Státní maturita 0 Maturitní testy a zadání jaro 0 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAMZDC0T0 e²ené p íklady Autor e²ení: Jitka Vachtová 0. srpna 0 http://www.vachtova.cz/ Obsah Úloha Úloha 3 Úloha 3 3 4 Úloha 4 3 5 Úloha 5 3 6 Úloha 6 4 7 Úloha 7 4 8 Úloha 8 5 9 Úloha 9 6 0 Úloha 0 6 Úloha 7 Úloha 7 3 Úloha 3 8 4 Úloha 4 8 5 Úloha 5 9 6 Úloha 6 9 6. (4; ; ; 4)............................................. 9 6. (; 4; 6; 64).............................................. 0 6.3 (8; 4; ; )............................................. 0
6.4 (0; 4; 8; )............................................... 0 7 Úloha 7 0 8 Úloha 8 9 Úloha 9 0 Úloha 0 3 Úloha 4 Úloha 5 3 Úloha 3 5 4 Úloha 4 6 5 Úloha 5 6 5. Kolik procent náv²t vník chodí do tcentra alespo dvakrát týdn?.............. 7 5. Kolik procent náv²t vník chodí do tcentra denn?....................... 7 5.3 Kolik procent náv²t vník chodí do tcentra pravideln?..................... 7 5.4 Kolik procent náv²t vník chodí do tcentra n kolikrát do m síce, ale nepravideln?..... 7 6 Úloha 6 7 6. 6. strana a............................................. 8 6. 6. strana c............................................. 8 6.3 6.3 úhlop í ka f........................................... 8 Úloha Pro c 0 a c upravte na co nejjednodu²²í tvar: 3 c 3 c c = 3 c 3 c c = 3 c 3 c (c ) = 3c 3 c (c ) = 3(c ) c (c ) = 3 c max. body Úloha Pro a > 0 upravte na co nejjednodu²²í tvar: a 3 ( 3 a) = a 3 ( ) 3 a = a 3 ( ) a 3 = a 3 a3 = a3 a 3 3 = a3 3 = ( ) a 3 3 = a 3 8 max. bod
3 Úloha 3 max. bod Pro d 0 upravte na co nejjednodu²²í tvar: d3 8d = d3 8d = d 3 8d = 36d 4 = 6d 4 Úloha 4 max. body Délky základen lichob ºníku jsou a = 4, 0 8 metr, c = 8 0 7 metr, vý²ka v má velikost 4, 8 0 5 metr. Ur ete obsah plochy lichob ºníku. D c C d b v a A B S = a+c v S = 4, 08 +8 0 7 4, 8 0 5 = 07 (4, 0+8) 4, 8 0 5 = 07 (4, 0+8) 4,8 0 5 = 0 (4 + 8), 4 = 0 50, 4 = 0 0 =, 0 4 m 5 Úloha 5 Ur ete neznámé íslo k, jestliºe platí: 00! = k 98! max. bod 00! = k 98! 00! 98! = k 00 99 98! 98! = k 3
k = 00 99 k = 9900 6 Úloha 6 max. bod Ur ete neznámé íslo m, jestliºe platí: m! 8 = 4 6 8 0 4 6 m! 8 = 4 6 8 0 4 6 m! 8 = ( ) ( ) ( 3) ( 4) ( 5) ( 6) ( 7) ( 8) m! 8 = 3 4 5 6 7 8 m! 8 = 3 4 5 6 7 8 m! 8 = 8 3 4 5 6 7 8 m! = 3 4 5 6 7 8 m! = 8! m = 8 7 Úloha 7 max. 3 body VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 7 V rovin je umíst n bod A. Dále platí AB = v = ( 3, 4). y 0 A x (CERMAT). Zakreslete vektor v.. Popi²te sou adnicemi koncový bod B [x; y] orintované úse ky AB. 4
. Zakreslete vektor v. y B 3 - v 0 A x Vektor v = ( 3, 4) vlastn znamená, ºe p jdu z bodu A 3 kroky po x-ové sou adnici sm rem vlevo (záporné znaménko) a pak 4 kroky po y-ové sou adnici sm rem nahoru (kladné znaménko), a tak se dostanu do bodu B.. Popi²te sou adnicemi koncový bod B [x; y] orintované úse ky AB. Bod B má sou adnice B [ ; 3]. lo by je vypo átat následujícím vztahem: AB = B A AB + A = B B = A + AB (neboli bod B dostáváme tak, ºe k bodu A p i teme vektor AB.) B = [; ] + ( 3, 4) = [ 3; + 4] = [ ; 3] 8 Úloha 8 V oboru R e²te: x(x ) + (x )(x + ) = 0 max. body. Rozkladem na sou in x(x ) + (x )(x + ) = 0 (x )(x + x + ) = 0 (x )(x + ) = 0 (x )(x + ) = 0 Sou in je roven nule, kdyº x = 0 nebo x + = 0. x = x = 5
. Pomocí diskriminantu a = b = c = D = b 4ac = ( ) 4 ( ) = + 8 = 9 x, = b± D a x = x = = ( )± 9 = ±3 x(x ) + (x )(x + ) = 0 x x + x 4 = 0 x x 4 = 0 x x = 0 9 Úloha 9 Pro x R e²te nerovnici x < 3 a výsledek zapi²te intervalem. max. bod x < 3 x < 3 + x < : x < x ( ; ) 0 Úloha 0 Jsou dány nerovnice s neznámou x R. x < 3 3x + 0 > Vy e²te soustavu obou nerovnic a výsledek zapi²te intervalem. max. body x < 3 x < x < x ( ; ) 6
a sou asn : 3x + 0 > 3x > 9 x ( 3; + ) m soustavy nerovnic je pr nik t chto interval x > 3-3 - x ( ; ) ( 3; + ) = ( 3; ) Úloha max. body V oboru R e²te:. log 0, + log(x) = Podmínky logaritmu, nebo-li D f : x > 0 x > 0 = log 0 0 0 = 0 log 0, + log(x) = log(0, x) = Na²e e²ení x = 50 vyhovuje podmínkám logaritmu. log(0, x) = log 0 0, x = 0 x = 0 0, x = 50 Úloha max. body Ur ete sou adnice bodu P [x; y], v n mº se protínají grafy funkcí f a g : f: y = x 9 g: y = 3 x 7
Pr se ík je bod, který vyhovuje (náleºí) ob ma p ímkám. Najdeme ho e²ením soustavy rovnic: y = x 9 y = 3 x 3 x = x 9 4x = x = 3 y = x 9 y = 3 9 y = 6 9 y = 3 P [3; 3] 3 Úloha 3 4. max. bod. s. 3. d (CERMAT) V zámecké dlaºb byla vytvo ena spirála, jejíº ást je znázorn na na obrázku. Spirála je sloºena z 5 navazujících r znobarevných p lkruºnic. Délka první p lkruºnice je a = dm a kaºdá následujcící p lkruºnice je o dm del²í. Vypo ítejte délku a 3 t etí p lkruºnice. P lkruºnice tvo í aritmetickou posloupnost s diferencí d =. a = a = a + d = + = 44 a 3 = a + d = 44 + = 66 dm Mohly bychom po ítat i podle vzorce: a n = a + (n ) d a 3 = + (3 ) a 3 = + a 3 = 66 dm 4 Úloha 4 Uve te v metrech délku s celé spirály. (Na obrázku je zobrazena pouze ást spirály.) max. body 8
V celé spirále je 5 p lkruºnic. Jde tedy o sou et aritmetické posloupnosti s 5. s n = n (a + a n ) s 5 = 5 (a + a 5 ) a n = a + (n ) d a 5 = + (5 ) = + 4 = 330 s 5 = 5 5 ( + 330) = 35 = 5 76 = 640 dm Délka spirály v metrech je 64 m. 5 Úloha 5 max. body Poslední p lkruºnice spirály m í 33 m. Uve te v celých metrech pr m r d této p lkruºnice. (Na obrázku je zobrazena pouze ást spirály.) Známe polovinu obvodu. o = 33 = 66 m d. = m o = Πr o = Πd 66 = 3, 4d d = 66 3, 4 d =, 0 6 Úloha 6 max. body U kaºdé z následující tve ice ísel ur ete, tvo í-li geometrickou posloupnost (ANO), i nikoli (NE): 6. (4; ; ; 4) Nap. z prvních dvou len vypo ítáme p ípadný kvocient q. Pokud by se m lo jednat o geometrickou posloupnost, musí tento kvocient sed t i na dal²í leny posloupnosti. a n+ = a n q q = an+ a n q = a a = 4 = a 3 = a q a 3 = = Odpov : NE 9
6. (; 4; 6; 64) q = a a = 4 = 4 a 3 = a q = 4 4 = 6 a 4 = a 3 q = 6 4 = 64 Odpov : ANO 6.3 (8; 4; ; ) q = a a = 4 8 = a 3 = a q = 4 ( ) = a 4 = a 3 q = ( ) = Odpov : ANO 6.4 (0; 4; 8; ) a n+ = a n q a = a q a = 0 q = 0 4 Odpov : NE 7 Úloha 7 max. body V kartézské soustav sou adnic 0xy je umístn na p ímka p. y p 0 x (CERMAT) Která rovnice ur uje p ímku p? A) x y + = 0 B) x y + 4 = 0 C) x 4y = 0 D) x + y 4 = 0 E) x + y = 0 0
p A y 3 B - 0 x Moºných zp sob e²ení je více. Asi nejjednoduº²í moºností je, si uv domit, ºe p ímka prochází nap íklad t mito dv ma body A[ ; 3] a B[0; ]. Pokud je rovnice rovnicí p ímky p, musí rovnice být pravdivá po dosazení bodu A a B. A) x y + = 0 dosadíme do rovnice bod A[ ; 3] ( ) + = 0 4 + = 0 0 A / p Tato rovnice není p ímkou p. B) x y + 4 = 0 dosadíme do rovnice bod A[ ; 3] 3 + 4 = 0 3 + 4 = 0 6 + 4 = 0 4 0 A / p Tato rovnice není p ímkou p. C) x 4y = 0 dosadíme do rovnice bod A[ ; 3] 4 3 = 0 4 0 A / p Tato rovnice není p ímkou p. D) x + y 4 = 0 dosadíme do rovnice bod A[ ; 3] + 3 4 = 0 0 = 0 A p dosadíme do rovnice bod B[0; ] 0 + 4 = 0 0 = 0 B p Tato rovnice je p ímkou p. E) x + y = 0 dosadíme do rovnice bod A[ ; 3] ( ) + 3 = 0 3 0 A / p Tato rovnice není p ímkou p.
Jiný zp sob e²ení: lo by také postupovat tak, ºe bychom nap íklad ur ili sm rový vektor AB = B A = (; ). V obecné rovnici máme normálový vektor. Normálový vektor n vytvo íme jednodu²e ze sm rového tak, ºe sou adnice prohodíme a u jedné zm níme znaménko. n = (; ). V obecné rovnici ax+by +c = 0 jsou koecienty a a b sou adnicemi normálového vektoru (pozn. m je jít i o libovolný násobek na²eho vektoru n, nap. s opa nými znaménky). Tomuto poºadavku vyhovuje pouze varianta D) x + y 4 = 0. Nyní víme, ºe tato p ímka je rovnob ºná s na²ím vektorem, nemusí být v²ak shodná. Proto musíme je²t ov it bod, nap. B[0; ] dosazením do p ímky. Dosadíme do rovnice bod B[0; ] 0 + 4 = 0 0 = 0 B p Tato rovnice je p ímkou p. Jde o variantu D). 8 Úloha 8 max. body Délky stran trojúhelníku jsou 8 cm, 9 cm a 3 cm. Podobný trojúhelník má obvod o 5 cm v t²í. Ur ete délku nejdel²í strany podobného trojúhelníku. A) 0 cm B) 9,5 cm C) 9 cm D) 8 cm E) ºádná z uvedených Podobný trojúhelník bude mít strany 8k, 9k, 3k. Kde k je koecient podobnosti. Obvod p vodního trojúhelníku je: o = 8 + 9 + 3 = 30 cm Podobný troúhelník má obvod o 5 cm v t²í. Tedy: Nejdel²í strana je: 3k = 3 3 = 39 = 9, 5 cm. Odpov : B) 9 Úloha 9 o + 5 = a + b + c 30 + 5 = 8k + 9k + 3k 45 = 30k k = 45 30 k = 3 Pozemek zakreslený v plánku má být rozd len rovnou hranisí ST na dv ásti. max. body
T 75 km 60 R S (CERMAT) Ur ete s p esností na desítky metr délku hranice ST. A) ST = 30 m B) ST = 450 m C) ST = 630 m D) ST = 800 m E) ST = 3 00 m T b γ km 75 a α 60 45 β R c S β = 80 α γ = 80 60 75 = 45 Pouºijeme sinovou v tu: Odpov : B) a sin α a sin 60 = = a = a = ST = b sin β sin 45 sin 60 sin 45 3 = 3 3 = = 449, 5 =. 450 m 0 Úloha 0 max. body 3
V uzav eném sklen ném kvádru s hranami délek 30 cm, 60 cm a 80 cm je obarvená kapalina. Postavíme-li kvádr na st nu s rozm ry 30 cm 60 cm, dosáhne kapalina do vý²ky 40 cm. V jaké vý²ce bude hladina kapaliny, postavíme-li kvádr na st nu s rozm ry 30 cm 80 cm? Tlou² ku st n kvádru neuvatujeme. A) 0 cm B) 5 cm C) 30 cm D) 35 cm E) v jiné vý²ce H G D C E F c = 80 cm H G b = 60 cm v = 40 cm D C b = 60 cm v =? A B c = 80 cm A a = 30 cm B E a = 30 cm Kdyº si uv domíme, ºe hladina sahá p ed p eklopením p esn do vý²ky, tak nám musí být jasné, ºe voda zabírá p esn polovinu kvádru. A kvádr p eklopíme na jakoukoli stranu, vºdy bude hladina v polovin aktuální vý²ky kvádru. Vºdy bude kapalina tvo it objemu kvádru. Kdyº dojde k p eklopení na st nu 30 cm 80 cm, musí být vý²ka kvádru 60 cm, tedy hladina bude tvo it z 60 cm, tj. vý²ka hladiny bude 30 cm. M ºeme postupovat i v decky a spo ítat objem kapaliny. V = a b v = 30 60 40 = 7 000 cm 3. Objem kapaliny se p eklopením nezm ní. Proto po p eklopení: F Odpov : C) V = a c v 7 000 = 30 80 v 7 000 30 80 = v v = 30 cm Úloha max. body Cesta prochází n kolika k iºovatkami. Na kaºdé k iºovatce je moºné zahnout doleva (L), doprava (P), nebo pokra ovat v p ímém sm ru (S). Pr jezd dv ma k iºovatkami je moºné zapsat dvojicí znak, nap. PP, SL apod. Kolika zp soby m ºe auto projet kv ma k iºovatkami? A) 9 B) 8 C) 6 D) 5 E) 4 4
Máme 3 moºnosti jak projet první k iºovatku. Ke kaºdé moºnosti máme dal²í 3 moºnosti jak projet druhou k iºovatku. Po et moºností m ºeme spo ítat kombinatorickým pravidlem sou inu: 3 3 = 9 Dal²í moºnost je, ºe si uv domíme, ºe vybíráme dva znaky ze t í znak (L, P, S) s tím, ºe ºáleºí na po adí a znaky se mohou opakovat. Jedná se tedy o variace s opakováním. V, (k, n) = n k V, (k, n) = V, (, 3) = 3 = 9 Odpov : A) Úloha max. body Podle jízního ádu má být vlak za 0 minut ve stanici. K nádraºí mu zbývá 3 km jízdy. Vlak za kaºdé minuty ujede 3 kilometry krom posledního dvoukilometrového úseku, který mu trvá 5 minut. Jaké p edpokládané zboºd ní se objeví na nádraºní informa ní tabuli? A) ºádné zpoºd ní B) 5 minut C) 0 minut D) 5 minut E) jiné zpoºd ní Celkem má vlak ujet 3 km, z toho poslední km mu budou tvrat 5 minut. Dráhu si rozd líme na prvních 30 km a posledních km. Nevíme, jak dlouho nám bude trvat prvních 30 km. M ºeme danou v c vy e²it podle fyzikálního vzorce: s = v t. Snáze se nám to bude ale e²it troj lenkou: min... 3 km x min... 30 km x = 30 3 x = 0 x = 0 min Nebo-li, kdyº minuty jedeme 3 km, tak 30 km pojedeme 0 déle, tedy 0 min. Takºe celkem 3 km pojedeme t = 0 + 5 = 5 min. Vlak má být ve stanici za 0 min, bude tam ale za 5 min. Bude mít tedy 5 0 = 5 min. zpoºd ní. Odpov : D) 3 Úloha 3 max. body Eva má hotovost 450 000 K a pen ºní ústav jí nabízí ro ní termínový vklad s 3% ro ní úrokovou mírou. P ed vyzvednutím ástky se z úroku odpo ítá státem stanovená da ve vý²i 5 %. Kolik korun bude z tohoto ro ního termínovaného vkladu odvedeno na daních? 5
A) 3 500 korun B) 50 korun C) 05 korun D) 000 korun E) jiná suma Vypo teme úrok u ve vý²i 3 % u = K 450 000 00 p = 00 3 = 3 500 K Da ve vý²i 5 % bude: 3 500 d = 00 5 = 05 K. Odpov : C) 4 Úloha 4 max. body Divadlo nabízí pro kaºdné p edstavení celkem 0 vstupenek po 300 korunách a 80 vstupenek po 500 korunách. B hem deseti p edstavení bylo ²estkrát zcela vyprodáno a ty ikrát se neprodala polovina draº²ích lístk. Jaká je pr m rná trºba na jedno z deseti p edstavení? A) 98 000 K B) 97 000 K C) 96 000 K D) 95 000 K E) jiná trºba celková tržba = 6 (0 300 + 80 500) + 4 (0 300 + 80 500) = 6 06 000 + 4 86 000 = 980 000 K celková tržba 980 000 průměrná tržba = počet představení = 0 = 98 000 K Odpov : A) 5 Úloha 5 max. 4 body Ve ncentru si vedou m sí ní statistiky. Dv p tiny náv²t vník chodí do tcentra alespo dvakrát týdn, osmina z nich dokonce denn. ƒtvrtina náv²t vník chodí jedenkrát týdn. Kaºdá dvacátá osoba se po první náv²t v tcentra víckrát nevrátí. Zbytek náv²t vník chodí n kolikrát do m síce, ale nepravideln. P i a te ke kaºdé otázce (5. - 5.4) odpovídající výsledek (A - F): A) 5 % B) 5 % C) 30 % D) 40 % E) 65 % F) jiná hodnota 6
Rekapitulace: 5 alespo týdn z t ch, co chodí týdn, tak chodí denn (POZOR, nikoli 8 8 z celkového po tu!) týdn 4 kaºdá 0. osoba se nevrátí, tzn. byla pouze, tj. 0 zákazník (5 ze 00, 0., 40., 60., 80., 00. zákazník) zbytek nepravideln n kolikrát do m síce 5. Kolik procent náv²t vník chodí do tcentra alespo dvakrát týdn? 5 zákazník chodí alespo týdn. 5 00 = 0, 4 00 = 40 % Odpov : D) 5. Kolik procent náv²t vník chodí do tcentra denn? 8 zákazník z t ch, co chodí týdn, tak chodí denn 8 5 00 = 4 5 00 = 0, 05 00 = 5 % Odpov : A) 5.3 Kolik procent náv²t vník chodí do tcentra pravideln? 5 alespo týdn týdn 4 celkem chodí pravideln : 5 + 4 = 8+5 0 = 3 3 0 zákazník chodí pravideln, co je 0 Odpov : E) 00 = 0, 65 00 = 65 % 5.4 Kolik procent náv²t vník chodí do tcentra n kolikrát do m síce, ale nepravideln? Pravideln chodí 65 %. Nepravideln tedy musí chodit zbytek, tj. 00 % 65 % = 35 % Z t ch, co chodí nepravideln n kte í nav²tíví tcentrum pouze a uº se nevrátí a n kte í se vrátí (tj. chodí n kolikrát do m síce). Nevrátí se kaºdý 0. náv²t vník, tj. zákazník. Nevrátí se 0 0 00 = 5 % ze v²ech zákazník. Celkem chodí nepravidel, ale n kolikrát do m síce 35 % 5 % = 30 % zákazník. Odpov : C) 6 Úloha 6 max. 3 body V pravoúhlém lichob ºníku jsou uvedeny úhly, které svírají úhlop í ky se dv ma sousedními stranami, a délka jedné strany. 7
c f 0 e 40 40 a (CERMAT) P i a te daným úse kám (6.-6.3) jejich délky (A-E) A) 0 sin 40 B) 0 sin 40 C) 0 cos 40 D) 0 tan 40 E) 0 tan 40 6. 6. strana a Odpov : E) tan 40 = 0 a a = 0 tan 40 6. 6. strana c Odpov : D) tan 40 = c 0 c = 0 tan 40 6.3 6.3 úhlop í ka f Odpov : C) cos 40 = 0 f 0 f = cos 40 8
Reference Centrum pro zji² ování výsledk vzd lávání (CERMAT), 0. Www.novamaturita.cz : Maturitní testy a zadání 0 [online]. 0 [cit. 0-07-]. Ociální stránky nové maturitní zkou²ky. Dostupné z WWW: <http://www.novamaturita.cz/sada-a- 4040353.html>. 9