SLOVNÍ ÚLOHY VEDOUCÍ K ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH ROVNIC

Transkript

1 Projek ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí regisrační číslo projeku: CZ..0/.5.00/ IV- Inovace a zkvalinění výuky směřující k rozvoji maemaické gramonosi žáků sředních škol SLOVNÍ ÚLOHY VEDOUCÍ K ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH ROVNIC Auor Jazyk Hana Macholová češina Daum vyvoření Cílová skupina Supeň a yp vzdělávání Druh učebního maeriálu žáci 6 9 le gymnaziální vzdělávání vzorové příklady a příklady k procvičení Očekávaný výsup žák ovládá řešení kvadraických rovnic a umí je aplikova při řešení slovních úloh Anoace maeriál je vhodný nejen k výkladu a procvičování, ale i k samosané práci žáků, k jejich domácí přípravě, velké uplanění najde zejména při přípravě žáků k mauriní zkoušce

2 Řešené úlohy:. Vodní nádrž je možno plni řemi přívody. Druhým by se plnila o polovinu delší dobu než prvním, řeím pak o osm hodin déle než prvním. Všemi řemi přívody současně se naplní za 4,5 hodiny. Za jakou dobu by se naplnila jednolivými přívody. Oba přívody 4,5 hodiny => za hodinu nádrže 4,5 9 První přívod.. hodin => za hodinu nádrže Druhý přívod (,5 ) hodin => Třeí přívod... (+8) hodin => za hodinu nádrže za hodinu nádrže 8 Čás napušěná všemi přívody za hodinu = souču čásí napušěných jednolivými přívody: , První přívod: = 0 hodin Druhý přívod:,5 = 5 hodin Třeí přívod: (+8) =8 hodin 4 6 0; 6 (nesmí bý záporný, jde o čas) Zkoušku provedeme ak, že ověříme, zda čísla 0, 5 a 8 jako číselné hodnoy časů, za něž se naplní nádrž jednolivými přívody, vyhovují všem podmínkám úlohy. Doba napoušění druhým přívodem je zřejmě o polovinu delší než doba napoušění prvním přívodem: 5,5 0 (plaí). Doba napoušění řeím přívodem je o osm hodin delší doba napoušění prvním přívodem: (plaí). Všemi řemi přívody současně se naplní za 4,5 hodiny: 4,5 4,5 4, (plaí) Prvním přívodem se bazén naplní za 0 hodin, druhým za 5 hodin a řeím za 8 hodin.

3 . Pokud se rychlos vlaku zvýší o 9 kmh -, urazí dráhu 80 km o 40 minu dříve než při původní rychlosi. Vypočíeje čas, za kerý by vlak ujel uo dráhu při původní rychlosi. Původní rychlos v kmh - Původní čas.. hodin Rychlos po zrychlení v kmh - Čas po zrychlení hodin Dráha.. s = s = 80 km Plaí: v v 9 s v 80 v v 80 s = v = v 80 9 v 9 dosadíme Do rovnice v , ; 0 vyloučíme, proože čas nemůže vyjí jako záporné číslo. Ověříme, zda jsou splněny všechny podmínky slovní úlohy: Došlo ke zvýšení rychlosi o 9 kmh : v 45; v v v 9 (plaí) Vlak urazí dráhu 80 km o 40 minu dříve než při původní rychlosi.

4 Původně ujede dráhu 80 km za 4 hod, po zrychlení za hod méně, edy dráhu urazí o 40 minu dříve. Při původní rychlosi by vlak urazil dráhu 80 km za 4 hodiny hod, což je o. Pozemek má var obdélníku o rozměrech 4 m a 44 m a je rozdělen dvěma navzájem kolmými cesami o sejné šířce, jež jsou rovnoběžné se sranami pozemku. Zbývající čás pozemku je zahrada, jež zabírá 8 rozlohy celého pozemku. Jak široké jsou cesy? Řešení: Plocha pozemku se vypočíá pomocí vzorce pro obsah obdélníku: S a b S 056m Plocha zahrady je plochy pozemku ( 056), edy 94 m. 8 8 Plocha, kerou zabírají je zbývající 8 pozemku, edy m. S 4 Plocha jednolivých ces se vypočíá: S 44 Pokud bychom pouze sečeli plochy jednolivých ces, malý čverec (vyznačený v obrázku šedě) bychom počíali dvakrá, a proo jeho obsah musíme od souču odečís a výsledek nám musí dá m. Plaí edy: S S , ; 65 Kořen vyloučíme, proože šířka cesy nemůže bý věší než šířka celého pozemku. Řešením je edy kořen = m. 4

5 Ověříme, zda jsou splněny všechny podmínky slovní úlohy: Plocha zahrady zabírá rozlohy celého pozemku. Plocha celého pozemku je S 4 44 m m. Na zahradu zbývá edy S m. Cesa zabere c S 056 m 94 m. z (plaí edy, že plocha zahrady je rozlohy celého pozemku). 8 8 Cesy jsou široké mery. 4. Najdi dvojciferné číslo, pro keré plaí: Ciferný souče je 9. Pokud vyměníme obě číslice, vznikne číslo, jež po vynásobení původním číslem dá součin 40. Číslo zapíšeme ve varu y jeho hodnoa je y 0 y. Pokud vyměníme obě číslice, vznikne číslo ve varu y jeho hodnoa je y 0 y. Součin výše uvedených čísel je 40 získáváme rovnici: 0 y0y 40, u lze ješě upravi na rovnici 0y 0 0y 40 (*) Ciferný souče je 9 y 9 9 y dosadíme do rovnice (*) a získáme rovnici: 0 9 yy 09 y 909 0y 088y y 8y 0y 0y y y 9y y 4 y 5 y y y 5 9 y 4 Ověříme, zda jsou splněny všechny podmínky slovní úlohy: Ciferný souče je 9 : 4+5=9; 5+4=9 (plaí). Pokud vyměníme obě číslice, vznikne číslo, jež po vynásobení původním číslem dá součin 40: Původní číslo je 45 nebo 54. 5

6 Úlohy k procvičení:. Per a Adam se chějí dosa z mísa A do mísa B. Polní cesa mezi oběma mísy je dlouhá 600 merů, přímá vzdálenos erénem je 480 merů. Oba chlapci vybíhají současně. Per běží po polní cesě a dosane se do mísa B o 0 s dříve než Adam, jenž běží erénem průměrnou rychlosí o ms - menší, než je Perova průměrná rychlos. Určee průměrnou rychlos obou chlapců. [Rychlos Adama ms -, rychlos Pera 4ms -.]. Z mís A, B, jež jsou od sebe vzdáleny 54 km, vyjeli proi sobě současně dva cyklisé, Pokali se za dvě hodiny. Oba jeli dále, aniž by se zasavili. Cyklisa, kerý jel z mísa A, dojel do mísa B o 54 minu dříve, než druhý cyklisa, jenž jel z mísa B, dorazil do mísa A. Určee rychlos obou cyklisů. [5 kmh -, kmh -.]. Poměr délky a šířky obdélníku je 5:. Jesliže zkráíme délku obdélníku o 5 cm a šířku prodloužíme na dvojnásobek, zvěší se obsah o 45 cm. Určee rozměry obdélníku. [5 cm, 9 cm] 4. Dvojciferné číslo má druhou číslici (zleva) o dvě menší než první. Pokud vynásobíme dané číslo jeho ciferným součem, dosaneme 04. Určee oo číslo. [86] 5. Ze sanice má bý vypraveno vlaků, z nichž každý má mí po 5 vagónech. Aby se ušeřilo několik lokomoiv, byl zmenšen poče vlaků ím, že ke každému vlaku se přidalo olikrá po pěi vagónech, kolik lokomoiv bylo ušeřeno. Tak byly opě vypraveny všechny vagóny. Kolik lokomoiv se ušeřilo a kolik vagónů měl pak každý vlak? [4 lokomoivy, 55 vagónů] 6. Dva rakory zorají pole za 4 hodiny. Kdyby první rakor zoral polovinu pole a druhý rakor práci dokončil, rvala by orba 9 hodin. Za kolik hodin zorá pole každý rakor zvlášť? [ h, 6 h]. Vodní nádrž se naplní jedním přívodem o 4 hodiny a druhým o 9 hodin později, než kdyby se plnila oběma přívody najednou. Za jakou dobu se naplní každým přívodem zvlášť? [0 h, 5 h] 8. V obvodu, v němž jsou zapojeny paralelně dva rezisory, prochází při napěí 4 V proud 4 A. Pokud yo rezisory zapojíme sériově, klesne proud na 0,5 A. Určee odpory obou rezisorů. [4 Ω, 8 Ω] 6

7 Použié zdroje a lieraura: BENDA, Per. A KOL. Sbírka mauriních příkladů z maemaiky. 8. vydání. Praha: SPN, 98. ISBN BUŠEK, Ivan. Řešené mauriní úlohy z maemaiky.. vydání. Praha: SPN, 985. ISBN FUCHS, Eduard a Josef KUBÁT. A KOL. Sandardy a esové úlohy z maemaiky pro čyřleá gymnázia.. vydání. Praha: Promeheus, 998. ISBN CHARVÁT, Jura a KOL. Maemaika pro gymnázia Rovnice a nerovnice. 4. vydání. Praha: Promeheus, 008. ISBN JANEČEK, Franišek. Sbírka úloh z maemaiky pro sřední školy. 4. vydání. Praha: Proméheus, 005. ISBN KOVÁČIK, Jan. Řešené příklady z maemaiky pro sřední školy. vydání. Praha: ASPI Publishing, 00. ISBN X. PETÁKOVÁ, Jindra. Maemaika: příprava k mauriě a přijímacím zkouškám na vysoké školy.. vydání. Praha: Promeheus, 999. ISBN POLÁK, Josef. Přehled sředoškolské maemaiky. 4. vydání. Praha: SPN, 98. ISBN VEJSADA, Franišek a Franišek TALAFOUS. Sbírka úloh z maemaiky pro gymnasia.. vydání. Praha: SPN, 969. ISBN