Integrální rvnce a jejch pužtí př některých prblémech mechanky, matematcké fysky a technky Užtí tere suměrných ntegrálních rvnc In: Slmn Grgrjevč Mchln (authr); Ott Vejvda (translatr): Integrální rvnce a jejch pužtí př některých prblémech mechanky, matematcké fysky a technky. (Czech). Praha: Přírdvědecké vydavatelství, 952. pp. 270 293. Persstent URL: http://dml.cz/dmlcz/402777 Terms f use: Přírdvědecké vydavatelství Insttute f Mathematcs f the Czech Academy f Scences prvdes access t dgtzed dcuments strctly fr persnal use. Each cpy f any part f ths dcument must cntan these Terms f use. Ths dcument has been dgtzed, ptmzed fr electrnc delvery and stamped wth dgtal sgnature wthn the prject DML-CZ: The Czech Dgtal Mathematcs Lbrary http://dml.cz
Zřejmě q(t0) < pr lbvlné č0 a K ( M ) <? ( ť M -, t<t0. (6) Chceme-l vyšetřvat pstupné aprxmace pr nějaké t, pevně zvlíme lbvlné í0, í0 t. Užjeme-l nervnstí (6), najdeme: K(M) (7) Z psledníh dhadu plyne knvergence pstupných aprxmací, stejnměrná pr 0 t í. Jestlže hraníce L je hladká a se spjtu křvstí, pak dhad pr ř )le: «I ^ O K - ^ f ^. (8, Zde r je Eulerva funkce gamma a knstanta p závsí na tvaru hrance. KAPITOLA u2t t h e r e 5 suměrných n t e g r á l n í c h rvnc 60. Vlastní kmt/ strun/. Uvažujme nehmgenní strunu délky l, jež v rvnvážné plze zaujímá úsečku <0, V) na se abscs a je pdrbena napětí T. Kncvé bdy struny budeme pvažvat za pevné. Nechť na strunu půsbí spjtě rzlžená síla F(x, ť). Tím myslíme, že v kamžku t půsbí na element struny (x, x + dx) síla rvnající se F(x, t) dx. Budeme dále předpkládat, že tat síla půsbí klm na strunu. Rvnce pr příčné kmty struny, jak je znám, má tvar kde Q(X) je hustta struny v bdě s úsečku x. Vz [6], 270
Mm rvnc () musí výchylka struny u(x, t) d rvnvážné plhy vyhvvat ještě pdmínkám: a) k r a j v ý m u(0, t) u(l, t) 0, (2) jež vyjadřují, že knce struny jsu upevněny; b) pčátečním u(x, 0) f(x), ut(x, 0) <p(x),, (3) kde <p(x) a f(x) je pčáteční rychlst resp. pčáteční výchylka struny. Abychm určl vlastní k m t y struny, řešme nejprve pmcnu úlhu. Najděme t v a r struny, jejíž knce jsu upevněny a jež je v rvnváze vlvem spjtě rzlžené síly F(x). Rvnce () přejde v tm případě na rvnc rvnváhy struny. - S + T ^» - 0 <4> ' Uvažujme specální případ, k d y na celu strunu, s výjmku jednh bdu x s, nepůsbí zatížení a v bdě s půsbí bdvá síla, jež se číselně rvná jedntce. V našem případě F(x) 0 pr x 4 s; na každém z ntervalů má rvnce (4) tvar d2w 2, dx dkud u «jx + u OÍ2X + ^ pb 0 < x < s, /? 2 p r s < x < l. Obr. 7. Pslední rvnce ukazují, že na každém z ntervalů <0, s) a (s," l) ná struna t v a r přímky (br. 7). Pněvadž kncvé bdy struny jsu upevněny, platí rvnce (2). Užjeme-l jch, nalezneme, že ^ 0 a (82 tx2l, a tedy u (0 < x < 5), í «rx l) (s < x<l l). [x «2 Zbývá" určt kefcenty a x a a 2. Všmněme s především th, že pr x s je struna spjtá a ba výrazy pr u musí v tmt bdě suhlast. T dává. cjs OÍ.JJ, s). (5) / 27
Sučet vertkálních průmětů napětí na bu částech struny se musí rvnat jedné velkst síly půsbící v bdě s: Ť(smy + síny2) čl, pněvadž úhly yx a y2 jsu malé, ^ ( t g y + tgy.). Avšak t g y x í^ tgy 2 a 2. Odtud r ( «- «). (6) Určíme-l a ^ c2 z rvnc (5) a (6) a dsadíme-l je d (4), dstaneme u x(l s) ( <: x <: s), IT s(l x) {s <:x ). IT Zaveďme značení 0(x, s) x(l s) (0 ^ X s(l x) {s x 5), ' (?) l). Ptm y G(x, s). (8) Pr další výklad je důležté s všmnut th, že funkce G(x, s) je suměrná: G{x, s) (Gs, x). (9) Nyní už není btížné určt rvnvážný tvar struny př půsbení lbvlné, spjtě rzlžené síly F(x). Vskutku, jestlže v bdě s půsbí síla, rvná nklv jedntce, nýbrž nějaké velčně F, bude příslušná výchylka rvna p Nechť nyní v bdech slt s2,...,sn struny půsbí síly Fv F2,..., F. Ptm F u X^-G(x,sk). k 272
Přejdeme-l v tét rvnc k lmtě, nalezneme, že v případě spjtě rzlžené síly s husttu F(s) u - J(x, F(s) ds. s) (0)! 0 Ze vzrce (0) lehce získáme rvnc pr kmty struny. Pdle ďalembertva prncpu stačí přpjt k síle F(s) ds, půsbící na element d2u struny ds, nercální sílu" Q(S) ds Ptm dstaneme u(x, t j j r f G(*>s) d s ~ Y f e ( 5 ) G{x s) ' dh d t} ds () ntegr-dferencální rvnc pr kmty upevněné struny, jež je ekvvalentní dferencální rvnc () s krajvým pdmínkam (2). Síla F může závset na čase ptm v rvnc () je třeba psát F(s, t) míst F(s). Jestlže F(s, ť) 0, dstaneme ntegr-dferencální rvnc vlastních kmtů upevněné struny n(x, f.e(*) «) ds. (2) Budeme hledat perdcká řešení tét rvníce; plžme u(x, t) v(x) sn(rí + e). Dsadíme-l tt d (2), zjstíme, že v(x) vyhvují ntegrální rvnc v{x) ~Y J ew ( x > s (4) 0 Jestlže je struna hmgenní, pak Q(X) Q knst. V tm případě v(x) vyhvuje suměrné ntegrální rvnc v(x)-jufg(x,s)v(s)ds0;/u^. 7 2 -t (5) 273
V becném případě není rvnce (4) suměrná. Lze j však lehce učnt suměrnu (vz 8), jestlže j násbíme výrazem V^(as) a plžíme v(x) ]/e{x) <p(x), G(x, s) ]/e(z) e(s) K{x, s). Ptm dstaneme rvnc 2 <p[x) - A f K(x, s) <p(s) ds 0; A (6) 0 -L jejíž jádr je suměrné. Dkažme, že charakterstcká čísla rvnce (6) jsu kladná. Nechť <p(x) a A vyhvují rvnc (6). Klademe-l tp(x) v(x) ] / Q ( X ), najdeme, v2 že v(x) vyhvuje rvnc (4), v které je nahrazen A: v{x) A / e ( s ) G(x, s) v(s) ds 0. (4j) Ze (7) je patrn, že pr x 0 a pr x l se G(x, s) rvná nule. Avšak ptm ze (4j) plyne, že d(0) v{l) 0. (7) Dervváním rvníce (4) djdeme k dferencální rvnc v"(x) + A Q{X) V(X) 0. (8) Přpuštějíce, že v(x) může být kmplexní, násbme (8) výrazem v(x) a zntegrujme: fv"(x) v(x) da; + IJQ{X) \V(X)\2 dx 0. ~ (9) Prvý ntegrál ntegrujme per partes. V důsledku rvnc (7) ] _ ' /v"(x) v(x) dx / í/(a;) 2 dx. Rvnce (9) nyní dává f\v'(x)\2dx A ^ 2 /Q(X)\V (X)\ 274 >0. DX
Jestlže určíme charakterstcká čísla Xn rvnce (6), určíme tím. také frekvence charakterstckých kmtů struny, jež se rvnají Příslušné charakterstcké funkce určují tvar struny kmtající s fre,, Vn kvenc : \ Q(x) Charakterstcké funkce a charakterstcká čísla suměrné rvnce (6) mhu být určeny methdam, vylženým v kap. část I. 6. Kmty struny, jejíž hustta se mění lneárně. P r u r č t s t v ý p č t ů budeme předpkládat, že l l a hustta g(x) je dána rvncí Q(x) e (l + X). () Ptm rvnce (4), 60 nabude tvaru v(x) ^ J ( + s) G(x, s) v(s) ds 0. Násbme tut rvnc / l + x a plžme cp(x) ]/ + x v(x), K(x, s) l'(l + x ) ( l + «) G(x, s); X - (2) T ' Funkce (p(x) vyhvuje ntegrální rvnc cp(x) X f I(x, s) q>(s) ds 0. (3) Všmněme s, že v našem případě - x(l s) (0 <Lx s), ( s x ). 275
Určeme frekvencí základníh tónu. K tmu stačí určt prvé charakterstcké čísl rvnce (3). Užjme methdy 5, jež dává Xx pmcí stp jádra. Pdle vzrce (5), 5 A2 fjk*(x, s) dx ds f f ( l + x)(l + s) G\x, s) dx ds 0 0 0 0 2 / ( l + s)(l x f dx / ( I + s) s 2 ds* - f á. Ye druhém přblžném vzrc (7j), 5 2m V-^-Žm plžme m. V 60 jsme dkázal, že charakterstcká čísla rvnce (3) jsu kladná. V takvém případě (V TjLr 6,300 a tedy Abychm dstal přesnější hdntu vypčtěme druhé tervané jádr ' K2{x, s) / K ( x, t) K(t, s) dř ]/(l + ar)(l + s) / ( I + t) G(x, t) G(t, s) dř. Vypčtěme jádr K2(x, s) za předpkladu, že x > s. Pr x < s se jádr K2{X, S) určí z pdmínky, že je suměrné. Integrační br <0, ) rzdělíme na tří: Od nuly d s, d s d x a d x d. Užjeme-l defnce G(x, s), dstaneme: /(I + t) G(x, ť) G(t, s) dt X S ( + t) í 2 (l x)(l s) dí + / í ( l t2) s(l x) dř + 0 s + /(I + t)( t f x s d t X -ň - f * 2 * 276 + - V 4 + - ň * s + V 4-
Odtud pr x > s, K2(x, S) V( + x)(l + s) 2 (5xs 6 x2s 2 s3 + 2xs3 s + x*s + xs*). Hdntu K\(x, s) pr x < s dstaneme jednduchu argumentů x a s: pr x < s K2(X, S) ]/(! + X)(l + 8) (5a:s 6xs 2 2x3 + 2x3s x 2 výměnu -f xs4 + x*s). Nyní At X f f K\(x, s) dx ds 2 fdx fk%(x, s) ds 0,000654. Ve druhém vzrc (7J, 5 plžme nyní m 2. P t m A ^ ' 6,349.!Al Tat hdnta Xy je menší než hdnta přesná. Přblžnu hdntu, jež je větší než hdnta přesná, dstaneme, vezmeme-l prvý ze vzrců (Tj), 5, který pr Aj > 0 má t v a r Plžme v tmt vzrc m. P t m Přesná hdnta leží mez čísly 6,349 a 6,398. J e zajímavé s všmnut, že pměrně nepřesný vzrec dal hdntu s chybu menší než 2 %. Známe-l hdnty A2 a A4, můžeme vypčítat druhé charakterstcké čísl A2, užívajíce přblžnéh vzrce (6), 7: 2m 277
Klademe-l m l a všmeme-l s, že X2 > O, máme: 62. Greenva funkce. Pdrbný výklad tázek, spjených s pjmem Greenvy funkce, najde čtenář v mnha dbře známých učebncích. Pukažme na př. na knhy Curanta-Hlberta [4], V. I. Smrnva [8] a.. Prvalva [7]. Omezíme se zde prt puze na defnc Greenvy funkce a na uvedení jejích základních vlastnstí. Začněme nejjeclndušším případem. Nechť je dán byčejný lneární dferencální perátr druhéh řádu kde p(x) > 0. Budeme uvažvat funkce y(x), které v kncvých bdech ntervalu (a, 6) splňují pdmínky «y{a) + ( y'(a) 0, y y{b) + <5 y'{b) 0 (2) a uvntř ntervalu jsu spjté se svu první dervací. Druhu dervac y "(x) pdrbíme jedné pdmínce aby L(y) měl smysl. Předpkládejme, že an jedna z těcht funkcí, krmě funkce y(x) 0, neanuluje perátr L(y). Jnak řečen, předpkládáme, že jedným řešením rvnce L(y) 0, (3) jež vyhvuje pdmínkám (2) a je spjté se svu první dervací, je y 0. Greenvu funkcí perátru L(y) pr krajvé pdmínky (2) se nazývá funkce dvu prměnných G(x, y), která má tyt vlastnst:. G(x, s) je spjtá pr a ^ ^ a f f ^ ^ í. 2. V každém z ntervalů a <[ x < s a s < x 3G(x, s) dg(x, s) a ^ spjíte. dx 3s 3. V bdě x s má dervace dg(x, s) 35 xs+ 0 278 jsu dervace ^ skk určený vzrcem 3G(x, s) X 8 0 wr {)
4. Pr pevně zvlené s vyhvuje G(x, s) rvnc (3) L(G) 0 v každém z ntervalů a < s a s < x ^ 6. 5. J a k funkce prměnné x vyhvuje G(x, s) krajvým pdmínkám (2). Greenvu funkc lze sestrjt takt: Určíme ntegrály u(x) a v(x) rvnce (3), vyhvující Cauchyh pdm í n k á m u(a) 0,»'(«) - «, v(b) ó, v'(b) y. J e zřejmé, že u(x) vyhvuje také prvé z krajvých pdmínek (2) a v(x) druhé. Integrály u(x) a v(x) jsu lneárně nezávslé, nebť v pačném případě by exstval ntegrál rvníce (3), vyhvující běma krajvým pdmínkám (2), a t je ve spru s naším předpkladem. Z there lneárních dferencálních rvnc je známa dentta p(x)\u(x) v'(x) u'(x) v(x]\ c. (5) Knstanta c je různá d nuly, nebť v pačném případě by u(x) a v(x) byly lneárně závslé. Jestlže jsme určl ntegrály u(x) a )(x), můžeme kamžtě napsat výraz pr Greenvu funkc, ttž (a á x á.), c Není btížné se přesvědčt tm, že funkce (6) má vlastnstí až 5, vytčené v defncí Greenvy funkce. Ze vzrce (6) přím plyne, že G(x, s) je suměrná funkce, t. j. G(x, s) G(s, x). (7) usc") vs") Skutečně, nechť na př. x < s. Ptm G(x, s). Pčítáme-l c G(s, x), musíme vzít dlní řádku v (6), nebť prvý argument, s, je větší než druhý. Avšak ptm G(s, x) u(x) v(s) G{x, s). 279
Druhá vlastnst Greenvy funkce,, velm důležtá pr aplkace, je vyjádřena následující větu: Integrál nehmgenní rvnce L{y) Ž [p{x) S] + q{x) y ~ f [ x ) ' vyhvující krajvým pdmínkám (2), je dán vzrcem y(x) G(x, s) f(s) ds. Řešení (9) je jedné. (8) (9) Důkaz tét věty najde čtenář v učebncích ctvaných na začátku tht paragrafu. ISTení btížné se přesvědčt tm, že funkce G(x, s) sestrjená v 60 je Greenvu funkcí perátru L(y) y" př krajvých pdmínkách 2/(0) ž/(z) 0. Vzrec (9) nám dvluje pdat jednduchu a užtečnu nterpretac Greenvy funkce. V rvnc (8) budeme f(x) pvažvat za spjtě rzlženu sílu a y(x) za psunutí bdu x vzhledem k rvnvážné plze vyvlané tut slu. V takvém případě je G(x, s) psunutí bdu x, vyvlané jedntkvu bdvu slu, půsbící v bdě s. Předpkládejme, že v ntervalu (s e, s + e) půsbí takvá spjtě rzlžená síla f(x), jejíž hlavní vektr se rvná jedntce: s+e ff(x)dxl. (0) S e Nechť ntervaly <a, s e) a <s +, b") nejsu pdrbeny půsbení sl, takže v těcht ntervalech f(x) 0. Ve vzrc (9) ntegrály v ntervalech (a, s e) a («+ e, 6) vymzejí, a tak dstaneme y(x) feg(x, t) f(t) dt. S Předpkládáme-l, že f(x) > 0, můžeme užít věty střední hdntě ntegrálu: l+e y(x) G(x, s') J f{t) dt G(x, s'), s s < s' < s + e. 8 e Necháme-l e-> 0, přejdeme k bdvé síle půsbící v bdě s a rvné 280
jedné v důsledku rvnce (0). Přtm s' -> s, a pněvadž G(x, s) je spjtá, je v lmtě y{x) G(x, s), cž jsme měl dkázat. Př úlhách z there kmtů a there stablty je třeba čast řešt následující prblém. J e dána dferencální rvnce L(y) + X r{x) y 0 () čl pdrbněj kde r(x) je spjtá kladná funkce a A je číselný parametr, jenž není předem dán. Chceme určt t y hdnty X, pr něž exstuje ntegrál rvnce (), který je spjtý a má spjtu dervac, jež se nervná dentcky nule a vyhvuje krajvým pdmínkám (2). Známe-l Greenvu funkc, můžeme pmcí vzrce (9) převést uvedený prblém na určení charakterstckých čísel ntegrální rvnce se suměrným jádrem. Všmněme s, že rvníce () přejde v (8), jestlže plžíme f(x) X r(x) y(x). Prtže hledaný ntegrál vyhvuje pdmínkám (2), lze užít vzrce (9): ' y(x) X f r(s) G(x, s) y(s) ds. (2) a Rvnce (2) je hmgenní ntegrální rvnce s neznámu y(x) a parametrem X; vylučíme-l případ, že r(x) knst., je nesuměrná. Abychm j převedl na suměrnu, násbme bě strany \r{x) a plžme lr{x) y(x) cp{x), }!r{x) r(s) G(x, s) K(x, s). Tak dstaneme rvnc b <p(x) Xf K{x, s) cp{s) ds 0, ' (3) a jejíž jádr je jíž suměrné. Charakterstcká čísla tét rvnce jsu zřejmě hledané hdnty X. J e užtečné sí všmnut, že všechna charakterstcká čísla rvnce (3) jsu jednduchá, t. j. každému z nch přísluší puze jedna charakterstcká funkce. Abychm se tm přesvědčl, předpkládejme, že 28
charakterstckému číslu A' příslušejí lneárně nezávslé charakterstcké funkce (px{x) a <p2{x). Sestrjme funkce Tyt funkce vyhvují ntegrální rvnc (2) pr A A'. Odtud plyne, že vyhvují téže dferencální rvncí L(y) + A' r(x)y 0. s krajvým pdmínkam (2). Všmněme s prvé z těcht pdmínek: «V(a) + P ym) Prtže se čísla «a «yáa) + P y'áa) nervnají nule sučasně, je yx(a), y[(a) y2(a), y'2(a) Q Napsaný determnant je hdnta Wrnskéh determnantu ntegrálů yx(x) a y2(x) pr x a. Prtže se rvná nule v jednm bdě, rvná se nule dentcky. Odtud plyne, že yx[x) a y 2 ( x ) jsu lneárně závslé. Avšak ptm <px(x) a <p2(x) jsu také lneárně závslé, cž je ve spru s předpkladem. Pjem Greenvy funkce lze rzšířt na rvnce vyššíh řádu a s větším pčtem nezávsle prměnných. Tak na př. Greenva funkce Laplacevy rvnce je defnvána jak funkce dvu bdů blast, M a Mx, mající lgartmcku sngulartu pr M Mlt harmncká pr M 4 Mx a rvná nule na hranící blast. 63. T r s n í k m t / tyčí (také v přítmnst samělých hmt). D f e - rencální rvnce trsních kmtů tyčí má t v a r () Zde je & úhel zkrucení, I m je mment setrvačnst délkvé jedntky tyče vzhledem k rtační se, O je mdul trse, I p je mment tuhst v krucení. Budeme uvažvat perdcké kmty tyče, jejíž jeden knec, Uvažujeme případ dvu nezávsle prměnných. 282
x O, je pevně vetknut a druhý knec, x Z, je vlný. Pdmínky pr knce tyče budu ů 0 pr x 0, d& 7 0n pr x. (2) Hledajíce perdcká řešení, plžíme ů(x, t) eh0(x). Dsadíme-l tt d (), zjstíme, že 0(x) vyhvuje byčejné dferencální rvnc Z (2) plynu krajvé pdmínky, jmž vyhvuje 0(x): 0(0) 0; 0'(l) 0. (4) J e zřejmé, že význam mají puze t y funkce 0(x), jež se nervnají dentcky nule: jestlže 0(x) 0, pak ů(x, t) 0 a kmtů vůbec není. Tak dcházíme ke specálnímu případu prblému, frmulvanéh v předcházejícím paragrafu: Jest určt hdnty A, pr něž se 0(x), vyhvující rvnc (3) a pdmínkám (4), nervná dentcky nule. J a k už víme, tat úlha se převádí na íntegrální rvnc. Sestrjme příslušnu Greenvu funkcí. Označme j H(x, s). Funkce H(x, s) vyhvuje dferencální rvnc Tat rvnce má lneárně nezávslé ntegrály X u(x) J v(x), vyhvující pdmínkám w(0) 0, v'(l) 0. P ř tm v našem případě p(x) GI a p(x)[uv' vu'\ '. ť 283
Odtud c [vzrec (5), 62], a tedy H(x, s) / dx GIp (0 x s),.0 (5) 8 f Integrální rvnce pr 0(x) má tvar 0(x) A / H ( x, s) Im(s) 0(s) ds 0. (6) Vynásbíme-l j ]ílm(x) a zavedene-l dpvídající značení, převedeme j na rvnc se suměrným jádrem. Rvnce (6) byla dvzena za předpkladu, že se mment setrvačnst Im(x) mění pdél tyče spjtě. Může se však stát, že na tyč jsu samělé hmty. Ptm se tvar rvnce (6) mění. Specálně, jestlže je n samělých hmt s mmenty setrvačnst 7 ; / 2,..., / rzlžených v bdech sv s2,...,sn tyče, máme míst (6): 0(x) - A H(x, S) Im(s) 0(s) ds. 0 A 2 H(x, sk) Ik 0(sk) 0. k (7) Lze dkázat, že Hlbert-Schmdtvu ther lze úplně přenést n a rvnce typu (7). V pracích I. V. Anaňjeva [9] a A. I. K m a j e [6] je uveden užtí rvnce typu (7) na prblém kmtů křídla s samělým břemeny. K výpčtu frekvencí užívají tt autř hlavně Kellgvy methdy. 64. Stablta tlačené tyče. (Vzpěr tyče.) R v n í c e h y b v é k ř v k y pružné tyče, má, jak znám, tvar kde M a I je půsbící mment a mment setrvačnst v průřezu s úsečku x, E je Yungův mdul. Uvažujme případ, k d y tyč je stlačvána slam půsbícím na jejích kncích. Označme velkst každé z těcht sl P. Ptm M Py a rvnce hnuté sy bude 284
^ m d ] + P y. () Knce tyče se nepsunují ve směru klmém na tyč, a prt, značíme-l délku tyče Z, máme ž/(0) y(l) 0. (2) Rvnc () dělme E a plžme X. Ptm E (3) Označme G(x, s) Greenvu funkc perátru dx I dx\ příslušející krajvým pdmínkám (2). Ptm (víz 62) y{x) Xf G(x, s) y(s) ds 0. (4) Ohyb y(x) zatížené tyče vyhvuje tedy hmgenní ntegrální rvnc se p suměrným jádrem. Pr lbvlně zvlenu sílu P nebude čísl X - E charakterstcké a y(x) 0. Jnak řečen, lbvlně zvlená stlačující síla pnechá přímkvý tvar tyče. Puze v tm případě, kdy P XnE, kde Xn je charakterstcké čísl rvnce (4), může být y(x) různá d nuly a, tyč se zkřví ztrácí stabltu. Př úlze vzpěru tyče je důležté určt nejmenší sílu, pr kteru tyč ztrácí stabltu. T je tak zvaná krtcká síla rvnající se sučnu Yungva mdulu snejmenším charakterstckým číslem rvníce (4). V prax T -H) pstačuje přblžný vzrec, dávající menší, než je hdnta přesná: TÍ>!At A " // G *(x> s ) da; ds. (5) Obr. 8. Určeme na příklad krtcku sílu pr tyč, která má tvar kmléh kužele. Označme plměry r0 a r 0 (l + q) (br. 8). Plměr průřezu 285
s úsečku x bude ptm r0 + průřezu ] a mment setrvačnst tht ^ ( + «x)\ (6) kde y je hustta tyče a «-y. Rvnc (4) přepšme ve tvaru Jestlže G(x, y) je Greenva funkce perátru př krajvých pdmínkách (2), vyhvuje y(x) ntegrální rvnc y(x) fxjg(x, s) y(s) da 0. Máme určt její nejmenší charakterstcké čísl. Určeme Greenvu funkc G(x, s). Rvnce má becný ntegrál Pdmínce í/(0) 0 vyhvuje ntegrál u(x) ( + cx)3 a pdmínce y(l) 0 ntegrál v(x) ( + (XX)3 ( + d)3 Dále c p(x)[u(x) v'(x) u'(x) v(x)\ 3a ( a tak dstaneme výraz pr Greenvu funkc: 286 ( + cl)3 ' (8)
c\ l (l+«)» f(l+«í)3 ( + «ř ) 3 l t 0 ^ ^ ^ 5 ) ' G{x, s)! T^ ~ ( + a 5 ) ] [ ( l + «s ) 3 _ ( l + íxz)>](5 a; ^) ' Nejme:nší charakterstcké čísl /J, rvnce (8) je určen přblžným vzrcem J I I X -Tftí //G2(x, s) dx ds 2fdx JG2(x, s) ds. /<l 00 0 0 Uvedený ntegrál se vypčte úplně elementárně. Vzrec je však dst těžkpádný. Chceme-lí jej zjedndušt, mezíme se n a případ, k d y velčna q je malá, a lze zanedbat členy, jež bsahují q ve vyšší mcnně než prvé. Prvedeme-l výpčty za tht zjedndušujícíh předpkladu, dstaneme: (9), Odtud lehce určíme krtcku sílu P. Všmneme-l s, že X I0/u, kde I0 je mment setrvačnst v průřezu x 0, najdeme výraz pr krtcku sílu ve t v a r u ' P «, ě s ( l + 2?) m ^ ( l + 29).», Jestlže plžíme q 0, dstaneme tyč stáléh průřezu. Vzrec (0) v t m případě dává velkst krtcké síly 9,487EI 0 ' P Přesná hdnta krtcké síly, jak je znám, se v tmt případě rvná _ 9,897EI 0 l2 Přblžná hdnta se d přesné lší méně než 5%. Tentýž pstup převedení na ntegrální rvncí umžňuje určt krtcku sílu ve slžtějších případech. Specálně, na ntegrální rvnce lze převést prblém stablty pružné destčky, na kteru půsbí síly v rvně destčky [8]. N. V. Zvlnskj řeší ve svém článku [4] pmcí ntegrálních rvnc prblém stablty válcvté skřepny. Ve 287
dvu psledních případech jsu jádra nesuměrná, avšak patří d třídy t. zv. symetrsóvatelných, pr něž platí věta exstenc reálnéh charakterstckéh čísla. 65. Tlak tuhéh razníku na pružný plprstr. U v a ž u j m e pl- prstr z < 0. Předpkládejme, že na část S rvny z 0, která jej mezuje, tlačí abslutně tuhé těles (budeme je nazývat razníkem), přtsknuté k plrvně slu Q rvnběžnu s su z. Předpkládáme, že mez plprstrem a razníkem není tření. Zbývající část S' hrance není namáhána vnějším slam. Chceme určt ple napětí a psunutí v plprstru a také určt závslst mezí slu půsbící na razník a jeh psunutím. O prblému, který jsme frmulval a který je znám pd názvem prblém tlaku razníku", pjednává bsáhlá lteratura. Obdbný rvnný prblém budeme analysvat v kap. 6. Zde vylžíme řešení prblému tlaku razníku na plprstr, zalžené na jeh převedení na ntegrální rvnc prvéh druhu. Tt řešení dvdl V. I. Dvnrvč ve své dsertací [39]. Frmulujme rvníce a krajvé pdmínky našeh prblému. Označme u, v, w slžky vektru elastckých psunutí. Zanédbáme-l bjemvé síly, můžeme předpkládat, že u, v, w vyhvují známým rvncím there pružnst: A, 2a dx dů Av + " 2a 9y du dx + F, ' () dů dv ~dy + dw lž' kde a je Píssnva knstanta. Krajvé pdmínky příslušející těmt rvncím jsu tyt: Na S' nejsu vnější síly a na $ není tření; v celé rvně xy tedy máme TXZ 288 T 0, z 0. (2)
Dále zřejmě n a S' az 0. (3) Nechť z <p(x, y) je rvnce té část plchy razníku, kteru se dtýká plprstru. P t m na<s w ax + by + c <p(x, y) &(x, y), (4) kde velčna ax + by + c charaktersuje psunutí razníku jak tuhéh tělesa. Pznamenejme, že v suhlase s předpkladem, že defrmace jsu malé, pvažujeme k n s t a n t y, 6, c a funkc tp(x, y) za malé. N a knec předpkládejme, že v neknečnu jsu psunutí mezená a napětí neexstuje. Prblém tlaku razníku se t e d y převádí na ntegrvání rvnce () pří krajvých pdmínkách (2) až (4). K n s t a n t y a, b, c př řešení prblému zůstávají neurčeny; p rzřešení prblému lze je určt z pdmínek rvnváhy razníku takt: Nechť síla Q, půsbící n a r a z n í k, půsbí ve směru sy z. P t m / fz dx dy Q, s dx dy f f yaz dx dy 0. s //xaz s (5) Přstupme k řešení našeh prblému. J a k je znám, funkce u, v, w vyhvující sustavě () mhu b ý t v y j á d ř e n y ve t v a r u U cpí + dw Z Tx' v dy) <P2+z-^> w 9» + z dy> Ife' kde <pv q>2, <p3, y> jsu harmncké funkce spjaté relací dp Tz / dy, 4 a \ dx ^ I dy ^ dz j K r a j v é pdmínky našeh prblému dvlují převést 2 úlhu n a určení puze jedné funkce <p3, vyhvující těmt k r a j v ý m pdmínkám: S <p3 <p(», y), (6) E. Trefte, Matěmatčeskaja těrja uprugst, GTTI, 932. 2 Vz F. Frank a R. Mses, Dferenealnyje ntěgralnyje uravněnja matěmatčeskj fyzk, GTTI, 937, str. 2 9 0-2 9 2. 289
na _ 0 (7) Budeme předpkládat, že pvrch razníku je dstatečně hladký, takže má spjté dervace druhéh řádu. Specálně tedy předpkládáme, že na pvrchu razníku nejsu hrany. Dále se budeme pdstatně pírat výsledky S. Zaremby [40], z nchž specálně plyne, že exstuje funkce (p3{x, y, z) harmncká v plprstru z < 0, kteru lze vyjádřt ve tvaru ptencálu jednduché vrstvy se spjtě dferencvatelnu husttu; funkce <p3(x, y, z) vyhvuje, krajvým pdmínkám (6) a (7) za jednéh předpkladu, že funkce 0{x, y) je dstatečně hladká. Pznamenejme, že z th faktu, že funkc <p3(x, y, z) lze vyjádřt jak ptencál jednduché vrstvy, plyne, že tat funkce je spjtá v celé rvně xy, pčítaje v t hranc blastí S a S'. Majíce tt na pamětí, budeme hledat q>3 ve tvaru kde r2 (x f) 2 + (y rj)2 z2. Vně blastí S, specálně na lze ptencál (8) dervvat za ntegračním znaménkem. Př tm d( S', «, C C.., t \dšdrl 2z / M&V)I J '» r s cž se anuluje na S'. Ptencál (8) tedy autmatcky vyhvuje pdmínce (7). Krajvá pdmínka (6) dále dává Pa 8z na S IP II I 'P&rt-dgd V 0(x,y). (9) T je ntegrální rvnce prvéh druhu s neznámu f(g,rj). Prtže na S z 0, je její jádr J ~ ~ J(x - f)2 + (y suměrné. V důsledku shra uvedených výsledků S. Zaremby je rvnce (9) řeštelná. Řešení je jedné, nebť v pačném případě by exstval něklk spjtých, pr z < 0 harmnckých funkcí, vyhvujících krajvým pdmínkám (6) a (7), cž, jak je znám, je nemžné. 290
J á d r m á slabu sngulartu. Dkážeme však, že věta HlbertSchmdtva zůstane v platnst pr tt jádr s tu jednu výhradu, že ř a d a (8), 3 nebude becně knvergvat stejnměrně, nýbrž j e n v průměru. Označme jak bvykle >(. v) - d dt) IP Kf. s Z věty (), 0 plyne, že jádr, druhé tervané vzhledem k jádru, bude puze lgartmcky neknečné, a prt bude pr něj platt v ě t a Hlbert-Schmdtva. Označme l a <p{, rj) charakterstcká čísla a cha- rakterstcké funkce suměrnéh jádra ; ptm A2 a q>(, rj) budu charakterstcká čísla a charakterstcké funkce druhéh tervanéh jádra. Pdle Hlbert-Schmdtvy v ě t y y <pk(x, y); k Ák ak C«> <Pk) / / n ) <Pk{Š, V) dl dy, s (0) pří čemž řada na pravé straně knverguje stejnměrně, za th jednéh předpkladu, že ntegrál // ^(ř,7?) d dj? s exstuje. Označme» Pn*, y) Z n» a k k <PÁX> y) a vyšetřujme skalární sučn (K*(p p n ), p () Pdle Buňakvskéh nervnst platí -f*n),f -fn)\ ^ \\K*/LL ^ K*FLN\\ /t - AIJI.H / Í - Z I J. O knvergenc v průměru vz 20. 29
Dále, ( n \ ^akq>k n " y,akk2cpk 2 a 2-^f-<Pk- k / Jbla tedy K /xl Ak R a d a (0) knverguje stejnměrně, stejnn knverguje 2 měrně ke K [I\ tím spíše p r v - z ^ j - ^. Velčna W/jl n je mezená. Pdle trjúhelníkvé nervnst ttž platí I I ^ - ^ I I ^ m + IKII M + y s k» Jfcl a v důsledku Besselvy nervnst 2 Odtud plyne, že velčna () knverguje k nule. Na druhé straně, prtže jádr je suměrné, pdle vzrce (3), r > (K*(f - /* ), / * - / * ) {KÍfJ - f*n), K(tx - fn)) K ( f Odtud plyne, že Tedy KFIN knverguje v průměru ke ( n \ X-l / n n 2 akk(pk k k K/I. rf Avšak a 2 T ~ V"k~l A * sučet neknečné řady je třeba pvažvat za lmtu jejích částečných sučtů ve smyslu knvergence v průměru. Rvnce (2) vyjadřuje Hlbert-Schmdtvu Větu pr jádr Obraťme se k rvnc (9). J a k už jsme pznamenal, má jedné řešení. Odtud plyne, že sustava charakterstckých funkcí jádra je úplná. Vskutku, nechť funkce c(x, y) je rthgnální ke všem funkcím <pk{x, y). Ptm pdle vzrce (2) Km 0. Prtže řešení nehmgenní rvnce (9) je jedné, má příslušející hmgenní rvnce puze nulvé řešení, a prt nutně a>(x, y) 0. Je-l sustava <pk(x, y), k, 2,... Malu změnu úvah lze dkázat, že Hlbert-Schmdtva věta platí pr lbvlné suměrné jádr se slabu sngulartu. 292
úplná, lze hledanu funkc v řady V) 2 rj) a pravu stranu 0(x, y) rzvnut a k <Pk( > V)> a k * (/*, <Pk), c y) H0K«"».y)> (0,<p )- Dsadíme-l tt d (9) a užjeme-lí vzrce (2), dstaneme CO «00# klak Jfcl dkud ak Xk0k. Řešení dstaneme ve tvaru MS, v) I h «W f. v)l (3) "Úlha se tedy převádí na výpčet charakterstckých čísel a charakterstckých funkcí suměrnéh jádra Ten lze prvést způsby vylženým v kap. 2, část I. V. I. Dvnrvč, aby s věřl praktcku vhdnst řady (3), vypčetl prvých šest členů tét řady pr razník tvaru rtačníh parabldu. Prvnání s přesným řešením ukázal, že chyba v určení půsbící síly Q byla kl 2,25%. KAPITOLA n ě k l k sngulárních aplkac 6 t h e r e ntegrálních rvnc 66. Hlbertův prblém. Rzebereme prblém určt funkc harmncku v nějaké rvnné blast D za předpkladu, že na některých částech hrance jsu dány hdnty hledané funkce a na jných jsu dány hdnty její nrmální dervace. Tent prblém je specálním případem becnéh Hlbertva prblému, př němž se hledá harmncká funkce za pdmínky, že na hranc je známa lneární kmbnace samtné funkce a její nrmální dervace. 293