Časopis pro pěstování matematiky Vlastimil Dlab D-hodnost Abelovy grupy Časopis pro pěstování matematiky, Vol. 82 (1957), No. 3, 314--334 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/117269 Terms of use: Institute of Mathematics AS CR, 1957 Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of the Czech Republic provides access to digitized documents strictly for personal use. Each copy of any part of this document must contain these Terms of use. This paper has been digitized, optimized for electronic delivery and stamped with digital signature within the project DML-CZ: The Czech Digital Mathematics Library http://project.dml.cz
Časopis pro pěstování matematiky, roč. 82 (1957), Praha D-HODNOST ÁBELOVY GRUPY VLASTIMIL DLAB, Praha. (Došlo dne 9. dubna 1956.) DT. 519.443 Z pojmu lineární nezávislosti prvků Ábelovy grupy je známým způsobem odvozen pojem hodnosti Ábelovy grupy. 1 ) V současné literatuře je používáno více pojmu lineární nezávislosti v obecnějším smyslu; lineární nezávislost v tomto obecnějším smyslu nazývá autor v práci D-nezávislost a odvozuje pomocí ní pojem D-hodnosti (direktní hodnosti) 2 ) Ábelovy grupy. Nakonec autor ukazuje některé vlastnosti D-hodností; její přednost tkví hlavně v tom, že na rozdíl od obyčejné hodnosti je D-hodnost každé nenulové grupy nenulová. 1. Úvodní poznámky V celé práci budeme grupou rozuměti aditivně psanou Ábelovu grupu. Grupy budeme značit velkými latinskými písmeny, jejich prvky g, h, x,...; ostatní malá písmena budou znamenat celá čísla, specielně p prvočíslo. Symbol 0(g) značí řád prvku g, symbol {g, h,...} grupu vytvořenou generátory g, h,... Nekonečnou cyklickou grupu označme G(co), cyklickou grupu řádu p k pro přirozené k G(p k ) a Pruferovu grupu typu p (t. j. aditivní grupu racionálních čísel, jejichž jmenovatel je mocninou prvočísla ^, modulo 1) označme G(p m ). G + H resp. 2'Cr t značí direktní součet příslušných grup, Q[H faktorovou tel grupu G modulo H. Grupa G{ v ), jejíž každý prvek má řád mocniny téhož prvočísla p, nazývá se ^-primární; prvky řádu p tvoří v této grupě G^) podgrupu G (P), kterou nazýváme dolní vrstvou. Všechny prvky konečného řádu tvoří v dané Ábelově grupě G maximální periodickou podgrupu Pc6ř, jednoznačně určenou periodickou část grupy G; faktorová grupa GjP, až na isomorfismus jednoznačně určená, je aperiodická. 3 ) Smíšenou grupu G nazveme štěpitelnou, je-li periodická část P jejím direktním sčítancem. Každou periodickou grupu P možno jednoznačně rozložit na direktní součet ^-primárních komponent -) Viz na př. [1]. 2 ) Německy diremer Rang"; odtud označení D-hodnost. 3 ) T. j. každý její nenulový prvek má nekonečný řád. 814
P(p).-: P = y'p ip) ; P( 9 ) je při tom tvořena právě těmi prvky z G, jejichž řád je mocnirroti prvočísla p. Jedinými direktně nerozložitelnými p-primárními grupairii jsou grupy G(p k ) (k = 1, 2,..., oo); z každé nenulové p-primární grupy G($) lze takovou grupu G(p k ) pro vhodné k direktně oddělit. 4 ) Množina prvků (g t ) L^i, g t * & nazývá se lineárně nezávislou, jestliže neexistuje relace h - K + h g k% +... + kn. g ln = 0, ki (i = 1, 2,... n) celá čísla, w libovolné přirozené, v niž je ki =j= 0 pro vhodný index i. V opačném případě mluvíme o lineárně závislých prvcích. Jde zřejmě o definici finitního charakteru, takže možno mluvit o maximální lineárně nezávislé soustavě.grupy G. Všechny tyto maximální lineárně nezávislé soustavy mají tutéž mohutnost, kterou nazýváme pak hodností grupy G; označme ji r(čr). Je-li r(g) 2^ H 0, potom se x(g) rovná mohutnosti faktorové grupy G modulo periodická část P: r(g) = m(č?/p). 5 ) Podgrupa H se nazývá servantní v G, jestliže každá rovnice n. xr == h, h ě H, n přirozené číslo, t řešitelná v G, má alespoň jedno řešení v H. Podgrupa H je' Servantní v G právě tehdy, jestliže v každé zbytkové třídě g e GjH existuje prvek g eg, pro nějž 0(g) = 0(g). Z teorie servantních grup pak snadno vyplývá postačující podmínka pro to, aby smíšená Ábelova grupa byla štěpitelná: t Jestliže periodická část P smíšené grupy G je direktním součtem úplné grupy a grupy, jejíž prvky mají ohraničené řády, je grupa G štěpitelná. 6 ) 2. Definice D-hodnosti Definice 1. Říkáme, ze množina (g 19 g<&..., ff n ) nenulových prvků Ábelovy grupy G je D-nezávislá, 1 ) jestliže z každé relace /(#i> g*> *., g n ) = k 1.g 1 +k 2.g 2 +...+k n9 g n = O, 8 ) k ť celá cisla (i = i, 2,..., n), plyne ki. gi = 0 (i == 1, 2,..., n). Nekonečnou množinu nenulových prvků (g L ) l l i g t 'G nazýváme D-nezávislou, jestliže má tuto vlastnost každá její konečná podmnožina. Množinu nenulových prvlcé nazýváme D-závislou, %ení-li D-nezávislá. 9 ) 4 ) "Viz na př. [1]. 5 ) Symbolem m(9d?) budeme v celé práci značit mohutnost množiny 30?. 6 ) Dá se ovšem dokázat, Že tato podmínka je i nutná pro to, aby každá smíšená grupa G 9 mající periodickou část isomorfní grupě P, byla štěpitelná. Viz [1]. 7 ) Resp. prvky g l9 g 2,..., g. n, g { =j= 0, i = 1, 2,..., n jsou navzájem D-nezávislé. s. ) Symbolem f(g^g 2,...,g n ) budeme nadále označovat lineární kombinaci prvků "grupy G s celými koeficienty. Budeme říkat, že f(g l9 g %9..., g n ) = h t. g t + k 2. g 2 +'... -f-. + &n dn J e triviální, jestliže k ž. g { = 0 (i = 1, 2,..., n). 9 ) V zřejmém smyslu mluvíme o prvku D-závislém na dané množině prvků a pod. 315
Je zřejmé, že pro aperiodické grupy pojem lineární nezávislosti a D-nezávislosti splývá. Finitní charakter definice 1 dává ihned možnost užíti Zornova lemmatu, takže stejným způsobem, jakým postupujeme v případě studia obyčejné lineární nezávislosti, zjistíme existenci maximální D-nezávislé soustavy" nenulových prvků grupy G 10 ). Poznámka 1. Mohutnost této maximální D-nezávislé soustavy (krátce D-soustavy) grupy G není však, jako tomu je v případě maximální lineárně nezávislé soustavy, obecně invariantem grupy G. Uvažujme na př. cyklickou grupu E = {g}, při čemž 0(g) = p x p 2...p n, n^2 libovolné přirozené, p u p 2,..., p n navzájem různá prvočísla. Uvědomíme-li si, že grupa E je direktním součtem primárních cyklických grup, vytvořených generátory p x p 2... p^x. P<+i Pn g (i = 1, 2,... n), t. j. přesvědčíme se snadno, že množiny n % ^ 2' iplpz - P<-lPi+l ' Pn 9}, &)c = (P2P3 ---Pn g, PlPz-.Pn - 9, > P1P2.. Pk-iPlc.- Pn 9> PlP% «Pk-X P*+l Pn 0 +2>:LP2 -.. PTCPJC+2*-- 3>n - í7 +... + ^lí?2 2>n-l ' flo, fc= 1, 2,..., ra, jsou D-soustavy grupy J7, při čemž m((?&) = &, h = 1, 2,..., n. Z poznámky 1 vidíme nutnost omezení svých dalších úvah na ^-primární grupy. Budiž G (p ) y-prímární Ábelova grupa, (p ) její D-soustava. Definice 2. Mohutnost D-soustavy (p ) nenulové p-primámi grupy G (p) nazveme D-kodnosti T D (G (P )) této grupy: T D (G( P )) = m( (p) ). Je-li G (p) nulová, položme T^G^)) = 0. Dříve než dokážeme oprávněnost této definice, t. j. nezávislost D-hodnosti na volbě D-soustavy grupy G (p ), uveďme následující lemmata. Lemma 1. Budiž @ = (go ř j D-soustava grupy G (p ) a nechť 0(g L ) == jř* pro 1 I. Budiž @' = (g[) l i, kde g\ = n t přr 1 *.g L,l^l L^ h t, (n L, p) = 1. Botom je ' D-soustava grupy G (p). Důkaz. Především ukažme, že množina prvků @' je D-maximální v G^. 11 ) Budiž g e G (p y, jelikož @ je D-soustava grupy G (p ), máme 0 #= k. g = k x. g Li + k 2. g L% +... + K. g ln. 10 ) Připustíme v definici 1 též množiny, které mohou obsahovat nulový prvek, přesvědčíme se snadno o tom, že přidáním nulového prvku k množině nemění se její vlastnost býti D-závislou či D-nezávislon; to nás opravňuje k tomuto omezení na nenulové prvky. u ) T. j. každý nenulový prvek z G (p) je D-závislý na množině \ Na rozdíl od D-maximální množiny grupy G rozumíme maximální množinou grupy G množinu nenulových prvků, na níž je lineárně závislý každý prvek této grupy. Tři tom, jak si snadno rozmyslíme, množina Hf může být v G maximální, ale nemusí být D-maxirnální. 316
Označíme-li máme 0(ki. g ti ) = p e S i = 1, 2,..., ^, /»=max/s i = l,2 3...,» p'.-^. gr = p'.- 1^. jr x + / - \. g h +... + p X.g ln,, při čemž v důsledku D-nezávislosti je p e «- % ]c.g4= 0. Je jasné, že pro vhodné U je p**" 1^. g H = np*"". g l{ (i = 1, 2,. w? ^), takže máme 0 + n L n Lz... n.y^k.g = k' 1. g' h + Jc %. g' h +... + Ic' n. fl^, Zbývá dokázat D-nezávislost @'; za tím účelem vyšetřujme vztah w. fl + mi. fl +... + m' n. &' n = 0, m[. g H # 0 pro vhodný index i. To znamená však, že kde m x. gr^ + m 2. g h +... + m n. gr in == 0, mi = m i n H p H ~ % * (ť == 1, 2,..., w), a m ť. flr íť 4= 0 pro vhodný index i, což je ve sporu s D-nezávislostí soustavy @ a, celý důkaz jě hotov. Poznámka 2. Tvrzení lemmatu 1 nelze ovšem obecně přenést na libovolnou grupu G a její D-soustavu @. Stačí uvážit příklad cyklické grupy E z poznámky 1: (g) jed-soustava, avšak (p x p 2 Pn-x flr) D-soustava mm. Přesto však lze stejným postupem jako v důkaze lemmatu 1 snadno dokázat následující zobecnění tohoto lemmatu pro libovolnou grupu Q a speciální D-soustavy, jejichž význam uvidíme v 3: Budiž = (g L ) lei D-soustava grupy Q taková, ze pro každý prvek g t je bud 0(g t ) == oo nebo 0(g L ) = p k % p L vhodné prvočíslo, k L *zl přirozené (i e I). Označme @' množinu přirozených násobků n L *g L = g\ +0 (t e I). Potom @' je D-soustava grupy G. Na druhé straně pro libovolnou D-soustavu @ této grupy G platí, že příslušná množina @', i v případě, že nepožadujeme g\ =j= 0 (i e I) a rozumíme @' množinu všech nenulových prvků g' t9 je bud prázdná nebo D-nezávislá. Obdobným způsobem jako lemma 1 lze dokázat též obrácené tvrzení: Nechť ' = (g[) u i je D-soustava grupy Q( 9 ) a necm prvky g L e G^ splňují rovnici n t.g L = g[ pro i e I. Potom @ = (g L ) L j je D-soustava grupy G^p). Poznámka 3. Při vyšetřování mohutností D-soustav grupy <?/ ) stačí se tedy omezit na takové soustavy, které se skládají z prvků, jejichž řád je p. To je patrné ihned z lemmatu 1, neboť položíme-li n L = l L = 1 pro všechna 317
i /, vidíme, že od libovolné D-soustavy @ = (g t ) lt i grapy ^ přejdeme k D-soustavě =-(flo f<r, při ěemž 0(jr ) = # pro u / a m( ) = m(@ ). Mimo to je bezprostředně vidět, že @ je D-soustava dolní vrstvy G {P) grupy <*). 12 ) Lerpma 2. Nectó geg^), 0(g) = 39. Potom g je lineární kombinaci prvků g 19 g 29..., g m g t e G ip)9 0(g { ) = p (i = 1, 2,..., n) právě tehdy, je-li g na ťechto prvcích D-závislý. Důkaz. Je-li předně prvek g e G lineární kombinací prvků g l9 g 29... 9 g n9 je též triviálně na těchto prvcích D-závislý. Budiž naopak 0 + k. g = f(g l9 g 29......, g n ). Jelikož 0(g) = p 9 je (k 9 p) = 1, a tedy existují celá čísla r 9 s 9 že rk + -f- sp = 1, odkud máme g = r. f(g 19 g 29..., g n ) = f(g 19 g 29..., g n ), což jsme měli dokázat. V důsledku lemmatu 2 má smysl následující definice ekvivalence dvou množin prvků z G( P ) (neboť je zaručena kromě symetričnosti a reflexivity též transitivita tohoto pojmu): Definice 3. Dvě množiny U a 33 prvků grupy G( P ) nazveme D-ekvivalentní, jestliže každý prvek z U je D-závislý na množině 55 a naopak. Lemma 3. NecM % = (a l9 a 29..., a r ) 9 0(a t ) = p (i = 1, 2,..., r) je D-nezávislá množina prvků grupy G( P ) a 33 = (b 19 b 29..., b s ) 9 0(b^ = p (j = l 9 2,..., s) množina prvků grupy G( P ) taková, ze a je D-závislý na 93 (i = l 9 2,..., r). Potom r i s a množina 93 je D-ekvivalentní s množinou (a 19 a 29..., a T9 b' r+l9 b' r+2... b r s) 9 kde b' r+l9 b' r+29..., b' 8 je s r vhodných prvků z 95. Důkaz. Jelikož podle lemmatu 2 a 2 = /(6 1? b %9..., 6 S ), je nutně podle téhož lemmatu pro vhodný index i b { = f(a l9 b l9 b 29..., b t _ x, b i+l9..., 5 S ), a tedy 95 je D-ekvivalentní s (a 19 b l9 b 29..., o^, b í+l9..., 6 S ). Celé tvrzení potom dokážeme snadno úplnou indukcí podle počtu prvků soustavy 21, využívajíce při tom stále lemmatu 2. Pomocí lemmatu 2 dokážeme ještě následující Lemma 4. Bvdtež = (gx*a> <%*) = p (<x c A) a Jf> = (h,)^ O(h 0 ) = = p (P e B) dvě D-soustapy grupy G( P ), jejichž mohutnosti m(@ ) = fi 9 m(jj? ) = = v jsou nekonečné. Potom fi = v. Důkaz. Předpokládejme, že ja < v. Jelikož j > je D-soustava grupy G( P ) 9 máme podle lemmatu 2 g = Úhtf, ^),...,^: ) K«^; (i) V těchto relacích vystupuje ovšem nejvýše >S. fi = fi různých prvků soustavy 1% ) Snadno se dá ukázat též naopak* že každá D-soustava @ dolní vrstvy Q ( V ) grupy Q( P ) je JD-soustavou grupy G( P y 318
. Jelikož v > fi, existuje prvek h fio e jj}, který nevystupuje v žádné z relací (1). Jelikož ale *,. = /,.(?.-, 9 a, - -, 9a k ) = /o(*^ ty?, -, * >, ty?, '' - ty ) > dostáváme spor s D-nezávislostí soustavy Sj. Nyní už můžeme ukázat oprávněnost definice 2, a to následující větou. Věta 1. D-hodnost p-primámi grupy G( p ), definovaná pomocí definice 2, je invariantem grupy 0( P y První důkaz. Budiž 0( p ) =j= 0. Buďtež a Jji> dvě D-souštavy grupy 0( P ); při tom nechť m(@) = Q, m(jp) = a. Podle lemmatu 1 a poznámky 2 možno přejít k D-soustavám @, J >, jejichž každý prvek je řádu p a m(@ ) == Q, m(j > ) == a. Jsou-li Q i a nekonečná kardinální čísla, dostáváme invarianci D-hodnosti, t. j. rovnost Q = a, z lemmatu 4, je-li alespoň jedno z čísel Q, a konečné, dostáváme tuto rovnost z lemmatu 3. Tím je důkaz věty 1 hotov. Druhý důkaz. Necht G( p ) #= 0. Od libovolných D-soustav @ a $} přejdeme pomocí lemmatu 1 a poznámky 2 k D-soustavám @ a Jp, jejichž prvky mají řád p a je m(@) = m(@ ), m( ) = m(j? ). @ a Jp a jsou ovšem D-soustavy dolní vrstvy G v) grupy 0( P y Uvědomíme-li si, že 0 P) je vlastně vektorovým prostorem nad prvotělesem charakteristiky p, při čemž, jak se snadno přesvědčíme, pojmy D-nezávislosti a D-hodnosti grupy splývají s pojmy lineární nez-ávislosti a dimense vektorového prostoru, ihned z teorie vektorových prostorů obdržíme m( ) = m(jp ). Tím je invariance D-hodnosti T^O^)) p-primární grupy 0( P ) dokázána. Budiž nyní G libovolná Ábelova grupa, P její periodická část, P = ]?' P( P y direktní rozklad této periodické části P na p-primární komponenty. Definice 4. D-hodností T D (G) grupy G nazveme soucei hodnosti T(0) této grupy a D-hodností p-lcomponent jeji periodické části (ve smyslu sečítání mohutnosti): V J) {G) = T(Q)+2V D (PÍ,)). P Z úvodních poznámek ihned vyplývá, že D-hodnost T^O) ffe invariantem grupy G. Je-li grupa G aperiodická, je zřejmě T^O) = T(G); je-li O periodická, nenulová, potom, zatím co T(G) = 0, je vždy r D (0) > 0 a jestliže O je navíc direktním součtem nerozložitelných Ábelových grup, udává T^G) mohutnost množiny direktních sčítanců. Poněkud obecněji: Je-li smíšená grupa O štěpitelná, G = P + A, při čemž její periodická část P je direktním součtem nerozložitelných grup a aperiodický sčítanec A je direktně úplně rozložitelný (t. j. je direktním součtem grup D-hodnosti 1), rovná se její J5-hodnost mohutnosti množiny všech direktních sčítanců v direktním rozkladu grupy Paina zmíněné nerozložitelné podgrupy. 13 ) 13 ) Pro tuto vlastnost nazýváme právě definovanou hodnost Ábelovy grupy direktní hodnost. p 319
4 3. Některé vlastnosti D-hodnosti Uvědoměme si nejprve tvrzení obsažené v tomto lemmatu: Lemma 5. Nechf G je Ábelova grupa, P její periodická část s rozkladem ^ = 2'^<*) n a p-primární komponenty P^. Nechf dále @< 0 ) = (ff Ho ) íme i {0) je maximální nezávislá soustava grupy G a ^ = (g L ) c ei D-soustava grupy P (aj) pro všechna prvočísla p. 14 ) Potom množinové sjednocení @ soustav @(o) a @(-p) (pro všechna prvočísla p) je D-soustava grupy G. Důkaz. Je především jasné, že @ je D-maximální v grupě G; neboť, je-li g e G libovolný prvek nekonečného řádu, potom je D-závislý na < 0 ), je-li g konečného řádu, je možné jednoznačné vyjádření takže ff = ffp 1 +ff» i + -"+ffp n > 9P^P(P { )> 0(g p ) = p** (i = 1,2,...,»), pfpl* Pn g = pl*pl* >-pl n g 9l * o, odkud je patrná D-závislost na množině @. Abychom dokázali D-nezávisIost množiny @, vyšetřujme mezi libovolnými prvky z relaci f(0)(fft i0) A> ffi i0v 2> > ffi (0),nf) + f(p t )(ff^p iy l> ffhpj* 2 ' ***' ff^pj)^) ~^~ + + /(**) (ffi { p k )*l> ff'w*> * * *' ff^k)^k) = * Vhodným vynásobením tohoto vztahu dostáváme postupně f(0)(ffi {^l> fftws> m * > ffiw») ~ > hpjiffiip^ ffi(pja> > fft^yn) -==- 0,... ' * > /(»*) (fl r «<2V 4> ř-^).*' * * *> ffhp^i) ^ ' odkud v důsledku D-nezávisIosti soustav @( 0 ), ( 9l ) 9..., @( Pjfc ) plyne D-ne~ závislost množiny @. Mohutnost D-soustavy @ grupy G, popsané lemmatem 5, je tedy rovna D-hodnosti této grupy. Vztah mezi mohutnostmi libovolných D-soustav.a D-hodností grupy G vyšetříme větou 4. Lemma 5 nás opravňuje k následující definici: Definice 5. D-soustavu @ grupy G nazveme kanonickou D-soustavou, jestliže 4ád hazdého prvku g e @ je nekonečný nebo je mocninou prvočísla. Kanonickou D-soustavu, jejíž každý prvek konečného řádu má řád prvočíselný, nazveme redukovanou. Následující vyšetřování kanonických D-soustav ukáže jejich důležitost. u ) Rozumí se, samozřejmě, pro ta prvočísla p, pro něz je P^ nenulová. 320
Lemma 6. Budiž @ kanonická Dsoustava grupy G. Nechť G( P ) je p-primární komponenta periodické části P grupy G, G( v ) =j= 0. Potom množinový průnik @(s>) = n G(p) je kanonická D-soustava p-primárni grupy G( P y Důkaz. Předně je z D-maximality D-soustavy @ zřejmé, že průnik @ (2) ) = = n G(y) je neprázdný; D-nezávislost množiny ( p ) je triviální. Jde o to, zjistit, že ( P ) je D-maximální v G^y Budiž tedy 0 =# g e G( P y 9 potom v důsledku D-maximality D-soustavy @ v grupě G je o * k. g = fm 9 \ (řf\ > 9 ( n p) ) + h(k K..., K\ gt* < p) " (ť = i, 2,...,»), fc i -@ (p) ") (j = l,2,...,n), t. j. 0(^)) = / í (i=l^,...,^)a 0(i4,) = 00 nebo (0(h 5 ), p) = 1 (, = 1,2,..., m). Avšak snadno vidíme, že není možné, aby lineární kombinace f 2 (h v h 2,..., h m ) byla netriviální. Lemma 6 je dokázáno. Z poznámky 2 je též jasné, jakým způsobem můžeme od kanonických D-soustav přejít k D-soustavám redukovaným. Lemma 7. Budiž Dsoustava grupy G, 3Í @ množina všech prvků nekonečného rádu z. Potom je 21 maximální lineárně nezávislá soustava grupy G a je tedy m(2í) = r(g). (2) Důkaz. Lineární nezávislost prvků z % je triviální. Přesvědčíme se o máximalitě této množiny; pro libovolný prvek 0 # g G je 0 * fc.gr = /icfltx^a,...,flr ) + h(kk ---/M- ^e (i = 1, 2,,.., n; j = 1, 2,..., m). ^ ^: e @ - 2Í Jelikož 0(& 3 ) < ÓO (j = 1, 2,..., m), je potom pro vhodné přirozené ř zřejmě tk.g = /i(flr l5 gr 2,..., g n )^) tedy je též (2). a Platí nyní následující tvrzení: Věta 2. Mohutnost kanonické Dsoustavy @ nenulové grupy G se rovná D~ hodnosti této grupy. Důkaz. To je bezprostředním důsledkem lemmatu 6 a lemmatu 7. Neboť, necht @ = % u $>, kde 2Í (resp. *)}) je množina prvků nekonečného (resp. konečného) řádu D-soustavy @. Potom podle lemmatu 7 platí (2); dále máme podle lemmatu 6 a věty 1 Tím je věta 2 dokázána. m(3> n 0< )) = rjbígw), a tedy m(?>) = ^(ČM 15 ) S0ř ^Jt označuje množinový rozdíl množin TI a 91. 16 ) ťi(9i> $2>, 9n)> * j- t é ž /i(0i> a 2»»fl r n) může být ovšem triviální. Je-též zřejmé, že <2) platí i v případě, že $1 = 0. 321
Poznámka 4. Jestliže mohutnost D-soustavy @ grupy G je rovna D-hod~ nosti této grupy, nemusí být D-soustava @ ještě kanonická: Budiž II = (p ls p2, -',PJC, ) nekonečná soustava různých prvočísel, r, & celá čísla taková, že rp x + sp 2 = 1. Grupa G budiž direktním součtem cyklic- 00 kých grup G(p k ) = {g k }iááup k : (?== ' G(p k ). Zřejmě @ = (s. g x r.g 2,g z,... i = l >.?& ) j? D-soustava, m(@) = T^G) a při tom @ není kanonická D-soustava,, neboť 0(s.g % r. g 2 ) = p x p 2. Ukážeme však, že toto nemůže nastat v případě, kdy D-hodnost grupy G je konečná. Nejprve však dokažme lemma, které popisuje, jak možno přejít od libovolné D-soustavy grupy G ke kanonické D-soustavě této grupy. Lemma 8. Budiž @ D-soustava grupy G. Každý prvek g c @ konečného řádu, jez není mocninou prvočísla, t. j. 0(g) = n = plyz Pi k, lšei(i-=l,2 i), k = 2 přirozená čísla, (3) nahraďme k prvky 9i = PÍ z Pt 3 PÍ- 9, 92 = P^pt^-PÍ -g,---9k = p e i l P e 2 r.-*p e k h -i 9 (*) a označme vzniklou množinu @'. Potom @' je kanonická D-soustava grupy G. Důkaz. Je zřejmé, že každý prvek množiny @' má bud řád nekonečný nebo řád rovný mocnině některého prvočísla. Dále @' je D-maximální v grupě G; k tomu si stačí uvědomit, že pro prvek g e @, splňující podmínky (3), je= 9 ~ fí9x, 9^, -, 9k), 9i tvaru (4), i = 1, 2,..., k. Dokážeme ještě D-nezávislost množiny @'. Nechť pro g t e @' platí vztah JO # t. g = f x (g l3 g 2,..., g t _ l9 g i+1,..., g k ) -f f 2 (h x, h 2,..., h m ), kde prvky g l9 g 2,...,g k mají význam uvedený ve znění lemmatu. Jelikož; (0(gi), 0(gj)) = 1 pro / #= i, j = 1, 2,..., k, existuje přirozené číslo l, že 0 =f= ti. g { = f 2 (h 1} h 2... h m ); ale g i3 jakož i prvky h x, h t,...,h m jsou přirozenými násobky jistých prvků z D-soustavy @ a tedy podle poznámky 2 máme* tvrzení lemmatu 8 ověřeno, neboť f t (h x, h 2,..., h m ) je nutně triviální. Věta 3. Je-li D-hodnost T^G) nenulové grupy G konečná, potom kanonické D-soustavy grupy G jsou právě D-nezávislé množiny prvků této grupy, jejichž mohutnost je T B (G). Důkaz. První část tvrzení je obsažena ve větě 2. Máme-M naopak D-nezávislou množinu @ prvků grupy G, m(@) == T B (Ú), která není kanonickou D-soustavou, doplníme ji na množinu D-maximální v grupě G a způsobem popsaným v lemmatu 8 přejdeme ke kanonické D-soustavě; ihned dostáváme* spor s větou 2. 322 Důsledkem lemmatu 8 je též následující věta.
Věta 4. Mohutnost libovolné D-soustavy @ grupy G je rovna nejvýše D-hodnosti této grupy: m(@) <í T D (G); je-li při tom T D (G) ^ tf 0, je dokonce m(@) = T D (G). Důkaz. Podle lemmatu 8 můžeme od libovolné D-soustavy @ přejít ke kanonické D-soustavě ', při čemž m(@) ^ m(@'). Podle věty 2 máme m(@) ^ ^ m(@') = T D (G). Jestliže @ je konečná, je též ' a tedy i D-hodnost T D (G) grupy G konečná. Je-li T D (G) nekonečná, je v důsledku toho nutně m(@) 2> % Protože ale podle lemmatu 8 je T D (G) = m(@') ^ H 0. m(@) = m(@), je celá věta 4 dokázána. Tvrzení lemmatu 5 a věty 4 vede ihned k výsledku, z něhož je bezprostředně patrná invariance pojmu D-hodnosti Ábelovy grupy a pomocí něhož též vidíme, jak možno D-hodnost Ábelovy grupy definovat přímo, nezávisle na rozkladu grupy G. Věta 5. Budiž 5DÍ = ( $) Č j systém všech D-soustav nenulové grupy G; označme m( s ) = X$ pro d A. Potom množina kardinálních čísel A = (X d ) 9 é má maximální prvek k či a je X di = T D (G). Při tom je množina A jednoprvková, A = (T D (G)), tehdy a jen tehdy, jestliže v systému SDí existuje alespoň jedna D-soustava dt nekonečné mohutnosti, nebo jestliže periodická část grupy G je p-primámí či nulová. 11 ) Důkaz. Z věty 4 vyplývá pro všechna kardinální čísla % d (d e A) nerovnost %d š T D (G), z lemmatu 5 pak existence čísla X 6i, pro něž je X di = T D (G). Je-li (& ó% D-soustava z SK, jejíž mohutnost je nekonečná, potom z věty 4 plyne, že A = (T D (G)). Stejně je tomu tak podle lemmatu 7 a věty 1 v případě, kdy periodická část grupy G je nulová či p-primární. Jestliže A = (T D (G)) je naopak jednoprvková a není-h T D (G) nekonečná, ani O aperiodická, je nutně periodická část grupy G p-primární. Jinak by totiž existoval prvek g e G konečného řádu n = Pípl* rí, p navzájem různá prvočísla, e ř ^ 1, n' přirozená čísla (i = 1, 2) a dále D-soustava @ griipy G, obsahující tento prvek g. Jelikož je při tom m(@) < oo, máme podle lemmatu 8 m(@) < T D (G), což je spor s předpokladem o množině A. Nyní dokážeme jednoduchý vztah mezi D-hodností grupy G a její podgrupy H a mezi D-hodností direktního součtu G == ]>' i a D-hodnostmi direktních tel sčítanců G L (ie I). Věta 6. Pro podgrupu H c é platí T D (H) <^ T D (G), pro direktní sotcčet G == 2'G.?«*D(<?) = 2^(0,). tel lei Důkaz. První část je triviální, nebot každou kanonickou D-soustavu podgrupy H můžeme doplnit na D-soustavu grupy G. 18 ) Podobně dokážeme 17 ) T. j. (2 je aperiodická. 18 ) Dokonce, jak je snadné se přesvědčit, na kanonickou D-soustavu grupy G. 323
snadno i druhé tvrzení. Stačí si jen uvědomit, že množinové sjednocení kanonických D-soustav L grup G L (i /) je kanonickou D-soustavou grupy G. Ovšem známý vztah, mezi hodností grupy G a její podgrupy H c G T(G) = T(H)+T(G/H) obecně nelze na D-hodnost přenést. To ukazuje jednoduchý příklad aditivní grupy racionálních čísel B a její podgrupy {1} c B. Je totiž T D (B) = T D ({ 1}) = = 1, ale T D (B/{1}) = tf 0, neboť B/{1} je direktní součet Pruferových grup G(p co ) vzhledem ke všem prvočíslům p. Rovnost T D (G)^V D (H)+T D (G/H) (5) dokonce obecně neplatí ani pro p-primární grupu G. Neboť, není-li ^-primární grupa G konečné D-hodnosti direktním součtem cyklických grup řádu p, t. j. existuje-li g e G, 0(g) > p, potom za podgrupu H stačí volit dolní vrstvu G grupy G; je totiž podle poznámky 3 T D (G) = T D (G ) a jelikož G/G =f= 0, je T D (GIG ) > 0, neboli neplatí (5). Věta 7. Pro libovolnou podgrupu H grupy G platí vztah: T D (G)^T D (H)+T I> (GIH). (6) Důkaz. Budiž jj) kanonická D-soustava grupy H; doplňme ji na kanonickou D-soustavn & grupy G. Zbytkovou třídu faktorové grupy G mod H, ve které leží prvek g 9 označme g a množinu takto vzniklých tříd pro všechny prvky g e Jr) potom označme %. Dokážeme, že je D-nezávislá v G/H. Nechť tedy existuje netriviální lineární kombinace f x (g, l9 g 2,..., g n ) = 0, jř* (i = = 1, 2,...,n). Potom odtud dostáváme vztah fi(gi,9i,,gn) = k, g i -% ( = l,2,...,n), heh. Je-li h = 0, je f t {g l9 g 2,..., g n ) a tedy i f x (g l9 g 2,..., g n ) triviální. Je tedy h + 0, t. j. 0 + k.h = f 2 (h v h 2,...,h m ), h s e% () = 1,2,..,4 odkud 0 ^ f 2 (h 1,h 2,...,h m )==f 1 (g 1,g 2,...,g n ); to je spor s D-nezávislostí D-soustavy. Jelikož podle věty 4 je T D (G/H) = m(g) = m( Jp), dostáváme ihned (6). Vyšetříme nyní, jaké podmínky musí splňovat grupa G a její podgrupa H cg, aby platila rovnost (5). K tomu účelu dokažme nejprve následující lemmata a věty, které jsou důležité i samy o sobě. * Lemma 9. Budiž G Ábelova grupa; nechť Gi (i = 1, 2,..., k) je podgrupa grupy G těch prvků g e G, pro něz je 0(g) = p j, j ^ i, p prvočíslo. 19 ) Jestliže platí TB(G k ) ^ K 0 (resp. m(g k ) > r pro kardinální číslo r S> tfo), pa& též pro každý índex i = 1, 2,..., k 1 ^Zaří m(6r, i) ^ tf 0 (resp. m(^) > r). 20 ) 19 ) T. j.p*. g = 0. Je tedy <?* =? G M 2... 2 G r 20 ) Stejným způsobem dokážeme implikaci: Jestliže a je nekonečné regulární'kardinální číslo, a je m(0 fc ) > a, potom m(0 ť ) ^ a pro každý index^* = 1, 2,... k 1. 324
Důkaz. Důkaz provedeme úplnou indukcí; ukážeme, že z nerovnosti m(^) j> ig tf 0 plyne ihned nerovnost m((? i 1 ) ^ tf 0 (i = &, & 1,..., 2). Nechť je naopak m(g ř 4_ 1 ) < tf 0. Potom existuje prvek gr^ e (?,_ 15 že množina řešení rovnice p.x = g^x (7) v grupě Gi má mohutnost, _-_ ^ 8 0. Jinak totiž dostáváme proti předpokladu m^) < mí ^-,). K 0 = tf 0. Ovšem, je-li gr ť řešení rovnice (7), potom každé jiné řešení této rovnice má tvar g { + g x, g x e G v Tedy m(g 1 ) ;> tf 0, ale protože "ť-i 2 i> dostáváme m(c7 i _ 1 ) 2> m(g 1 ) 2 tf 0, což je spor s předpokladem. Druhé tvrzení s ostrou nerovností dokážeme snadno stejným způsobem. Lemma 10. Budiž SDí množina všech řešení rovnice n. x = g 0, 0 4= <7 0 e #, n přirozené číslo, (8) «; gropě (T. Potom je budtosdř = 0, we&o yzató: je-li v D (G) _ a 0,?e m( SK) ^ r^g), 2 *) fe-k ^(67) < tf 0, je tá? m( SDí) < tf 0. Důkaz. Nechť existuje řešení rovnice (8); označme je g', t. j. n. g r = gr 0. Všechna ostatní řešení rovnice (8) v grupě G jsou pak právě prvky tvarxi g == g' + h, h G, n. h = 0. Označme 6r< w > podgrupu grupy G všech prvků A e G, pro něž n.h = 0. Je tedy zřejmě m(cr< n >) = m( SK). Dokažme nejdříve první ěást tvrzení; předpokládejme, že toto tvrzení neplatí, t. j. Budiž m(sdí) > T D (G), čili m(gw) > x D (G). (9) o» = 2,G «(- ) rozklad grupy Q( n ) na ^-primární komponenty, jichž je zřejmě konečný počet, a @( n ) redukovaná kanonická D-soustava grupy G( n \ Ukážeme nejprve, že za předpokladu (9) platí m(@( w >) = m(c7^>), t. j. r^fiw) = m((?< w >). Předpokládejme tedy, že naše tvrzení neplatí, t. j. že m( <»>)<m(0< n >). (11) Jelikož podle lemmatu 6 redukovaná D-soustava @( w ) je sjednocením redukovaných D-soustav ^jednotlivých ^-primárních kornponent G^] v rozkladu (10) a jelikož z předpokladu m(č?( n )) > r^tr) = 8 0 plyne existence prvočísla jp 0, pro něž m^^) = m(čr( w >), je potom pro toto prvočíslo p 0 nutně m(@w) < m(fl^), m(0> r DÍfl E )^«D- ( 12 ) 21 ) Je-li G aperiodická, Wl 4-0, je ovšem m(sm) = 1. Jestliže G = 67(00) + ^'QJÍP)> l l &(*>) = {#}> m(i) = u k» a 0 Í e "!i n = P> ^o = * 0, je potom m(3b) = ^(í?) = u. 325
Při tom, protože řády prvků z Gffl o) jsou omezeny, pro vhodné přirozené k (volme k nejmenší možné) alibovolný prvek g e G^] je 0(g) ^ p 0. Uvažujme nyní konečnou klesající posloupnost podgrup G$ o) = (? k D(? M 3...D(?p(? 1 *.0, kde Gi je podgrupa grupy G^ těch prvků g, pro jejichž řád platí vztah 0(g)^pÍ(i = k,k-l,... y 2, 1) M) Při tom si uvědoměme, že, redukovaná D-soustava j*^ y 0 -primární komponenty G$ o) grupy <?<*> je též redukovanou D-soustavou každé podgrupy G i (i z= k 1, k 2,..., 2, 1). Jelikož platí (12), dostáváme podle lemmatu 9 ihned m^) > r^ť?) ^ K 0. Odtud vidíme, že m( ( %) ^ a 0. 2 *) (13) Kdyby totiž platilo m( P o) ) < tf 0, bylo by též m(g í ) < 8 0, neboť každý prvek ffi @i J e podle lemmatu 2 lineární kombinací prvků z @^} a všech možných takových lineárních kombinací je zřejmě konečný počet. Jelikož podle (12) a (13) m(q$ly) > mí ^) ^ tf 0, dostáváme opětným použitím druhé části lemmatu 9 m(čr x ) > mí ^). S druhé strany však každý prvek podgrupy G x je lineární kombinací prvků z D-soustavy j^), a tedy podle (13) m(o x ) 5S m (@p. * = m(@<;> } ). Tím jsme však odvodili z předpokladu (11) spor, takže za předpokladu (9) je skutečně T D (GW) = m(@w) = m(#< n >). Z této rovnosti a ze vztahu (9) dostáváme T D (GH n )) = m(gw) > T D (G), C?< n ) c G, což je ve sporu s větou 6. Tedy nebyl správný ani předpoklad (9) a je skutečně m($jl) < -M^)- Druhé tvrzení dokážeme též použitím lemmatu 9. Nechť za předpokladu, že T D (G) < H 0J platí m(wl) I>Ho» t. j. m(#< n >) ^ tf 0. Potom nutně v konečném direktním rozkladu (10) podgrupy (?( n ) pro vhodné prvočíslo p 0 je Ponechajíce označení z první části důkazu, dostáváme odtud podle první části lemmatu 9 m(g x ) ;> ti,. Potom ovsem, protože každý prvek grupy G x je ) lineární kombinací prvků z @[^)5 máme m(@ ( (^o )) 2> a,,; protože 6^ G, je podle věty 6 T D (G ) á ^(0), a tedy r D (G) ^ ^(0$) = mc ^) ^ H,, což je spor s předpokladem lemmatu 10. Celé lemma 10 je dokázáno. Věta 8. Je~li T D (G) 2> % resp. je-li m(g) > a^, 24 ) potom je T D (G) = m(0). Důkaz. Nechť nejprve T D (G) I> >^. Jelikož pro každý prvek 0 =^geg platí 0 * &> = k. y = / (a) (jr lf gr 2,..., gr w ), jr«e (i = 1, 2,..., m), 2a ) Dokonce všech prvků g c G, pro něž platí, že p i Q. gr = 0 (i k, k 1,..., 2, 1). * ) Nerovnost možno samozřejmé zlepšit: m((bíp^) > r^g) ^>» 0. 32
kde @ je D-soustava grupy G, a jelikož podle lemmatu 10 je mohutnost množiny SDI* řešení rovnice (8) v grupě G pro každé přirozené n nejvýše rovna D-hodnosti grupy G, snadno zjistíme, že m(g) ^ m( 2JQ. K 0. m(@). H, ^ T D (G). m(@) == T D (G). S druhé strany platí triviálně m(g) ^ T D (G), čímž máme důkaz prvního tvrzení hotov. Abychom dokázali druhé tvrzení, ukážeme, že nerovnost T D (G) ^ %$ je důsledkem nerovnosti m(g) > *t 0. Předpokládejme za tím účelem opak, t, j. T D (G) < X 0. (14) Z lemmatu 10 dostáváme, že pro každé n má rovnice (8) pouze konečně řešení, 25 ) a, tedy je-li D-soustava grupy G, je m(g) <S H 0. m(@). tf 0 = XQ, neboť in(@) ás *!)(&) podle věty 4. Tím jsme odvodili z předpokladu (14) spor s nerovností m(g) > ^; celá věta 8 je dokázána. Věta 9* Je-li T D (G) ^ tf 0 (nebo m(cr) > X Q ), % potom pro libovolnou podgrupu & cg platí rovnost (5). Důkaz. Podle věty 7 platí nerovnost (6). Je dále zřejmě m(g) ^ m(h), m(<?) ^ m(g/h). Jelikož podle věty 8 je ^(0) = m(g) ^ m(iř) + m(c7/jí), a, triviálně m(.h") ^ T D (H), m(g/h) ^ T D (G[H), dostáváme T D (G) ^ ^(.ff) + + T D (G/H); věta 9 je dokázána. Abychom popsali též případ, kdy platí (5) pro grupy, jejichž D-hodnost je konečná, zaveďme pojem slabé servantni podgrupy v dané grupě. Definice 6. Podgrupu H grupy G nazveme slabé servantni v G, jestliže každá zbytková třída grupy G/H řádu prvočíselného obsahuje prvek téhož řádu. 26 ) Věta 10. Je-li T D (G) < tf 0, potom pro její podgrupu H cg platí rovnost (5) -pravé tehdy, je-li H slabé servantni v G. Důkaz. Jelikož pro případy G ^= 0 nebo H = 0 jsou implikace v obou směrech triviální, předpokládejme H #= 0. Nechť podgrupa H je slabě servantni v G. Budiž $ = (h v \,..., h r ) redukovaná D-soustava grupy H (podle věty 6 a věty 4 je konečná) a @ = (g t ) tt i M ) Je-li G periodická grupa, jejíž prvky mají ohraničené řády, potom z důkazu věty 8 vidíme, že k platnosti r^g) = m(g) stačí předpokládat m(g) ^ V Příklad grup G(p»), <?( oo) však ukazuje, že v případě obecné periodické či aperiodické grupy nutno předpokládat ostrou nerovnost. 25 ) Zde jsme se však mohli obejít bez druhé části lemmatu 10, neboť k našemu účelu stačí tvrzení, že každá tato rovnice má nejvýše spočetně řešení, což plyne ihned z první 00 6ásti lemmatu 10: utvoříme totiž grupu G x = G + E' G^p), r^gy = «0, a dále je vše.zřejmé. 26 ) Ekvivalentní je definice: Podgrupu H grupy G nazveme slabě servantni v G 9 jestliže každá rovnice p,x h, O + n-ch, p libovolné prvočíslo, která má řešení v grupě G 9 má též řešení v H. Je-li G aperiodická grupa, potom ovšem pojem slabě servantni a servantni podgrupy splývá. 327
redukovaná D-soustava grupy G/H. Podle předpokladu existují prvky g L e G takové, že gjgi> %,)-Ofo), tel") (15) Označme @' = (g t ) it i- Dokážeme, že množina @ = @' u # je D-nezávislá. Vyšetřujme lineární kombinaci h x. \ + 1c 2. h 2 +... + k r. h r + l x. g h + l 2.g h +... + l 8.g l9 =0; potom je l 1.g h + l 2.g h +... + l s.g h = 0, čili l t. g í{ = 0, i= 1,2,...,*, a tedy podle (15) Z*. y ť = 0, i == 1, 2,..., 8. Potom ovšem h s. h 3 - = 0, j = 1, 2,......, r. Dostáváme tudíž nerovnost i B (G) ^ m(@) = m(jr>) + m(@) = r^fl) + T D (G/H) 2 *) a jelikož podle věty 7 platí (6), je skutečně (5). Nechť naopak platí rovnost (5). Buďtež Jj) -= (& l5 h 2,..., A r ), @ = (i^., A 2,......, h r, g l9 g 2,... g g ) redukované D-soustavy podgrupy H a grupy G, t. j. Jj c @. Označme zbytkovou třídu faktorové grupy Cr/H, v níž leží prvek g iy symbolem 9%\ ] 9i4= 0 (i = 1, 2,..., s). Při tom zřejmě pro každý index i platí: je-li 0(gi) = p, je 0{g { ) = ř>, je-li Ofa,) = oo, je O(^) = oo. Stejným způsobem jako v důkaze věty 7 dokážeme, že množina @ = (g u g%>.. - JŠ^S) je D-nezávislá. Jelikož platí (5), je tedy & redukovaná i>-soustava grupy G/H. Budiž nyní g e G/H, 0(g) = p, kde p je prvočíslo. Pak je podle lemmatu 6 a lemmatu 2 g = f(g %9 g 2,..., g s ). Odtud pro # c <7 dostáváme ^ -= f(g l9 g 2,..., <?*) + K heh, čili g heg, g h = f(g^9 g 2,..., g s ). Při tom ovšem 0(f(g 19 g %, -.,&)) = 0(/(flTi, i?2> - > *)/> nebo * P D-nezávislá množina a Ofo) = 0(jr<), i == 1, 2,..., s. Tedy 0( r h) = 0(g), g heg, čímž je celá věta 10 dokázána. Z věty 9 a věty 10 ihned vyplývá následující tvrzení. Korolár f. Je-li H servantní podgrupou v Ábelové grupé G (nebo je-li speciálně direktním sčítancem této grupy)**) potom platí rovnost (5). Poznámka 5. Uvedeme jednoduchý příklad, ukazující, že z platnosti (5) neplyne ještě, že podgrupa H je servantní v G. Zároveň nám tento příklad ukáže, že pojem slabé servantní se nekryje s pojmem servantní podgrupy v dané grupě. Budiž G = G(co) + G(p), G(co) = {grj, G(p) = {g 2 }, H = {p.g x +g 2 }. Je zřejmé, že H není servantní v G, nebot rovnice p 2. z = p 2. g ± má řešení g x e G 9 nemá však řešení v podgrupě H. m ) Snadno ale zjistíme, že faktorová 27 ) Je-li 0(g t ) = p t, plyne toto tvrzení z předpokladu slabé servantnosti podgrupy H v G, je-li 0(g t ) = oo, je tvrzení triviální. 2S ) Odtud též vidíme, že je konečná. **) Toto plyne už ovšem z věty 6. s0 ) Všechna řešení mají tvar g x + k. g 2 (h == 1, 2,... p 1, p)., 328
grupa G/H je isomorfní cyklické grupě řádu p 2, vytvořené zbytkovou třídou g t) v níž leží generátor g x grupy G(co). Tedy r D (G) = 2, T D (H) = 1, T D (G/H) = 1 a vztah (5) platí. 4. Závěrečné poznámky Obsahem tohoto posledního odstavce jsou dvě věty o Ábelových grupách konečné D-hodnosti a poznámka k Prúferově pojmu hodnosti Ábelovy grupy. Zatím co jsme v předcházejících úvahách nepoužívali žádných hlubších výsledků teorie Ábelových grup, odvoláme se nyní na některá tvrzení připomenutá v přípravném odstavci 1. Na rozdíl od aperiodických grup konečné D-hodnosti (které, jak známo, nejsou obecně direktně rozložitelné na podgrupy D-hodnosti 1) platí toto tvrzení: Věta 11. Periodická grupa G konečné D-hodnosti n je direktním součtem n grup D-hodnosti 1, t. j. primárních cyklických grup a grup typu p (vzhledem k různým prvočíslům p). zi ) Důkaz. Předně ihned vidíme, že periodické grupy D-hodnosti 1 jsou právě primární cyklické grupy a grupy typu p. Jelikož grupu G můžeme direktně rozložit na p-primární komponenty, jejichž D-hodnost je také konečná, stačí větu dokázat za předpokladu, že G je ^-primární. Důkaz provedeme úplnou indukcí. Je-li n = 1, je tvrzení věty triviální; předpokládejme, že pro ^-primární grupy D-hodnosti n - 1 ^ 1 tvrzení platí. Jelikož z grupy G můžeme vždy direktně oddělit cyklického sčítance nebo grupu typu p, máme G = = G' + G^, T D (G n ) = 1. Potom podle věty 6 je T D (G r ) = n 1, a tedy G r = 2'^, T D (Gt) = 1 (i = 1, 2,..., n - 1), odkud G = ' G i9 r^o,) = 1 (i = 1, 2,..., n), q. e. d. Z věty 11 dostáváme ihned následující důsledek. Korolár 2. Redukované periodické Ábelovy grupy konečné D-hodnosti jsou pravé konečné Ábelovy grupy. Věta 12. Smíšená Ábelova grupa G konečné D-hodnosti je štépitelná. Důkaz. V důsledku T D (G) < tf 0 má též periodická část P grupy G konečnou D-hodnost a je tedy podle věty 11 konečným direktním součtem cyklických grup a grup G(p co ). Prvky konečného direktního součtu cyklických grup mají však ohraničené řády, takže P je direktním sčítancem G. Věta 12 je dokázána. Poznámka 6. H. PBÍTFEB (viz [2]) definuje pojem hodnosti Ábelovy grupy G takto (označme ji T P (G)): 31 ) Z důkazu této věty je patrno, že stačí předpokládat, aby každáp-primární komponenta grupy G měla konečnou D-hodnost. 329
Je-li G nenulová, konečná a je-li @ soustava generátorů této grupy o nejmenším poctu prvků, potom T P (G) = m(@). Je4i G nekonečná, označme @ = (r t ) lei systém všech konečných podmnožin prvků grupy G; nechť L, cel je soustava generátorů o nejmenším poctu prvků podgrupy grupy G, vytvořené prvky z F t (i e I). Označme m(@j = n L. Existuje4i v množině přirozených čísel (n L ) í i maximální prvek n lo, potom T P (G) = n h ; neexistuje4i takový prvek (t. j. tato množina je neohranicená), je T P (G) = oo. Pro nulovou grupu G je T P (G) = 0. Snadno se přesvědčíme, že pro p-primární Ábelovy grupy splývá pojem D-hodnosti s Priiferovou definicí hodnosti Ábelovy grupy v tom smyslu, že libovolné nekonečné D-hodnosti odpovídá Pruferova hodnost oo. Předpokládejme nejprve za tím účelem, že p-primární grupa G( P ) je konečná. Potom je G( P ) konečným direktním součtem ^primárních cyklických grup a vidíme ihned, že r P (G ip) ) = r B (G (p) ). (16) Předpokládejme dále, že T B (G( P )) < HQ. Budiž T libovolná konečná množina prvků z G (v ) a G[ p) konečná podgrupa grupy G( P ), vytvořená prvky z této množiny; tedy T B (G[ P) ) < T B (G( P) ). Jelikož G[ P) je konečná, dostáváme Yp(G[ P) ) =T B (G[ P) ) ^T B (G( P) ). S druhé strany však pro konečnou dolní vrstvu G {p) grupy G {p ) je podle předchozí úvahy a poznámky 3 T P (G {P) ) = T B (G {P) ) = == T B (G( P )), takže skutečně platí (16). Je-li nakonec T B (G( P )) S> H 0, potom dolní vrstva G {P) je direktním součtem nekonečně mnoha cyklických grup G(p), takže ihned dostáváme T P (G( P )) = co. Stejnými úvahami, využívajíce známé věty o rozkladu Ábelovy gropy s konečným počtem generátorů na direktní součet cyklických podgrup, se snadno přesvědčíme, že platí, je-li grupa G aperiodická, a že pro libovolnou Ábelovu grupu G platí v P (G) = r D (G), (17) r P (o) =g ij,{q); (18) při tom oba vztahy (17) a (18) chápeme v případě, je-li T P (G) = oo, ve zřejmém smyslu. Příklad konečné cyklické grupy E z poznámky 1 pak ukazuje, že vztah (18) mezi Priiferovou hodností a IXhodností Ábelovy grupy může být ostrou nerovností; je totiž zřejmě r P (E) = 1, T B (E) = n, n ^ 2. LITERATURA [1] A.T. Eypotu: TeopHsc rpyim, 2~oe H3ji(., MocKBa 1953. [2] H. Prüf&rz Untersuchungen über die Zerlegbarkeit der abzählbaren primären Abelschen Gruppen, Math. Zeitschrift 17 (1923), 35 61. SSO
Резюме ^-РАНГ АБЕЛЕВОЙ ГРУППЫ ВЛАСТИМИЛ ДЛАБ (учавтлти Б1аЪ), Прага. (Поступило в редакцию 9/1У 1956 I.) Автор называет в статье множество элементов (дх.х абелевой группы О О-независимым, если из всякого соотношения к целые числа, п произвольное натуральное число, вытекает Ъ г. д н = =- 0 (ъ = 1, 2,..., п). Финитный характер определения обеспечивает существование максимальной линейно О-независимой системы (отличных от нуля элементов); однако, ее мощность в общем случае не является инвариантом группы О (Замечание 1). Но если же 0( Р ) является ненулевой 35-примарной группой, то все максимальные линейно ^-независимые системы (коротко ^-системы) имеют одну и ту же мощность (Теорема 1), которую назовем О-рангом т в (Сг( Р )) группы 0( Р у для 0( Ф ) = 0 положим т в (0( Р )) = 0. ^-ранг т в (0) общей ненулевой абелевой группы в определим уравнением г л (0) = г(б')4-2г л (Р (, ) ), р причем Р = 2'-Р(з,) является прямым разложением периодической части р группы (т на р-примарные компоненты, а т(0) означает ранг (в обыкновенном смысле) группы О. Если группа О является ненулевой, то, очевидно, т 1>(в) > 0> е с л и $ группа без кручения, то т в (0) = г(0). Из всех ^-систем группы О особое место занимают канонические О-системы, т. е. такие ^-системы, каждый из элементов которых является элементом или бесконечного порядка или порядка, равного степени простого числа. Если @ каноническая ^-система группы (?, то Ш(@) = т в (0) ;1) (1) если же т в (0) конечен и если какое-нибудь ^-независимое множество @ элементов группы О удовлетворяет уравнению (1), то @ есть каноническая ^-система группы О (Теорема 2 и Теорема 3). Далее, справедлива также Теорема 5. Пусть Ш = ( $)д А совокупность всех О-систем ненулевой группы 0\ обозначим т( 8 ) = Х д для д е А. Тогда множество кардинальных чисел А = (д 8 ) беа содержит наибольший элемент к$ х и Л 9 = т^о). Притом множество Л содержит только один элемент т в (0) тогда и только г ) Символом т(щ обозначена мощность множества Ш. 331
тогда, если е системе Ш существует хоть одна бесконечная В-система ($ 8, или если же периодическая часть группы О является р-примарной или нулевой. Теорема 6. Для подгруппы Н с О справедливо т^н) ^ т в (0), для прямой суммы О = ]>' & ь имеет место т в (0) = 2 г х>(^^)- Важное значение имеет утверждение леммы 10, при помощи которой доказывается теорема 8. Лемма 10. Пустъ Ш множество всех решений уравнения п. х = д 0, 0 ф д 0 0,п натуральное число, в группе в. Тогда или Ш = 0 или справедливы утверждения: Если т в (0) ^ к 0, то т(щ ^ т в (0); если т в (0) < И 0, то т(5щ) < «0. Теорема 8. Если т в (0) 2> К 0 (или т(@) > Н 0 ), то т в (0) = т(6?). В теореме 7, в теореме 9 и в теореме 10 исследуются условия, при которых для подгруппы Н с $ имеет место соотношение т в (0) = т в (Н) +т в (0/Н). (2) С этой целью вводится понятие слабо сервантной подгруппы: Подгруппу Н группы О называем слабо сервантной в О, если каждый класс фактор-группы О/Н, порядок которого равен простому числу, содержит элемент того же порядка. Теорема 9. Если т в (0) 2^ К 0 (или т(сг) > К 0 ), то для любой подгруппы Н ^ О справедливо соотношение (2). Теорема 10. Для группы О, Гр(<2) < н 0, и ее подгруппы Н с С7 имеет места равенство (2) тогда и только тогда, если Н является слабо сервантной в О. Наконец, в теоремах 11 и 12 говорится о периодических и смешанных группах, имеющих конечный 1)-ранг; сравнивается 1)-ранг с определением ранга т Р (0) абелевой группой (?, данным Прюфером. В случае /ьпримарной группы и в случае группы без кручения всегда т Р (0) = т п (0)', в общем можно только утверждать, что т р (0) ^ т в (0). (Замечание 6.) 2иваттеп{а88ип Я-ВА-Ш ЕШЕВ АВЕЕ8СНЕК (ЖЛРРЕ ^АВТВОЪ ^^АВ, Рта-д. (Ет е&ап&еп ат 9. Арп1 1956.) Бег Аитх)г пешгб 1п йег АгЪегЬ ете Меп е (&) / Vоп ЕктепЪеп о!ег аъе!- есьеп СггнрреС? В-ипаЪШгьдгд, "тсгепп ]*ео!е Вегаепнпё 332 *!?*-+*,.&, +..- + **.0. ж = 0
bei ganzen k { und beliebigem natürlichem n k 4. g H = 0 für alle i = 1, 2,..., n nach sich zieht. Der finite Charakter der Definition garantiert die Existenz eines maximalen D-unabhängigen Systems (von Null verschiedener Elemente), dessen Mächtigkeit aber im Allgemeinen kein Invariant der Gruppe G ist (Bemerkung 1). In einer nichttrivialen ^-primären Gruppe G( P ) haben aber alle maximalen D-unabhängigen Systeme (kurz D-Systeme) dieselbe Mächtigkeit (Satz 1), die wir den D-Bang r D (G( v )) der Gruppe G( v ) nennen; für G( v ) = 0 definieren wir T D (G( P )) = 0. Den D-Rang T D (G) der allgemeinen abelschen Gruppe G definieren wir durch die Beziehung hier ist P = 2'P(j>) ^e direkte Zerlegung der maximalen periodischen Unterp gruppe in ^-primäre Komponenten und r(g) der Rang der Gruppe (im gewöhnlichen Sinne). Wenn die Gruppe G nichttrivial, d. h. von der Nullgruppe verschieden, ist, so ist offenbar T D (G) > 0, ist die Gruppe G torsionsfrei, so ist T D (G) = r(0). Unter den D-Systemen der Gruppe G sind besonders wichtig die kanonischen D-Systeme, d. h. diejenigen D-Systeme, deren jedes Element entweder eine unendliche oder eine Primzahlpotenzordnung hat. Wenn ein kanonisches D-System der Gruppe G bedeutet, dann gilt die Gleichheit m(@) = r i>( )*); im Falle, daß r D (G) endlich ist und irgend eine D-unabhängige Menge @ der Gleichheit (1) genügt, ist @ ein kanonisches D-System der Gruppe G {Satz 2 und Satz 3). Weiterhin gilt: Satz 5. Wt = (G$) 6eA sei das System aller D-Systeme einer nichttrivialen Gruppe G; bezeichnen wir m(($ s ) = X s für jedes ö e A. Dann hat die Menge A = = ß$)ö d der Kardinalzahlen X 8 ein größtes Element X 8x und es ist T D (G) = l 8i. Hierbei enthält die Menge A gerade ein einziges Element T D (G), wenn und nur wenn im System SK wenigstens ein unendliches D-System St> existiert, oder wenn die maximale periodische Untergruppe der Gruppe G p-primär oder trivial ist. Satz 6. Es ist für die Untergruppe H G T D (H) <^ r D (G) und für die direkte Summe G = ^ G L r D (G) = T D (G L ). Die Aussage, die im Hilfssatz 10 enthalten ist, ist besonders wichtig; mit ihrer Hilfe ist dann der Satz 8 bewiesen. Hilfssatz 10.SD? sei die Menge aller Lösungen x e G der Gleichung n. x = g Qi wo n natürlich und 0 #- g Q G ist. Dann ist entweder SP? = 0 oder es ist für T D (G) ^ 2> tf 0 m( SÄ) ^ T D (G) und für r D (G) < x 0 ebenfalls m( 5Dc) < X 0. x ) m( 3tt) ist die Mächtigkeit der Menge Wl. (i) 333
Satz 8, Falls T D (G) 2> n 0 (bzw. m(g) > tf 0 ) ist, so ist T D (G) = m(g). Die Sätze 7, 9 und 10 untersuchen, unter welchen Bedingungen für die Untergruppe ff G die Beziehung - (0) = T»(H) + T B (OJH) (2) richtig ist. Zu diesem Zweck führen wir den Begriff der schwachen Servanzuntergruppe ein: Die Untergruppe H der Gruppe G nennen wir eine schwache Servanzuntergruppe in G, wenn jede Restklasse der Faktorgruppe G/H von Primzahlordmmg ein Element derselben Ordnung enthält. Satz 9. Falls T D (G) ;> tf 0 (bzw. m(g) > <,) ist, dann gilt für jede beliebige Untergruppe H (? die Beziehung (2). Satz 10..FaZfe r^ö) < KQ i8, oja?m gilt für ihre Untergruppe H SiGdie Gleichheit (2) dann und nur dann, wenn H eine schwache Servanzuntergruppe in G ist. Am Ende werden in den Sätzen 11 und 12 die periodischen und gemischten Gruppen von endlichem D-Range untersucht, und es ist der D-Rang mit der Prüferschen Definition des Banges T P (G) der abelschen Gruppe G verglichen. Eür y-primäre und torsionsfreie Gruppen ist immer T P (G) = T D (G)- } im Allgemeinen gilt allerdings nur die Beziehung T P (G) ^ T D (G). (Bemerkung 6.) Ш*