících jedotlivé proměé (ezámé). Čísla a písmea jsou spojováa zaky operací sčítáí odčítáí ásobeí děleí umocňováí či odmocňováí. Algebraický výraz může dále obsahovat závorky které staovují pořadí jedotlivých početích operací. Příkladem výrazu je apř. ( + ) + +7 atd. S úpravami algebraických výrazů souvisí utost staoveí defiičího oboru proměých tj. vymezeí kdy má daý výraz smysl. Nejčastěji se budeme setkávat s určeím podmíek řešitelosti pro lomeé výrazy kdy jmeovatel zlomku esmí abývat ulové hodoty. Úprava algebraického výrazu představuje ahrazeí výrazu výrazem jiým který se mu rová v defiičích oborech proměých. Zjedodušeí algebraického výrazu je situace kdy ový výraz obsahuje meší počet čleů proměých atd.. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY Pod pojmem jedočle chápeme výraz který obsahuje pouze operace ásobeí a umocňováí. Jedá se tedy o souči určitého čísla (koeficietu) a moci jedé popř. více proměých s přirozeými mociteli. Mohočle eboli polyom je potom součet koečého počtu jedočleů (čleů mohočleu). Stupeň mohočleu je dá ejvyšším epoetem proměé. Mohočle který obsahuje pouze epoet je mohočle ultého stupě. Mohočley jsou si rovy jestliže mají všechy čley shodé. Hodotu mohočleu získáme tak že za proměou dosadíme kokrétí reálé číslo. Pro všecha čísla a b c z možiy všech reálých čísel R platí: + 0 = 0 + = eutrálost = = + = + komutativost = ( + ) + = + ( + ) asociativost ( ) = ( ) ( + ) = + distributivost Při součtu či rozdílu mohočleů slučujeme odpovídající si čley při ásobeí ásobíme každý čle s každým.

8 7 Příklad. Sečtěte jedočley: + + = = + ( ) + == + 5 Příklad. Sečtěte mohočley: {[( + ) ( )] + ( + ) ( )} [5 ( + )] {[( + ) ( )] + ( + ) ( )} [5 ( + )]= = = Příklad. Vyásobte a upravte: (0 ) 5{ (5 + ) [ ( 6 )]} (0 ) 5{ (5 + ) [ ( 6 )]} = = 0 6 5{5 + [ + 6 ]} = = 0 6 5{ } = = 0 6 5{ } = = Děleí mohočleu probíhá ásledujícím způsobem. Čle ejvyššího stupě dělece se dělí čleem ejvyššího stupě dělitele. Tímto postupem získáme prví čle eúplého podílu kterým zpětě vyásobíme dělitele. Vziklý výsledek odečteme od dělece jehož stupeň se provedeou úpravou síží. Dále postupujeme stejým způsobem.

9 8 Příklad. Vydělte: a) ( ): ( + ) b) (0 + 7 ): ( + ) a) ( ): ( + ) = + ( + ) + ( + ) 0 podmíka: b) (0 + 7 ): ( + ) = 5 + (0 + 5 ) ( + ) ( ) 0 podmíka: Rozklad mohočleu a souči je možý pomocí vytýkáí společého čiitele před závorku využití rozkladu dle vzorců pro mohočley ebo pomocí rozkladu kvadratického trojčleu. Cílem je úprava původího mohočleu a souči ěkolika jedodušších mohočleů. Při úpravách algebraických výrazů se budete setkávat s ásledujícími vzorci: ( + ) = + + ( ) = + = ( )( + ) ( + ) = ( ) = + + = ( + )( + ) = ( )( + + ) Výrazy jsou výrazy v oboru reálých čísel erozložitelé.

10 9 Příklad 5. Upravte: a) ( ) b) ( + ) c) + 8 d) 7 e) 5 6 a) ( ) = + b) ( + ) = c) + 8 = ( + )( + ) d) 7 = ( )( + + 9) e) 5 6 = (5 8 )(5 + 8 ) Rozklad kvadratického trojčleu Pod pojmem kvadratický trojčle rozumíme výraz + +. Setkávat se budete rověž s pojmem ormovaý kvadratický trojčle ve tvaru + +. Kvadratický trojčle lze rozložit a souči lieárích dvojčleů v možiě všech reálých čísel R za podmíky že diskrimiat eboli výraz > 0 resp. > 0. Kořey kvadratického trojčleu se ozačují a a platí že: + + = ( )( ) + + = ( )( ) + = = Příklad 6. Upravte a souči: a) b) 8 c) + d) + + e) f) 8 + g) + a) = ( )( 5) + = 8 = = 5 = 5

11 0 b) 8 = ( 7)( + ) + = = 7 = 8 = c) + = ( )( ) d) + + = ( + )( + ) e) = ( 6)( + ) f) 8 + = ( 6)( ) g) + = ( + 6)( ). LOMENÉ VÝRAZY Lomeé výrazy jsou výrazy ve tvaru podílu dvou výrazů tj. podíl kde 0. Výraz a se azývá čitatel zlomku a výraz b jmeovatel zlomku. U lomeých výrazů je uté staovit defiičí obor proměé. Podmíkou je že jmeovatel lomeého výrazu esmí abývat ulové hodoty. Početí operace s lomeými výrazy Pro všecha čísla abcd z možiy všech reálých čísel R kde b 0d 0 platí: Sčítáí a odčítáí lomeých výrazů: ± = ± Násobeí lomeých výrazů: = Děleí a úprava složeého zlomku: : = = Často bude výhodé využít před operacemi sčítáí odčítáí ásobeí a děleí tzv. kráceí zlomku v podobě = kde 0. Příklad 7. Upravte algebraické výrazy a staovte podmíky řešitelosti: a) b) c)

12 a) = ( + ) + ( + ) ( )( + ) = ( + )( + ) ( )( + ) = + ( + )( ) = podmíka: ± b) = ( ) = = = ( )( ) + ( ) ( ) ( ) = = podmíky: 0 = + + ( ) = + ( ) = c) = + ( + ) + + = + + ( + ) = ( + ) = + podmíky: 0 Složeý zlomek Složeý zlomek představuje podíl dvou jedoduchých zlomků. Složeý zlomek dělíme jestliže ásobíme jeho převráceou hodotu. V ěkterých případech bude uté ejdříve složeý zlomek upravit tj. rozšířit a staovit ejmeší společý jmeovatel v čitateli a jmeovateli složeého zlomku (tj. ve jmeovatelích jedoduchých zlomků). Stejě jako u jedoduchého zlomku esmíme ovšem zapomeout a vymezeí podmíek řešitelosti. Příklad 8. Upravte složeé zlomky a staovte podmíky řešitelosti. + + a) + 6 b) + a) = = = ( + ) ( + ) = (6 + ) ( + ) = podmíka:

13 b) + = + = ( + ) ( ) = + podmíky: 0 0 ±. MOCNINY A ODMOCNINY Mociy Výraz zameá že se jedá o opakováí ásobeí téhož čiitele a -krát. Výraz a azýváme základ mociy (mocěec) a mocitel (epoet). Pro všecha přípustá reálá čísla abm platí ásledující vztahy: = : = ; 0 ( ) = ( ) = = = = = ; 0 Příklad 9. Upravte výraz a staovte podmíky řešitelosti: ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) = = = = = = podmíky: 0 0

14 Odmociy Pro každé číslo z možiy všech přirozeých čísel N azýváme -tou odmociou z ezáporého čísla a takové ezáporé číslo b pro ěž platí =. Z defiice vyplývá že =. Číslo ozačujeme výrazem odmocitel (epoet odmociy) a číslo a jako odmocěec (základ odmociy). Pro 0 0; í: = = ; 0 = = Příklad 0. Upravte výrazy: a) 7 b) a) 7 = 7 = 8 = = b) 5 7 = 5 7 = 5 = 5 Odmociy můžeme převést rověž a mociy. K převodu a mociy využijeme vztahu =. Jiou metodou řešeí je převod všech odmoci a jedu společou odmociu. Příklad. Upravte výrazy a staovte podmíky řešitelosti: a) b) c) d)

15 a) = = ( ) = podmíka: 0 b) = = = = = = podmíka: 0 0 c) = = = podmíka: > 0 d) = = = = = = podmíka: 0 Usměrňováí lomeých výrazů Usměrňováí lomeých výrazů zameá že se sažíme ze jmeovatele zlomku odstrait výraz obsahující odmociu. Za tímto účelem je uté zlomek rozšířit a početí výraz který je mu rove ale již eobsahuje odmociu. V případě že se jedá o samotou odmociu je uté rozšířit výraz toutéž odmociou. V případě součtu (rozdílu) obsahujícího odmociu popř. odmociy rozšiřujeme součtem (rozdílem) téhož výrazu dle vztahu ( )( + ) =. Příklad. Usměrěte lomeé výrazy: a) b) 5 c) 5 a) b) = = 5 = = = c) 5 = = = 5 + = 5 +

16 5. ABSOLUTNÍ HODNOTA Absolutí hodota reálého čísla a se ozačuje výrazem a zameá že = a pro a 0 a = a pro a < 0. Absolutí hodota echává ezáporá čísla beze změy a záporá čísla ásobí ( ). Platí že 0. Hodota čísla a je tedy při dosazováí kladých i záporých čísel stále ezáporé číslo. Absolutí hodota uly se rová ule. Absolutí hodota je z grafického hlediska vzdáleost čísla a od 0 tj. od počátku. Příklad. Vypočtěte absolutí hodotu reálých čísel: a) b) c) a) = b) = c) = = 7

17 6 ROVNICE A NEROVNICE Pod pojmem rovice rozumíme zápis rovosti dvou výrazů. Zameá to tedy že se levá straa rovice rová pravé straě rovice tj. L() = P() kde je proměá. Rovice řešíme a oboru proměé což je ěkterý z číselých oborů (R N Z atd.). Nezámou (proměou) ozačujeme písmey ejčastěji písmeem. Jestliže budeme řešit rovici v oboru (možiě) reálých čísel R tak platí zápis R. Koře rovice (řešeí rovice) je hodota proměé tj. číslo pro které platí že po dosazeí do rovice vytvoří rovost. Levá straa rovice se bude rovat pravé straě rovice. Možiu všech kořeů (řešeí) rovice azýváme K a je vždy podmožiou oboru proměé. Při řešeí rovic se používají ekvivaletí úpravy. Jedá se o úpravy rovic při kterých se možia kořeů K eměí. Ekvivaletí úpravy: - vzájemá výměa stra rovice - ahrazeí vybraé stray rovice výrazem který je jí v celém defiičím oboru řešeí rovice rove - přičteí téhož výrazu ebo reálého čísla k oběma straám rovice - vyásobeí obou stra rovice týmž reálým číslem růzým od uly popř. týmž výrazem který je defiová v celém oboru řešeí rovice. Ekvivaletí úpravy eměí možiu řešeí rovice. Při řešeí iracioálích rovic kdy se proměá achází pod odmociou je ezbyté použít eekvivaletí úpravy a obě stray rovice umocit. Umocňováí a odmocňováí eřadíme mezi ekvivaletí úpravy. Zkouška je ezbytou součástí řešeí jestliže v průběhu řešeí rovice byly použity eekvivaletí úpravy. V případě že při řešeí byly použity pouze ekvivaletí úpravy zkouška eí utá. Zkoušku je ovšem možé provést a to z důvodu kotroly umerické správosti výsledku. Eistuje ěkolik druhů rovic lieárí kvadratické epoeciálí logaritmické či goiometrické rovice. Pro účely ašeho studia se budeme zabývat rovicemi lieárími a kvadratickými.. LINEÁRNÍ ROVNICE Lieárí rovicí o jedé ezámé azýváme každou rovici + = 0 pro 0. V případě že se ezámá achází ve jmeovateli je ezbyté staovit podmíky řešitelosti rovice. Řešeím rovice v možiě R může být jedo číslo ekoečě moho řešeí popř. rovice emusí mít řešeí žádé: 0 jediým řešeím (kořeem) je = = 0 = 0 rovice má ekoečě moho řešeí tj. možia R = 0 0 rovice emá řešeí

18 7 Příklad. V možiě R řešte rovici: = Obě stray rovice vyásobíme ejmeším společým jmeovatelem (0) abychom odstraili zlomky. Rovice má po ekvivaletí úpravě ásledující tvar: = /.0 0 (7 ) +. = 6 (7 5) = = = 00 = 5 Rovice má jede koře K = {5}. Příklad. V možiě R řešte rovici: = 6 + Hodota ve jmeovateli esmí být rova 0 proto je uto vymezit podmíky ;. Výraz upravíme a obě stray rovice vyásobíme společým jmeovatelem ( )( + ). ( + )( + ) + ( ) ( )( + ) = ( + ) = 6 = = Vzhledem ke skutečosti že dle podmíek se rovice je prázdá možia = emá daá rovice řešeí tj. kořeem. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Soustava rovic je situace kdy hledáme více ezámých (proměých) které vyhovují všem rovicím současě.

19 8 Soustava dvou lieárích rovic o dvou ezámých y má ásledující tvar: + = + = Řešeím soustavy dvou lieárích rovic o dvou ezámých je uspořádaá dvojice [ ]. Řešeím soustavy tří lieárích rovic o třech ezámých je uspořádaá trojice [ ]. Metody řešeí soustav lieárích rovic:. metoda dosazovací z vybraé rovice se vyjádří jeda ezámá pomocí druhé ezámé a dosadí se do rovice druhé. Po ásledém vyřešeí jedé z proměých dojde ke zpětému dosazeí vypočteé proměé do prví rovice a určeí chybějící ezámé.. metoda sčítací jeda popř. obě rovice soustavy se vyásobí vhodým číslem tak aby se po sečteí rovic jeda z proměých vyloučila. Po vypočteí jedé ezámé lze tuto metodu již zkombiovat s metodou dosazovací tj. vypočteou ezámou dosadit do libovolé rovice a dopočíst chybějící proměou.. metoda srovávací z každé rovice se vyjádří jeda proměá a získaé výrazy se položí do rovosti. Vypočteou ezámou pak dosadíme do libovolé rovice a dopočítáme chybějící proměou.. metoda maticová do maticového schématu doplíme číselé koeficiety jedotlivých proměých a postupujeme pomocí úprav a trojúhelíkový tvar. 5. metoda grafická a základě grafického zázorěí soustavy rovic hledáme řešeí (apř. v případě soustavy lieárích rovic se jedá o průsečík přímek). Příklad. Řešte v R soustavu rovic: + = = + = řešíme metodou dosazovací = = + ( ) = = = y =. = = 6 = = Řešeím soustavy rovic je uspořádaá dvojice [; ].

20 9 Příklad. Řešte v R soustavu rovic: + = 5 = + = 5 = Řešíme metodou sčítací. + = /. ( 5) + = /. 5 = /. 5 = /. 0 5 = = 8 0 = = 9 9 = 76 9 = 9 = = Řešeím soustavy rovic je uspořádaá dvojice [; ]. Příklad 5. Řešte v R soustavu rovic: = 5 + = 0 Řešíme metodou srovávací tj. z každé rovice vyjádříme proměou : = = 5 + = 0 = 0 5 = 0 5 /.5 5( ) = (0 ) = 0 5 = 90 9 =. 9 = 95 = = 5 Řešeím soustavy rovic je uspořádaá dvojice [; 5].

21 0. LINEÁRNÍ NEROVNICE Pod pojmem erovice rozumíme zápis erovosti dvou výrazů v ichž se vyskytuje ezámá. Nerovice se tedy liší od rovice zaky erovosti < >. Při řešeí erovic používáme ekvivaletí úpravy: - výměa stra erovice se současou změou zaku erovice - ahrazeí stray erovice výrazem který je jí v celém oboru řešeí erovice rove - přičteí téhož výrazu ebo reálého čísla k oběma straám erovice - vyásobeí obou stra erovice týmž reálým číslem růzým od uly. Lieárí erovice se může vyskytovat ve tvaru > ebo + < 0 kde. POZOR! Násobíme-li obě stray erovice stejým kladým číslem zak erovosti se ezměí. Jiá situace ovšem astává ásobíme-li obě stray erovice stejým záporým číslem pak se zak erovosti obrátí. Příklad 6. V možiě R řešte erovici: /. (7 ) Možia všech řešeí lieárích erovice je K = ; ). Příklad 7. V možiě R řešte erovici: <

22 < Nerovici je uté převést do aulovaého tvaru kdy a pravé straě erovice bude číslo 0. Pak je třeba a levé straě erovice staovit společý jmeovatel a erovici upravit < ( + 6) < 0 < 0 Po ekvivaletích úpravách erovice postupujeme metodou ulových bodů. Zjistíme kdy se čitatel a jmeovatel rová ule. Tyto ulové body rozdělí možiu reálých čísel a itervaly. Ve vymezeých itervalech budeme pomocí dosazováí libovolého čísla z itervalu zjišťovat kladou či záporou hodotu čitatele jmeovatele a výsledého podílu. Nulové body: = = 0 = = 6 ( ; 6) ( 6; ) (; ) Dle posledího řádku v tabulce zjistíme který iterval vyhovuje erovici. V ašem případě se jedá o prostředí iterval kde se achází zaméko míus eboť výraz má být záporý. Nulové body do možiy všech řešeí dle zadáí erovice < 0 epatří tj. kořeem je = ( 6; ).. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH NEROVNIC Soustavu lieárích erovic řešíme aalogicky jako samotou erovici. Každou erovici soustavy vyřešíme zvlášť. Možiou všech řešeí soustavy erovic je průikem řešeí jedotlivých erovic soustavy.

23 Příklad 8. Řešte soustavu erovic: < < + /. ( ) < ( + ) < < > = ( ; = 7 ; + = = ( ; 7 ; + = 7 ;. KVADRATICKÁ ROVNICE Kvadratická rovice má tvar + + = 0 0. Čísla azýváme koeficiety kvadratické rovice: kvadratický čle lieárí čle absolutí čle Řešeím této rovice je = ± = ± pro D 0. Výraz = ozačujeme pojmem diskrimiat: > 0 rovice má dva růzé reálé kořey = 0 rovice má jede dvojásobý reálý koře < 0 rovice emá v oboru reálých čísel řešeí (řešeí eistuje v oboru kompleích čísel). Hodota diskrimiatu D rozhoduje o počtu řešeí kvadratické rovice. Kvadratickou rovici lze zapsat rověž jako souči kořeových čiitelů: + + = ( )( ) = 0.

24 Příklad 9. V oboru reálých čísel R řešte rovici: + = + = / ( + ) 0 + ( + )( + ) = ( + ) = = = 0 / ( ) + = 0 = () ( ) = + 6 = 0 = = = = = Příklad 0. = = = + 5 = 5 V oboru reálých čísel R rozložte kvadratické rovice a souči kořeových čiitelů: a) + = 0 b) 7 + = 0 c) 8 9 = 0 d) = 0 e) = 0 f) 5 = 0 g) = 0 a) + = ( )( + ) = 0 b) 7 + = ( )( ) = 0 c) 8 9 = ( + )( 9) = 0 d) = ( + 0)( ) = 0 e) = ( + 0)( + ) = 0 f) 5 = ( 5)( + 5) = 0 g) = ( ) = 0

25 .5 KVADRATICKÉ NEROVNICE Kvadratická erovice má jede z ásledujících tvarů: > < 0 0. Postup při řešeí kvadratické erovice spočívá v metodě ulových bodů které rozdělí číselou osu a itervaly. V těchto itervalech zjišťujeme pomocí dosazeí libovolého čísla z daého itervalu hodotu kladou ebo záporou. Kvadratické erovice lze řešit rověž pomocí grafického zázorěí kvadratické fukce kdy zjišťujeme která část fukce leží ad osou ( + + > 0) popř. pod osou ( + + < 0). Příklad. V možiě reálých čísel řešte erovici: ( )( ) 0 Nulové body: = 0 = 0 = = ( ; ) (; ) (; ) ( )( ) + + Hledaé itervaly vyhovující daé erovice jsou oba krají itervaly. Vzhledem ke skutečosti že se erovice může rovat ule patří do možiy všech řešeí erovice rověž vymezeé ulové body a tj. = (- ; ; )..6 EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE Epoeciálí rovice obsahují ezámou v epoetu moci. Při řešeí epoeciálích rovic využíváme ásledujících vztahů (platí pro všecha a b R ): f ( ) g( ) a) a a f ( ) g( ) f ( ) g( ) b) a b f log a g logb.

26 5 Příklad. Řešte v R erovici 6 8. Obě stray rovice postupě upravujeme tak aby byly vyjádřey ve tvaru moci o stejém základu ) ( Příklad. Řešte v R erovici ) ( ) ( LOGARITMUS ČÍSLA LOGARITMICKÁ ROVNICE Logaritmus kladého čísla při základu z ( z R ) je epoet y kterým musíme umocit daý základ z abychom dostali daé číslo : log z y y z

27 6 Např.: log 6 protože 6 log 5 8 protože Pro každé z R platí: ) log z z ) log z 0. Pro každé a b z R z platí: ) log ab log a log b z z z a ) log z log z a log z b b ) log a r log a r R. Pozámka. ) dekadický logaritmus log 0 ozačujeme jako log ) přirozeý logaritmus log e ozačujeme jako l (e - Eulerovo číslo). z r z Příklad. Vypočtěte ezámou z ásledujících rovic: a) log b) log c) l 0 d) log 6 y e) log y f) log 000 y g) log z 5 h) log z 7. 7 a) log 8 b) log 0 c) l 0 e y y d) log 6 y 6 y y y e) log y y 7 7 y y f) log 000 y y g) log z 5 z 5 z 5 h) log 7 z 7 z 7. z Příklad 5. Řešte v R rovici log Defiičí obor rovice: log

28 7 0 D. Levou strau rovice upravíme použitím pravidla o součtu logaritmů a pravou strau vyjádříme pomocí logaritmu. log log log ( ) log ( ) log 05 log 0 Řešeím rovice je protože druhý koře eleží v defiičím oboru rovice. Příklad 6. Řešte v R rovici log log log. Defiičí obor rovice: D. Levou strau rovice upravíme použitím pravidla o rozdílu logaritmů a pravou strau vyjádříme pomocí logaritmu. log log log log00 log 00 log log log

29 8 REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ. VLASTNOSTI REÁLNÝCH FUNKCÍ; DEFINIČNÍ OBOR FUNKCE Reálá fukce f jedé reálé proměé (dále je fukce) je možia všech uspořádaých dvojic y R R pro které platí: pro každé R eistuje ejvýše jedo y R tak že y f. Defiičí obor fukce f (ozačujeme D(f)) je možia všech jedo y R takové že y f. R pro která eistuje právě Obor hodot fukce f (ozačujeme H(f)) je možia všech y R pro která eistuje alespoň jedo R takové že y f. Mootóí fukce zahrují fukce rostoucí klesající erostoucí a eklesající. Jsou to takové fukce které splňují pro každou dvojici čísel ( M D( f )) ásledující podmíky: Jestliže f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) pak fukce f je v M rostoucí klesající eklesající erostoucí. Fukce klesající a rostoucí azýváme ryze mootóí. Fukce f je a D(f) prostá jestliže každým dvěma hodotám D( f ) kde přiřazuje hodoty f ( ) f ( ). Je-li fukce f prostá v možiě D(f) pak fukce která přiřazuje každému y H( f ) hodotu D( f ) tak že platí y f ( ) se azývá fukcí iverzí k fukci f (ozačujeme f ). Platí že D(f) = H( f ) H(f) = D( f ). Grafy fukcí f a f jsou avzájem souměré podle osy I. a III. kvadratu.

30 9 Příklad. Určete defiičí obor fukcí: a) f : y b) f : y c) : log9 f y. a) Protože jmeovatel zlomku musí být růzý od uly platí 0. Kořey kvadratické rovice 0 jsou. Tz. že. D f R b) Vzhledem k tomu že druhá odmocia je defiováa v R pouze pro ezáporá čísla budou platit ásledující podmíky: 0 0. Řešíme erovici v podílovém tvaru metodou ulových bodů. 0 D f c) Protože logaritmická fukce je defiováa pouze pro kladý argumet platí: D f `. LINEÁRNÍ FUNKCE Lieárí fukce je každá fukce daá předpisem y a b kde a b R a 0. Jejím grafem je přímka. Platí: a) D( f ) H( f ) R b) a 0 lieárí fukce je rostoucí a 0 lieárí fukce je klesající c) lieárí fukce je vždy prostá.

31 0 Je-li a 0 pak fukce y b přímka rovoběžá s osou. se ozačuje jako fukce kostatí. Grafem takovéto fukce je Příklad. Určete lieárí fukci f jestliže její graf prochází body a 5. Vypočtěte průsečíky grafu daé fukce se souřadicovými osami. Zjistěte zda a grafu fukce leží body A B. Lieárí fukce má rovici y a b. K určeí ezámých koeficietů a b využijeme dvou zadaých bodů které leží a grafu fukce a jejich souřadice musí vyhovovat rovici lieárí fukce. y a b : a b 5 : 5 a b Řešeím vziklé soustavy dvou rovic o dvou ezámých je a b. Hledaá fukce má tedy rovici y. Průsečíky grafu fukce přímky se souřadicovými osami: a) průsečík s osou má y 0 tz. že hledaý bod je b) průsečík s osou y má 0 tz. že hledaý bod je 0 0. Průsečíky se souřadicovými osami jsou X Y X 0 : 0 Y 0 y : y 0 y. Mají-li body A B ležet a grafu určeé fukce musí jejich souřadice vyhovovat rovici této fukce.

32 A y : 5 A f B : B f Fukce má rovici y Její průsečíky se souřadicovými osami jsou Ze zadaých bodů leží a grafu fukce pouze bod B. Příklad. Napište rovici lieárí fukce y a b která prochází body P 7a Q 5. Dosadíme oba body do rovice y a b : P 7 7 a b Q 5 5 a b Řešeím soustavy dostáváme a b. Rovice lieárí fukce je y.. KVADRATICKÁ FUNKCE Kvadratická fukce je každá fukce daá rovicí y a b c kde a b c R a 0. Grafem této fukce je parabola. Platí: a) D( f ) R b) a 0 ve vrcholu paraboly je miimum fukce fukce je omezeá zdola a 0 ve vrcholu paraboly je maimum fukce fukce je omezeá shora c) kvadratická fukce eí prostá. Příklad. Vypočtěte průsečíky s osami kvadratické fukce y 8.

33 Průsečíky s osami P... 0 ; P P 7 ; 8 7 y y 0 y 8 0 ; P 70 P 0 8 y.0 8 dostaeme řešeím rovic: Příklad 5. Určete kvadratickou fukci o íž víte že ( ) 5 f (6) 5 f 9 f. Hledaé koeficiety kvadratické rovice dostaeme řešeím soustavy rovic: y a b c 5 : 5 a b c 6 5 : 5 6a 6b c 9 : 9 6a b c Řešeím této soustavy je a b 8 c 7. Hledaá kvadratická fukce má rovici y EXPONENCIÁLNÍ FUNKCE Epoeciálí fukce je každá fukce daá rovicí y a kde a R +. Grafem je epoeciálí křivka která vždy prochází bodem 0. Platí: a) D( f ) R H( f ) R + b) a fukce je rostoucí 0 a fukce je klesající c) epoeciálí fukce je vždy prostá. V matematice je velmi důležitá epoeciálí fukce y e lim e 7. e kde e je Eulerovo číslo

34 Příklad 6. b Určete pro která reálá čísla b je fukce y b rostoucí. Daá fukce je fukcí epoeciálí kde a b b b. b Epoeciálí fukce je rostoucí jestliže a tz. že. b Řešíme vziklou erovici (převedeme ji ejdříve do aulovaého tvaru a pak do podílového tvaru dále pokračujeme metodou ulových bodů). b 0 b b 0 b + _ + Fukce je rostoucí jestliže b Příklad Je dáa epoeciálí fukce. y. Vypočtěte průsečíky s osami a hodotu fukce v bodě Průsečíky s osami P... 0 ; P 0... y dostaeme řešeím rovic: 0 Rovice emá řešeí tz. průsečík s osou eeistuje. 0 y y P 0. y y. y

35 .5 LOGARITMICKÁ FUNKCE Logaritmická fukce je každá fukce daá předpisem y log z kde z R +. Grafem je logaritmická křivka která vždy prochází bodem ; 0. Platí: a) D( f ) R H( f ) R b) z fukce je rostoucí 0 z fukce je klesající c) logaritmická fukce je vždy prostá. Pozámka. Logaritmická fukce y log je fukcí iverzí k epoeciálí fukci a y. Jejich grafy jsou souměré dle osy I. a III. kvadratu (přímka y ). a Příklad 8. Určete defiičí obor fukce log y. 6 0 Defiičím oborem každé logaritmické fukce jsou pouze kladá čísla a proto platí že 6 0 Trojčle 6 0 je v R erozložitelý (diskrimiat je záporý) hodota tohoto výrazu je vždy kladá tj Takže čitatel musí být také kladý. Řešíme tedy erovici D ( f ) Příklad 9. Určete pro které reálé hodoty parametru a je fukce y log a rostoucí. Logaritmická fukce je rostoucí je-li její základ z větší ež. a a Nerovici aulujeme a převedeme do podílového tvaru. a a 0 a

36 5 0 a Číslo je kladé a 0. Rozložíme a řešíme metodou ulových bodů. a a 0 a.

37 6 5 POSLOUPNOSTI A ŘADY 5. POJEM POSLOUPNOSTI ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI POSLOUPNOSTI Posloupost je fukce defiovaá a možiě přirozeých čísel. Její -tý čle je fukčí hodota fukce přiřazeá přirozeému číslu (ozačujeme a ) tedy a = f(). Grafem poslouposti je možia izolovaých bodů a. Zápis poslouposti: a a...a... resp. a. V tomto případě se jedá o posloupost ekoečou. Je-li defiičí obor poslouposti omeze tj. D =... 0 jedá se o 0 posloupost koečou začíme kde 0 N. a Protože posloupost je zvláštím případem fukcí může být stejě jako fukce rostoucí klesající erostoucí právě tehdy jestliže pro každé N platí eklesající kostatí a a a a a a a a a a. Zadáí poslouposti: ) výčtem (jsou-li koečé) ) graficky ) předpisem: a) vzorcem pro -tý čle b) rekuretě. Příklad. a) Napište prvích pět čleů poslouposti. b) Napište prvích pět čleů poslouposti a Vypočtěte a 00.. c) Napište prvích pět čleů poslouposti daé rekuretím vzorcem a a a a a.

38 7 a) a 7 a a 5 00 a a a b) a ; a ; a 8; a 6; a. 5 c) a a a a a 5 a a a a a a 5. ARITMETICKÁ POSLOUPNOST Posloupost se azývá aritmetická právě tehdy eistuje-li takové reálé číslo d tak že pro každé přirozeé číslo platí a + = a + d. V aritmetické poslouposti je rozdíl a a každých dvou sousedích čleů kostatí. Tuto kostatu d ozačujeme jako difereci aritmetické poslouposti. Je-li a) d 0 je aritmetická posloupost rostoucí b) d 0 je aritmetická posloupost klesající c) d = 0 je aritmetická posloupost kostatí. Základí vztahy platící v aritmetické poslouposti: ) a a d ) ar as r sd kde r s a a ) a

39 8 ) s ( a a ) kde s je součet prvích čleů aritmetické poslouposti. Vztah ) vyjadřuje že v aritmetické poslouposti je každý čle (mimo prvího) aritmetickým průměrem čleů sousedích proto se této poslouposti říká aritmetická. Příklad. V aritmetické poslouposti je a = d =. Určete a s. Dosadíme do vztahu a a d a dostáváme: a a d. a a. Dosadíme a = d = : 8 Dosadíme do vztahu pro součet s ( a a ) : s ( 8) s 8. Příklad. Určete a d v aritmetické poslouposti pro kterou platí: a a Dosadíme a a 6. a a d ; a a d a řešíme soustavu: a d a d Řešeím soustavy je a ; d. a d a 6. Příklad. Určete počet všech trojciferých čísel dělitelých sedmi. Prví trojciferé číslo dělitelé sedmi je 05 posledí trojciferé číslo dělitelé sedmi je 99. Ozačíme: a 05 a 99 d 7? a a + d Trojciferých čísel dělitelých sedmi je GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST Posloupost se azývá geometrická právě tehdy eistuje-li takové reálé číslo q tak že pro každé přirozeé číslo platí a + = a q. Platí tedy že v geometrické poslouposti je podíl a každých dvou sousedích čleů kostatí. Tuto kostatu q ozačujeme jako kvociet a geometrické poslouposti.

40 9 Základí vztahy které platí pro geometrickou posloupost: ) a a q ) a a q r s r s kde r s ) a a a ) s a q pro q q s.a pro q = kde s je součet prvích čleů geometrické poslouposti. Vztah ) vyjadřuje že v každé geometrické poslouposti je absolutí hodota každého čleu (s výjimkou prvího) geometrickým průměrem sousedích čleů proto se této poslouposti říká geometrická. Grafem geometrické poslouposti pro jejíž kvociet platí že q R je možia (izolovaých) bodů které leží a epoeciálí křivce eboť vzorec pro -tý čle a a q je epoeciálí fukcí proměé N. Příklad 5. Je dáa geometrická posloupost a q. Vypočtěte a s. 5 5 Dosadíme 5 a q do vztahu a a q s a q q 5 s5 s5 : a. a Příklad 6. V geometrické poslouposti je a Dle vztahu ) platí : a A) Pro q = : a 8 a. Určete a q a 0 s 0. 6 a6 a q q a 6 q q. Úloha má dvě řešeí q = q =. 8 a a a q 9 9 a0 aq a0 5.. s a q s 0. q

41 0 B) Pro q = : a a q s 0 =. 8 a a a0 aq a0.. 0 s 0. ( ) s 0. Příklad 7. V geometrické poslouposti platí: a + a = a + a = 8. Určeme tuto posloupost (tj. určete a q). Do daých dvou rovic dosadíme vztah ): a + a q = a q + a q = 8. Dostali jsme soustavu dvou rovic o dvou ezámých kterou řešíme. a ( + q ) = a q ( + q) = 8 Rovice avzájem vydělíme a vziklé zlomky krátíme. a q aq q a q q a q q q 8 8 q q 7 q q 0q 0 q q Úloha má dvě řešeí: A) q a B) q a NEKONEČNÁ GEOMETRICKÁ ŘADA Jsou-li a a a...a...čley poslouposti a pak výraz se azývá ekoečá řada. a + a + a a +... = a

42 Je-li dáa posloupost geometrická tj. a a q pak příslušá řada a a q a q... a q... a q se azývá ekoečá geometrická řada. Nekoečou geometrickou řadu lze sečíst právě tehdy jestliže je q. Říkáme že daá a řada je kovergetí. Její součet je s. q V opačém případě tj.q řada emá součet říkáme že je divergetí. Příklad 8. Zjistěte zda ásledující řady jsou kovergetí. V kladém případě určete součet řady. a) b). a) Jedá se o ekoečou geometrickou řadu s kvocietem q který splňuje podmíku a kovergece tj. áleží do itervalu (- ). Daou řadu lze sečíst podle vzorce s kde q a = q : s Řada je kovergetí její součet s 7. s. 7 b) Jedá se o ekoečou geometrickou řadu kde q splěa. Řada je divergetí (emá součet).. Podmíka kovergece eí

43 6 KOMBINATORIKA 6. FAKTORIÁL Je-li přirozeé číslo pak souči ( - )( - )( - )... se azývá -faktoriál a začí se!. Dále platí že 0! =. To zameá že! je defiová pro všecha N 0 tuto možiu ozačujeme jako N 0. Příklad. Upravte: a)! 0! 0!! b)!.! a)! 0!.. 0.! 0! ! 0! 0..! 0!. b) Daý výraz je defiová pro všecha přirozeá čísla která splňují ásledující podmíky: 0 0 Výraz postupě upravujeme!!!!. Příklad. Řešte v N rovici! 8.! Defiičí obor rovice: 0 0. V rovici odstraíme faktoriály algebraickými úpravami rovici zjedodušíme a kvadratickou rovici:! 8! ;

44 Defiičímu oboru rovice vyhovuje řešeí. 6. VARIACE A PERMUTACE Jsou-li k přirozeá čísla ( k ) a M je -prvková možia pak variace k-té třídy z -prvků je každá uspořádáa k-tice a a... a k jejíž složky jsou avzájem růzé prvky možiy M. Počet variací k-té třídy z prvků (bez opakováí) je! V k ( ) ( )( )...( k ). ( k)! k čiitelů Zvláštím případem je situace pro k = tedy tvoříme-li z daých rozdílých prvků růzé uspořádaé -tice. V tomto případě hovoříme o permutacích z prvků. Počet permutací z prvků (bez opakováí) je P( ) V ( ) ( )...! Příklad. Kolik eistuje trojciferých a čtyřciferých čísel s avzájem růzými ciframi jež lze apsat užitím cifer: a) ; b) 0. a) Každé trojciferé číslo vytvořeé z číslic je vlastě uspořádaá trojice vytvořeá z daých čtyř cifer (tj. záleží a pořadí prvků) jedá se tedy o variace třetí třídy ze prvků. Jejich počet je V (). Aalogicky každé čtyřciferé číslo vytvořeé z číslic je uspořádaá čtveřice vytvořeá ze prvků. Jsou to tedy variace čtvrté třídy ze prvků tj. permutace ze prvků. Těch je V () P()!. Trojciferých a čtyřciferých čísel s avzájem růzými ciframi vytvořeých z čísel je celkem 8. b) Opět tvoříme uspořádaé trojice ze prvků kterých je V (). Jejich počet však musíme sížit o všechy uspořádaé trojice začíající číslicí 0 ( jedalo by se totiž o dvojciferé číslo) těch je V () 6. Cifra 0 je totiž již pevě vázaá a prvím místě ve trojici a proto uvažujeme již je uspořádaé dvojice které jsou vytvořey ze zbylých tří cifer. Trojciferých čísel vytvořeých z číslic 0 je tedy V () V () 6 8. Počet čtyřciferých čísel vypočteme podobě: V () V () P() P()!! 6 8. Trojciferých a čtyřciferých čísel s avzájem růzými ciframi vytvořeých z číslic 0 je celkem 6.

45 Příklad. Zmeší-li se počet prvků o dva zmeší se počet permutací vytvořeých z těchto prvků dvacetkrát. Určete původí počet prvků. Původí počet prvků je tz. že počet permutací je P( )!. Bude-li prvků o dva méě bude permutací P( ) ( )!. Odtud lze pak sestavit rovici o ezámé kterou řešíme. P( ) P( ) 0 ( )!! 0 0( )!! 0( )! ( )( )! 0 ( ) Možia měla 5 prvků KOMBINAČNÍ ČÍSLO Nechť k N0 k. Pak číslo azýváme kombiačí číslo. k k Platí: ) k!... k! k! k! ) ) ) k k k k k. Příklad 5. Vypočtěte:

46 5 9 9! 9!! ! ! Příklad 6. Řešte v N rovici: Defiičí obor rovice. Vypočteme kombiačí čísla: !. Dále zjedodušíme kombiačí čísla s ezámou dle vztahu ): 0 Dosadíme do rovice:!!.!..!.!!.!! / Defiičímu oboru rovice vyhovuje pouze koře =. 6. KOMBINACE Řešme yí ásledující problém. Mějme -prvkovou možiu M a b c d z této možiy všechy její tříprvkové podmožiy. Kolik jich je? Velmi sado určíme počet těchto podmoži jejich výčtem: M a b c M a b d M a c d M b c d.. Vytvořme

47 6 Hledaé podmožiy jsou tedy čtyři. Důležité je že v ich ezáleží a pořadí prvků. Hovoříme o tzv. kombiacích třetí třídy ze prvků. Obecě lze říci že kombiace k-té třídy z prvků je každá k-prvková podmožia daé M k. Počet těchto kombiací je dá vztahem -prvkové možiy C k ( ). k Příklad 7. Vypočtěte kolika způsoby lze z pěti chlapců a osmi dívek vybrat pětičleou skupiu v íž jsou: a) právě tři chlapci b) aspoň tři chlapci. a) Máme-li vybrat z pěti chlapců tři vytváříme vlastě tříprvkové podmožiy způvodí 5 pěti prvkové možiy kterých je C (5). Skupiu doplíme ještě dvěma dívkami 8 z osmi počet možostí je C (8). Podle kombiatorického pravidla součiu vziklá kombiačí čísla vyásobíme. 5 8 Pětičleou skupiu o třech chlapcích lze vytvořit 80 způsoby. b) Mají-li být ve skupiě aspoň tři chlapci mohou tam být buď právě tři čtyři aebo pět chlapců. Každou z těchto možostí řešíme tak jako v případě předchozím a výsledky sečteme Pětičleou skupiu ve které jsou aspoň tři chlapci lze vytvořit způsoby.

48 7 7 ANALYTICKÁ GEOMETRIE 7. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY V ROVINĚ ) Parametrické rovice přímky Je-li přímka p určea bodem Aa aa eulovým směrovým vektorem ss s všechy body X y které a přímce leží platí: X A t. s t R a t. s potom pro y a t. s. Tyto rovice ozačujeme jako parametrické rovice přímky parametrem je reálé číslo t. Je-li směrový vektor s AB kde body Aa a Bb b parametru t vystihout těmito rovicemi polopřímku úsečku apod.: a) pro t = 0 dostaeme bod A áleží přímce p pak lze pomocí b) pro t = dostaeme bod B c) pro t 0 se jedá o aalytické vyjádřeí úsečky AB d) pro t 0 se jedá o aalytické vyjádřeí polopřímky AB e) pro t 0 AB. se jedá o aalytické vyjádřeí polopřímky opačé polopřímce ) Obecá rovice přímky Obecá rovice přímky je a by c 0 kde a b R (alespoň jedo z ich je eulové). Koeficiety a b jsou souřadice tzv. ormálového vektoru a b. Normálový vektor přímky je vektor kolmý k přímce p tz. je kolmý i k vektoru směrovému s který je v tomto případě s b a. ) Směricový tvar rovice přímky Směricový tvar rovice přímky je y k q kde k se azývá směrice přímky a platí že k tg. je směrový úhel přímky což je úhel který svírá přímka p s kladou částí osy 0 Příklad. Přímka p je dáa body A B. a) Napište její parametrické rovice rovici obecou i směricovou.. b) Zjistěte zda a této přímce leží bod M c) Zjistěte zda bod N 5 leží a úsečce AB. d) Určete směrový úhel přímky p. a) Směrový vektor přímky p je s AB s B A s5 Parametrické rovice přímky : X A ts t R..

49 8 5t y t. Obecou rovici dostaeme vyloučeím parametru t (prví rovici vyásobíme číslem druhou číslem 5 a obě rovice sečteme. 9 5t 5y 5 5t 5y 5y 0 Obecou rovici můžeme získat i tak že si vyjádříme ormálový vektor z vektoru směrového s s : s5 5. Normálový vektor pak dosadíme do obecé rovice přímky: 5y c 0. Koeficiet c vypočteme dosazeím bodu A (ebo B) do takto získaé rovice: A p: ( ) 5. c 0 c. Obecá rovice přímky je 5y 0. Směricovou rovici přímky získáme z obecé rovice osamostatěím proměé y: y 5 5. b) Má-li bod M ležet a přímce p musí jeho souřadice vyhovovat rovici této přímky. Proto souřadice bodu M dosadíme do rovice přímky (parametrické obecé či směricové). Dosazeím apř. do obecé rovice dostaeme: = 0 0 M p. Bod M eleží a přímce p. c) Máme-li zjistit zda bod N 5 leží a úsečce AB musíme jeho souřadice dosadit do parametrických rovic této přímky a vyřešit z obou rovic parametr t. Bude-li parametr t 0 což je podmíka pro úsečku AB pak bod N této úsečce áleží: 5t t 5 t t 5 5 Bod N je bodem úsečky AB. bod N je bodem úsečky AB. d) Směrový úhel přímky p zjistíme ze směricového tvaru přímky: y tg Směrový úhel přímky p je Příklad. Jsou dáy body R 5 S T. Napište rovici procházející bodem T tak aby byla a) rovoběžá s přímkou RS b) kolmá a přímku RS.

50 9 a) Ozačme hledaou přímku p. Protože přímka p je rovoběžá s přímkou RS mají stejé směrové vektory tz. že vektor RS je současě i směrovým vektorem přímky p: RS S R 7 s p. Ze směrového vektoru určíme pak vektor ormálový: s 7 7. p Obecá rovice přímky p: 7y c 0. T p :. 7 c 0 c. Obecá rovice přímky p je 7y 0. b) Ozačme přímku kolmou a přímku RS a procházející bodem T jako q. Protože q je kolmá a přímku RS musí být její ormálový vektor rove směrovému vektoru přímky RS : qrs RS 7. q q Obecá rovice přímky q : 7 y c 0 T q: 7. c 0 c 6. Obecá rovice přímky procházející bodem T a kolmé a přímku RS je 7 y 6 0. Polohové vztahy přímek v roviě Dvě přímky p q v roviě mohou být totožé rovoběžé (růzé) ebo růzoběžé. a) Totožé přímky (p=q) mají ekoečě moho společých bodů. Jejich ormálové (resp. směrové) vektory jsou a sobě závislé tj. k (resp. s ks ) k 0. p b) Rovoběžé přímky (růzé) emají žádý společý bod. Jejich ormálové (resp. směrové) vektory jsou rověž závislé. c) Růzoběžé přímky mají společý právě jede bod tzv. průsečík. Jejich ormálové (resp.směrové) vektory jsou ezávislé. Příklad. Určete vzájemou polohu přímek p q r jestliže p: y 0 q: y r: t y t t R. Rovice všech tří přímek vyjádříme v obecém tvaru. p: y 0 q: y y 0 r: t y y t 5 0 Přímky p r mají shodé ormálové vektory jejich obecé rovice se liší pouze v absolutím čleu a proto jsou přímky p r rovoběžé. Přímka q má ormálový vektor. Teto je s ormálovým vektorem přímek p r růzoběžý takže i přímka q je s přímkami p r růzoběžá. p q p q

51 50 Určíme průsečík P přímky p s přímkou q. p : y 0 q: y 0 0 y 0 P 0 Nyí vypočteme průsečík P přímky r s přímkou q. r: y 5 0 q: y y 9 P 9 Přímky p r jsou rovoběžé přímka q je s imi růzoběžá. Příslušé průsečíky jsou P 0 P KUŽELOSEČKY KRUŽNICE Kružice je možia všech bodů v roviě které mají od pevého bodu S stejou vzdáleost r (S je střed kružice r její poloměr). Rovice kružice: S 0 0 : y r. ) střed S je v počátku soustavy souřadic tj. ) střed S je v bodě S : Příklad. m m y r tzv. středová rovice y A By C 0 tzv. obecá rovice. Napište obecou rovici kružice jejímž průměrem je úsečka AB kde A B0 7. Střed S hledaé kružice je středem daé úsečky AB poloměr r kružice je vzdáleost bodů S A (resp. S B): A B S S6 r SA r 6 5. Středová rovice kružice je y 6 5. Odtud získáme algebraickou úpravou rovici obecou. Obecá rovice kružice je y 8y 7 0. Příklad 5. Určete vzdáleost bodu M 9 od středu kružice a) y 6 y 0 b) y 6 y 6 0.

52 5 a) Obecou rovici kružice převedeme do středového tvaru (tzv. doplěí a čtverec). y 6 y 0 y y y Daá kružice má střed S poloměr r = 6. Vzdáleost bodů MS: MS 9 5. Vzdáleost bodu M od středu kružice k je. b) Rovici krátíme číslem a pak obě proměé y doplíme a čtverec. y 6 y 6 0 /: y 8 y 8 0 y y y Tato rovice však evyhovuje žádé uspořádaé dvojici y protože levá straa rovice je vždy ezáporá pravá záporá. Daá rovice ebyla tedy rovicí kružice (ai žádé jié křivky). Nelze staovit vzdáleost bodu M od středu křivky která eeistuje. 7. VZÁJEMNÁ POLOHA PŘÍMKY A KRUŽNICE Přímka v roviě je a) sečou kružice má-li s í dva společé body b) tečou kružice má-li s í jede společý bod c) vější přímkou kružice emá-li s í žádý společý bod. Příklad 6. Vypočtěte délku tětivy kterou vyte přímka a poloměru r = 5. Rovice kružice je y 5. Z rovice přímky vyjádříme y. Řešíme soustavu rovic dosazovací metodou: y = 0 a kružici o středu S

53 = Řešeím je ; 6. Přímka je tedy sečou kružice. Dopočteme souřadice y ; y 7. 0 Délka tětivy je pak rova vzdáleosti bodu P 0 a bodu 6 7 d P P P.

54 5 LITERATURA. Bušek I. a kol.: Sbírka úloh z matematiky pro IV. ročík gymázií SPN Praha 99.. CibulkováE. KubešováN.: MATEMATIKA přehled středoškolského učiva Petra Velaová Třebíč Coufal J. a kol.: Přijímací zkoušky z matematiky a VŠE v letech 99 a 995 VŠE Praha GodulováM. JaůI.: Příklady k přípravě a přijímací zkoušky z matematiky OPF Karviá Kubát J.: Sbírka úloh z matematiky pro přípravu k přijímacím zkouškám a vysoké školy SPN Praha Pešková M. a kol.: Přehled středoškolského učiva Matematika ORFEUS Praha Stoklasová R.: Kvatitativí metody OPF Karviá 0.