Planetární geografie zadání Vzdálenosti na Zemi odevzdání

Transkript

1 Samostatný úkol 5 Planetární geografie zadání Vzdálenosti na Zemi odevzdání Obsah Zadání samostatného úkolu Teoretický základ Pokyny k vypracování (včetně vzorového řešení) Příloha upřesňující údaje k zadání Zadání Vypočítejte délku loxodromy a délku ortodromy mezi místy E a F (upřesnění podle n viz tabulka 1 v příloze A) ležícími na referenční kouli o poloměru 6 371,0 km. Zapište také azimut loxodromy pro cestu ve směru E F a F E. Vypočtené délky ortodromy a loxodromy vzájemně porovnejte. Teoretický základ V klasické eukleidovské geometrii určuje nejkratší vzdálenost dvou bodů E, F úsečka EF, ta ovšem vede nitrem planety Země a jako trasa pro přesun mezi místy E, F je technicky zcela nepoužitelná. Namísto toho se hledá nejkratší spojnice obou bodů vedoucí po zemském povrchu. Pro zjednodušení početního postupu budeme pracovat s body na povrchu referenční koule. ORTODROMA (z řeckého ortos přímý a dromos cesta): nejkratší spojnice dvou míst na zemském povrchu, v případě aproximace zemského tělesa referenční koulí jde o kratší oblouk hlavní kružnice procházející oběma body. Synonyma: geodetika, geodetická křivka. Poznámka: Hlavní kružnice je taková kružnice na kulové ploše, jejíž střed je shodný se středem kulové plochy (kružnice nesplňující tuto podmínku se označují jako vedlejší kružnice). Úlohy k určení průběhu ortodromy se obecně označují jako (základní) geodetické úlohy: I. (základní) geodetická úloha ze souřadnic počátečního bodu E, počátečního azimutu ortodromy a délky ortodromy určete souřadnice koncového bodu F a koncový azimut ortodromy. II. (základní) geodetická úloha ze souřadnic bodů E, F určete délku ortodromy a její počáteční i koncový azimut. Pro stanovení nejkratší vzdálenosti bodů E, F budeme vlastně řešit II. geodetickou úlohu, postačí přitom zjistit délku ortodromy (řešení azimutu ortodromy se věnovat nebudeme). Nejprve uveďme jednoduché možnosti řešení pro dva speciální případy polohy míst E, F, poté metodu výpočtu pro obecnou polohu E, F. 1. Pro dvojici bodů na rovníku E [0, λ E ], F [0, λ F ] lze užít vzorec: =2 360, = Musí být splněna podmínka pro kratší ze dvou možných oblouků hlavní kružnice ( 180 ), proto pokud vychází > 180, použije se doplněk do plného úhlu: Δ = Pro dvojici bodů na stejném poledníku λ E [φ E, λ], F [φ F, λ] lze užít vzorec: I zde pozor na správné stanovení rozdílu. =2 360, = Martin Jurek, katedra geografie PřF UP v Olomouci (verze 2009). 1

2 3. Dvojice bodů E, F v obecné poloze E [φ E, λ E ], F [φ F, λ F ] K určení délky ortodromy mezi body E, F lze využít sférické trigonometrie. Oba body tvoří společně se severním pólem P S snadno řešitelný sférický trojúhelník: Pro strany a úhly platí: e = 90 φ F f = 90 φ E c hledaná ortodroma = Pozor! Za ortodromu volíme kratší oblouk hlavní kružnice, proto musí být splněno 180. Pokud vychází > 180, použije se doplněk do plného úhlu: Δ = 360. Kosinová věta pro stranu c sférického trojúhelníku: cos c = cos e cos f + sin e sin f cos γ Odtud dosazením: = + Pozor na znaménka zeměpisných šířek a vyčíslení goniometrických funkcí! Získaná hodnota c určuje velikost oblouku EF v úhlové míře ( ), je nutné ji ještě převést na délku v kilometrech. Jde přitom o oblouk hlavní kružnice o poloměru shodném s poloměrem referenční koule (r Z ), proto: = Poznámka: Navigaci z místa E do F podél ortodromy komplikuje skutečnost, že azimut ortodromy se obecně plynule mění z počáteční do koncové hodnoty a je nutno jej při přesunu soustavně upravovat podle podrobně vypočtených hodnot. (Azimut zde znamená úhel mezi ortodromou a poledníkem, měří se od severu ve směru chodu hodinových ručiček. V letecké a námořní navigaci se označuje jako kurz.) Pro snadnou navigaci je výhodnější určit konstantní úhel, pod kterým lze z místa E dorazit do místa F. Takový úhel lze vždy určit, dráha pohybu pod tímto konstantním kurzem se označuje jako loxodroma. Výpočtem lze určit i její délku. LOXODROMA (z řeckého loxos šikmý a dromos cesta): čára spojující dvě místa na glóbu a protínající všechny poledníky pod týmž úhlem (azimutem A). Loxodroma je v obecném případě spirála na kulové ploše, blížící se v nekonečně mnoha závitech k oběma pólům (její délka od daného bodu k pólu je ovšem konečná). Výjimky, kdy se loxodroma redukuje ze spirály v kružnici: A {0, 180 } A {90, 270 } loxodroma poledník loxodroma rovnoběžka Martin Jurek, katedra geografie PřF UP v Olomouci (verze 2009). 2

3 V Mercatorově kartografickém zobrazení se loxodromy zobrazují jako přímky (zatímco ortodromy jsou přímkové v gnómonické projekci). Mercatorovo zobrazení významně usnadnilo mořeplavbu, mapy v něm konstruované umožnily jen pomocí pravítka a úhloměru určovat konstantní kurz plavby do zvoleného cíle. Vztah mezi loxodromou a ortodromou: Loxodroma mezi dvěma body není nikdy kratší než ortodroma. Obecně je loxodroma delší, shoda loxodroma ortodroma platí, když oba body leží na rovníku, nebo když A {0, 180 }, tedy loxodroma odpovídá poledníku. Maximální rozdíl mezi délkou ortodromy a loxodromy je pro dva body na téže rovnoběžce, čili při A {90, 270 } mimo rovník. Na severní polokouli probíhá loxodroma jižně od ortodromy, na jižní polokouli naopak severně od ortodromy. Výpočet azimutu a délky loxodromy pro dvě místa E [φ E, λ E ] a F [φ F, λ F ]: Pozor, pro správné určení azimutu loxodromy záleží na pořadí bodů (je nutné rozlišovat, který bod je počáteční a koncový). Délka loxodromy je samozřejmě stejná v obou směrech. Nejprve se určí azimut A ze vztahu: = + + Při dosazování hodnot dbejte na pořadí míst E a F, souřadnice dosazujte včetně znamének (jižní šířka a západní délka jsou záporné), dodržte pořadí operací určené závorkami. Pro nejkratší možnou loxodromu je opět nutné splnit 180. Pokud vychází > 180, použije se doplněk do plného úhlu: Δ = 360. Protože se tentokrát ve výpočtu nepoužívá absolutní hodnota, dosazuje se doplněk s opačným znaménkem než původní rozdíl (například místo 290 se dosazuje 70, místo 190 se dosazuje 170 ). Z hodnoty tg A lze matematicky vyčíslit pouze úhel A 0, který leží v intervalu základní periody funkce tangens ( 90 ; +90 ). Protože ale azimut A se měří v intervalu 0, 360 ), je nutné hodnotu A 0 opravit podle vzájemné polohy měst do správného kvadrantu: A = A 0 A = A A = A A = A Př.: A 0 = 40 A 0 = 40 A 0 = 40 A 0 = 40 A = 40 A = 140 A = 220 A = 320 Martin Jurek, katedra geografie PřF UP v Olomouci (verze 2009). 3

4 Délka loxodromy se následně určí ze vztahu: = Pokyny pro vypracování 1. Zakreslete orientační náčrt vzájemné polohy míst E a F a spojte je úsečkou znázorňující loxodromu. Při zakreslování polohy mějte na paměti, že hledáte nejkratší možnou loxodromu (např. lze najít loxodromu z Los Angeles do Sydney vedoucí přes Atlantský a Indický oceán, ale varianta přes Tichý oceán je kratší). 2. Vypočtěte a zapište azimut loxodromy z místa E do místa F a odvoďte z něj také azimut pro cestu opačným směrem (z F do E) liší se od sebe o Vypočtěte délku ortodromy, zapište přitom její úhlovou velikost (c) i délku d EF v kilometrech. 4. Vypočtěte délku loxodromy l EF mezi místy E a F a porovnejte výsledek s d EF (zapište, která z tras je kratší, a uveďte i rozdíl obou vzdáleností v km). Pro názornější představu je za tabulkou 1 uvedeno vzorové řešení pro dvojici E Baltimore [39 17 s. š., z. d.] a F Brisbane [27 28 j. š., v. d.]. Martin Jurek, katedra geografie PřF UP v Olomouci (verze 2009). 4

5 Tabulka 1 Poloha vybraných světových měst n město E zem. šířka zem. délka město F zem. šířka zem. délka 1 Rotorua 38 7 j. š v. d. Luanda 8 50 j. š v. d. 2 Mbabane j. š v. d. Suva 18 8 j. š v. d. 3 Novosibirsk 55 1 s. š v. d. Halifax s. š z. d. 4 Káthmándú s. š v. d. Medellín 6 14 s. š z. d. 5 Tacoma s. š z. d. Jerevan s. š v. d. 6 Ulánbátar s. š v. d. Montevideo j. š z. d. 7 Stavanger s. š v. d. Broome j. š v. d. 8 Fairbanks s. š z. d. Antananarivo j. š v. d. 9 Papeete j. š z. d. Nuuk s. š z. d. 10 Anadyr s. š v. d. Mbabane j. š v. d. 11 Kano 12 0 s. š v. d. Waialua s. š z. d. 12 Nagoya s. š v. d. Limerick s. š z. d. 13 Cayenne 4 55 s. š z. d. Mackay 21 8 j. š v. d. 14 Dortmund s. š v. d. Whitehorse s. š z. d. 15 Brest s. š z. d. Nagano s. š v. d. 16 Hobart j. š v. d. Coquimbo j. š z. d. 17 Belém 1 28 j. š z. d. Hanoj 21 2 s. š v. d. 18 Bangui 4 22 s. š v. d. Kodiak s. š z. d. 19 Sapporo 43 4 s. š v. d. Bergen s. š v. d. 20 Bangalore s. š v. d. Fargo s. š z. d. 21 Omaha s. š z. d. Omsk s. š v. d. 22 Bejrút s. š v. d. Monterrey s. š z. d. 23 Portland s. š z. d. Kánpur s. š v. d. 24 Kandahár s. š v. d. Tegucigalpa 14 5 s. š z. d. 25 Auckland j. š v. d. Benguela j. š v. d. 26 Veracruz s. š z. d. Vladivostok 43 8 s. š v. d. 27 Arequipa j. š z. d. Geelong 38 9 j. š v. d. 28 Guadalajara s. š z. d. Samarkand s. š v. d. Martin Jurek, katedra geografie PřF UP v Olomouci (verze 2009). 5

6 Planetární geografie cvičení Samostatný úkol 5: Vzdálenosti na Zemi VZOROVÉ ŘEŠENÍ Jakub Dvořák M-Z n = 29 Baltimore φ E = λ E = Brisbane φ F = λ F = E (Baltimore) rovník F (Brisbane) Obr. 1 Vzájemná poloha Baltimore a Brisbane Azimut loxodromy = = > 180 Δ = 360 = (Doplněk do vzorce se bude dosazovat s opačným znaménkem než má původní rozdíl ) tg = tg = = 1, tg ln 2 ln tg tg A 0 = Vzhledem k vzájemné poloze bodů E, F platí: pro azimut loxodromy z E do F A EF = A = pro azimut loxodromy z F do E A FE = A 0 = Délka loxodromy = 6371,0 cos =, 180 Délka ortodromy Vychází = > 180, proto se bude dosazovat doplněk do plného úhlu: Δ = 360 = 130 6

7 VZOROVÉ ŘEŠENÍ cos = cos cos sin sin cos = 0, c = =, =, l EF d EF = 170,9 km Loxodroma mezi Baltimore a Brisbane je o 170,9 km delší než ortodroma mezi těmito městy.