Perspektiva jako matematický model objektivu

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra informatiky a výpočetní techniky Semestrální práce z předmětu KMA/MM Perspektiva jako matematický model objektivu Martin Tichota mtichota@students.zcu.cz 1

OBSAH 1. Úvod... 1 2. Základ modelu... 1 3. Přehled projekcí... 1 3.1. Rovinné perspektivní projekce... 2 3.2. Nelineární perspektivní projekce... 4 3.2.1. Cylindrická a panoramatická perspektiva... 4 3.2.2. Rybí oko... 7 4. Použití modelu... 13 5. Závěr... 14 6. Reference... 15

1. ÚVOD Snaha zachytit okolní svět a uchovat ho tak v nezměněné podobě provází člověka od počátku. Jedním z elementárních problémů této snahy je převedení trojrozměrného světa na dvourozměrné médium typu papír, fotografie nebo v posledním půl století také obrazovka počítače. K tomu se využívá matematická transformace nazývaná projekce. Ta definuje, jak se jednotlivé body zobrazovaného 3D tělesa (prostoru) namapují na 2D plochu. Způsobů jak tuto operaci provést je mnoho, díky čemuž známe více typů projekcí. V této práci se pokusím ukázat, proč lze využít projekce jako matematického modelu objektivu fotoaparátu, dále uvedu přehled různých typů projekcí, s důrazem na křivočaré perspektivní projekce, včetně konkrétních ukázek. 2. ZÁKLAD MODELU Fotoaparát funguje na podobném principu jako lidské oko. Zachycuje světlo, které se v čočce objektivu láme a usměrňuje ho na fotocitlivý materiál, na kterém se objeví výsledný obraz. Viditelné světlo je elektromagnetické vlnění o vlnové délce zhruba mezi 400-700 nanometry. Tvoří ho proud částic, fotonů, které kmitají s určitou amplitudou a frekvencí (odpovídající vlnové délce). Světlo, respektive světelný paprsek, si lze představit jako polopřímku vycházející ze zdroje světla s určitým směrem a intenzitou. Pokud tedy přijmeme toto zjednodušení a spojíme ho s předpokladem v úvodu této sekce, získáme jednoduchý model zachycení snímku pomocí fotoaparátu. Jediné co ještě schází, je způsob, jakým se v objektivu světelný paprsek láme. Tento způsob charakterizuje a matematicky popisuje operace nazvaná projekce. Přehled jednotlivých projekcí, včetně matematických vztahů uvádím v následující sekci. 3. PŘEHLED PROJEKCÍ Pokud mluvíme o projekcích, je pro jejich popis nezbytné osvětlit dva základní pojmy. Dle [2] je promítací paprsek myšlená polopřímka vycházející z promítaného bodu, její směr určuje zvolená promítací metoda. Průmětna je plocha v prostoru, na níž se vytváří obraz promítaného objektu, v místech, kde jí protínají promítací paprsky. Jedno z možných dělení je právě podle typu průmětny. Pokud je průmětna rovinná, promítnuté úsečky se na ní zobrazí do úseček. Tato projekce se označuje jako rovinná nebo lineární a v prai je nejpoužívanější. Těžištěm mé práce jsou ale projekce, v kterých je objekt promítán na nerovinnou plochu. A teprve z této plochy je následně promítnut na dvourozměrnou rovinu. V takovém případě dochází k deformaci promítaných úseček na křivky. 1

Dalším možným dělením je na rovnoběžné a středové promítání. Při rovnoběžném promítání mají všechny promítací paprsky jeden směr, jsou tedy navzájem rovnoběžné. Tento typ promítání je běžný především u promítání s rovinnou průmětnou a využívá se v technických aplikacích, kdy nejde o dojem z obrazu, jako spíš o přesné zachycení tvaru a měřítka zobrazovaného objektu. Středové promítání odpovídá tomu, jak reálný svět vnímá člověk svým okem. Všechny promítací paprsky míří do jednoho bodu, středu promítání, a v místě, kde protínají průmětnu, vytváří perspektivu zobrazovaného objektu. Při pozorování průmětu vznikne na sítnici oka stejný obraz, jako kdybychom pozorovali původní objekt. Dále se budu zabývat pouze tímto typem projekce. Taktéž budu dále uvažovat pouze případ, kdy je osa pozorování kolmá na průmětnu. 3.1. ROVINNÉ PERSPEKTIVNÍ PROJEKCE Jak jsem uvedl výše, rovinné projekce jsou takové, které mají rovinnou průmětnu. Jsou to nejčastěji používané projekce, průměty jimi vytvořené vytváří dobrý prostorový dojem a odpovídají naší zrakové zkušenosti s reálným světem. Abych mohl perspektivní projekci matematicky popsat, zavedu soustavu souřadnic, tak jak je na obrázku Obr. 1. V nejzákladnějším případě bude pozorovatel v bodě 0, což je počátek souřadného systému a zároveň střed perspektivy. Průmětna bude rovnoběžná s rovinou ve vzdálenosti na ose. Bod,, se tedy zobrazí do bodu,,. Souřadnice promítnutého bodu lze snadno odvodit z podobnosti trojúhelníků, takže = = = U tohoto typu projekcí je běžné, že se pracuje s body zadané v homogenních souřadnicích 1. Hlavní výhodou této reprezentace je jednotný maticový zápis všech druhů rovinných projekcí. Projekce bodu,,,1 do bodu,,, by tedy v této notaci byla zapsána jako 1 0 0 0 0 1 0 0 = 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 O tom, co jsou homogenní souřadnice, se lze dočíst například v [2], kapitola 21 nebo v kapitole 4 2

y A 0=S z =d A y d z Obr. 1 Perspektivní rovinná projekce V tomto případě, kdy je průmětna rovnoběžná s jednou z rovin souřadného systému mluvíme o takzvané jednoúběžníkové perspektivě. Všechny přímky, které byly před promítnutím kolmé na průmětnu a tedy rovnoběžné, jsou po promítnutí různoběžky sbíhající se v bodě, kterému se říká hlavní úběžník. Podle polohy průmětny vůči souřadným osám rozeznáváme ještě dva typy perspektiv. Pokud je normála průmětny kolmá pouze na jednu ze souřadných os, hovoříme o dvojúběžníkové perspektivě. Pokud budeme uvažovat případ, kdy je průmětna rovnoběžná s osou a protíná osu ve vzdálenosti od počátku a osu ve vzdálenosti od počátku, bude bod,,, = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 Trojúběžníková perspektiva vzniká, pokud je průmětna umístěna tak, že protíná všechny tři souřadné osy. Pokud označíme,, vzdálenosti od počátku, v kterých průmětna protíná jednotlivé souřadné osy, potom se průmět bodu spočítá jako 3

= 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 3.2. NELINEÁRNÍ PERSPEKTIVNÍ PROJEKCE Nelineární projekce (dále jen NP) nezachovávají linearitu přímek a deformují je na křivky. Jak jsem uvedl již v úvodu, mají tyto projekce dvě fáze. V první je zobrazovaný prostor středově promítnut na sférickou nebo cylindrickou plochu. Poté jsou jednotlivé body plochy promítnuty do roviny. Tyto metody nachází uplatnění i v oblastech tolik nesouvisejících se zobrazováním, jako je například kartografie nebo geologie. V oblastech zabývajících se zobrazováním jako je počítačová grafika nebo fotografie, mají NP dvě zásadní uplatnění. Jednak je to ozvláštnění zobrazované scény- NP výrazným způsobem deformují zobrazovaný prostor, což, pokud je citlivě využito, vede k netradičnímu a zajímavému dojmu z věcí, které by v případě použití rovinné projekce přišly člověku obyčejné. Druhým hlavním důvodem k použití NP je schopnost zachytit mnohem větší část prostoru než v případě rovinných projekcí. To je ovšem vykoupeno deformacemi zmíněnými výše. V sekci 3.1 jsem pro matematický popis projekcí používal homogenní souřadnice. V dalším tetu však bude pracovat pouze s body v běžném euklidovském prostoru. Důvodem je jednodušší zápis a také neúspěch při hledání využití homogenních souřadnic v neplanárních projekcích. Přestože by u některých tipů projekcí bylo možné homogenní souřadnice jednoduše zavést, u jiných už by to bylo poměrně obtížné. To by vedlo dle mého názoru k nekonzistenci práce, proto pracuji u všech dalších matematických konstrukcí s euklidovským prostorem. 3.2.1. Cylindrická a panoramatická perspektiva První z neplanárních ploch používaných k nelineární projekci je válcová plocha. Cylindrická perspektiva vznikne jako středový průmět zobrazovaného prostoru na zmíněnou válcovou plochu. Pokud tento průmět, tedy plášť válce, rozvineme do roviny, získáme tzv. panoramatickou perspektivu. Pokud bychom chtěli promítnout široký objekt, podařilo by se nám to s rovinnou projekcí jen s velkým odstupem, čímž bychom mohli ztratit detaily objektu. Použití cylindrické perspektivy nám, za cenu menších deformací, umožní objekt zachytit bez odstupu. Pro matematický popis cylindrické, respektive panoramatické perspektivy zavedu souřadný systém tak, jak je zobrazen na obrázku Obr. 3, což je kolmý průmět obrázku Obr. 2 do roviny. Střed perspektivy je v bodě, což je zároveň počátek souřadného systému. Osa splývá s osou perspektivy, ve vzdálenosti je na této ose hlavní bod perspektivy. 4

Tímto bodem také prochází rovina panoramatické perspektivy, což je tečná rovina k ploše, která tvoří povrch pláště. Normála roviny je rovnoběžná s osou.cylindrická perspektiva bodu je průsečík přímky s rovinou. Po rozvinutí této plochy do roviny vznikne panoramatická perspektiva bodu. Délka úsečky je tedy rovna délce oblouku. Zorný úhel určuje, jak velkou část prostoru jsem schopni promítnout ve vodorovném směru. Ve svislém směru omezuje prostor, který jsme schopni promítnout tzv. obrazový úhel. π y z φ H α Obr. 2 Cylindrická plocha a rovinná průmětna používaná v panoramatické projekci z π H B d B φ B α 0=y=S Obr. 3 Kolmý průmět promítací situace do roviny z Uvažujme nyní souřadný systém, tak jak jsem ho popsal v předchozím odstavci. Bod,, se promítne do bodu,,, který se následně rozvine do bodu,, a vytvoří tak panoramatickou perspektivu bodu. Souřadnice je délka oblouku, tedy =, souřadnice =, to je 5

= + Souřadnice je zřejmá, rovná se vzdálenosti roviny od počátku, tedy. Jak jsem uvedl v úvodu této kapitoly, dochází při nelineárních projekcích k deformacím některých přímek na křivky. U cylindrické, potažmo panoramatické, perspektivy bude přímka, procházející bodem,,, se směrovým vektorem,,, zadaná parametricky jako promítnuta do perspektivy = = + = + = + = + + + + + + P = Pokud bude přímka protínat osu v bodě 0,,0, její průmět bude = = + = + V tomto případě se tedy přímka promítne taktéž na přímku. Stejně jako v případě, kdy je přímka rovnoběžná s osou. V této situaci je zadána parametricky jako a její průmět je tedy = = + = = + = + Ve všech ostatních případech se přímka promítne na křivku popsanou P. Stejně jako u rovinné projekce, i zde lze klasifikovat tři druhy perspektivy podle počtu úběžníku. V této části budu pracovat pouze s rovinou, ovšem předpokládám, že vzájemná poloha roviny a plochy je stále stejná. Tedy že je tečná rovina k ploše v bodě a normála roviny je rovnoběžná s osou. 6

Jednoúběžníková perspektiva vznikne, pokud bude rovina rovnoběžná s některou z rovin souřadného systému. Dvojúběžníková perspektiva vznikne, pokud bude normála roviny kolmá na jednu ze souřadných os. Konečně trojúběžníková perspektiva vznikne, pokud bude rovina protínat všechny tři souřadné osy. Panoramatická perspektiva se hojně využívá ve fotografii při vytváření takzvaných panoramat. Panorama je široký výřez prostoru, zachycený na jednom snímku. Díky panoramatické perspektivě je tak možné zachytit na jeden snímek zachytit oblast, která by se na standardní snímek nevešla. Samozřejmě pokud se smíříme s výše zmíněnými deformace. Podrobnosti o panoramatické perspektivě a její použití ve fotografii lze nalézt v [1], odkud jsem čerpal informace uvedené v této kapitole i já. Samotná cylindrická projekce se využívá hlavně v kartografii. Zde se pomocí projekce řeší otázka, jakým způsobem převést povrch zeměkoule do roviny. Typický postup je obalení zeměkoule do válce a následné promítnutí povrchu na plášť válce. V této situaci však promítnutím nemusí být nutně perspektivní, jde obecně o matematickou funkci mapující trojrozměrné body do roviny. 3.2.2. Rybí oko Druhá z nejčastějších nelineárních perspektiv je tzv. rybí oko. V případě této perspektivy je prostor nejprve středově promítnut na sférickou plochu a následně převeden na rovinnou plochu. Rybí oko tedy dokáže zachytit ještě větší část prostoru než cylindrická perspektiva. Běžně se jako sférická plocha bere polokoule, v takovém případě je zorný i obrazový úhel roven 180. Ovšem eistují i metody, které umožňují promítnout celý povrch koule, v takovém případě je možno pomocí této perspektivy zobrazit celý prostor. To je však vykoupeno deformacemi, které jsou v tomto případě logicky ještě větší než u cylindrické perspektivy. Podle typu mapovací funkce, tedy funkce převádějící průmět z kulové plochy do roviny, rozeznáváme několik typů zobrazení. Pro jejich popis využiji obrázku Obr. 4. Poloměr sférické plochy je označen jako 2, úhel je úhel, který svírá polopřímka procházející středem a promítaným bodem s osou promítání. V bodě, kde tato polopřímka protíná kulovou plochu, leží průmět. Vzdálenost průmětu od hlavního bodu perspektivy označím jako. Mezi základní mapovací funkce patří Ortografický průmět = sin Ekvivalentní zobrazení =2 sin Ekvidistantní zobrazení = Stereografické zobrazení =2 Stereo 2 Ve fotografii má tento poloměr význam ohniskové vzdálenosti, proto písmenko 7

A A A r 0=S α o H f φ Obr. 4 Schéma projekce rybí oko Pro matematický popis jednotlivých zobrazení souřadný systém mírně upravím. Střed perspektivy je počátkem souřadného systému, plocha je kulová plocha, k níž je ve vzdálenosti na ose tečná rovina, což je rovinná průmětna perspektivy. Vzdálenost je také poloměr plochy. Průmět bodu,, na plochu označím,,. Bod,, je pak průmět bodu do roviny. Bod leží na kružnici, což je průmět kružnice do roviny. Kružnice je průnikem plochy a roviny rovnoběžné s rovinou a procházející bodem. Poloměr kružnice označím jako, poloměr kružnice jako, ten se ovšem bude měnit v závislosti na zvoleném zobrazení. Souřadnice bodu jsou pro všechna zobrazení stejné. Proto v dalším tetu budu předpokládat, že ORTOGRAFICKÝ PRŮMĚT = + + = + + = + + V případě ortografického průmětu, je bod kolmo promítnut do roviny. Poloměr je rovný v tomto případě poloměru. Ortografický průmět je zobrazen na Obr. 5, což je kolmý průmět celé promítací situace do roviny. Souřadnice bodu jsou zřejmé, tedy = 8

= = Na obrázku Obr. 6, převzatém z [3], je fotografie pořízená fotoaparátem s čočkou rybí oko používající ortografický průmět. z A H φ A A κ S=y Obr. 5 Ortografický průmět Obr. 6 Fotografie s čočkou zobrazující pomocí ortografického průmětu EKVIVALETÍ ZOBRAZEÍ Ekvivalentní zobrazení zobrazí kružnici na kružnici, tak, že poloměr bude roven vzdálenosti bodu na kružnici od hlavního bodu perspektivy. Situace je znázorněna na obrázku Obr. 7, kdy je ke kolmému průmětu do roviny přidán kolmý průmět do roviny. Poloměr označuje poloměr kružnice, na níž leží bod, což je bod promítnutý pomocí ortografického průmětu. Z obrázku je vidět, že body a jsou vrcholy dvou stejnolehlých trojúhelníků. Pro zjištění souřadnic bodu tedy využiji stejnolehlosti. Bod vyjádřím pomocí stejnolehlosti jako = = = 9

kde = = 2 + Toto zobrazení zachovává plošný obsah, proto se mu někdy říká také stejnoploché. Díky tomu se využívá v oblastech, v kterých je nutné porovnávat obsah nějakých objektů, například mraků v meteorologii. Na obrázku Obr. 8, převzatém z [4], je fotografie pořízená čočkou s ekvivalentním zobrazením. z y A H φ A A S=y r r0 κ A A ort H=z r k rort Obr. 7 Ekvivalentní zobrazení Obr. 8 Fotografie s čočkou zobrazující pomocí ekvivalentního zobrazení EKVIDISTATÍ ZOBRAZEÍ Ekvidistantní zobrazení zobrazí kružnici na kružnici, tak, že poloměr bude roven vzdálenosti bodu na kružnici od hlavního bodu perspektivy, ovšem měřeno po ploše. Situace je opět znázorněna na obrázkuobr. 9, v průmětech stejných jako v předchozím případě. I tentokrát využiji k zápisu souřadnic bodu stejnolehlosti. Souřadnice bodu budou tedy opět = = = ovšem tentokrát bude 10

= + + Ekvidistantní zobrazení, jak už z názvu vyplývá, zachovává vzdálenosti, proto se využívá v oblastech, kde je nutné měřit vzdálenosti. Pro příklad ekvidistantního zobrazení vizte obrázekobr. 10, převzatý z [3]. z y A H φ A A S=y r r0 κ A A ort H=z r rort k Obr. 9 Ekvidistantní zobrazení Obr. 10 Fotografie s čočkou zobrazující pomocí ekvidistantního zobrazení STEREOGRAFICKÉ ZOBRAZEÍ Stereografické zobrazení se obvykle definuje poněkud odlišně od tří předchozích. V základním případě je definováno jako středový průmět bodu koule na rovinnou průmětnu, která protíná kouli v oblasti rovníku. Střed promítání je pak na severním pólu. Stereografické zobrazení tedy umožňuje namapovat celý povrch koule na dvourozměrnou plochu. Pokud bych stereografické zobrazení aplikoval na situaci popsanou v předchozích případech, dopadlo by to jako na obrázku Obr. 11. Bod 0,0, je středem zobrazení, bod se zobrazí do bodu, což je průnik polopřímky s rovinou. Z obrázku je patrné, že krajní body kulové plochy se zobrazí do kružnice o poloměru 2. Body, které patří do polokoule se zobrazí do vnitřku této kružnice, pokud bychom zobrazovali body i z polokoule, zobrazily by se vně. Jediný bod z povrchu celé kulové plochy, který nelze zobrazit je střed zobrazení. Důvod vyplývá z rovnice Stereo, uvedené v úvodu 11

podsekce 3.2.2. Úhel, který přímka svírá s optickou osou je, takže argument funkce tangens bude. V tomto bodě ale není funkce tangens definována. Pro zápis souřadnic stereografického zobrazení bych opět mohl použít stejnolehlosti, ovšem v tomto případě bude jednodušší uvést přímo jednotlivé složky bodu. Bod se tedy zobrazí do bodu tak, že = 2 + = 2 + = Stereografické zobrazení je konformní, to znamená, že zachovává úhly průsečíků promítaných křivek. Díky tomu zachovává i tvary zobrazovaných objektů. Co ovšem toto zobrazení nezachovává je plocha. Využívá se v kartografii, jako jedno z možných převedení zeměkoule na 2D mapu. Díky zachovávání úhlů jsou mapy vytvořené tímto zobrazením vhodné k navigaci. Toto zobrazení by bylo ideální pro fotografy, protože nezkresluje objekty na okraji snímku tolik, jako ostatní zobrazení. Bohužel výroba čočky, která by to umožnila je velice nákladná a v současné době se žádná taková nevyrábí. Na obrázku Obr. 12, převzatého z [5], je příklad stereografického panoramatu vytvořené pomocí počítače. z A H 2d φ A κ1 A S=y κ2 P Obr. 11 Stereografické zobrazení 12

Obr. 12 Stereografické zobrazení vytvořené pomocí počítače Stejně jako cylindrická perspektiva, je i rybí oko křivočará perspektiva. V případě rybího oka je zakřivení prostoru ještě markantnější. Přímka rovnoběžná s osou a přímka protínající osu z, se jako jediné zobrazí pomocí všech zobrazení do přímky v rovině procházející bodem. Přímka procházející bodem se zobrazí do jediného bodu. Pozice bodu závisí na zvoleném zobrazení. Všechny ostatní přímky se deformují zobrazením na křivky. Jejich výsledný tvar lze odvodit z předpisů pro promítání bodu. Já zde podrobný postup neuvádím, v případě zájmu lze detaily nalézt v [1], odkud jsem čerpal informace i já. Kromě části o stereografickém zobrazení, tu jsem psal s pomocí [5]. 4. POUŽITÍ MODELU Použití modelu je zřejmé. Jeho největší uplatnění je v počítačové grafice, kde se pomocí perspektiv zobrazují scény reprezentující skutečný svět. Scéna je reprezentována jako množina modelů. Na všechny modely jsou aplikovány jednotlivé transformace, které převedou modely ze souřadného systému scény do souřadného systému pozorovatele, respektive kamery. To odpovídá hledání správného místa pro pořízení fotografie, až na to že ve skutečném světě pohybujeme s kamerou, v tom počítačovém je kamera v počatku a celý svět se pohybuje kolem ní. Poté jsou všechny modely vyfoceny z pozice pozorovatele, to znamená promítnuty pomocí jedné z výše uvedených projekcí na průmětnu, která je následně rasterizována a vykreslena na obrazovku počítače. Je tedy vidět, že interně funguje vykreslování 3D scén v počítači podobně jako focení těchto scén několikrát (až 100) za sekundu. Matematický model fotoaparátu je tedy velmi cennou pomůckou při implementaci těchto postupů. 13

5. ZÁVĚR Byl představen přehled perspektivních projekcí s důrazem na neplanární perspektivní projekce a jejich funkci v matematickém modelu objektivu. U jednotlivých projekcí byl vždy uveden jejich matematický popis, slovní popis a příklad použití. Projekce může sloužit dobře jako matematický model objektivu v mnoha oborech, zejména v těch spojených s počítačovým zobrazováním dat. Zde lze s výhodou využít jednoduchost modelu, která má příznivý vliv na rychlost, ale zároveň není na úkor výslednému vzhledu zobrazeného objektu. 14

6. REFERENCE [1] DRS, Ladislav, VŠETEČKA, Jiří. Objektivem počítače - geometrie speciálních fotografických technik. Praha: Nakladatelství technické literatury, 1981 [2] ŽÁRA, Jiří, BENEŠ, Bedřich, SOCHOR, Jiří, FELKEL, Petr. Moderní počítačová grafika. Brno: Computer Press, 2004 [3] OHSHITA, Kouichi. The World\'s First Aspherical SLR Lens and Orthographic Projection Fisheye Lens Tale 6 : OP Fisheye-NIKKOR 10mm f/5.6. IKKOR The Thousand and One ights [online]. 2008 [cit. 2008-11-13]. <http://imaging.nikon.com/products/imaging/technology/nikkor/n06_e.htm>. [4] Wikipedia contributors, 'Fisheye lens', Wikipedia, The Free Encyclopedia [online]. 2008 [cit. 2008-11-13] <http://en.wikipedia.org/w/inde.php?title=fisheye_lens&oldid=251573218> [5] Wikipedia contributors, 'Stereographic projection', Wikipedia, The Free Encyclopedia [online]. 2008 [cit. 2008-11-15]. <http://en.wikipedia.org/w/inde.php?title=stereographic_projection&oldid=246719283> [6] Cube Map OpenGL Tutorial [online]. 05 / 08 / 2004 [cit. 2008-12-14]. Dostupný z WWW: <http://developer.nvidia.com/object/cube_map_ogl_tutorial.html>. [7] Simple Directmedia Layer homepage [online]. Dostupný z WWW: <http://www.libsdl.org/>. 15