..5 Ronoměrný pohyb Příklady sřední obížnosi Sbírka B - Př...5. Křižoakou projel rakor rychlosí 3 km/h. Za dese minu po něm projela ouo křižoakou sejným směrem moorka rychlosí 54 km/h. Za jak dlouho a jaké zdálenosi od křižoaky dohoní moorka rakor, když se budou obě ozidla pohyboa ronoměrně? Výpis známých eličin: = 3 km/h = 54km/h =? = 0 min = h m m Fyzikální rozbor siuace: Ve chíli, kdy moorka dohoní rakor, bude e sejné zdálenosi od křižoaky. Vzdálenosi obou ozidel od křižoaky určíme jako dráhy ronoměrného pohybu. Obecné řešení: s = s m = m m m ( ) = Dosazení: 3 = 54 ( ) 3 = 54 9 8 = 9 = h s = = 3 km = 8 km Odpoěď: Moorka dohoní rakor půl hodiny poé, co rakor projel křižoakou, e zdálenosi 8 km od křižoaky. Sbírka B - Př...5. Per s Hanou šli na ýle. Da kilomery od domoa Hanka zjisila, že si nezala plaky a musela se rái. Kdy a kde brara dohnala, když spěchá rychlosí 8 km/h, zaímco brar se poflakuje rychlosí 4 km/h? Nakresli do jednoho obrázku grafy polohy obou děí. Výpis známých eličin: = 4 km/h = 8km/h =? s = km P Fyzikální rozbor siuace: H d
Příklad je možné řeši několika způsoby. Budeme ycháze z oho, že e chíli, kdy Hanka Pera dožene, budou oba sejně daleko od mísa, kde se rozešli. Neznamená o, že oba ujdou sejnou dráhu, ale budou mí sejnou polohu. Jejich dráhy se liší, proože Hanka musí jí ješě domů a zpě, edy o 4 km íce. Pro dráhy, keré ujdou děi edy plaí: sp + 4 = sh. Jinou možnosí, jak příklad yřeši, je urči polohu Pera e chíli, kdy Hanka ychází z domoa za ním a pak posupoa jako případě dohánění Pera Hankou. Obecné řešení: s + 4 = s P H + 4 = P H 4 = H P = H 4 P Dosazení: 4 4 = h h H = P 8 4 = s[km] 5 Per 4 3 Hanka 0,5 [h] Odpoěď: Hanka dožene Pera za jednu hodinu od chíle, kdy se ydala domů pro plaky, e zdálenosi km od domoa. Sbírka B - Př...5.3 Arnoš jel na kole za kamarádem do sousedního měsa. Nejdří jel 4 km z elmi mírného kopce pak jel km do mírného kopce, kerý skončil km dlouhým sjezdem do údolí řeky Ponray. Z údolí musel na kole yšlapa km dlouhý kopec. Na rcholu soupání si 0 minu odpočinul. Zbyek 5 km jel už po roině. Odhadni rychlos, kerou se Arnoš jednoliých úsecích sé cesy pohyboal. Nakresli do jednoho obrázku graf dráhy a graf rychlosi jeho pohybu. Jak daleko od Arnoša bydlí jeho kamarád? Jak dlouho rala Arnošoi cesa? Jakou průměrnou rychlosí se při cesě pohyboal? Předpokládej, že každém úseku cesy se Arnoš pohyboal ronoměrně. Fyzikální rozbor siuace: Rozdělíme si cesu na jednolié úseky a každý budem řeši jako samosaný ronoměrný pohyb. Při sesrojoání grafů budeme ýsledky pro jednolié pohyby posupně přičía.
Řešení: Prní úsek: mírné klesání rychlos kolem 5 30km/h, použijeme 5 km/h dráha 4 km s s = = s 4 = = = 0,h 5 Pro orienaci grafu bude jednodušší přeés ýsledné časy na minuy. 0,h = 0, 0 min = 9, min V osaních úsecích posupujeme sejně. čás pohybu délka úseku km rychlos km/h doba jízdy minuách mírné klesání 4 5 9, mírné soupání 5 8 sjezd k řece 40,5 soupání z údolí 0 odpočinek 0 0 0 roina 5 0 5 Pro ynášení ýsledků do grafu pořebujeme míso délek jednoliých úseků zdálenosi od počáku cesy. Sejně musíme posupoa u časů. Doplníme abulku od da další sloupce, keré udáají zdálenos a čas na konci úseku počíaný od začáku cesy. čás pohybu délka úseku km rychlos km/h doba jízdy minuách zdálenos od počáku čas od začáku cesy mírné klesání 4 5 9, 4 9, mírné soupání 5 8 7, sjezd k řece 40,5 7 9, soupání z údolí 0 9 3, odpočinek 0 0 0 9 4, roina 5 0 5 4 5, Čísla šesém a páém sloupci yneseme do grafu dráhy, čísla šesém a řeím sloupci do grafu rychlosi.
s[km] 5 [km/h] 0 50 40 5 30 0 0 5 0 5 0 5 30 35 40 45 50 55 0 [min] Odpoěď: Z abulky snadno yčeme, že Arnoš bydlí 4 km od kamaráda a cesa mu rala 5, minu. Jeho průměrná rychlos za celou cesu byla: s 4 = = = 4,97km/h 5 km/h. 0,935 Arnoš se pohyboal průměrnou rychlosí 5 km/h. Sbírka B - Př...5.4 Krásná a cnosná liška je zadržoána zamiloaným zlým pasákem Aloisem na chaě hlubokých kanadských lesích, 80 km od nejbližší ciilizace. Má šanci uniknou na kole (dá se očekáa, že pojede rychlosí přibližně 0 km/h), je-li práě poledne, Alois se sým psem se má rái z ýleu na koni za pě hodin a pronásledoa ji může pouze lesním rakoru (liška moudře přeřezala šechny pneumaiky na jeho erénní Toyoě.) s maximální rychlosí 0 km/h? Pokud ji dohoní, řekněe kdy a kde? Jakou rychlosí by om případě musela na kole je, aby mu unikla? Výpis známých eličin: = 0 km/h = 0 km/h s = 80 km =? =? A Fyzikální rozbor siuace: liška i Alois se pohybují přibližně ronoměrným pohybem. Pomocí zahů pro ronoměrný pohyb určíme časy, za keré dorazí k nejbližší ciilizaci. Obecné řešení: A
s s = = Dosazení: s 80 Doba, za kerou urazí zdálenos liška: = = h = 9h. 0 liška dorazí do nejbližší ciilizace deě hodin ečer. s 80 Doba, za kerou urazí zdálenos Alois: A = = h = 3h. A 0 Alois dorazí domů pě hodin za ři hodiny dorazí do nejbližší ciilizace. Bude am edy osm hodin ečer. lišku edy dosihne. Ve chíli, kdy Alois lišku dosihne, budou oba od jeho chay sejně zdáleni. s = s A = Alois yráží za liškou až pě hodin plaí edy: = 5. A A ( 5) ( ) ( ) = A 0 = 0 5 = 3 5 = 3 5 = 5 = 7,5h Vzdálenos, kerou do é doby urazí liška: s = = 0 7,5km = 50 km. Pokud chce liška uniknou musí dorazi do ciilizace nejpozději za osm hodin. Pořebná s 80 rychlos je s = = = km/h =,5km/h. 8 Odpoěď: Alois lišku dohoní půl osmé ečer e zdálenosi 50 km od chay (30 km od ciilizace). Pokud by liška chěla uniknou musela by je průměrnou rychlosí,5 km/h. A Sbírka B - Př...5.5 Per Noák a Marin Sedlář jsou podezřelí z člensí české erorisické skupině Aj Pajda. Per yrazí z Prahy do Brna 7:00, jede dě hodiny rychlosí 00 km/h, pak půl hodiny sojí na odpočíadle, hodinu jede zpáky rychlosí 0 km/h, dě hodiny sojí a pak se ráí do Prahy rychlosí 0 km/h. Marin yrazí z Brna do Prahy 8:00, hodinu jede rychlosí 70 km/h, pak dě hodiny sojí a do :30 jede opě rychlosí 0 km/h. V 3:00 se začne race zpáky rychlosí 0 km/h. Kdy dorazil Per domů? Kdy dorazil Marin domů? Jakou průměrnou rychlosí se pohyboal Marin? Jakou průměrnou rychlosí se pohyboal Per? Mohli se seka a předa si ajnou zásilku s plány na jednací mísnos Senáu České republiky? Kde byl Marin a kde byl Pael :00?
Vzdálenos Praha-Brno je 0 km. Průměrnou rychlos určuje od okamžiku, kdy se podezřelí ydali na cesu, do chíle, kdy se ráili domů. Řešení: Grafy polohy jsou na obrázku. s[km] 50 Marin je Brně Marin je Brně Per sojí na odpočíadle 00 Marin se rací 0 km/h Marin jede 70 km/h Per se rací 0 km/h 50 00 50 Per sojí na odpočíadle Marin sojí na odpočíadle Per jede 00 km/h Marin jede 0 km/h Marin sojí na odpočíadle Per se rací 0 km/h Per je Praze Marin 7 8 9 0 3 4 5 7 8 9 [h] Kdy dorazil Per domů? Per yjíždí zpě do Prahy z odpočíadla na 40 km :30. Vrací se rychlosí 0 km/h. Čas s 40 na jízdu: = = =,7 h = h0 min. Per se ráí do Prahy 3:40. 0 Kdy dorazil domů Marin? Marin yjíždí zpě do Brna z odpočíadla na 50 km 3:00. Vrací se rychlosí 0 km/h, s 0 musí uje 0 km. Čas na jízdu: = = =,45h = h 7 min. Marin se ráí do Brna 0 4:7. Jakou průměrnou rychlosí se pohyboal Marin? Marin yrazil na cesu 8:00, do Brna se ráil e 4:7, na cesě byl hodin 7 minu. Za u 0 50 = 30 km. Průměrná Per dobu dojel z 0 km dálnice na 50 km a zpě. Ujel edy ( ) rychlos jeho pohybu byla sc 30 = = km/h = 49,km/h.,45 c Jakou průměrnou rychlosí se pohyboal Per? Per yrazil na cesu 7:00, do Prahy se ráil e 3:40, na cesě byl hodin 40 minu. Za u dobu dojel z Prahy na 00 km dálnice a zpě. Ujel edy 00 = 400km. Průměrná rychlos sc 400 jeho pohybu byla = = km/h = 0 km/h. c,7 Mohli se seka a předa si ajnou zásilku s plány na jednací mísnos Senáu České republiky? Seka se mohli. Z grafu jejich polohy je idě, že oba sáli e sejné době na sejném mísě. Přibližně od 0:30 do :00 oba sáli na 40 km dálnice. Kde byl Marin :00? Z grafu je idě, že byl přibližně na 80 km dálnice a pokračoal jízdě směrem na Prahu 0 km/h.
Kde byl Per :00? Z grafu je idě, že sál na odpočíadle na 40 km dálnice. Sbírka B - Př...5. Per yrazí z Prahy do Brna 7:00, jede dě hodiny rychlosí 90 km/h, pak dě hodiny sojí na odpočíadle, hodinu jede zpáky rychlosí 0 km/h, zase hodinu sojí a pak se ráí do Prahy rychlosí 90 km/h. Marin yrazí z Brna do Prahy 9:00, hodinu jede rychlosí 90 km/h, pak půl hodiny sojí a do :30 jede opě rychlosí 90 km/h. V 3:00 se začne race zpáky rychlosí 0 km/h. Kdy dorazil Per domů? Kdy dorazil Marin domů? Jakou průměrnou rychlosí se pohyboal Marin? Jakou průměrnou rychlosí se pohyboal Per? Mohli se seka a předa si ajnou zásilku s obohaceným uranem? Kde byl Marin a kde byl Pael 4:00? Vzdálenos Praha-Brno je 0 km. Průměrnou rychlos určuj od okamžiku, kdy se řidiči ydali na cesu, do chíle, kdy se ráili domů. Řešení: Grafy polohy jsou na obrázku. s[km] 50 00 Marin je Brně Per sojí na odpočíadle Marin je Brně Marin 50 00 Per se rací 0 km/h Marin jede 90 km/h Per sojí na odpočíadle Marin sojí na odpočíadle Marin se rací 0 km/h 50 Per jede 90 km/h Marin jede 90 km/h Per se rací 90 km/h Per je Praze Per 7 8 9 0 3 4 5 7 8 9 [h] Marin sojí na odpočíadle Kdy dorazil Per domů? Per yjíždí zpě do Prahy z odpočíadla na 0 km 3:00. Vrací se rychlosí 90 km/h. Čas s 0 na jízdu: = = =,33h = h 0 min. Per se ráí do Prahy 4:0. 90 Kdy dorazil domů Marin? Marin yjíždí zpě do Brna z odpočíadla na 0 km za Prahou 3:00. Vrací se rychlosí 0 s 70 km/h, musí uje 70 km. Čas na jízdu: = = =, 5h = h5min. Marin se ráí do 0 Brna 5:5.
Jakou průměrnou rychlosí se pohyboal Marin? Marin yrazil na cesu 9:00, do Brna se ráil e 5:5, na cesě byl hodin 5 minu. Za u 0 + 0 = 540 km. dobu dojel z 0 km dálnice na 0 km za Prahu a zpě. Ujel edy ( ) Průměrná rychlos jeho pohybu byla sc 540 = = km/h = 8,4km/h.,5 c Jakou průměrnou rychlosí se pohyboal Per? Per yrazil na cesu 7:00, do Prahy se ráil e 4:0, na cesě byl 7 hodin 0 minu. Za u dobu dojel z Prahy na 80 km dálnice a zpě. Ujel edy 80 = 30 km. Průměrná rychlos sc 30 jeho pohybu byla = = km/h = 49,km/h. c 7,33 Mohli se seka a předa si ajnou zásilku s plány na jednací mísnos Senáu České republiky? Grafy poloh obou řidičů se proínají dakrá, ani jednou šak ne e chíli, kdy by oba sáli na sejném mísě. Seka se nemohli, zásilku by mohl předa pouze Marin Peroi, kdyby ji yhodil z okénka e chíli, když projížděl okol Pera sojícího na odpočíadle po deáé hodině na 80 km dálnice. Kde byl Marin 4:00? Z grafu je idě, že byl na 0 km dálnice a pokračoal jízdě směrem na Brno rychlosí 0 km/h. Kde byl Per 4:00? Z grafu je idě, že dojížděl do Prahy, rychlosí 90 km dálnice. Od Prahy byl zdálen 30 km. Sbírka B - Př...5.7 Po sekání na moři se prní loď ydala sálou rychlosí na jih, druhá rychlosí o km h ěší na západ. Po dou hodinách plaby byly lodi od sebe zdáleny o 0 km. Jakými rychlosmi pluly? Výpis známých eličin: x = 0 km = h =? Fyzikální rozbor siuace: Lodě plují na sebe nazájem kolmými směry. Z obrázku je idě, že jejich zdálenos je přeponou praoúhlém rojúhelníku, jehož oděsny oří dráhy, keré urazily obě lodi. Řešení: Plaí: s + s = x. Obě lodě se pohybují ronoměrně, můžeme jejich dráhy yjádři pomocí času a rychlosí. ( ) ( ) + = x Plaí = =, obě lodě od sekání plují hodiny. km + = x Plaí: = +, druhá loď pluje rychlosí o ěší než prní h
( ) + + = x V ronici je jediná neznámá rychlos prní lodi, dosadíme a ypočíáme. + ( + + 3) = 0 / 4 + + + 3 = 900 + = 84 0 / + 43 = 0 Najdeme kořeny kadraické ronice:, ( ) ± ± = = 4 43 4 3 = = 8km/h 48 = = 4 km/h - i záporná rychlos má omo případě fyzikální ýznam, kerý zaím nebudeme komenoa = + = 8 + km/h = 4 km/h Odpoěď: Prní loď plula rychlosí 8 km/h, druhá rychlosí 4 km/h. Sbírka B - Př...5.8 Po okruhu dlouhém 500 m jezdí da moocykly. Pokáají se každou minuu, jedou-li proi sobě, míjejí se každých 5 minu, jezdí-li ýmž směrem. Určee jejich rychlosi za předpokladu, že jsou sálé a nezáislé na směru jízdy. Výpis známých eličin: s = 500 m = min = 0s = 5 min = 300s p s Fyzikální rozbor siuace: Pokud moocykly jedou po okruhu proi sobě a pokáají se každou minuu, znamená o, že práě minuu rá než se souče jejich drah roná délce okruhu. Pokud moocykly jedou po okruhu ýmž směrem a míjejí se každých 5 minu, znamená o, že práě pě minu rá než se rozdíl jejich drah roná délce okruhu. Řešení: Jízda proi sobě: s = s + s = p + p Jízda sejným směrem: s = s s = s s Máme dě ronice a dě neznámé, dosadíme a yřešíme sousau: 500 = 0 + 0 500 = 300 300 5 = 3 + 3
5 = 3 3 Po sečení ronic: 50 = = 5 m/s = 90 km/h Dosazením do druhé ronice určíme : 5 = 3 5 3 3 = 50 =,7 m/s = 0km/h Odpoěď: Moocykly se po oálu pohybují rychlosmi 90 km/h a 0 km/h. Sbírka B - Př...5.9 Mooroá loď má na klidné odní hladině rychlos km h. Když jsme ní bez přesáky ujeli 45 km po proudu řeky a 45 km zpě, ralo nám o přesně 8 hodin. Jakou sálou rychlosí ekla řeka? Výpis známých eličin: = km/h s = 45km = 8h =? l Fyzikální rozbor siuace: Dobu, kerou loď jela rasu am a zpě můžeme ypočía pomocí rychlosi, kerou se pohyboal při cesě am (souče rychlosi lodi a ody) a rychlosi, kerou jela zpě (rozdíl rychlosi lodě a ody. Řešení: Plaí: = + s = (loď jede po proudu) l + s = (loď jede proi proudu) l s s Dosadíme: = + l + l Jedinou neznámou je rychlos lodě, ronici yřešíme a určíme ji. 45 45 8 = / ( )( ) + + + ( + )( ) = ( ) + ( + ) 8 45 45 ( ) ( ) = 8 44 + = 540 45 + 540 + 45 8 44 080 / :8 44 = 35 = 9 = ± 3 záporný kořen nemá fyzikální ýznam
Odpoěď: Řeka eče rychlosí 3 km/h.