Cvičení 3 Ideální krystalová mřížka periodický potenciál v krystalu Aplikace kvantové mechaniky pásová struktura polovodiče Nosiče náboje v polovodiči hustota stavů obsazovací funkce, Fermiho hladina koncentrace elektronů a děr Elektronické prvky AB34ELP
Neprimitivní jednotkové buňky Primitivní buňka (P) Stranově centrovaná (A, B or C) Prostorově centrovaná (I) Plošně centrovaná (F) V kombinaci se 7 primitivními buňkami vznikne 14 Bravaisových mřížek P A I F
14 Bravaisových krystalových mřížek 7 krysalových soustav
Krystalová struktura Si, Ge, GaAs FCC mřížky yposunuté o ¼ tělesové úhlopříčky 8 atomů na jednotkovou buňku každý atom má 4 nejbližší sousedy (ve vrcholech pravidelného 4 stěnu) diamantová mřížka -tvořena identickými atomy - (např. Si, Ge) mezi atomy pouze kovalentní vazby sfaleritová mřížka - (např. GaAs) - posunutá FCC tvořena jinými atomy mezi atomy kovalentní i iontové vazby Plošně centrovaná kubická mřížka Face Centred Cubic (FCC) a
Diamantová a sfaleritová mřížka
Millerovy indexy Millerovy indexy krystalových rovin 1. průsečíky roviny s osami: x, y, z. převrácené hodnoty x, y, z 3. převést na celá čísla se stejným poměrem výsledek: (hkl) ekvivalentní roviny (stejná symetrie) : {hkl} Millerovy indexy směru složky vektoru v daném směru převést na nejmenší celá čísla v daném poměru [hkl] krystalografický směr <hkl> - evivalentní sada směrů
PŘÍKLAD 1 Určete Millerovy indexy roviny: z převrácené hodnoty průsečíků: 1/, 1/4, 1/ 4 y nejmenší celá čísla:,1, Millerovy indexy: (1). x
Millerovy indexy rovina rovnoběžná se souřadnou osou má pro tuto osu Millerův index =0 průsečík s osou v záporné části Millerův index : ī vzdálenost mezi rovinami v kubickém krystalu: úhel mezi rovinami: cos θ = 1 k1 d = 1 1 h h h + k k + l a + k l 1 k + l ( )( ) h + + l h + + l 1
Millerovy indexy 100 110 111 11
Millerovy indexy (applet) Bravaisova mřížka Millerovy indexy příklady krystalů
PŘÍKLAD Vypočtěte objemovou koncentraci n Si atomů Si v krystalu křemíku. mřížková konstanta křemíku: a 0 = 5,43 A = 0,543 nm FCC buňka: 8 vrcholových bodů 6 bodů ve středech stěn Si (diamantová mřížka) : atomy připadají na 1 mřížový bod Počet atomů na 1 buňku : ( 8 x 1/8 + 6 x ½ ) * = 8 (vrchloly sousedí 8 buněk, stěnami sousedí buňky) 8 8 3 3 = 5 10 m = 5 10 10 3 n Si = cm (5 5,43 10 )
PŘÍKLAD 3 Vypočtěte č ě plošnou koncentraci n (100) atomů Si v rovině (100). mřížková konstanta křemíku: a 0 = 5,43 A = 0,543 nm Rovina (100): 4 rohové body 1 bod ve středu stěny Počet č atomů ů na 1b buňku : 4 x 1/4 + 1 = (rohy sousedí 4 buňky) n 18 14 ( 100) = = 6.8 10 m = 6.8 10 cm 10 (5,43 10 )
Ideální krystalová mřížka b c periodické opakování základní buňky a periodický průběh potenciálu
Kvantová mechanika Dualismus vlna-částice De Broglieho vlnová délka: λ = h/p p hybnost částice h Planckova konstanta -34 h = 6.66 x10 Js, h = h / ππ Energie fotonu: E = hf f... frekvence záření
Kvantová mechanika Jevy v mikrosvětě operátorové rovnice Fyzikální veličina operátor Měřitelná hodnota veličiny vlastní číslo operátoru Stav částice vlastní funkce operátoru Schrödingerova rovnice v 1D Ĥ ψ = Eψ ˆ h d H = + U ( x) mm dx Ĥ : Hamiltonův operátor - operátor energie vlastní číslo E : energie částice (elektronu) ve stavu popsaném vlnovou funkcí ψ
Řešení Schrödingerovy rovnice Vlnová funkce pro volný elektron (ve vakuu) 1 i ψ ( x, t) = ( Et px) πh exp h spojité spektrum energií E Elektron v kvantové jámě, Elektron v centrálním poli atomového jádra diskrétní energetické stavy E 1, E
Nekonečně hluboká pravouhlá kvantová jáma Hledáme řešení Schrödingerovy rovnice h d ϕ ( x ) m dx = Eϕ ( x ) V pro potenciálový profil V = 0 pro 0 < x < d V = jinde 0 0 d x
Hledáme řešení ve tvaru ϕ ( x) = Asin ( αx) + Bcos( αx) Kde m je hmotnost, E je celková energie. α = Okrajové podmínky me h ϕ Tedy B=0 a: ( 0 ) = 0 a ϕ ( d ) = 0 ( ) ϕ = Asin αx α d nπ n =
Vlastní stavy energie Dosadením za α dostaneme vlastní energie E n = h π n md a vlastní funkcie ϕ ϕ n πn d ( x) = Asin x 0 < x d n < ( x) = 0 pro
Normovací podmínka určí koeficient A: d ϕ( x ) dx = 1 0 vlastní vlnové funkce: ϕ n d πn d ( x ) = sin x pre n = 1,,3,...
Tvar vlnových funkcí ϕ (x) φ 1 (x) E E 1 0 d x
zobrazení Řešení Schrödingerovy rovnice (applet) Tvar potenciálu hmotnost částice Šířka jámy Hloubka jámy
Elektrony v krystalu Shödi Schrödingerova rovnice pro 1 elektron lkt v krystalu: - h Δ +U( r) k (r) = E ψ k (r) m ψ periodický ýpotenciál: a n... vektor krystalické mříže řešení: Blochova funkce U(r + a n ) = U(r) ψ k (r) = e i kr u k (r) spektrum dovolených a zakázaných energií E(k)
Elektrony v krystalu (applet) zobrazen ní st podobno Vlno ová funkc e (pravdě výsk kytu elekt tronu) Tvar potenciálu počet jam Šířka jámy Hloubka jámy k d l ý h spektrum dovolených a zakázaných energií E(k)
E IZOLANT KOV POLOVODIČ KOV POLOKOV E E E F 0 π a k 0 π a k 0 π a k E F prázdný pás zakázaný pás obsazený pás částečně t č obsazený pás zakázaný pás částečně obsazený pás částečně obsazený pás obsazený pás
Izolant polovodič kov šířka zakázaného pásu E g = E c E v E c E v
Pásový diagram Si a GaAs Vodivostní pás Vodivostní pás Energie (ev V) E c E c E v E v Valenční pás Valenční pás vlnový vektor k Nepřímý polovodič přímý polovodič
PŘÍKLAD 4 Vypočtěte maximální vlnovou délku světla, které bude absorbováno v GaAs díky mezipásové generaci párů elektron-díra. Určete hybnost fotonu s touto vlnovou délkou. Rychlost světla c = 3.10 8 m/s, h= 6,6.10-34 Js, E ggaas = 1,4 ev. Bylo by toto záření absorbováno v Si bez přítomnosti dalšího mechanismu? Vlnová délka: λ -34 8 c hc hc 6610 c. 6,6.10.3.10 T = = = = 870nm υ E e. E[ ev ] 1,60.10 19.1,4 = Hybnost fotonu: 19. [ ev ] 1,60.10.1,4 8 1 = 7,6.10 kg. m. 8 E e E p = = s c c 3.10 V Si je minimum vodivostního pásu u hrany Brillouinovy zóny, tj. hybnost elektronu se (dle předchozího grafu) musí změnit alespoň o polovinu hodnoty p= ћ k = h/a = 6,6.10-34 / 0,543.10-9 = 1,. 10-4 kg.m.s -1 kde a je mřížková konstanta Si. Tato změna musí být zajištěna přídavným mechanismem - interkakcí elektronu s kmity mřížky (fonony), protože hybnost fotonu je mnohem menší.
Nosiče náboje v polovodiči hustota energetických stavů ve vodivostním pásu 1 mk 1 m 1/ g(e) = = ( E Ec ) π h π h Fermiho Diracova a Maxwellova Boltzmannova statistika (pravděpodobnost obsazení energetických stavů) f FD ( E ) 1 = E E exp kt F + 1 3/ pro E F -E > 4kT: koncentrace volných nositelů náboje. f MB ( E) EF = exp kt E n 0 E E V = gc (E) f FD (E) de p = 0 g C v (E) [1 f FD (E)] de
Nedegenerovaný polovodič použití Maxwellovy-Boltzmannovy rozdělovací funkce: f ( E ) MB = exp E F kt E n 0 = E C g c 4π ( m 3 h ) 3/ E - E kt n F ( E) f ( E) de = E - exp( ) de E c E c substitucí η = (E - Ec)/(kT) : 3/ 4π ( mn kt) E F - Ec 1/ n 0 = exp( ) η exp(- η ) d η 3 h kt 0
Nedegenerovaný polovodič integrál má tvar gama funkce: 0 η 1/ exp(-η ) dη = 1 π pro elektrony: 3/ π mn kt n0 = exp h n 0 = N C pro díry: p 0 = N V ( E exp F ( E exp E kt V C E kt F ) ) E F - E kt c N N c = v π m n h ππ m = p h kt 3/ kt 3/
Nedegenerovaný polovodič součin koncentrací elektronů a děr nezávisí na E F : E F - Ec Ev - ) ( E F n0 p0 = N c N v exp( exp ) = kt kt 1/ E g ni =( N c N v ) exp(- ) kt n i n. p = ni E F - Ec ( Ei - Ec )+( E F - Ei ) n0 = N c exp( )= N c exp kt kt 0 0 pro elektrony: pro díry: n0 = ni exp( E F - E kt i ) p0 = ni exp( E i - E kt F )
Intrinsický polovodič p = n = o o n i T = 300 K n = 6 /cm 3 i 10 v GaAs 1,5 10 10 / cm 3 vsi 10 13 / cm 3 vge
PŘÍKLAD 5 Vypočtěte vzdálenost E F E i v Si při n 0 = 10 17 cm -3 v rovnováze při teplotě 300 K, určete p 0. n 10 17 EF Ei = kt ln 0 = 0.059 ln 0, 407eV 10 n 1,5 10 = i i n p = = 10 cm 0 n 10 0 0,5 10 3 3 =,55 10 17 Ověřte pomocí následujícího appletu
Nosiče náboje v polovodiči (applet) Teplota Hustota stavů Fermiho f. Diracova Obsazení stavů