O P A K O V Á N Í A P R O H L O U B E N Í U I V A O J E D N O D U C H Ý C H K O N S T R U K C Í C H 1,5 HODINY



Podobné dokumenty
R O V N O B Ž N Í K (2 HODINY)

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Trojúhelník V. kružnice vepsaná a opsaná. konstrukce kružnice vepsaní a opsané trojúhelníku

Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X se nazývá obraz.

M N O Ž I N Y B O D D A N É V L A S T N O S T I V R O V I N 3 HODINY

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

DRUHY ROVNOBŽNÍK A JEJICH VLASTNOSTI 1 HODINA

PLANIMETRIE, SHODNOST A PODOBNOST

Definice : Jsou li povrchové pímky kolmé k rovin, vzniká kolmá kruhová válcová plocha a pomocí roviny také kolmý kruhový válec.

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik

Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách. Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/

PLANIMETRIE úvodní pojmy

Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám

L I C H O B Ž N Í K (2 HODINY) ? Co to vlastn lichobžník je? Podívej se napíklad na následující obrázky:

VY_32_INOVACE_04_Shodnost trojúhelníků -věta sss_02. Škola: Základní škola Slušovice, okres Zlín, příspěvková organizace

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník

Přípravný kurz - Matematika

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB.

2 HODINY. ? Na kolik trojúhelník Ti úhlopíka rozdlí AC lichobžník ABCD? Na dva trojúhelníky ABC, ACD

Řešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností.

4. EZY NA KUŽELÍCH 4.1. KUŽELOVÁ PLOCHA, KUŽEL

Úlohy domácího kola kategorie C

Shodná zobrazení Zobrazení Z v rovin shodné zobrazení nep ímou shodnost shodnost p ímou

MATEMATIKA 6. ročník II. pololetí

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:

2 HODINY. - jedná se o další velmi dležitou množinu bod urité vlastnosti. P: Narýsuj si kružnici k se stedem S a polomrem 6 cm.

February 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika. Planimetrie. Trojúhelníky. Teorie a příklady.

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu):

Přehled učiva matematiky 7. ročník ZŠ

Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ

Jak připravíme animovaný model a využijeme grafické zvýraznění

Dů kazové úlohy. Jiří Vaníček

10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod

Název projektu: Poznáváme sebe a svět, chceme poznat více

2. EZY NA JEHLANECH. Píklad 47 : Sestrojte ez pravidelného tybokého jehlanu ABCDV rovinou.

Geometrické těleso je prostorově omezený geometrický útvar. Jeho hranicí, povrchem, je uzavřená plocha.

Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce

3.cvičení. k p = {X, Y } u(x, r 1 = XA ), v(y, r 1 = XA ) u v = {A, R} q = AR. 1. Bodem A kolmici: Zvolím bod X p k(a, r 1 = XA ),

Pr niky ploch a t les

EU PENÍZE ŠKOLÁM Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost

Výjezdní soustředění matematických talentů Karlov pod Pradědem

ŠROUBOVÉ PLOCHY. 1. Základní úlohy na šroubových plochách.


Mgr. Monika Urbancová. a vepsané trojúhelníku

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/ Reálná čísla

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/ Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín

Pravoúhlá axonometrie

5. Konstrukční planimetrické úlohy

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011

Syntetická geometrie I

Syntetická geometrie I

CZ.1.07/1.5.00/

Rovnice. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které

M - Pythagorova věta, Eukleidovy věty

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů.

ROČNÍKOVÁ PRÁCE TEORETICKÉ ŘEŠENÍ STŘECH

Teoretické řešení střech (Josef Molnár, Jana Stránská, Diana Šteflová) 1. Všeobecné poznatky

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. ROČNÍKOVÁ PRÁCE Teoretické řešení střech

GEOMETRIE S DIDAKTIKOU II.

Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice

16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013

A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2.

Digitální učební materiál

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

ROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )

ROČNÍKOVÁ PRÁCE Tříúběžníková perspektiva

PODOBNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ (včetně stejnolehlosti)

Á Ž Ž Ž ž Ž Ž Ž ť ž ť ž ž ž ž Ž ž Ž Í Ž Ž žť ž ž ž ž Ž Ž ž ž Ž ž ž Ž Ž Ž ž Ž ž ž ť ť Č ž ť Ž ž Ž Ž ž ď ž ť ž ž ť ž Ž Ž Ž Ž Ž ž ž Ž ž ž ž ž ť ž ž ž ž ž

P L A N I M E T R I E

6. Úhel a jeho vlastnosti

Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti,


Syntetická geometrie I

Syntetická geometrie I

Digitální učební materiál

Pravoúhlá axonometrie. tělesa


Doučování sekunda. měsíc Probírané učivo Základní učivo září Opakování učiva z primy

Návody k domácí části I. kola kategorie A

Syntetická geometrie I




n =5, potom hledejte obecný vztah. 4.5 Mnohoúhelníky PŘÍKLAD 4.2. Kolik úhlopříček má n úhelník? Vyřešte nejprve pro Obrázek 28: Tangram

Zajímavé matematické úlohy

Přípravný kurz - Matematika


Zapíšeme k ( S ; r ) Čteme kružnice k je určena středem S a poloměrem r.

5. P L A N I M E T R I E

1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

MATEMATIKA. Problémy a úlohy, v nichž podrobujeme geometrický objekt nějaké transformaci

Polibky kružnic: Intermezzo

Vlasta Moravcová. Matematicko-fyzikální fakulta & Nad Ohradou 23 Univerzita Karlova v Praze Praha 3. Letní škola geometrie 2018,

Transkript:

O P A K O V Á N Í A P R O H L O U B E N Í U I V A O J E D N O D U C H Ý C H K O N S T R U K C Í C H 1,5 HODINY Díve, než spolen pikroíme k uivu o množinách bod, pokusíme se zopakovat nkteré jednoduché konstrukce, které již znáš a které budeš v následujících kapitolách o množinách bod asto užívat. Nejprve si sám pokus narýsovat následující jednoduchá cviení: 1. Narýsuj si pímku, která prochází dvma rznými zadanými body A, B 2. Sestroj si kružnici o stedu S a polomru 4 cm 3. Bodem X, který neleží na pímce p, sestroj rovnobžku q s pímkou p 4. Bodem X, který neleží na pímce p, ve k pímce p kolmici k, prseík obou pímek si ozna P 5. Sestroj si úseku AB o velikosti 5,5 cm a pomocí kružítka sestroj její sted S 6. Na libovolné kružnici se stedem S si zvol bod T a ve tímto bodem tenu k dané kružnici (vzpome si, že tena t procházející bodem T je kolmá s polomru ST) 7. Je dána kružnice k a pímka p. Sestroj všechny teny kružnice k, kterou jsou s pímkou p rovnobžné (dv ešení) Urit si tyto velmi jednoduché úlohy bez problém zvládl. Budeme v opakování dále pokraovat. Nyní Ti však již každý píklad doplním o obrázek nebo komentá: 8. Sestroj použitím kružítka osu úseky AB, jejíž délka je 6 cm Urit víš, že osa úseky AB prochází jejím stedem S a je kolmá na úseku AB. Urit také víš, že vzdálenost krajních bod A, B od stedu S jsou 3 cm (polovina délky úseky). Postup pi rýsování osy by slovn vypadal asi takto: 1. Nejprve si narýsuješ úseku AB 2. Poté si vezmeš do kružítka libovolnou vzdálenost, která je vtší než polovina délky úseky (3 cm) a sestrojíš kružnice o tomto polomru mající stedy v bodech A, B 3. Kružnice se protnou ve dvou bodech X, Y 4. Tmito body vedeš pímku o tato pímka je osou úseky AB

9. Sestroj použitím kružítka osu libovolného úhlu AVB, kde V je vrchol úhlu a polopímky VA, VB jsou jeho ramena Opt urit víš, že osa úhlu je polopímka VX ležící uvnit úhlu AVB, která dlí úhel AVB na dva úhly o stejné velikosti. Opt Ti uvedu slovní postup pi konstrukci osy úhlu: 1. Narýsuj si libovolný úhel AVB 2. Kružítkem si tento úhel vyzna (ást kružnice se stedem V a libovolným polomrem mezi obma rameny). Prnik kružnice s rameny si ozna Y, Z 3. Nyní si vezmi do kružítka libovolnou vzdálenost vtší než v pedchozím bod a udlej dv stejné kružnice se stedy v bodech Y, Z 4. Tyto kružnice se Ti uvnit úhlu AVB v bod X 5. Polopímka VX je hledanou osou úhlu AVB ov si, že vzdálenosti bodu X od obou ramen jsou stejné a že tento poznatek platí pro každý bod osy

10. Narýsuj si libovolný trojúhelník ABC a postupn v nm vyzna: a) stední píky b) tžnice trojúhelníku, tžišt c) výšky trojúhelníku d) kružnici opsanou trojúhelníku e) kružnice vepsanou trojúhelníku a) Stední píka trojúhelníku je úseka, která vždy spojuje stedy dvou stran trojúhelníku a je rovnobžná se tetí stranou. Délka stední píky je rovna polovin délky té strany trojúhelníku, se kterou je stední píka rovnobžná viz obr.) Poznámka na obrázku jsou pro vtší pochopení uvedeny i rozmry stran a stedních píek, ty mžeš mít jiné rozmry.

b) Tžnice trojúhelníku je úseka spojující vrchol trojúhelníku se stedem jeho protjší strany. Všechny ti tžnice se protínají v jednom bod, který se nazývá tžišt trojúhelníku a znaí se písmenem T.

c) Výšky trojúhelníku jsou kolmé (nejkratší) úseky spojující vrchol trojúhelníku s jeho protjší stranou. Výškou trojúhelníku oznaujeme jak úseku, tak její délku. V každém trojúhelníku lze sestrojit ti výšky, které se protínají v jednom bod, který se nazývá prseík výšek V. d) Sted O kružnice opsané získáme jako prseík os jednotlivých stran trojúhelníku, polomr r kružnice opsané je roven vzdálenosti stedu O od libovolného vrcholu trojúhelníku.

OA = OB = OC = r polomr kružnice opsané k (O ; r) je kružnice opsaná trojúhelníku ABC e) Sted O kružnice vepsané získáme jako prseík os vnitních úhl trojúhelníku ABC, polomr kružnice vepsané je roven vzdálenosti stedu S od jakékoliv strany trojúhelníku (vzdálenost sestrojíme tak, že z bodu S vedeme k libovolné stran kolmici).

SX = SY = SZ polomr kružnice vepsané k (S ; SX) je kružnice vepsaná trojúhelníku ABC Opakování - Jednoduché konstrukce trojúhelníku 11. (Konstrukce sss): Sestrojte trojúhelník ABC s délkami stran: AB = c = 8 cm AC = b = 7 cm BC = a = 6 cm a) Rozbor: zkoumám, zda jsou splnny trojúhelníkové nerovnosti, staí mi prozkoumat pouze barevn oznaenou (Pro?) 1. podmínky: 8 + 7 > 6 7 + 6 > 8 8 + 6 > 7 Trojúhelníkové nerovnosti jsou splnny, trojúhelník lze sestrojit. 2. nárt: b) Postup konstrukce: C k m

1. AB ; AB = 8 cm 2. k ; k (A ; r = 7 cm) 3. m ; m (B ; r = 6 cm) 4. C k m 5. ABC c) Vlastní konstrukce: d) Závr: Trojúhelník odpovídá zadání, jedno ešení v polorovin. 12. (Konstrukce sus): Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = c = 8 cm AC = b = 6 cm = 60 Nárt a Rozbor: 60 < 180º - trojúhelník lze sestrojit podmínka

C k AX Postup konstrukce: Vlastní konstrukce: 1. AB ; AB = 8 cm 2. BAX ; BAX = = 60 3. k ; k (A ; r = 6 cm) 4. C k AX 5. ABC

d) Závr: Trojúhelník odpovídá zadání, jedno ešení v polorovin. Poznámka (dležitá): Velmi asto se vyskytuje chyba v bod 4 pi postupu konstrukce (C k AX), kdy studenti píší, že bod C získají jako prnik úhlu a kružnice, nikoliv jako prnik polopímky a kružnice. Podívej se na obrázek a uvidíš, pro je tento zápis nesprávný a nepravdivý. Na obrázku jsem vyznail modrou barvou celý úhel. Podívej se na bod Z. Ten urit nespluje zadání úlohy (ekni pro), ale leží v prniku úhlu a kružnice.

13. (Konstrukce usu): Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = c = 9 cm = 80 = 40 Nárt a rozbor: 80 + 30 < 180º - podmínka (trojúhelník lze sestrojit) C AX BY Postup konstrukce: 1. AB ; AB = 9 cm 2. BAX ; BAX = = 80 3. ABY ; ABY = = 40 4. C AX BY 5. ABC Vlastní konstrukce:

Závr: Trojúhelník odpovídá zadání, 1 ešení v dané polorovin. 14. (Konstrukce Ssu): Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = c = 9 cm AC = b = 6 cm = 70 Nárt a rozbor: 70 < 180º - Podmínka (trojúhelník lze sestrojit) Poznámka: Na tomto typu konstrukce uvidíš, že pedchozí podmínka není jedinou podmínkou. Zatím ji zámrn neuvádím, sám na ni pijdeš.

C k AX Postup konstrukce: 1. AC ; AC = 6 cm 2. ACX ; ACX = 70 3. k; k (A, r = 9 cm) 4. B AX k 5. ABC Vlastní konstrukce:

Závr: Trojúhelník odpovídá zadání, 1 ešení v dané polorovin. Poznámka: Nyní si spolen zkusíme prozkoumat již zmínnou druhou podmínku. Necháme si stejné zadání, jen velikost strany c bude nejprve 6 cm (tedy stejná jako velikost menší strany b), posléze pak napíklad 5 cm (tedy menší než velikost strany b). Oba pípady si zkus pouze narýsovat. Poté se pokus vyslovit podmínku. Na obrázku máš znázornnu situaci, kdy je velikost strany c = 6 cm.

Všimni si, že polopímka AX a kružnice k se neprotínají, a tedy nemohu sestrojit hledaný bod B a tedy ani trojúhelník ABC. Stejn dopadneš i v pípad, kdy délka strany c bude 5 cm. Už tušíš druhou podmínku? Shr si pedchozí pípady: b > c..trojúhelník lze sestrojit jedno ešení b = c..trojúhelník nelze sestrojit b < c..trojúhelník nelze sestrojit Podmínka: Strana naproti úhlu musí být vždy vtší, než strana k úhlu pilehlá, pak lze trojúhelník vždy sestrojit a hovoíme o konstrukci Ssu. 15. (Opt konstrukce Ssu): Sestroj trojúhelník ABC, je-li dáno: a = 4 cm b = 5 cm = 45 Nárt a Rozbor: 45 < 180º - první podmínka je splnna. Druhá podmínka není nyní splnna (strana pilehlá k úhlu je nyní vtší než strana naproti úhlu, nejedná se tedy o konstrukci Ssu). Už jsme se setkali s tímto pípadem a zjistili jsme, že daný trojúhelník nelze sestrojit. Zkusme se tedy podívat, zda to samé platí i pro tento pípad:. Postup konstrukce: C k AX

1. AC ; AC = 5 cm 2. CAX ; CAX = 45 3. k; k (C, r = 4 cm) 4. B AX k 5. ABC Vlastní konstrukce: Závr:Trojúhelník vyhovuje zadání, 2 ešení v dané polorovin (trojúhelníky ABC, AB 1 C). Shrnutí: 1. Jedná-li se o konstrukci Ssu, musí platit podmínka, podle které je strana ležící naproti zadanému úhlu vždy vtší než strana k úhlu pilehlá. Daná konstrukní úloha pak má jedno ešení v dané polorovin. 2. Pokud není podmínka splnna, nejedná se o konstrukci Ssu, ale i tak úlohu ešíme. Pitom úloha mže mít v dané polorovin dv nebo žádné ešení.