Geometrie v rovině 1

Transkript

1 OSTRAVSKÁ UNIVERZITA V OSTRAVĚ PEDAGOGICKÁ FAKULTA Geometrie v rovině 1 Distanční text pro učitelství 1. stupně základní školy Renáta Vávrová OSTRAVA 2006

2

3 Obsah Úvod 5 1Přímkaajejíčásti 7 Klíčováslova... 7 Úsečka... 7 Polopřímka Řešenépříklady Neřešenépříklady Výsledky Polorovina, konvexní množina bodů, úhel 27 Klíčováslova Polorovina Konvexnímnožinabodů Úhel Řešenépříklady Neřešenépříklady Výsledky Grafické porovnávání, sčítání, odčítání a násobení úseček a úhlů 45 Klíčováslova Graficképorovnávání,sčítání,odčítáníanásobeníúseček Graficképorovnávání,sčítání,odčítáníanásobeníúhlů Řešenépříklady Neřešenépříklady Výsledky Vzájemná poloha přímek v rovině 59 Klíčováslova Závěr 61 Literatura 63 3

4

5 Geometrie v rovině 1 5 Úvod Tento distanční text je prioritně určený pro studium matematiky se zaměřením na primární vzdělávání. Pokrývá první část problematiky geometrie v rovině, tedy planimetrie- zahrnuje teorii a její aplikace v rámci tematických celků přímka a její části(úsečka, polopřímka), polorovina, konvexní množina bodů a úhel, a to včetně stručného přehledu polohových vlastností daných geometrických útvarů. Specifickou kapitolou v rámci této struktury je kapitola zabývající se porovnáváním, sčítáním, odčítáním a násobením úseček a úhlů. Na tento distanční text volně navazuje distanční text Geometrie v rovině 2, který s ním tvoří ucelený přehled geometrie v rovině. Zabývá se problematikou související s pojmy trojúhelník, lomená čára, n-úhelník(mnohoúhelník), kružnice a kruh. Spolu s didaktikou geometrie příslušného stupně pokrývají tyto dva texty potřebné znalosti a dovednosti, které v profilují budoucího učitele geometrie pro primární vzdělávání. V celém textu jsem se snažila vyhýbat problematice míry geometrických útvarů (délka úsečky, obsah obrazce, objem tělesa), pokud to nebylo nutné nebo se mi to nejevilo efektivní pro další studium. Nebudete tedy pracovat s čísly (velikostmi geometrických útvarů), ale téměř výhradně s množinami bodů. Všechny kapitoly textu mají jednotnou strukturu: stručný průvodce kapitolou vás uvede do její teoretické problematiky a seznámí s jejím obsahem, klíčová slova vám budou nápomocna při vytváření logické osnovy teorie v kapitole obsažené. Poté následují jednotlivé podkapitoly, které definují spolu související pojmy a vyslovují k nim příslušné věty a tvrzení. Tyto podkapitoly obsahují komentář, který vám podle mých několikaletých zkušeností s výukou daného tématu v daném studijním oboru pomůže konkrétní definici, větu nebo tvrzení pochopit ve všech jeho aspektech. Pro vaši kontrolu je každá podkapitola uzavřena souborem otázek. Doporučuji vám pečlivě se těmito otázkami zabývat - může se stát, že vlastní nalezení odpovědi, byť s využitím předchozí teorie, bude časově náročné, ale jen tak získáte velmi důležitou zpětnou vazbu, zda můžete ve studiu textu pokračovat dále. Tyto otázky nahrazují dotazy, které při kontaktní výuce na nižším stupni vzdělání vyslovoval učitel, přičemž zabezpečoval, aby studenti v případě naznalostí většího rozsahu nepokračovali dále. Obdobným testem vlastních znalostí a dovedností, a zejména jejich aplikací,

6 6 Úvod pro vás budou dva soubory příkladů, které jsou zařazeny jako poslední dvě podkapitoly každé kapitoly. Řešené příklady obsahují typové úlohy s návody řešení, neřešené příklady pak úlohy s výsledky. Znovu apeluji na vaši vůli příklady individuálně řešit, důkladně promýšlet alternativy postupu a snažit se najít řešení(nikoli listováním dozadu směrem k výsledkům, ale vždy dopředu směrem k teorii a jejímu vysvětlení). Výjimku v tomto smyslu tvoří kapitola Vzájemná poloha přímek v rovině; daná kapitola neobsahuje příklady- důvodem je skutečnost, že se podrobně touto problematikou zabýváme v rámci geometrie v prostoru(popisujeme vzájemnou polohu přímek v prostoru v kompletním přehledu). Celý text obsahuje relativně velké množství obrázků, které dokumentují popisované situace jak v teorii tak v zadání příkladů. Přesto velmi doporučuji, abyste i vy sami grafická znázornění(náčrty) tvořili. A to buď stejná, jejichž porovnání s obrázkem v textu vás ujistí o správnosti vašeho pochopení, nebo nová, která vám budou nápomocna při promýšlení různých aspektů teorie i při řešení úloh. Studujte geometrii vždy s tužkou a papírem, načrtávejte definice, věty, tvrzení, zadání úloh. Samozřejmostí jsou pak konstrukce úloh tam, kde ktomubudepřímozadánímvyzvání(sestojte,narýsujte,...).protytokonstrukce používejte kvalitní rýsovací pomůcky(trojúhelník s ryskou, kružítko, tužka), neboť součástí vašeho studia je i prohloubení správných geometrických návyků(čistotapráce,kulturaprojevu,...). Předpokládám, že to nebude poprvé, kdy budete pracovat s distančním textem. Tedy předpokládám již vyšší úroveň vašich schopností individuálního studia tohoto charakteru i vyšší míru zodpovědnosti za dosažení kvalitních výsledků. Jakkoli se geometrie může jevit některým z vás složitá a těžce pochopitelná, uvědomte si její praktický význam v činnostech člověka od starověku počínaje a její relativně jasné a jednočnačné odpovědi na všechny otázky, které z přirozené praktické činnosti vycházejí. Eukleidovská geometrie vám prostřednictvím Hilbertovy axiomatické soustavy poskytuje pravidla pro úžasnou hru s prostoremvevšechjehodimenzích.přeji,atovámisobě,abyvástatohrazaujala, bavilaaposkytovalavámradostzdosahovanýchvýsledků.každé Aha se počítá. Renáta Vávrová

7 Geometrie v rovině 1 7 1Přímkaajejíčásti Geometrie, se kterou se seznamujete již od první třídy základní školy, je geometrie eukleidovská. Tedy geometrie, která má jistou axiomatickou výstavbu (Hilbertova axiomatická soustava), zahrnující základní pojmy, relace a axiomy. Základními pojmy této eukleidovské geometrie v této výstavbě jsou pojmy přímka, rovina, prostor. Jejími relacemi jsou relace incidence(bod leží napřímce,přímkaprocházíbodem,přímkymajíspolečnýbod,...),relace uspořádání(bodležímezidvěmabody,...),relaceshodnosti,spojitostiarovnoběžnosti. Axiomy jsou sdruženy do skupin podle jednotlivých relací, tedy můžeme vyslovit axiomy incidence, uspořádání, spojitosti, shodnosti a rovnoběžnosti. Detailně o problematice axiomatické výstavby eukleidovské geometrie pojednává jiný text. Geometrie, kterou se tento materiál zabývá, je rovněž geometrií eukleidovskou. Tedy nevybočíme ze známých představ modelů bodu a roviny; většina definovaných pojmů nám bude minimálně intuitivně známá z dob předchozího studia. V této kapitole zavedeme pojmy úsečka, krajní body úsečky, polopřímka, počátek polopřímky a opačné polopřímky; naučíme se tyto geometrické útvary zobrazovat a popisovat; budeme s nimi pracovat jako s množinami bodůbudeme hledat jejich průniky, sjednocení a rozdíly. Tuto teorii známe z doby předchozích studií, dokonce většinou ze základní školy. Proto našim úkolem bude především vytvoření systému popisovaných znalostí a rozšíření jejich aplikací. Klíčová slova: přímka, úsečka, krajní body úsečky, polopřímka, počátek polopřímky, opačné polopřímky 1.1 Úsečka. Pojem úsečka budeme definovat pomocí relace uspořádání, tedy budeme používat pojem bod leží mezi dvěma body. Definice1.1.(Úsečka) Nechťjsouvrovině E 2 dánydvarůznébody A, B. Úsečkou ABnazvememnožinuvšechbodůroviny E 2,kteráobsahujeprávě

8 8 Přímka a její části body A, Bavšechnybody,kteréležímezinimi. Body A, Bsenazývajíkrajníbodyúsečky AB. Obrázek 1.1 Úsečka je tedy v rovině jednoznačně určena libovolnou dvojici navzájem různých bodů. Opravdu jednoznačně, protože nikde v definici úsečky není řeč o tom,žebyněkterýzbodů A, Bmělbýtprvní(počáteční)adalšídruhý(koncový),atedyžebydvanavzájemrůznébodyurčovalydvěnavzájemrůzné úsečky. Toto pravidlo možné zavést je, pracovali bychom pak s orientovanou úsečkou, ale pro tento text ho zavádět nebudeme. Všechny úsečky budeme považovat za neorientované úsečky. Symbolický zápis: Slovní vyjádření úsečka AB budeme symbolicky zapisovat AB. Tedy naopak každou dvojici velkých tiskacích písmen XY neoddělených čárkou musíme přečíst úsečka XY. Protože oba krajní body úsečky nejsou uspořádány, vyjadřují symbolické zápisy BAaABjednuatutéžúsečkuazáležíjennanás,kterýznichpoužijeme. Snad jen(nepovinně) pro pořádek je vhodnější zápis, ve kterém jsou krajní bodyúsečkyvabecednímpořadí.tedy: ABlépenež BA, XY lépenež Y X, EFlépenež FE,atd. Grafické znázornění úsečky AB vidíme na obrázku 1.1. Nejčastější chyby, které se při grafickém znázornění úsečky vyskytují, jsou tyto: 1. krátké čárky vyznačující krajní body úsečky nejsou kolmé k dlouhé čáře úsečky, viz obr. 1.2, Obrázek písmena popisující krajní body úsečky nejsou kolmá k dolnímu okraji, viz obr. 1.3.

9 Geometrie v rovině 1 9 Obrázek 1.3 Na obrázku 1.4 vidíme správná grafická znázornění úseček. Obrázek 1.4 Naučili jsme se definovat pojem úsečka a umíme vysvětlit pojem krajní bod úsečky. Víme, že úsečka je jednoznačně dána libovolnými dvěma různými body roviny E 2,tedy,žekaždédvarůznébodyroviny E 2 určujíprávějednuúsečku. Dokážeme každou úsečku zadat třemi způsoby: slovně, symbolicky a graficky. Nyní vyzkoušíme, zda jsme opravdu vše správně pochopili- odpovíme na následující otázky. Kdykoli si nebudeme úplně jisti odpovědí, situaci z otázky si přehledně načrtneme. Vyzkoušejme, zda jsme opravdu dobře porozumněli textu. 1.Určujíkaždédvabodyroviny E 2 alespoňjednuúsečku?neboliexistují vrovině E 2 nějakédvabody,kterébyúsečkuneurčily?pokudano,jaké? 2.Určujíkaždédvanavzájemrůznébodyroviny E 2 právějednuúsečku? 3. Kolika nejvíce způsoby lze symbolicky zapsat jednu a tutéž úsečku(určenou dvěma danými krajními body)?

10 10 Přímka a její části 4. Označuje symbolický zápis KL tutéž úsečku jako symbolický zápis LK? 5. Kolika způsoby lze slovně zadat jednu a tutéž úsečku(určenou dvěma danými krajními body)? 6.Označujeslovnízadáníúsečka MNtotéžjakoslovnízadáníúsečka NM? 7. Jak přečteme a symbolicky zapíšeme všechny úsečky graficky znázorněné na obrázku 1.4? Měli bychom odpovědět: 1-NE(dvatotožnébodyneurčíúsečku,bodymusíbýtrůzné),2-ANO,3- dvěma,4-ano,5-dvěma,6-ano,7-symbolicky: Y Xnebo XY (slovně: úsečka Y Xneboúsečka XY),symbolicky BAnebo AB(slovně:úsečka BA neboúsečka AB),symbolicky: EFnebo FE(slovně:úsečka EFneboúsečka FE),symbolicky: UV nebo V U(slovně:úsečka UV neboúsečka V U),symbolicky: KL nebo LK(slovně: úsečka KL nebo úsečka LK). Pokud jsme neudělali žádnou chybu, pak jsme základní teorii podkapitoly Úsečka úspěšně zvládli a bez obav se můžeme pustit do teorie k podkapitole Polopřímka. Příklady zkusíme až později(na závěr celé kapitoly). Pokud jsme naopak někde zaváhali, znovu si přečteme, načrtneme a promyslíme příslušnou část teorie. Bez úplného pochopení nebudeme pokračovat dále. 1.2 Polopřímka. Pojem polopřímka budeme definovat pomocí již zavedeného pojmu úsečka a relace uspořádání(bod leží mezi dvěma body). Definice1.2.(Polopřímka) Nechťjevrovině E 2 dánaúsečka AB.Polopřímkou ABnazvememnožinuvšechbodůroviny E 2,kteráobsahujevšechny bodyúsečky ABadálevšechnytakovébody X,prokteréplatí,žebod Bleží mezibody A, X. Bod A se nazývá počáteční bod polopřímky AB, resp. počátek polopřímky AB. Grafické znázornění úsečky AB vidíme na obrázku 1.5. Obrázek 1.5

11 Geometrie v rovině 1 11 Polopřímka je tedy v rovině určena libovolnou dvojici navzájem různých bodů. Narozdílodúsečkyalezáležínajejichpořadí.Jedenznichmusímeprohlásit za počátek polopřímky. Dva různé body tedy určují dvě různé polopřímky, viz obr Obrázek 1.6 Definice 1.3. (Opačné polopřímky) Polopřímky AX, AY se nazývají polopřímkynavzájemopačné,právěkdyžbod Aležímezibody X,Y. Viz obr Obrázek 1.7 Symbolický zápis: Slovní vyjádření polopřímka AB budeme symbolicky zapisovat AB. Tedy naopak každou dvojici velkých tiskacích písmen XY neod- dělenýchčárkousnadepsanoušipkou,takto XY, musíme přečíst polopřímka XY. První bod uvedený v symbolickém zápise je vždy počátkem polopřímky, toznamená,žesymbolickézápisy ABa BA vyjadřují dvě navzájem různé polopřímky. Šipka v symbolickém zápisu polopřímky musí být znázorněna vždy zleva doprava, symbol AB pro označení polopřímky BA(počáteční bod B) opravdu použít nelze. Nejčastější chyby, které se při grafickém vyznačení polopřímky vyskytují, jsou podobné chybám z kategorie grafického znázornění úseček: 1. krátké čárky vyznačující krajní body polopřímky nejsou kolmé k dlouhé čáře polopřímky, viz obr. 1.8, Obrázek 1.8

12 12 Přímka a její části 2. písmena popisující krajní body polopřímky nejsou kolmá k dolnímu okraji,viz.obr.1.9. Obrázek 1.9 Na obrázku 1.10 vidíme správná grafická znázornění polopřímek. Obrázek 1.10 Naučili jsme se definovat pojem polopřímka a umíme vysvětlit pojmy počáteční bod(počátek) polopřímky a polopřímky navzájem opačné. Víme, že každou polopřímku můžeme zadat třemi způsoby: slovně, symbolicky a graficky. Nyní vyzkoušíme, zda jsme opravdu vše správně pochopili- odpovíme na následující otázky. Kdykoli si nebudeme úplně jisti odpovědí, situaci z otázky si přehledně načrtneme. Vyzkoušejme, zda jsme opravdu dobře porozuměli textu. 1.Určujíkaždédvabodyroviny E 2 alespoňjednupolopřímku?neboliexistujívrovině E 2 nějakédvabody,kterébyúsečkuneurčily?

13 Geometrie v rovině Určují každé dva navzájem různé body roviny E 2 právě jednu polopřímku? 3. Kolika nejvíce způsoby lze symbolicky zapsat jednu a tutéž polopřímku (určenou dvěma danými různými body)? 4.Označujesymbolickýzápis KL tutéž polopřímku jako symbolický zápis LK? 5. Kolika způsoby lze slovně zadat jednu a tutéž polopřímku (určenou dvěma danými různými body)? 6. Označuje slovní zadání polopřímka M N totéž jako slovní zadání polopřímka NM? 7. Jak přečteme a symbolicky zapíšeme všechny polopřímky graficky znázorněné na obrázku 1.10? 8. Je první písmeno v symbolickém zápisu polopřímky vždy jejím počátkem? 9.NechťjsouvE 2 dánydvarůznébody U, V.Označujísymbolickézápisy UV a V U navzájem opačné polopřímky? Měli bychom odpovědět: 1-NE(dvatotožnébodyneurčípolopřímku,bodymusíbýtrůzné),2-NE (určují dvě různé polopřímky- polopřímky s různými počátky), 3- jedním, 4 -NE,5-jedním,6-NE,7-symbolicky: XY (slovně: polopřímka XY), symbolicky BA(slovně: polopřímka BA), symbolicky: EF (slovně: polopřímka EF), symbolicky: UV (slovně:polopřímka UV ),symbolicky: LK(slovně: polopřímka LK). Pokud jsme neudělali žádnou chybu, pak jsme základní teorii podkapitoly Polopřímka úspěšně zvládli a můžeme začít řešit příklady k celé kapitole Přímka a její části. Pokud jsme však někde zaváhali, znovu si přečteme, načrtneme a promyslíme příslušnou část teorie. Bez úplného pochopení nebudeme pokračovat dále.

14 14 Přímka a její části Ovládáme tedy již celou teorii kapitoly Přímka a její části, tedy teorii související s pojmy úsečka a polopřímka. Umíme definovat pojmy úsečka, krajní body úsečky, polopřímka, počátek polopřímky a polopřímky navzájem opačné. Jsme připraveni začít řešit příklady. Zde si prověříme, že jsme teorii pochopili správně a umíme ji aplikovat v konkrétní sitaci.nejdříve zkusíme pracovat s nápovědou(nemusíme ji používat), a to v podkapitole Řešené příklady, později bez ní(jen s kontrolním výsledkem) v podkapitole Neřešené příklady. Všechny příklady,nebude-livýslovněuvedenojinak,budemeřešitvrovině E Řešené příklady. Příklad 1.1. Nechť bod A leží mezi body B, C. Symbolicky zapište všechny dvojice polopřímek určených uvedenými body, pro které platí: (a) polopřímky splývají(jsou totožné), (b) polopřímky jsou navzájem opačné, (c) jedna polopřímka je vlastní podmnožinou druhé polopřímky, (d) průnikem polopřímek je úsečka, (e) průnikem polopřímek je právě jeden bod. Řešení: (a) BA= BC, CA= CB. Obrázek 1.11 (b) AB, AC. (c) (d) (e) AC BC, AC BA, BA= AB, AB BC CB= BC, AB AC= {A}. AB CB, AB CA. BC= AB, AB BC CA= BC, AC CA= AC, AC BA CB= BC, CB= AC, BA CA= BC.

15 Geometrie v rovině 1 15 Příklad1.2.Nechťjsoudánydvěpolopřímky AB, CDležícívtéžepřímce. Určete jaké geometrické útvary mohou být jejich průnikem. Jednotlivé případy symbolicky zapište a zobrazte. Řešení: (a) Průnikem je prázdná množina. AB CD= Obrázek 1.12 (b) Průnikem je jednoprvková množina. AB CD= {A}, resp. AB CD= {C} Obrázek 1.13 (c) Průnikem je úsečka AC. AB CD= AC (d)průnikemjepolopřímka CD. AB CD= CD Obrázek 1.14 Obrázek 1.15 Příklad1.3.Nechťjsoudányčtyřipodvounavzájemrůznébody K, L, M, N. Zjistěte, kolik úseček je těmito body určeno. Zjistěte, kolik různých úseček je těmito body určeno. Dříve, než začneme úlohu řešit, vysvětlíme si pojem po dvou navzájem různé body.naobrázku1.16vidímepříkladyumístěníčtyřbodů K, L, M, Ntak, žea)nejsourůzné,b)jsourůzné(alenepodvounavzájem),c)jsoupodvou

16 16 Přímka a její části navzájem různé. Vyjádření po dvou navzájem různé tedy znamená, že mezi zadanými body nelze najít žádné tři(natož více) bodů totožných. Kdybychom vynechalislovapodvounavzájemrůznéazadalibychom:nechťjedáno nrůzných bodů, znamenalo by to pouze, že všechny nejsou totožné, že nesplynou vjedenbod.aletopronašepožadavkynestačí.chceme,abyžádnédvanesplynuly. S tímto obratem se budeme setkávat vždy, když budeme chtít tuto situaci zadat(což v tomto textu bude relativně často). Obrázek 1.16 Řešení: 1.Víme,žeúsečkajeurčenadvěmarůznýmibody. 2. Situaci bychom mohli graficky znázornit a úsečky prostě spočítat. Tím začneme. Ze znázornění na obrázku 1.17 vidíme, že čtyřmi body je určeno celkem12úseček: KL,KM,KN,LK,LM,LN,MK,ML,MN,NK, NL,NM(obr.1.17a)a6různýchúseček: KL,KM,KN,LM,LN,MK (obr. 1.17b). Obrázek 1.17 Problémy začneme mít v případě, že dané body nebudou čtyři, ale bude jichmnohemvíce.spočítat,kolikúsečekjeurčenonapř.56bodyzapomocí grafického znázornění by bylo velmi neefektivní. Tedy pokusíme se najít pravidlo, které by nám umožnilo počítat s vysokými čísly. Použijemepůvodnízadání,tedyčtyřinavzájemrůznébody K,L,M,N.

17 Geometrie v rovině Zjistíme nejprve, kolik úseček je určeno tak, že jedním jejich krajním bodem je jeden ze zadaných bodů, např. bod K. Situaci graficky znázorníme.ptámese:skolikabodymohuspojitbod K?Odpovídáme:sám seseboune,takžesezbývajícímibody L, M, N.Tedycelkemsetřemi body.bodem Kjsouurčenytřiúsečky.Vizobr.1.17b. 4. Dále zjistíme, kolik úseček je určeno tak, že jedním jejich krajním bodem jedalšízezadanýchbodů,např.bod L.Neboliptámese:skolikabody mohu spojit bod L? Odpovídáme: sám se sebou ne, takže se zbývajícími body K, M, N.Tedycelkemsetřemibody.Bodem Ljsouurčenytři úsečky. Je pravda, že úsečku LK jsme již započítali v předchozím případě jakoúsečku KL(víme,že KL=LK),aletotovyřešímenakonciúlohy pro všechny úsečky najednou. 5. Takto bychom mohli postupovat u každého ze zadaných bodů. Každý z nich můžeme spojit se třemi ostatními body, každým z nich jsou určeny tři úsečky. Ptáme se: kolik úseček celkem je určeno čtyřmi body, když každým z nich jsou určeny tři? Jednoduchá slovní úloha. Stačí provést 4 3= Odpovídáme na první otázku ze zadání: Čtyřmi po dvou navzájem různými body je určeno 12 úseček(nikoli 12 různých úseček, protože jsme užitím výše uvedeného postupu započítali každou úsečku dvakrát). Různých úseček je tedy určena polovina, tedy 6. Odpovídáme na druhou otázkuzezadání:čtyřmipodvounavzájemrůznýmibodyjeurčeno6 různých úseček. Příklad1.4.Nechťjedáno56podvounavzájemrůznýchbodů A 1, A 2, A 3,...A 56.Zjistěte,kolikúsečekjetěmitobodyurčeno.Zjistěte,kolikrůzných úseček je těmito body určeno. Řešení: 1.Víme,žeúsečkajeurčenadvěmarůznýmibody. 2. Naštěstí jsme se už v předchozí úloze nespokojili s prostým spočítáním úseček pomocí grafického znázornění, nyní bychom určitě měli problém,

18 18 Přímka a její části ale našli jsme algoritmus výpočtu, který můžeme použít pro libovolný počet zadaných bodů. Použijeme jej i nyní. 3. Zjistíme nejprve, kolik úseček je určeno tak, že jedním jejich krajním bodemjebod A 1.Situacigrafickyznázorníme.Ptámese:skolikabody mohuspojitbod A 1?Odpovídáme:sámseseboune,takžesezbývajícími 55body A 2,A 3,...A 56.Bodem A 1 jeurčeno55úseček.vizobr.1.18a. Obrázek Dále zjistíme, kolik úseček je určeno tak, že jedním jejich krajním bodem jebod A 2.Neboliptámese:skolikabodymohuspojitbod A 2?Odpovídáme:sámseseboune,takžesezbývajícímibody A 1, A 3, A 4...A 56. Tedycelkems55body.Bodem A 2 jeurčeno55úseček.jepravda,že úsečku A 2 A 1 jsmejižzapočítalivpředchozímpřípadějakoúsečku A 1 A 2 (víme,že A 1 A 2 = A 2 A 1 ),aletotovyřešímenakonciúlohyprovšechny úsečky najednou. Viz obr. 1.18b. 5. Takto bychom mohli postupovat u každého ze zadaných bodů. Každý znichmůžemespojits55ostatnímibody,každýmznichjeurčeno55 úseček. Ptáme se: kolik úseček celkem je určeno 56 body, když každým z nich jich je určeno 55? Stejná jednoduchá slovní úloha, stačí provést 56 55= Odpovídáme na první otázku ze zadání: 56 po dvou navzájem různými body je určeno 3080 úseček(nikoli 3080 různých úseček, protože jsme užitím výše uvedeného postupu započítali každou úsečku dvakrát). Různých úseček je tedy určena polovina, tedy Odpovídáme na druhou

19 Geometrie v rovině 1 19 otázkuzezadání:56podvounavzájemrůznýmibodyjeurčeno1540 různých úseček. Příklad1.5.Nechťjedáno npodvounavzájemrůznýchbodů A 1, A 2, A 3,...A n.zjistěte,kolikúsečekjetěmitobodyurčeno.zjistěte,kolikrůzných úseček je těmito body určeno. Řešení: 1.Víme,žeúsečkajeurčenadvěmarůznýmibody. 2. Zjistíme nejprve, kolik úseček je určeno tak, že jedním jejich krajním bodemjebod A 1,neboliptámese:skolikabodymohuspojitbod A 1? Odpověď:sámseseboune,takžezbývácelkem n 1bodů,sekterými bod A 1 můžemespojit.bod A 1 můžemespojitsn 1body.Bodem A 1 jeurčeno n 1úseček.Vizobr.1.19a. Obrázek Dále určíme, kolik úseček je určeno tak, že jedním jejich krajním bodem jebod A 2,neboliptámese:skolikabodymohuspojitbod A 2?Odpověď: sámseseboune,takžezbývácelkem n 1bodů,sekterýmibod A 2 mohu spojit.bod A 2 mohuspojitsn 1body.Bodem A 2 jeurčeno n 1úseček. Viz obr. 1.19b. 4.Taktobychommohlipostupovatukaždéhozdaných nbodů.každý znichmůžemespojitsn 1dalšímibody.Každýmznichjeurčeno n 1úseček.Protožetěchtobodůjecelkem naprotožekaždýmznich jeurčeno n 1úseček,ptámese:kolikúsečekjeurčeno nbody,když každýmznichjejichurčeno n 1?Stačíprovést n (n 1).

20 20 Přímka a její části 5. Odpovídáme na první otázku ze zadání: n po dvou navzájem různými bodyjeurčeno n (n 1)úseček(nikolirůznýchúseček,protožejsme užitím výše uvedeného postupu započítali každou úsečku dvakrát). Různýchúsečekjetedyurčenapolovina,tedy n (n 1) 2.Odpovídámenadruhou otázkuzezadání: npodvounavzájemrůznýmibodyjeurčeno n (n 1) 2 různých úseček. Příklad1.6.Napřímcejedáno npodvounavzájemrůznýchbodů A 1, A 2, A 3,...A n.určete,kolikrůznýchúsečekjetěmitobodyurčeno.určete,kolik různých přímek je těmito body určeno. Řešení: Obrázek Víme,žeúsečkaipřímkajsouurčenydvěmarůznýmibody. 2.Zobrázku1.20vidíme,žeprozjištěnípočtuúsečekzadaných nbody můžeme postupovat úplně stejně jako v předchozí úloze. Počet úseček určených n různými body nezávisí na tom, zda tyto body(všechny, resp. více než dva) leží v téže přímce. Odpovídáme tedy: Počet úseček určených npodvounavzájemrůznýmibodyležícíchnatéžepřímceje n (n 1) 2. 3.Jinaktomubudevpřípadězjištěnípočtupřímek.Zobrázkuvidíme,že všech n bodů určuje stále jednu a tutéž přímku. Počet přímek určených nrůznýmibodyzávisínatom,zdatytobody(všechny,resp.vícenež dva) leží v téže přímce. Odpovídáme tedy: n po dvou navzájem různými body, které leží v jedné přímce, je určena jediná přímka. Příklad1.7.Nechťjedáno npodvounavzájemrůznýchbodů A 1, A 2, A 3,...A n,znichžprávětřiležívtéžepřímce.zjistěte,kolikrůznýchpřímekje těmito body určeno.

21 Geometrie v rovině 1 21 Řešení: Obrázek Víme,žepřímkajeurčenadvěmarůznýmibody. 2. Úlohu budeme řešit velmi podobně jako úlohu předchozí. Rozdíl bude v tom, že zatímco počet úseček určený danými body nezávisel na tom, zda víceneždvaznichležívtéžepřímce,početpřímekurčenýdanýmibody na této skutečnosti záviset bude. 3. Úlohu rozdělíme na dvě části. Nejdříve zjistíme, kolik různých přímek bybylourčeno npodvourůznýmibody,znichžbyžádnétřineleželyv téže přímce. Tady řešíme stejně jako případ úseček(přímka je stejně jako úsečka určena dvěma různými body). Odpovídáme: n po dvou různými body,znichžbyžádnétřineleželyvpřímce,bybylourčeno n (n 1) 2 různých přímek. 4.Alevsouladusezadánímprávětřiztěchto nbodůvpřímceleží.zjistíme tedy, kolik přímek by bylo určeno těmito třemi body, kdyby v přímce neležely. To umíme, odpovídáme: třemi body, které by neležely v přímce, bybylourčeno =3různépřímky.Namístotřípřímekurčízadané body pouze jednu. 5.Nyníjepotřebaodpočtupřímekurčenýchvšemi nbodyzapředpokladu, žežádnétřiznichneležívpřímce,odečístpočetpřímekurčenýchtřemi body,kterévpřímceležíapřičístjednupřímku(namístotříbudememít jednu). Tedy odpovídáme: n po dvou navzájem různými body, z nichž právětřiležívtéžepřímce,jeurčeno n (n 1) 2 3+1přímka. Příklad1.8.Nechťjedáno npodvounavzájemrůznýchbodů A 1, A 2, A 3,

22 22 Přímka a její části...a n,znichžprávě mležívtéžepřímce.zjistěte,kolikrůznýchpřímekje těmito body určeno. Řešení: Obrázek Úlohu budeme řešit velmi podobně jako úlohu předchozí s tím rozdílem, žepočetbodůležícíchvtéžepřímcejedánobecně(m N;2 m n). Tedy nejprve zjistíme počet přímek určených n body, z nichž žádné tři neleží v přímce. Od tohoto počtu odečteme počet přímek určených m body,znichžžádnétřineležívpřímce.kvýsledkupřičtemečíslo1. 2.Početpřímekurčených nbody,znichžžádnétřineležívtéžepřímce,je n (n 1).Početpřímekurčených m,znichžžádnétřineležívtéžepřímce, 2 je m (m 1). Odpovídáme na otázku: počet přímek určených n body, z 2 nichžprávě mležívtéžepřímce,je n (n 1) m (m 1) Neřešené příklady. Příklad 1.1. Určete, na kolik částí rozdělí přímku: a) Šest různých bodů, které na ní leží. Jednotlivé části přímky pojmenujte. b) n různých bodů, které na ní leží. Jednotlivé části přímky pojmenujte. Příklad 1.2. Podle situace znázorněné na obrázku 1.23 rozhodněte, které z následujících výroků jsou pravdivé: Obrázek 1.23

23 Geometrie v rovině 1 23 a) LM MN= LN, e) KN KN, b) MN KN, f) KL KM, c) KM LN= LM, g) KM LN= KN, d) LM MN=, h) KN LM. Příklad1.3.Napřímcejsoudánydányčtyřipodvounavzájemrůznébody A,B,C,Dvdanémpořadí.Určete: a) AB BA, b) BC DA, c) BA BC, d) BA CD, f) CA BC, g) AB CD, h) AC BD, i) AD BC, e) AC CD, j) AB CD. Příklad1.4.Napřímcejsoudánytřipodvounavzájemrůznébody R,S,T v daném pořadí. a) Kolik různých úseček je těmito body určeno? Symbolicky je vypište. Kolik z nich lze pojmenovat více způsoby? b) Kolik různých polopřímek je těmito body určeno? Symbolicky je vypište. Kolik z nich lze pojmenovat více způsoby? Příklad1.5.Napřímcejedáno56podvounavzájemrůznýchbodů A 1,A 2,...,A 56. a) Kolik různých úseček je těmito body určeno? Symbolicky vypište některé z nich. Kolik z nich lze pojmenovat více způsoby? b) Kolik různých polopřímek je těmito body určeno? Symbolicky vypište některé z nich. Kolik z nich lze pojmenovat více způsoby? Příklad1.6.Napřímcejedáno npodvounavzájemrůznýchbodů A 1,A 2,...,A n. a) Kolik různých úseček je těmito body určeno? Symbolicky vypište některé z nich. Kolik z nich lze pojmenovat více způsoby?

24 24 Přímka a její části b) Kolik různých polopřímek je těmito body určeno? Symbolicky vypište některé z nich. Kolik z nich lze pojmenovat více způsoby? Příklad1.7.Grafickyznázornětebody A,B,C,D,Etak,abyplatilysoučasně všechny následující vztahy. Vztahy symbolicky zapište. a)bod Bležínapolopřímce AC. b)úsečka ACječástípolopřímky BE. c)úsečky ACa BDmajíprávějedenspolečnýbod. Příklad1.8.Napřímcejedánopětpodvounavzájemrůznýchbodů A,B,C, D,E. a) Zjistěte, kolik různých úseček je těmito body určeno. Úsečky symbolicky zapište. b) Zjistěte, kolik různých polopřímek je těmito body určeno. Polopřímky symbolicky zapište. Příklad1.9.Napřímcejedánodvacetpětpodvounavzájemrůznýchbodů A 1,A 2,..., A 25. a) Zjistěte, kolik různých úseček je těmito body určeno. Kolik z těchto úseček lze symbolicky zapsat dvěma způsoby? b) Zjistěte, kolik různých polopřímek je těmito body určeno. Kolik z těchto polopřímek lze symbolicky zapsat více způsoby? Příklad Určete, kolika různými přímkami lze spojit deset po dvou navzájem různých bodů, z nichž: a)žádnétřineležívtéžepřímce, b)právěčtyřiležívtéžepřímce. Příklad Zjistěte, kolik různých úseček je určeno dvanácti po dvou navzájem různými body, z nichž:

25 Geometrie v rovině 1 25 a)žádnétřineležívtéžepřímce, b)právěpětležívtéžepřímce. Příklad Určete, v kolika různých bodech se protíná n po dvou navzájem různoběžných přímek, z nichž: a) žádné tři neprocházejí stejným bodem, b) právě m prochází stejným bodem. 1.5 Výsledky. 1a)Danébodyrozdělípřímkuna7částí:2polopřímkya5úseček.1b)Dané bodyrozdělípřímkuna n+1částí:2polopřímkyan 1úseček. 2a) Pravda, 2b) pravda, 2c) pravda, 2d) nepravda, 2e) pravda, 2f) nepravda, 2g) pravda, 2h) pravda. 3a) AB,3b) DB,3c) {B},3d),3e) {C},3f) BC,3g),3h) BC,3i) 3j) CD. BC, 4a)Danýmibodyjsouurčenytřirůznéúsečky: RS, ST, RT.Všechnytři úsečkylzepojmenovatdvěmazpůsoby: SR=RS, TS= ST, TR=RT.4b) Danými body jsou určeny čtyři různé polopřímky: RT, ST, TR, TS.Dvěz těchto polopřímek lze pojmenovat dvěma zpsůsoby: RT= RS, TR= TS. 5a)Danýmibodyjeurčeno =1540různýchúseček:např. A 1 A 2,A 1 A 3, A 1 A 4,...,A 2 A 3,A 2 A 4,...,A 3 A 4,...,A 54 A 55,A 54 A 56,A 55 A 56.Znichkaždouje možné pojmenovat dvěma způsoby, tedy 1540 úseček lze pojmenovat dvěma způsoby:např. A 1 A 2 = A 2 A 1,A 54 A 55 = A 55 A 54.5b)Danýmibodyjeurčeno 2 55=110různýchpolopřímek.Znichlze2 54=108pojmenovatvícezpůsoby (dvědvěma,dvětřemi,dvěčtyřmiatd.):např. A 1 A 2 = A 1 A 3 = A 1 A 4 = A 1 A 55 = A 1 A 56 (celkem55různýchoznačení), A 37 A 49 = A 37 A 50 = A 37 A 56, (celkem56 37=19různýchoznačení), A 50 A 55 = A 50 A 56 (celkemdvěrůzná označení). 6a)Danýmibodyjeurčeno n (n 1) 2 různýchúseček.např. A 1 A 2,A 1 A 3,A 1 A 4,...,A 2 A 3,A 2 A 4,...,A 3 A 4,...,A n 2 A n 1,A n 2 A n,a n 1 A n.znichkaždouje

26 26 Přímka a její části možnépojmenovatdvěmazpůsoby,tedy n (n 1) 2 úseček lze pojmenovat dvěma způsoby:např. A 1 A 2 = A 2 A 1,A n 3 A n 1 = A n 1 A n 3,A n 2 A n 1 = A n 1 A n 2. 6b)Danýmibodyjeurčeno2 (n 1)různýchpolopřímek.Znichlze2 (n 2) pojmenovat více způsoby (dvě dvěma, dvě třemi, dvě čtyřmi atd.): např. A 1 A 2 = A 1 A 3 = A 1 A 4 = A 1 A n 1 = A 1 A n celkem(n 1různýchoznačení), A n 2 A n 1 = A n 2 A n (celkemdvěrůznáoznačení). 7) Např. Obrázek a)Danébodyurčují10různýchúseček: AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE.8b)Danébodyurčují8různýchpolopřímek: AE, BE, CE, DE, EA, DA, CA, BA. 9a) Danými body je určeno 300 různých úseček. Každou z nich lze symbolicky zapsat dvěma způsoby. 9b) Dané body určují 48 různých polopřímek. 46 z nich lze zapsat více způsoby. 10a)Danébodylzespojit45různýmipřímkami.10b)Danébodylzespojit40 různými přímkami. 11a)Danýmibodyjeurčeno66různýchúseček.11b)Danýmibodyjeurčeno 66 různých úseček. 12a)Danépřímkyseprotínajív n (n 1) různých bodech. 12b) Dané přímky se 2 protínajív n (n 1) m (m 1) + 1 různých bodech. 2 2

27 Geometrie v rovině Polorovina, konvexní množina bodů, úhel V této kapitole zvedeme pojmy polorovina a úhel. Polorovinu se naučíme graficky znázornit a symbolicky zapsat. Budeme definovat pojmy hraniční přímka poloroviny a poloroviny navzájem opačné. Dále budeme zavádět pojem úhel, a to užitím pojmu polorovina; protože však budeme zavádět konvexní úhel jinak než úhel nekonvexní, předřadíme definici pojmu úhel ještě problematiku konvexních množin. Naučíme se tedy rozpoznat, kdy je množina bodů konvexní a kdy nikoli. Kapitolu ukončíme definicemi pojmů přímý, nulový a plný úhel (tyto úhly nelze definovat pomocí polorovin) a popisem významných dvojic úhlů(úhly styčné, vedlejší, střídavé, souhlasné). Tuto teorii známe z doby předchozích studií, dokonce většinou ze základní školy. Proto našim úkolem bude především vytvoření systému popisovaných znalostí a rozšíření jejich aplikací. Klíčová slova: polorovina, hraniční přímka poloroviny, opačné poloroviny, konvexní množina bodů, konvexní úhel, nekonvexní úhel, klasifikace úhlů 2.1 Polorovina. Pojem polorovina budeme definovat pomocí relace uspořádání, tedy budeme používat pojem bod leží mezi dvěma body. Definice2.1.(Polorovina) Nechťjsouvrovině E 2 dánypřímka pabod A, který na ní neleží. Polorovinou pa nazveme množinu všech bodů X roviny pa,prokteréplatí,žemezibody A,Xneležížádnýbodpřímky p. Přímka p se nazývá hraniční přímka poloroviny.(obr. 2.1.) Obrázek 2.1 Polorovina je tedy v rovině jednoznačně určena libovolnou přímkou a libovolnýmbodem,kterýnaníneleží.

28 28 Polorovina, konvexní množina bodů, úhel Symbolický zápis: Slovní vyjádření polorovina pa budeme symbolicky zapisovat pa.pokudjepřímka purčenadvěmarůznýmibody B,C,tedy p= BC, pak můžeme polorovinu pa též symbolicky zapsat BCAnebo CBA. Naopak, každou trojici velkých tiskacích písmen neoddělených čárkou s nadepsanou šipkou, takto BCA, resp. CBA, musíme přečíst polorovina BCA, resp. polorovina CBA-jednáseojednuatutéžpolorovinuurčenouhraničnípřímkou BC,resp. CB,abodemA. Definice2.2.(Opačnépoloroviny) Nechťjsouvrovině E 2 dánypoloroviny px, py. Tyto poloroviny se nazývají navzájem opačné poloroviny, právě když mezibody X,Y ležíbodpřímky p.(obr.2.2.) Obrázek 2.2 Naučili jsme se definovat pojem polorovina, umíme vysvětlit pojmy hraniční polopřímka poloroviny a poloroviny navzájem opačné. Umíme každou polorovinu zadat třemi způsoby: slovně, symbolicky a graficky. Nyní vyzkoušíme, zda jsme opravdu vše správně pochopili- odpovíme na následující otázky. Kdykoli si nebudeme úplně jisti odpovědí, situaci z otázky si přehledně načrtneme. Vyzkoušejme, zda jsme opravdu dobře porozuměli textu. 1.Určujíkaždápřímkaakaždýbodroviny E 2 alespoňjednupolorovinu? Neboliexistujívrovině E 2 nějakápřímkaabod,kterébypolorovinu neurčily? Pokud ano, jaké? 2.Určujíkaždétřibodyroviny E 2 alespoňjednupolorovinu?neboliexistují vrovině E 2 nějakétřibody,kterébypolorovinuneurčily?pokudano, jaké? 3.Určujíkaždápřímkaakaždýbod,kterýnaníneleží,roviny E 2 alespoň jednu polorovinu? 4.Určujíkaždétřipodvounavzájemrůznébodyroviny E 2 aspoňjednu polorovinu?

29 Geometrie v rovině Určujíkaždápřímkaakaždýbod,kterýnaníneleží,roviny E 2 právě jednu polorovinu? 6.Určujíkaždétřipodvounavzájemrůznébodyroviny E 2 právějednu polorovinu? 7. Kolika nejvíce způsoby lze symbolicky zapsat jednu a tutéž polorovinu určenou bodem P a přímkou s, která jím neprochází? Zapišme. 8. Kolika nejvíce způsoby lze symbolicky zapsat polorovinu XYZ? Zapišme. 9. Které z následujících symbolických zápisů označují jednu a tutéž polorovinu? KLM, KML, LMK, LKM, MKL, MLK. 10.Vrovinějedánapřímka a,boda(a a).tatopřímkajehraniční přímkouopačnýchpolorovin,kteréoznačíme π 1,π 2.Rozhodněte,kteréz následujících výroků jsou pravdivé: a) a π 1 a π 2, b) a π 1 a π 2, c) a π 1 a π 2, d) B π 1 D π 2 BD a, e)kterákolipřímkarůznáodpřímky a,kteráprocházíbodema,obsahujebodyoboupolorovin π 1,π 2. f)kterákolipolopřímkaspočátkem Apatříbuďpolorovině π 1 anebo polorovině π 1. g)je-libod Dkterýkolibodpoloroviny π 2,pakúsečka DAobsahuje aspoňjedenbodpoloroviny π 1. Mělibychomodpovědět:1-NE(pokudbybodleželnadanépřímce,polorovina byurčenanebyla),2-ne(pokudbyvšechnytřibodyleželyvtéžepřímce, polorovinabyurčenanebyla),3-ano,4-ano,5-ano,6-ne(dané body určují 3 různé poloroviny), 7- jedním: sp,8-dvěma: XY Z= Y XZ,9- KLM= LKM, KML= MKL, LMK= MLK,10-a)ANO,b)ANO,c)NE,d) NE, e) ANO, f) NE(existuje přímka, která patří oběma polorovinám- přímka a),g)ano(právějedenbodpoloroviny-bod A).

30 30 Polorovina, konvexní množina bodů, úhel Pokud jsme neudělali žádnou chybu, pak jsme základní teorii podkapitoly Polorovina úspěšně zvládli a bez obav se můžeme pustit do teorie k podkapitole Konvexní množina bodů. Příklady zkusíme až později, na konci celé kapitoly. Pokud jsme někde zaváhali, znovu si přečteme, načrtneme a promyslíme příslušnou část teorie. Bez úplného pochopení nebudeme pokračovat dále. 2.2 Konvexní množina bodů. Definice 2.3.(Konvexní množina bodů) Množina bodů se nazývá konvexnímnožina,právěkdyžprokaždédvajejírůznébody X,Yplatí,žeúsečka XY je její podmnožinou. Tedy množina, která obsahuje alespoň dva různé body U, V takové, že úsečka U V není její podmnožinou, není konvexní množina. To znamená, že pro rozhodnutí, zda daná množina bodů je či není konvexní, je potřeba hledat alespoň jednu dvojici navzájem různých bodů této množiny takových, že úsečka U V není její podmnožinou. Pokud najdeme, pak množina konvexní není. Pokud žádná taková dvojice bodů neexistuje, pak množina konvexní je. Na obrázku 2.3a je graficky znázorněná konvexní množina bodů K. Proč je konvexní?protože:aťzvolímevmnožině Kdvanavzájemrůznébody X,Y jakkoli, vždy je úsečka XY podmnožinou množiny K. Resp. nepodaří se nám najít žádnou dvojici navzájem různých bodů X, Y množiny K tak, aby alespoň jedenbodúsečky XY nebylbodemmnožiny K. Na obrázku 2.3b je graficky znázorněná nekonvexní množina bodů N. Proč je nekonvexní? Protože: bez problému najdeme v množině N dva navzájem různébody X,Y tak,abyalespoňjedenbodúsečky XY nebylbodemmnožiny N. Přestože takových dvojic bodů existuje nekonečně mnoho, pro určení konvexnosti postačí najít jedinou z nich. Obrázek 2.3

31 Geometrie v rovině 1 31 Podle této definice konvexní množiny není možné rozhodovat o konvexnosti jednoprvkové nebo prázdné množiny(obsahují méně než dva body), obě tyto množiny budeme považovat za konvexní. Věta 2.1. Průnik dvou konvexních množin bodů je konvexní množina bodů. Nyní bychom měli chápat pojem konvexní množina bodů, umět bezpečně rozhodnout o konvexnosti libovolné zadané množiny a umět uvádět vlastní příklady různých konvexních a nekonvexních množin bodů. Jedná se o pojem, se kterým se budeme v tomto textu relativně často setkávat, proto je jeho důkladná znalost a schopnost aplikace velmi důležitá. Vyzkoušíme, zda jsme opravdu vše dostatečně zvládli- odpovíme na následující otázky. Kdykoli si nebudeme úplně jisti odpovědí, situaci z otázky si přehledně načrtneme. Vyzkoušejme, zda jsme opravdu dobře porozuměli textu. 1.Nechťjevrovině E 2 dánamnožinabodů M.Lzerozhodnout,zdajetato množina konvexní, jestliže platí, že úsečka U V je její podmnožinou pro: a)každoudvojicinavzájemrůznýchbodů U,V množiny M, b)alespoňjednudvojicinavzájemrůznýchbodů U,V množiny M, c)právějednudvojicinavzájemrůznýchbodů U,V množiny M? 2.Nechťjevrovině E 2 dánamnožinabodů M.Lzerozhodnout,zdajedaná množina konvexní, jestliže platí, že úsečka U V není její podmnožinou pro: a)každoudvojicinavzájemrůznýchbodů U,V danémnožiny M, b) alespoň jednu dvojici navzájem různých bodů U, V dané množiny M, c)právějednudvojicinavzájemrůznýchbodů U,V množiny M? 3. Které z následujících množin bodů jsou konvexní? Přímka, úsečka, polopřímka, rovina, polorovina, trojúhelník, obdélník, kruh, krychle, koule. 4.Kterézmnožinbodůnaobrázkujsoukonvexní?

32 32 Polorovina, konvexní množina bodů, úhel Obrázek 2.4 Měli bychom odpovídat: 1- a) lze rozhodnout, konvexní, b) nelze rozhodnout, c) nelze rozhodnout, bylabykonvexnípouzevpřípadě,žebykromědanýchbodů U,V neobsahovalažádnéjiné,vevšechostatníchpřípadechbybylanekonvexní,2-a)lze rozhodnout, nekonvexní, b) lze rozhodnout, nekonvexní, c) lze rozhodnout, nekonvexní, 3- všechny, 4- jen trojúhelník. Pokud jsme neudělali chybu, pak jsme základní teorii podkapitoly Konvexní množinabodůúspěšnězvládliabezobavsemůžemepustitdoteoriekpodkapitole Úhel. Příklady zkusíme až později na konci celé kapitoly. Pokud jsme ovšem někde zaváhali, znovu si přečteme, načrtneme a promyslíme příslušnou část teorie. Bez úplného pochopení nebudeme pokračovat dále. 2.3 Úhel. Budeme definovat zvlášť úhel konvexní a zvlášť úhel nekonvexní. Konvexní úhel je možné definovat dvěma způsoby, pokaždé použijeme trojici nekolineárních bodů. Připomeňme si, že body se nazývají nekolineární, právě když neleží na téže přímce. Definice2.4.(Konvexníúhel) Nechťjsouvrovině E 2 dánytřinekolineární body A,V,B.Konvexnímúhlemnazvemeprůnikpolorovin AV B,BV A. Definice2.5.(Konvexníúhel) Nechťjsouvrovině E 2 dánytřinekolineární body A,V,B.Konvexnímúhlemnazvemesjednocenípolopřímek V X,kde X jelibovolnýbodúsečky AB(bod Xprobíháúsečku AB).

33 Geometrie v rovině 1 33 Symbolickýzápis: <) AV B,resp. <) BV A. Definice2.6.(Nekonvexníúhel) Nechťjsouvrovině E 2 dánytřinekolineární body A, V, B. Nekonvexním úhlem nazveme sjednocení polorovin opačných kpolorovinám AV B,BV A. Naobrázku2.5ajegrafickyznázorněnkonvexníúhel AV B,naobrázku2.5b nekonvexní úhel AV B. Samozřejmě obě tyto množiny bodů vyhovují definici konvexní, resp. nekonvexní množiny. Určitě v případě konvexního úhlu neexistuježádnádvojicejehorůznýchbodů U,V tak,žebyúsečka UV nebylajeho podmnožinou. V případě nekonvexního úhlu bychom dokázali najít alespoň jednudvojicijehorůznýchbodů U,V tak,žeúsečka UV neníjehopodmnožinou Obrázek 2.5 Dále budeme definovat úhly přímé, nulové a plné(průnik ani sjednocení polorovin daných třemi nekolineárními body zde nelze použít, tedy definice těchto úhlů nejsou zahrnuty v definicích předchozích). Definice2.7.(Přímýúhel) Nechťjsouvrovině E 2 dánytřipodvounavzájemrůznébody A,V,Btakové,žebod V ležímezibody A,B.Přímýmúhlem nazvemekaždouzpolorovinshraničnípřímkou AB.(Obr.2.6a.) Definice 2.8. (Nulový úhel) Nechťjsouvrovině E 2 dánytřipodvou navzájemrůznébody A,V,Btakové,žebod Aležímezibody V,Bnebobod Bležímezibody V,A.Nulovýmúhlemnazvemepolopřímku V A.(Obr.2.6b.) Definice2.9.(Plnýúhel) Nechťjsouvrovině E 2 dánytřipodvounavzájem různébody A,V,Btakové,žebod Aležímezibody V,Bnebobod Bležímezi

34 34 Polorovina, konvexní množina bodů, úhel body V, A. Plným úhlem nazveme rovinu AV B.(Obr. 2.6c.) Obrázek 2.6 Ve všech předchozích definicích(konvexní a nekonvexní úhel; přímý, nulový aplnýúhel)sebod V nazývávrcholúhlu,polopřímky V A, V Bsenazývají ramena úhlu. Ramena přímého úhlu jsou navzájem opačné polopřímky. Ramena nulového úhlu jsou navzájem totožné polopřímky a tento úhel neobsahuje žádné další body roviny. Ramena plného úhlu jsou navzájem totožné polopřímky a tento úhel obsahuje všechny další body roviny. Stejnějakovpřípaděkrajníchbodůúsečkyplatíizde,ženapořadíramen úhlu,polopřímek V A, V B,nezáleží,tedy: <) AV B=<) BV A.Pravidlo,které bere v úvahu pořadí ramen, zavést možné je, pracovali bychom pak s orientovaným úhlem, ale pro tento text ho zavádět nebudeme. Všechny úhly budeme považovat za neorientované úhly. Nyní budeme definovat dvojice úhlů styčných a vedlejších: Definice2.10.(Styčnéúhly) Nechťjsouvrovině E 2 dánydvakonvexní úhly <) KLM,<) PQR.Tytoúhlysenazývajístyčnéúhly,právěkdyžjejejich průnikem právě rameno každého z nich a zbývající ramena leží v navzájem opačných polorovinách s hraniční přímkou, v níž leží společné rameno.(obr. 2.7a.) Definice2.11.(Vedlejšíúhly) Nechťjsouvrovině E 2 dánydvastyčné úhly <) KLM,<) PQR.Tytoúhlysenazývajívedlejšíúhly,právěkdyžje jejich sjednocením právě úhel přímý.(obr. 2.7b.)

35 Geometrie v rovině 1 35 Obrázek 2.7 Nyní bychom měli chápat pojmy konvexní úhel, nekonvexní úhel, přímý úhel, nulový úhel, plný úhel, dvojice úhlů styčných, dvojice úhlů vedlejších. Vyzkoušíme, zda jsme opravdu vše dostatečně zvládli- odpovíme na následující otázky. Kdykoli si nebudeme úplně jisti odpovědí, situaci z otázky si přehledně načrtneme. Vyzkoušejme, zda jsme opravdu dobře porozuměli textu. 1.Určujekaždátrojicebodůvrovině E 2 alespoňjedenkonvexníúhelza předpokladu, že body jsou: a) kolineární, b) nekolineární? 2.Určujekaždátrojicepodvounavzájemrůznýchbodůvrovině E 2 alespoň jeden konvexní úhel za předpokladu, že body jsou: a) kolineární, b) nekolineární? 3. Kolika nejvíce způsoby lze symbolicky zapsat jeden a tentýž úhel určený body X,Y,Z,kde: a)bod Y jevrcholúhlu, b)polopřímky XY, XZjsouramenaúhlu? 4.Kolikrůznýchúhlůurčujetrojicepodvounavzájemrůznýchbodů A,B, Cvrovině E 2?Zapišmesymbolickyvšechnypřípady. 5. Které z následujících symbolických zápisů označují jeden a tentýž úhel? <) KLM, <) KML, <) LMK, <) LKM, <) MKL, <) MLK.

36 36 Polorovina, konvexní množina bodů, úhel 6. Jsou každé dva vedlejší úhly současně úhly střídavé? 7. Jsou každé dva střídavé úhly současně úhly vedlejší? Mělibychomodpovídat:1-a)NE(bodymusíbýtpodvounavzájemrůzné), b)ne(bodymusímýtpodvounavzájemrůzné),2-a)ano(přímý,nulový,plnýúhel),b)ano(konvexní,nekonvexníúhel),3-a)dvěmazpůsoby: <) XY Z =<) ZY X, b) dvěma způsoby: <) Y XZ =<) ZXY, 4 - tři různéúhly: <) ACB =<) BCA, <) CAB =<) BAC, <) ABC =<) CBA,5- <) KLM=<) MLK, <) KML=<) LMK, <) LKM=<) MKL,6-ANO,7- NE. Pokud jsme neudělali chybu, pak jsme základní teorii podkapitoly Úhel úspěšně zvládli. Pokud jsme někde zaváhali, znovu si přečteme, načrtneme a promyslíme příslušnou část teorie. Bez úplného pochopení nebudeme pokračovat dále. Ovládáme tedy již celou teorii kapitoly Polorovina, konvexní množina bodů, úhel. Jsme připraveni začít řešit příklady. Zde si prověříme, že jsme teorii pochopili správně a umíme ji aplikovat v konkrétní sitaci. Nejdříve zkusíme pracovat s nápovědou(nemusíme ji používat), a to v podkapitole Řešené příklady, později bez ní(jen s kontrolním výsledkem) v podkapitole Neřešené příklady. Všechnypříklady,nebude-livýslovněuvedenojinak,budemeřešitvrovině E Řešené příklady. Příklad2.1.Vrovině E 2 jsoudánypřímky p,q,r,sabody A,B,C,D,E,F,G (viz obrázek 2.8). Určete a symbolicky zapište: Obrázek 2.8

37 Geometrie v rovině 1 37 a) průnik polorovin ACD, DBC, b) sjednocení polorovin DBA, ACG, c) průnik polorovin ABD, BCE, d)průnikpolorovin ACF, BCG. Řešení: a) b) c) d) ACD DBC=<) CBD, viz obr. 2.9a, DBA ACG= DBC, viz obr. 2.9b, ABD BCE= ABD, viz obr. 2.9c, ACF BCG= p,vizobr.2.9d. Obrázek 2.9 Příklad 2.2. Jaký geometrický útvar může být průnikem poloroviny a polo-

38 38 Polorovina, konvexní množina bodů, úhel přímky, které leží v téže rovině? Řešení: Viz obr a) prázdná množina: b) právě jeden bod: c) úsečka: d) polopřímka: ABC KL=, ABC MN= {M}, ABC OP= OQ, ABC TU= V U. Obrázek 2.10 Příklad 2.3. Zjistěte, zda následující množiny bodů jsou konvexní: a) polorovina ABC bez přímky AB, b)polorovina ABCbezbodubodu C, c)množinabodů {A,B,C}. Řešení: a)mámerozhodnoutomnožině M,kde M= ABC AB.Vmnožině M se snažíme najít alespoň jednu dvojici různých bodů X, Y takových, že úsečka XY není podmnožinou množiny M(stačí, aby alespoň jeden bod této úsečky nebyl bodem množiny M. Ale protože žádná taková dvojice bodůneexistuje,tedyprokaždédvarůznébody X,Y množiny Mplatí, že úsečka XY je její podmnožinou, musíme rozhodnout, že množina M JE KONVEXNÍ. Viz obr. 2.11a.

39 Geometrie v rovině 1 39 b)mámerozhodnoutomnožině M,kde M= ABC {C}.Vmnožině M se snažíme najít alespoň jednu dvojici různých bodů X, Y takových, že úsečka XY není podmnožinou množiny M(stačí, aby alespoň jeden bod této úsečky nebyl bodem množiny M). Protože taková dvojice bodů existuje, musíme rozhodnout, že množina M NENÍ KONVEXNÍ. Pozn.: takových dvojic existuje nekonečně mnoho, jsou to všechny úsečky, jejichž krajními body jsou libovolné body množiny M, které procházejí bodem {C}. Viz obr. 2.11b. c)mámerozhodnoutomnožině M,kde M = {A,B,C}.Vmnožině M se snažíme najít alespoň jednu dvojici různých bodů X, Y takových, že úsečka XY není podmnožinou množiny M(stačí, aby alespoň jeden bod této úsečky nebyl bodem množiny M). Protože taková dvojice bodů existuje, musíme rozhodnout, že množina M NENÍ KONVEXNÍ. Pozn.: takovédvojiceexistujíprávětři A,B;A,C;B,C-prokaždouznichplatí, že úsečka, která body dvojice spojuje, není podmnožinou množiny M. Viz obr. 2.11c. Obrázek Neřešené příklady. Příklad 2.1. V situaci znázorněné na obrázku 2.12a rozhodněte, zda platí: a) ED <) FAB, d) AD <) EAB, b) E <) DCB, e) AF <) ABF, c) <) ECB= <) ACD, f) <) BDE <) EDB=.

40 40 Polorovina, konvexní množina bodů, úhel Obrázek 2.12 Příklad 2.2. Jaký geometrický útvar může být průnikem konvexního úhlu a polopřímky ležících v téže rovině? Graficky zobrazte jednotlivé případy. Příklad 2.3. Symbolicky zapište všechny různé konvexní úhly vyznačené na obrázku 2.12b a určete: a) <) V RU <) URT, d) <) URS <) TRS, b) <) V RT <) URS, e) <) V RT <) TRS, c) <) V RT <) TRS, f) <) URS <) URT. Příklad 2.4. Určete a graficky znázorněte, jaký geometrický útvar může být průnikem dvou polorovin, které jsou podmnožinami téže roviny. Příklad 2.5. Určete a graficky znázorněte, jaký geometrický útvar může být průnikem poloroviny a rovinného pásu ležících v téže rovině. Příklad 2.6. Rozhodněte, zda jsou uvedené množiny konvexní: a) <) AV Bbezsvéhoramene, b) <) AV Bbezsvéhovrcholu, c) <) AV Bbezsvéosy. Příklad 2.7. Rozdělte rovinu na dvě části tak, že: a) obě části roviny jsou konvexní,

41 Geometrie v rovině 1 41 b) jedna část roviny je konvexní, druhá část roviny nekonvexní, c) obě části roviny jsou nekovexní. Příklad2.8.Zvoltevrovinědvěrůznénekonvexnímnožinybodů U 1,U 2 tak, že jejich sjednocením je: a) konvexní množina bodů, b) nekonvexní množina bodů. Příklad2.9.Zvoltevrovinětřirůznékonvexnímnožinybodů A,B,Ctak, aby množina M byla nekonvexní pro: a) M=(A B) C, b) M=(A B) C. 2.6 Výsledky. 1a)ANO,1b)ANO,1c)ANO,1d)ANO,1e)NE,1f)NE. 2a) Polopřímka: např. V O 1 <) AV B= V O 1, R 1 O 1 <) AV B= Q 1 O 1, V A <) AV B= V A,vizobr.2.13a.2b)Úsečka:např. P 1 R 1 <) AV B= P 1 Q 1, viz obr. 2.13b. O 2 R 2 <) AV B= P 2 Q 2, O 3 R 3 <) AV B= O 3 Q 3,vizobr. 2.14a. 2c) Bod: např. PV <) AV B = {V }, QR <) AV B = {Q}.2d) Prázdná množina: např. OP <) AV B =, QR <) AV B =,vizobr. 2.14b. Obrázek 2.13

42 42 Polorovina, konvexní množina bodů, úhel Obrázek Vyznačenojecelkemšestrůznýchkonvexníchúhlů: <) V RU =<) URV, <) V RT=<) TRV, <) V RS=<) SRV, <) URT=<) TRU, <) URS=<) SRU, <) SRT=<) TRS;platía) <) V RT,b) <) URT,c) <) V RS,d) <) TRS,e) RT, f) <) URS. 4- Celkem pět různých geometrických útvarů: prázdná množina, přímka, konvexní úhel, polorovina, rovinný pás. 5- Celkem čtyři různé geometrické útvary: prázdná množina, přímka, rovinný pás, část roviny(hraniční přímka poloroviny různoběžná s hraničními přímkami rovinného pásu). 6a)ANO,6b)ANO,6c)NE. 7a) Např. polorovina a její doplněk v rovině. 7b) Např. obdélník a jeho doplněk vrovině,konvexníúhelajehodoplněkvrovině.7c)např.kružniceajejí doplněk v rovině. 8) Např. viz obrázek Obrázek 2.15

43 Geometrie v rovině ) Např. viz obrázek Obrázek 2.16

44

45 Geometrie v rovině Grafické porovnávání, sčítání, odčítání a násobení úseček a úhlů Jižvúvodutohototextujsmesivysvětlili,žepokudtonebudenutné,nebudeme pracovat s pojmem míra geometrického útvaru(tedy ani s jejich velikostmi- délkami úseček, obsahy obrazců ani objemy těles). Pokud budeme potřebovat úsečky a úhly porovnávat, sčítat, odčítat nebo násobit, budeme to provádět graficky. Jak konkrétně budeme postupovat si ukážeme v této kapitole. Praktická aplikace této teorie je vyučována již na prvním stupni základní školy, tedy kapitola by nám měla přinést především obohacení současných dovedností teoretickým základem. Klíčová slova: přenesení úsečky, grafické porovnávání úseček, grafický součet úseček, grafický rozdíl úseček, grafický násobek úsečky, střed úsečky, osa úsečky, shodnost úhlů, přenesení úhlu, grafické porovnávání úhlů, grafický součet úhlů, grafický rozdíl úhlů, grafický násobek úhlu, osa úhlu, pravý úhel 3.1 Grafické porovnávání, sčítání, odčítání a násobení úseček. Pokud v této kapitole nemáme používat pojem pojem délka úsečky, nemůžeme úsečky porovnávat podle jejich délek stejně jako nemůžeme jejich délky sčítat, odčítat ani násobit(tedy nebudeme pracovat s čísly). Budeme úsečky porovnávat, sčítat, odčítat a násobit GRAFICKY. Pro všechny tyto dovednosti musíme nejprve umět přenést úsečku na danou polopřímku. Definice 3.1.(Přenášení úsečky na danou polopřímku) Přenést úsečku AB na polopřímku CD znamená sestrojit na polopřímce CD úsečku CE shodnousúsečkou AB.(Vizobr.3.1.) Obrázek 3.1