Moderní technologie ve studiu aplikované fyiky CZ.1.07/..00/07.0018 4. Komplexní čísla Matematickým důvodem pro avedení komplexních čísel ( latinského complexus složený), byla potřeba rošířit množinu (obor) reálných čísel. V oboru reálných čísel totiž existuí algebraické (polynomické) rovnice s reálnými koeficienty a kladnými neápornými celočíselnými exponenty (např. x + 1 = 0), které nemaí v tomto oboru žádné řešení kořeny (čili obor reálných čísel není vhledem k nim uavřený), případně e počet eich reálných kořenů nižší, než stupeň polynomu. Tento problém tak vedl k nutnosti dodefinovat odmocniny e áporného čísla a k avedení množiny komplexních čísel, eíž podmnožinou e množina reálných čísel. Obor komplexních čísel e uavřený neen na výše uvedené kořeny polynomů s reálnými koeficienty, ale i na kořeny polynomů s komplexními koeficienty. Tuto uavřenost aručue Základní věta algebry, která tvrdí, že polynom n-tého stupně má v oboru komplexních čísel n kořenů. Ukáalo se, že i ve fyice nadou komplexní čísla své uplatnění. Přeformulováním řady fyikálních problémů do komplexních čísel se tyto problémy většinou matematicky ednoduší. S komplexními čísly se totiž velmi ednoduše pracue a pro každý typ úlohy (podle matematického ápisu rovnic, podle povahy hledaného řešení, ) e vhodný iný ápis komplexních čísel. Komplexní ápis se s výhodou používá, například, v teorii harmonického kmitání a vlnění, eména při řešení obvodů střídavého proudu (sériový RLC obvod, výpočet tv. alového proudu, atd.). V teorii šíření elektromagnetického vlnění (světla) le ase, například, index lomu považovat a komplexní funkci vlnové délky, kde reálná část má výnam coby obecnění indexu lomu akožto konstanty pro danou vlnovou délku, atímco imaginární část e tv. index absorpce, popisuící míru útlumu áření v daném materiálu. Také kvantová mechanika používá systematicky komplexní ápis pro stavy i operátory příslušeící k poorovatelným veličinám. 4
Ponámka: Důležité e vždy správně interpretovat ískané řešení, t. přiřadit komplexním číslům (resp. eich imaginárním částem) správný fyikální smysl. ZÁKLADNÍ POJMY Komplexní číslo (v kartéském tvaru) e výra = a + ib, kde a, b sou reálná čísla, i e imaginární ednotka s vlastností i = 1. a e reálná část, b e imaginární část komplexního čísla ; načí se též a = Re, b = Im. Množina všech komplexních čísel se načí C. Libovolné reálné číslo le pak vyádřit ako komplexní číslo a + i0, odkud plyne, že R C. Pokud platí, že = ib (tedy a = 0), dostáváme rye imaginární číslo. Komplexní čísla 1 = a + ib, = c + id sou si rovna, estliže a = c a b = d; apisueme 1 =. Číslo komplexně sdružené ke komplexnímu číslu = a + ib e číslo a ib; načí se. GEOMETRICKÁ INTERPRETACE Z definice komplexního čísla e řemé, že dvoici reálných čísel a, b odpovídá právě edno komplexní číslo a + ib. Každému komplexnímu číslu le pak přiřadit bod [a, b] v rovině a naopak (vi obr. 4.1). y b = a + ib ϕ 0 a x Obráek 4.1 Gaussova rovina komplexních čísel Ztotožní-li se při této interpretaci každý bod [a, b] roviny s komplexním číslem a + ib, hovoří se o Gaussově rovině komplexních čísel. Reálné číslo a se pak totožní s bodem [a, 0], případně s komplexním číslem a + i0; množina všech reálných čísel v Gaussově rovině e reálná osa x, množina všech komplexních čísel = a + ib, pro něž a = 0 (tedy rye imaginárních čísel), e imaginární osa y, 0 e počátek. 5
Další výnamnou interpretaci dostaneme, estliže každému komplexnímu číslu = a + ib přiřadíme v rovině vektor s počátečním bodem [0, 0] a koncovým bodem [a, b] (obr. 4.). y b = a + ib ϕ 0 a x Obráek 4. Komplexní číslo ve vektorové interpretaci OPERACE S KOMPLEXNÍMI ČÍSLY Pro komplexní čísla 1 = a + ib, = c + id se eich součet, rodíl, součin a podíl definue takto: Součet 1 + = (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d). Rodíl 1 = (a + ib) (c + id) = (a c) + i(b d). Součin 1 = (a + ib)(c + id) = ac + iad + ibc + i bd = (ac bd) + i(ad + bc). 1 a+ ib a+ ib c id ac + bd bc ad Podíl = = = + i, když 0, t. c 0 a d 0. c + id c + id c id c + d c + d Z uvedených vtahů vyplývá, že při provádění operací s komplexními čísly postupueme formálně steně ako při operacích s dvočleny reálných čísel, přičemž i nahradíme -1. Snadno se pak dokáže, že tyto operace splňuí axiomy A1 - A4 platné pro reálná čísla (vi kapitola 3). Podotkněme, že pro komplexní čísla nele avést uspořádání pomocí, ak e náme reálných čísel. Příklad: 1 = + i3, = 1 i; 1 + = ( + 1) + i(3 1) = 3 + i; 1 = ( 1) + i(3 + 1) = 1 + i4; 1 = i + i3 3i = 5 + i; 1 + i3 1+ i 1+ 5i 1 5 = = = + i. 1 i 1+ i 6
ABSOLUTNÍ HODNOTA (MODUL) Absolutní hodnota (modul) komplexního čísla a + ib e reálné číslo a + b ; načí se. Z obráku 4.1 e patrno, že vyadřue vdálenost bodu [a, b] od bodu 0 = 0 + i0 = [0, 0]. Základní vlastnosti absolutní hodnoty : (a) 1+ 1 + (tv. troúhelníková nerovnost), (b) 1 = 1, (c) 1 = 1, estliže 0. Ponámka: Platí =. POLÁRNÍ (GONIOMETRICKÝ) TVAR KOMPLEXNÍHO ČÍSLA Komplexní číslo = a + ib le ako bod v rovině adat i iným působem, například vdáleností od počátku 0 (tedy absolutní hodnotou) a úhlem ϕ, který svírá průvodič bodu s kladným směrem osy x (vi obr. 4.1). Pak dostáváme a b cos ϕ =, sinϕ = (4.1) a odtud a+ ib = cosϕ+ i sinϕ = ( cosϕ+ i sinϕ) =. Každé komplexní číslo 0 le tedy vyádřit ve tvaru ( cosϕ i sinϕ) = +, (4.) který se naývá polární tvar (též goniometrický tvar) komplexního čísla. Každé reálné číslo ϕ vyhovuící (4.1) se naývá argument komplexního čísla. Z periodicity funkcí sin a cos plyne, že každé komplexní číslo má nekonečně mnoho argumentů lišících se váemně o celočíselný násobek π. Argument ϕ, pro který platí 0 ϕ < π, se naývá hlavní argument. Každé komplexní číslo 0 se pak vyadřue ve tvaru ( cos ( ϕ+ kπ) + i sin( ϕ+ kπ) ) =, (4.3) kde ϕ e hlavní argument a k e libovolné celé číslo. 7
Ve většině případů vystačíme s vyádřením pomocí hlavního argumentu (t. k = 0), což odpovídá tvaru (4.). U odmocniny (vi dále) však e třeba vyít tvaru (4.3). Příklad: = 1 +i ; 1 1 3 = ( 1) + 1 =, cos ϕ = =, sin ϕ= =, ϕ = π + kπ, 4 3 3 = cos π+ kπ + isin π+ kπ, kde k e libovolné celé číslo; 3/4π e hlavní argument. 4 4 MOIVREŮV VZOREC Pro komplexní čísla ( cosϕ i ϕ ) = +, 1 a1+ ib1 = 1 1 sin 1 platí ( cosϕ i ϕ ) + = a + ib = sin ( cos( ϕ + ϕ ) + ( ϕ + ϕ )), (4.4) 1 = 1 1 i sin 1 1 = cos 1 i 1 ( ( ϕ ϕ ) + sin( ϕ )). 1 ϕ Zobecněním vtahu (4.4) pro n komplexních čísel ( cos ϕ + i sinϕ ) = a + ib =, = 1,,, n dostáváme ( ( ϕ + + ϕ ) + i ( ϕ + + ϕ )) 1 n = 1 n cos 1 n sin 1 n. Speciálně pro = = n = ( cosϕ + sinϕ) = se pak 1 i n n n ( ( cos ( ϕ) + i sin( ϕ) )) = ( cosnϕ+ i sinnϕ) = (4.5) naývá Moivreův vorec. ODMOCNINA KOMPLEXNÍHO ČÍSLA Buďte = (cos(ϕ + kπ) + isin(ϕ + kπ)) komplexní číslo, n přiroené číslo. n-tá odmocnina komplexního čísla e komplexní číslo w, pro něž platí w n =. 8
Aplikací (4.5) pro 0 le odvodit, že existue n růných n-tých odmocnin w k komplexního čísla, přičemž n ϕ+ kπ ϕ+ kπ ( ) = w = n + i sin k cos (4.6) n n pro k = 0, 1,, n 1. Je patrno, že všechny n-té odmocniny maí tutéž absolutní hodnotu n π a argumenty se liší o celočíselný násobek ; odtud vyplývá, že n-té odmocniny n tvoří vrcholy pravidelného n-úhelníku vepsaného do kružnice o poloměru n. Příklad: 4 1+i ; π π 1+ i= cos + isin, 4 4 podle (4.6) pak platí w k kde k = 0, 1,, 3 (vi obr. 4.3). = π π + kπ + kπ 4 4 cos + isin = 4 4 π π cos + k 16 + π isin + k, 16 4 8 π y w 1 w 0 w 0 8 x w 3 Obráek 4.3 9
ZOBECNĚNÝ MOIVREŮV VZOREC Ponatky předchoích dvou odstavců le shrnout pro m, n přiroená čísla, n 0 do následuícího vtahu m n ( ( cos( ϕ ) + i sin( ϕ) )) m m n = n ( cos( mϕ/ n) + i sin( mϕ / n) ) =, (4.7) který se naývá obecněný Moivreův vorec. Tento vorec se pravidla uvádí pro komplexní čísla = (cosϕ + i sinϕ) s modulem = 1, kdy platí m n ( cos( ϕ ) i sin( ϕ) ) = ( cos( mϕ / n) + i sin( mϕ / n) ) +. (4.8) Příklad: Pomocí vtahů (4.7) a (4.8) můžeme apsat n řešení (kořenů) rovnice n = 1, resp. = n 1 ;. Onačíme-li k-tý kořen w k, pak e w k cos( πk/n) + isin( πk/n), = kde k = 0, 1,..., n 1. V souladu s (4.8.) e =1. w n k EULERŮV VZOREC KOMPLEXNÍHO ČÍSLA Le odvodit vorec, který spoue exponenciální funkci imaginárního argumentu s trigonometrickými funkcemi. Tento vorec se naývá Eulerův vorec ± ϕ e i = cosϕ ± i sinϕ. (4.9) tvaru Komplexní číslo ( cosϕ + i sinϕ) = se tak může vyádřit v následuícím iϕ = e, (4.10) kde argument φ e určen vtahem tg ϕ = b/ a, ak plyne e (4.1). Tento ápis komplexního čísla e ve fyice velmi často využíván a onačue se ako Eulerův vorec komplexního čísla. Na ákladě výše řečeného se obecněný Moivreův vorec (4.8.) fakticky redukue na pravidlo o násobení exponentů, elikož platí p iϕ p ipϕ ( cos ϕ + i sinϕ) = ( e ) = e = cos pϕ + i sin pϕ, přičemž le uvažovat p = m / n ako libovolné číslo, ne nutně racionální. 30
Cílové nalosti 1. Operace s komplexními čísly.. Polární (goniometrický) tvar komplexního čísla. 3. Moivreův vorec, odmocnina komplexního čísla, obecněný Moivreův vorec. 4. Eulerův vorec komplexního čísla. 31