Fyzika laserů. 21. února Katedra fyzikální elektroniky.

Transkript

1 Fyzka laserů Kvantvá tere tlumení řídící rvnce Jan Šulc Katedra fyzkální elektrnky České vyské učení tecncké 21. únra 217

2 Kntakty Ing. Jan Šulc, P.D. Trjanva, místnst 237 Tel.: Ing. Zbyněk Hubka ELI Beamlnes

3 Prgram přednášek 1. Kvantvá tere tlumení, řídící rvnce 2. Aplkace na atm, Paul rvnce 3. Plklascký pps nterakce záření s látku 4. Aplkace na šíření reznanční záření prstředím 5. Aplkace na laser kntnuální režm 6. Aplkace na laser Q-spínání 7. Kerentní šíření mpulzů 8. Další jevy v plklascké aprxmac 9. Spektrum laseru a režm syncrnzace módů 1. Kvantvá tere laseru, Fkkerva-Planckva rvnce 11. F-P rvnce pr záření a atm 12. F-P rvnce pr laser 13. Statstcké vlastnst laservé záření

4 Lteratura VRBOVÁ M., ŠULC J.: Interakce reznanční záření s látku, Skrptum FJFI ČVUT, Praa, 26 LOUISELL, W. H.: Quantum statstcal prpertes f radatn, Jn Wley & Sns, New Yrk, 1973 VRBOVÁ M. a kl.: Lasery a mderní ptka - Obrvá encyklpede, Prmeteus, Praa, 1994 VRBOVÁ M., JELÍNKOVÁ H., GAVRILOV P.: Úvd d laservé tecnky, Skrptum FJFI ČVUT, Praa, 1994 ttp://peple.fjf.cvut.cz/sulcjan1/ulat/ Přednášky: ttp://peple.fjf.cvut.cz/sulcjan1/fla/

5 Laservý generátr Scéma laseru Laser Generátr ptcké záření specfckýc vlastnstí 1. Mncmatčnst 2. Směrvst (kncentrace energe) 3. Kerence Aktvní prstředí Systém kvantvýc sustav, který s vyměňuje energ se záření prstřednctvím reznanční nterakce stmulvaná emse záření Buzení a clazení Aktvní prstředí je udržván v termdynamcky nervnvážném stavu nverze ppulace ladn Reznátr Zajšt uje zpětnu vazbu pr laservý zeslvač a vznk sclací, využívá se k extrakc energe laseru Laser není v prncpu uzavřená sustava!

6 Kvantvý Luvlleův terém Pr pps nterakce subru kvantvýc sustav a elektrmagnetcké ple lze pužít metdy kvantvé statstcké fyzky. Výpčet střední dnty pzrvatelné velčny: Ô = Tr nˆϱ Ô Kvantvý Luvlleův terém vývj statstcké perátru ˆϱ ˆϱ t = Ĥ T, ˆϱ Ekvvalentní časvé Scrödngervě rvnc Musíme znát Hamltnán celé uzavřené systému ĤT Platí puze pr uzavřený systém Žádná část světa však není uzavřená a Luvlleův terém je jen exaktním becným pravdlem.

7 Mdel laseru jak uzavřený systém 1 Interakce reznanční záření s látku Buzení Kvantvé sustavy aktvní prstředí Clazení Ĥ (atmy... ) 1 Ĥ 2 Ĥ 3 ˆV 1 ˆV2 ˆV 3 ˆϱ, Ĥ T = Ĥ + ˆV Elektrmagnetcké Tlumení ple laseru Ĥ 4 ˆV Ĥ 5 4 Vlastní systém laseru Buzení, clazení a tlumení termdynamcky rvnvážné systémy, makrskpcké Obrázek 1.1: Mdel laseru jak uzavřený systém. Buzení, clazení a tlumení pvažujeme za vlastnst se nemění a závsí puze na termdynamcké tepltě T. termdynamcky rvnvážné systémy. 1 mód ple laseru 1 stupeň vlnst Aktvní prstředí energí, scpnýc knečný prstřednctvím pčet kvantvýc reznanční nterakce sustavzeslvat a stupňů energ vlnst elektrmagnetcké pleple. neknečně, Nutnu pdmínku ale spčetně je nverzní stupňů bsazení vlnst (ppulace) energetckýc ladn Celé Rezervár na příslušném neknečně, reznančnímale kvantvém spčetně přecdu. stupňů I př vlnst ustálené čnnst (černélaseru těles) se aktvní prstředí nacází v termdynamcky nervnvážném stavu.

8 Tlumený kvantvý systém Systém Rezervár Ĥ S S ˆV Ĥ R R ˆρ S ˆρ R Ĥ T, ˆρ SR Uzavřený slžený kvantvý Obrázek 2.1: systém: Sustava ĤT = Systém = ĤS + ĤR Reservr + ˆV Systém (dynamcká sustava) knečný pčet stupňů vlnst Rezervár Hamltnán(tlumící celé systému: sustava) neknečně spčetně stupňů vlnst Evluce celé Ĥ = ĤS + ĤR + ˆV uzavřené systému Luvllva rvnce v nterakční reprezentac Reservr: ˆϱI SR t = ˆV I (t ), ˆϱ I SR Velký ˆϱ I SR(t) pčet = stupňů Û vlnst (t, )ˆϱ S SR(t)Û(t, ), ˆV I (t ) = Û (t, ) ˆV S Û (t, ). V důsledku nterakce se systémem Û (t, ) = exp ĤS (t ) Řešení nestacnární [ ] prucvu terační metdu + řada zjedndušujícíc předpkladů exp βĥr ˆρ R = [ ] (2.2) (2.1)

9 Prucvá metda terace d drué řádu Výczí rvnce: Luvllva rvnce v nterakční reprezentac ˆϱI SR t = ˆV I (t ), ˆϱ I SR Aprxmace řešení: pstupná ntegrace, na pravé straně je předczí terace ˆϱ I SR ˆϱ I SR(t) ˆϱ I SR( ) = 1 dt 1 ˆV I (t 1 ), ˆϱ I SR( ) + t dt 1 dt 2 ˆV I (t 1 ), ˆV I (t 2 ), ˆϱ I SR( ) Pčáteční pdmínka: pr t = bude ˆV a ˆϱ I SR( ) = ˆϱ S S ˆϱ S R = ˆϱI S( ) ˆϱ R Rezervár v term. rvnváze: ˆϱ S R = ˆϱI R ˆϱ R se v čase nemění ˆϱ R = e βĥr Tr R e βĥr, β = 1 kt

10 Redukvaný statstcký perátr Máme rvnc pr ˆϱ I SR(t), tedy vývj celé slžené sustavy. Nás ale zajímá především vývj systému S, respektve je dynamckýc prměnnýc: ˆM = Tr SR nˆϱ S SR ˆM n = Tr S Tr R (ˆϱ S SR) ˆM {z } ˆϱ S S = Tr S n ˆϱ S S ˆM Redukvaný statstcký perátr ˆϱ S S = Tr R ˆϱ S SR = Tr R e (/ )(ĤR +ĤS)(t ) ˆϱ I SR(t) e (/ )(ĤR +ĤS)(t ) = e (/ )ĤS(t ) Tr R ˆϱ I SR(t) e {z } ) ˆϱ I S ˆϱ I S = e (/ )ĤS(t ) ˆϱ S S(t) e (/ )ĤS(t ) Výpčet střední dnty: ˆM = Tr = Tr n n n ˆϱ S ˆM S S = Tr e (/ )ĤS(t ) ˆϱ I S e (/ )ĤS(t ) ˆMS = ˆϱ I S e (/ )ĤS(t ) ˆM e (/ )ĤS(t ) = Tr nˆϱ I S ˆM I {z } ˆM I

11 Iterace d drué řádu pr redukvaný statstcký perátr Ve výczí rvnc ˆϱ I SR(t) ˆϱ I SR( ) = 1 dt 1 ˆV I (t 1 ), ˆϱ I SR( ) + t dt 1 dt 2 ˆV I (t 1 ), Vypčteme stpu na pravé a levé straně přes rezervár R: ˆϱ I S(t) ˆϱ I S( ) = 1 dt 1 Tr R ˆV I (t 1 ), ˆϱ I SR( ) + t dt 1 dt 2 Tr R ˆV I (t 1 ), ˆV I (t 2 ), ˆϱ I SR( ) ˆV I (t 2 ), ˆϱ I SR( ) Pčáteční pdmínka ˆϱ I SR( ) = ˆϱ I S( )ˆϱ R. Tedy: ˆϱ I S(t) ˆϱ I S( ) = t 2 dt 1 Tr R ˆV I (t 1 ), ˆϱ I S( )ˆϱ R + dt 1 1 dt 2 Tr R ˆV I (t 1 ), ˆV I (t 2 ), ˆϱ I S( )ˆϱ R

12 Interakční Hamltnán ˆV Abycm ml prvést další zjedndušující úpravy, ptřebujeme znát tvar nterakční Hamltnánu Uvažujeme nejjedndušší tvar první křížvý člen Taylrva rzvje celkvé Hamltnánu sustavy ĤT, tedy: ˆV ( ˆQ, ˆF ) = ĤT ( ˆQ, ˆF ) ĤS( ˆQ ) ĤR(ˆF ). = X ˆQ ˆF, ˆQ perátry systému, ˆF perátry rezerváru Vzledem k nezávslst stavvýc prstrů systému S a rezerváru R dstaneme: X ˆV I (t ) = ˆQ I (t )ˆF I (t ) Zavedeme značení řídící rvnce ˆϱ I S(t) ˆϱ I S( ) = ,2 ˆQ = ˆQ I 1,2 (t 1,2 ) a ˆF = ˆF I (t 1,2 ) a dsadíme d t 2 dt 1 Tr R ˆV I (t 1 ), ˆϱ I S( )ˆϱ R + dt 1 1 ˆϱ I S(t) ˆϱ I S( ) = X dt 2 Tr R ˆV I (t 1 ), t dt 1 Tr R ˆQ1 ˆF 1, ˆϱ I S( )ˆϱ R ˆV I (t 2 ), ˆϱ I S( )ˆϱ R

13 Stpy Tr R [... ], střední dnty a krelační funkce V rvnc ˆϱ I S(t) ˆϱ I S( ) = X X,j 1 dt 1 Tr R ˆQ1 ˆF, ˆϱ I S( )ˆϱ R 2, ˆQ2 j ˆF j, ˆϱ I S( )ˆϱ R dt 1 1 dt 2 Tr R ˆQ1 ˆF 1 můžeme vypčítat stpy (DC 1.1): Tr R ˆQ1 ˆF 1, ˆϱ I S( )ˆϱ R = ˆQ1, ˆϱ I S( ) ˆF 1 R 1 2 Tr R ˆQ1 ˆF, ˆQ2 j ˆF j, ˆϱ I S( )ˆϱ R = = ˆF 1 ˆF j 2 R ˆQ1 ˆQ2 j ˆϱ I S ˆQ j 2 ˆϱ I S ˆQ 1 ˆF j 2 ˆF 1 R ˆQ1 ˆϱ I ˆQ S j 2 Příslušné střední dnty a krelační funkce: ˆF 1 I R = Tr R ˆF (t 1 )ˆϱ R, ˆF 1 ˆF j 2 I R = Tr R ˆF (t 1 )ˆF j I (t 2 )ˆϱ R, ˆF 2 ˆF j 1 I R = Tr R ˆF (t 2 )ˆF I j (t 1 )ˆϱ R ˆϱ I S ˆQ 2 j ˆQ 1

14 Stpy Tr R [... ], střední dnty a krelační funkce Dstaneme: ˆϱ I S(t) ˆϱ I S( ) = X X,j ˆQ1, ˆϱ I S( ) ˆF 1 R dt 1 1 n dt 1 dt 2 ˆQ1 ˆQ2 j ˆϱ I S( ) ˆQ j 2 ˆϱ I S( ) ˆQ 1 ˆQ1 ˆϱ I S( ) ˆQ 2 j ˆϱ I S( ) ˆQ 2 j ˆQ 1 ˆF 2 j ˆF 1 ˆF 2 j R ˆF 1 R Rezervár stacnární ˆF stacnární ˆF 1 R není funkcí času Rezervár stacnární krelační funkce nezávsí na vlbě pčátku, puze na rzdílu t 1 a t 2 : ˆF 1 ˆF j 2 R = ˆF I (t 1 t 2 )ˆF j I () R ˆF 2 ˆF 1 j R = ˆF I ()ˆF I j (t 1 t 2 ) R V dalším krku prvedeme transfrmac ntegračníc prměnnýc, aby ntegrace prbíala d

15 Transfrmace ntegračníc prměnnýc Nvé prměnné (DC 1.2): ξ = t 2, τ = t 1 t 2 t 2 t 1 = t 2 t τ t τ = t ξ t t 1 1 n dt 1 dt 2... t dξ t t ξ dτ ξ n...

16 Transfrmace ntegračníc prměnnýc Z rvnce ˆϱ I S(t) ˆϱ I S( ) = X X,j ˆQ1, ˆϱ I S( ) ˆF 1 R dt 1 1 n dt 1 dt 2 ˆQ1 ˆQ2 j ˆϱ I S( ) ˆQ j 2 ˆϱ I S( ) ˆQ 1 ˆQ1 ˆϱ I S( ) ˆQ 2 j ˆϱ I S( ) ˆQ 2 j ˆQ 1 ˆF 2 j ˆF 1 ˆF 2 j R ˆF 1 R p prvedení transfrmace a s využtím stacnarty rezerváru R dstaneme ˆϱ I S(t) ˆϱ I S( ) = X ˆF R dt 1 ˆQI (t 1 ), ˆϱ I S( ) X,j t dξ t ξ n ˆQI (τ + ξ) ˆQ j I (ξ)ˆϱ I S( ) ˆQ j I (ξ)ˆϱ I S( ) ˆQ I (τ + ξ) ˆF (τ)ˆf j R ˆQI (τ + ξ)ˆϱ I S( ) ˆQ j I (ξ) ˆϱ I S( ) ˆQ j I (ξ) ˆQ I (ξ + τ) ˆF j ˆF(τ) R vyjádření časvé vývje redukvané statstcké perátru v nterakční reprezentac vývj systému S d drué řádu prucvé tere. dτ

17 Vlastní frekvence dynamckýc prměnnýc systému Defntrcky zavedeme vlastní frekvence perátru systému ˆQ I ˆQ I (λ) = e (/ )ĤSλ ˆQS e (/ )ĤSλ = e ω λ ˆQS ˆQI předpkládáme armncký průbě v čase s vlastní frekvencí ω Př.: elmag. ple, Ĥ = ω ˆn Dstaneme: t X ˆϱ I S(t) ˆϱ I S( ) = ˆF R ˆQS, ˆϱ I S( ) dξ e ω ξ X Z ˆQS ˆQS j ˆϱ I S( ) ˆQ S j ˆϱ I S( ) ˆQ t t t S dξ e (ω +ω j )ξ ξ dτ e ω τ ˆF (τ)ˆf j R,j X,j ˆQS ˆϱ I S( ) ˆQ S j ˆϱ I S( ) ˆQ S j ˆQ S t t dξe (ω +ω j )ξ ξ dτ e ω τ ˆF j ˆF(τ) R

18 1 Markvvská aprxmace Markvvská aprxmace Interakcí Interakcí Systému s srezervárem mu vznknut fluktuace fluktuace v rezerváru v rezerváru relaxační relaxační dba dba τ c τ c F (τ)f j R τ c τ Pkud zanedbáme zpětný vlv těct fluktuací na Systém a budeme studvat Pkud zanedbáme zpětný vlv fluktuací na Systém a budeme studva sustavu jen pr t τ c, můžeme př výpčtu ntegrálů z krelačníc funkcí sustavu jen pr t τ c, můžeme př výpčtu ntegrálů z krelačníc funkc rezerváru R psunut mez ntegrace přes τ a ξ d neknečna. rezerváru R v rvnc (??) psunut mez ntegrace přes τ a ξ d neknečna. Statstcká buducnst Systému bude závslá puze na stavu systému v daném Statstcká kamžku buducnst systém nemá Systému pamět. bude závslá puze na stavu systému v daném kamžku systém nemá pamět

19 Markvvská aprxmace ˆϱ I S(t) ˆϱ I S( ) = X X,j X,j ˆF R ˆQS, ˆϱ I S( ) I(ω ) ˆQS ˆQS j ˆϱ I S( ) ˆQ S j ˆϱ I S( ) ˆQ S ˆQS ˆϱ I S( ) ˆQ S j ˆϱ I S( ) ˆQ S j ˆQ S I(ω + ω j )w + j I(ω + ω j )w j Spektrální ustty krelačníc funkcí: I(ω ) = t w + j = w j = Z Z e ω τ ˆF (τ)ˆf j R dτ e ω τ ˆF j ˆF(τ) R dτ e ω ξ dξ pr t ω 1 I(ω ) = (t ) δ(ω ) (DC 1.3)

20 Markvvská aprxmace řídící rvnce ˆϱ I S t = X,j δ(ω + ω j )n ˆQS ˆQS j ˆϱ I S( ) ˆQ S j ˆϱ I S( ) ˆQ S w + j ˆQS ˆϱ I S( ) ˆQ S j ˆϱ I S( ) ˆQ S j ˆQ S w j ˆϱ I S = ˆϱ I S(t) ˆϱ I S( ) t = t, Aby byl mžn přejít d dferencí k dferencálům, musí být na ntervalu t změna Systému v důsledku tlumení (carakterstcká dba γ 1 ) malá, tj. t γ 1. Ptm: ˆϱ I. S = t d ˆϱI S dt Zárveň musí být na ntervalu t splněn předpklad markvvské aprxmace. Drmady τ c t γ 1 Přecd ke Scrödngervě reprezentac (DC 1.5)

21 Řídící rvnce ve Scrödngervě reprezentac ˆϱ S S(t) t. = 1 X [ĤS, ˆϱ S S(t)],j δ(ω + ω j ) n ˆQS ˆQS j ˆϱ S S(t) ˆQ S j ˆϱ S S(t) ˆQ S w + j ˆQS ˆϱ S S(t) ˆQ S j ˆϱ S S(t) ˆQ S j ˆQ S w j MASTER EQUATION bdba Luvllva terému. Platí d drué řádu prucvé tere. Př vlbě krku výpčtu musí být splněny pžadavky Markvvské aprxmace τ c t γ 1 a musí být zledněna perda vlastníc kmtů systému t ω 1. Vlv Rezerváru zapčítán puze prstřednctvím spektrálníc ustt w ± krelačníc funkcí ˆF(τ)ˆF R Rezerváru dpvídajícíc vlastní frekvenc ω Systému. Statstcká buducnst Systému vycází ze znalst stavu Systému v jednm kamžku.

22 Srnutí Laser jak uzavřená sustava Kvantvý Luvlleův terém Řešení pr tlumení kvantvé sustavy černým tělesem řád prucvé tere 2. Redukvaný statstcký perátr 3. Specální tvar nterakční Hamltnánu 4. Harmncký průbě perátrů Systému 5. Psun rní meze ntegrace d neknečna Markvvská aprxmace Řídící rvnce ˆϱ S S(t) t = 1 [ĤS, ˆϱ S S(t)] X,j n ˆQS ˆQS j ˆϱ S S(t) ˆQ S j ˆϱ S S(t) ˆQ S δ(ω + ω j ) w + j ˆQS ˆϱ S S(t) ˆQ S j ˆϱ S S(t) ˆQ S j Cvčení: knkrétní aplkace na kvantvý armncký sclátr Příště: knkrétní aplkace na tlumený atm Paul rvnce ˆQ S w j

23 Lteratura VRBOVÁ M., ŠULC J.: Interakce reznanční záření s látku, Skrptum FJFI ČVUT, Praa, 26 LOUISELL, W. H.: Quantum statstcal prpertes f radatn, Jn Wley & Sns, New Yrk, 1973 VRBOVÁ M. a kl.: Lasery a mderní ptka - Obrvá encyklpede, Prmeteus, Praa, 1994 VRBOVÁ M., JELÍNKOVÁ H., GAVRILOV P.: Úvd d laservé tecnky, Skrptum FJFI ČVUT, Praa, 1994 ttp://peple.fjf.cvut.cz/sulcjan1/ulat/ Přednášky: ttp://peple.fjf.cvut.cz/sulcjan1/fla/