Geometrie pro FST 2. Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0

Transkript

1 Geometrie pro FST 2 Pomocný učební text František Ježek, Světlana Tomiczková Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0

2 Předmluva Tento pomocný text vznikl pro potřeby předmětu Geometrie pro FST 2, který vyučujeme pro studenty druhého ročníku Strojní fakulty v zimním semetru. Snažili jsme se napsat velice stručné a jednoduché pojednání. Věříme, že je to ta forma, kterou studenti potřebují. Pokud jsme v textu nechali nedopatření, resp. pokud je text někde nesrozumitelný, prosíme o sdělení takových poznatků. Ideální cestou pro takové sdělení je použití u a adresy JEZEK@KMA.ZCU.CZ. Zvláště pilní hledači chyb a překlepů budou odměněni. Věříme, že tou odměnou ale bude především úspěšné složení zkoušky, nebot ten, kdo našel chybu, zpravidla přemýšlel. Právě geometrie je příležitostí k ověření myšlenkového potenciálu. Autoři 2

3 Obsah 1 Geometrická zobrazení a transformace souřadnic Transformace kartézského systému souřadnic Homogenní souřadnice Geometrické transformace v E 2, resp. v P (E 2 ) Posunutí neboli translace Otáčení neboli rotace okolo bodu Osová souměrnost Změna měřítka neboli dilatace Obecná afinní transformace Skládání transformací Inverzní geometrická transformace Geometrické transformace v E 3, resp. v P (E 3 ) Posunutí neboli translace Otáčení neboli rotace okolo osy Souměrnost podle roviny Dilatace Obecná afinní transformace a projektivní transformace Skládání transformací a inverzní transformace Cvičení Kontrolní otázky Křivky Základní pojmy Tečna a normála křivky Klasifikace bodů křivky Rektifikace Oskulační rovina a oskulační kružnice Obálka Ekvidistanta Cykloida Evoluta a evolventa Řídící kuželová plocha Šroubovice Základní pojmy Parametrické vyjádření šroubovice

4 OBSAH Tečna šroubovice a její průvodní trojhran Křivosti šroubovice Kontrolní otázky Obecné poznatky o plochách Základní pojmy Úlohy na plochách Výpočetní řešení některých úloh na plochách Gaussova křivost plochy Parametrické vyjádření ploch Kontrolní otázky Rotační plochy Základní pojmy Parametrické vyjádření rotační plochy Vlastnosti rotačních ploch Klasifikace rotačních ploch Úlohy na rotačních plochách Průniky rotačních ploch Rotační kvadriky Cvičení Kontrolní otázky Šroubové plochy Základní pojmy Parametrické vyjádření šroubové plochy Vlastnosti šroubových ploch Klasifikace šroubových ploch Úlohy na šroubových plochách Cvičení Kontrolní otázky Obalové plochy Základní pojmy Charakteristika roviny Charakteristika kulové plochy Metoda kulových ploch Metoda tečných rovin Určení obalové plochy výpočtem Cvičení Kontrolní otázky Rozvinutelné plochy Základní pojmy Typy rozvinutelných ploch Metody komplanace

5 OBSAH Metoda normálového řezu Metoda triangulace Tečna křivky v rozvinutí Rozvinutí rozvinutelné šroubové plochy Konstrukce a rozvinutí přechodové rozvinutelné plochy Kontrolní otázky Některé nekartézské souřadnicové soustavy Sférické souřadnice Cylindrické souřadnice Využití nekartézských souřadnic Cvičení Kontrolní otázky Nelineární útvary v rovině a v prostoru Vyjádření křivek Kružnice Elipsa Parabola Hyperbola Obecná rovnice kuželosečky Vektorové vyjádření kuželových a válcových ploch Obecná kuželová plocha Obecná válcová plocha Rotační plochy druhého stupně (kvadriky) v E Kulová plocha Rotační elipsoid Rotační paraboloid Rotační hyperboloid jednodílný Rotační hyperboloid dvoudílný Obecná rovnice kvadriky Kuželosečky a kvadriky v obecné poloze Cvičení Kontrolní otázky

6 Kapitola 1 Geometrická zobrazení a transformace souřadnic Uvažujme dvě množiny bodů M a N. Geometrickým zobrazením T rozumíme předpis, kterým každému bodu X (vzoru) z množiny M přiřadíme jednoznačně bod T(X) (obraz) z množiny N. Příkladem geometrického zobrazení je kolmé promítání do půdorysny (roviny xy), posunutí o daný vektor, otočení okolo dané osy apod. Řekneme, že geometrické zobrazení T je vzájemně jednoznačné, jestliže každým dvěma různým bodům jsou přiřazeny různé body, tj. platí-li X Y, X M, Y M T(X) T(Y ). Pro vzájemně jednoznačné zobrazení T množiny M na množinu N, tj. pro prosté zobrazení, existuje zobrazení T 1, které obrazu Y = T(X) přiřadí vzor, tj. bod X. Říkáme, že zobrazení T 1 je inverzní k zobrazení T. Vzájemně jednoznačné zobrazení, pro nějž M = N, nazýváme transformace. Např. pro posunutí můžeme položit M = N = E 3 a jistě jde o prosté zobrazení, tj. posunutí je transformace. Inverzní transformací je posunutí o vektor opačný k danému vektoru posunutí T. Pro kolmé promítání do půdorysny je M = E 3 a N = E 2. Nejde tedy o transformaci a navíc neexistuje inverzní zobrazení (z jednoho průmětu nelze rekonstruovat prostorový objekt). Dále rozlišíme dva způsoby, jakým jsou v geometrii a jejích aplikacích používány transformace: Geometrické transformace (bodů): Je zvolen souřadnicový systém. Transformaci jsou podrobeny body geometrického objektu, který tím mění polohu vzhledem k systému souřadnic, popř. i svůj tvar. Transformace systému souřadnic: Transformaci je podroben souřadnicový systém. Transformace je zvolena např. tak, aby vybraný geometrický objekt získal vzhledem k novému souřadnicovému systému polohu výhodnou pro matematické vyjádření operací s objektem. 6

7 1.1. TRANSFORMACE KARTÉZSKÉHO SYSTÉMU SOUŘADNIC Transformace kartézského systému souřadnic V tomto odstavci budeme popisovat transformace souřadnicových soustav v E 3, ale provedené úvahy a výpočty lze snadno aplikovat i na transformace kartézských systémů souřadnic v rovině, tj. v prostoru E 2 (a i v prostorech jiné dimenze). V textu použijeme tzv. Kroneckerovo delta δ ij, které nabývá hodnoty 1 pro i = j a hodnoty 0 v případě i j. Připomeňme, že kartézskou soustavu souřadnic v E 3 můžeme chápat jako uspořádanou čtveřici (O, e 1, e 2, e 3 ), kde O je počátek soustavy souřadnic a vektory e i jsou ortonormální, tj. platí pro ně e i e j = δ ij, i, j = 1, 2, 3. (1.1) Obrázek 1.1: Transformaci soustavy souřadnic používáme, chceme-li zjednodušit vyjádření objektů, nebo jestliže pro několik objektů chceme využít jednu souřadnicovou soustavu. Pro změnu souřadnicové soustavy odvodíme potřebné vztahy mezi původnímu souřadnicemi a novými souřadnicemi. V prostoru E 3 zvolíme dvě kartézské soustavy souřadnic S a S (obr. 1.1): S : (O, e 1, e 2, e 3 ), S : (O, e 1, e 2, e 3). (1.2) V soustavě souřadnic S má obecný bod X souřadnice X[x 1, x 2, x 3 ] a v S má tentýž bod X souřadnice X[x 1, x 2, x 3]. V soustavě S vyjádříme počátek O a vektory e i: O = O + 3 b j e j, (1.3) j=1 Podrobněji lze (1.4) rozepsat na e i = 3 a ji e j, i = 1, 2, 3. (1.4) j=1 e 1 = a 11 e 1 + a 21 e 2 + a 31 e 3, e 2 = a 12 e 1 + a 22 e 2 + a 32 e 3, (1.5) e 3 = a 13 e 1 + a 23 e 2 + a 33 e 3.

8 1.1. TRANSFORMACE KARTÉZSKÉHO SYSTÉMU SOUŘADNIC 8 Bod X vyjádříme v obou soustavách souřadnic: 3 X = O + x j e j = O + j=1 3 x ie i. (1.6) i=1 Použijeme-li v (1.6) vyjádření (1.3) a (1.4), dostaneme O + neboli 3 3 x j e j = O + b j e j + j=1 3 x i j=1 i=1 j=1 j=1 j=1 i=1 ( 3 ) a ji e j, (1.7) ( ) x j e j = b j + a ji x i e j. (1.8) Porovnáním obou stran v (1.8) zjistíme, že pro nové a staré souřadnice platí x j = 3 a ji x i + b j, j = 1, 2, 3. (1.9) i=1 Transformační rovnice rozepsané pro jednotlivá i a j mají tvar x 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + b 1, x 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + b 2, (1.10) x 3 = a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 + b 3. V maticovém tvaru můžeme zapsat rovnice (1.10) jako X = X A T + b, (1.11) kde X[x 1, x 2, x 3 ], X [x 1, x 2, x 3], b = (b 1, b 2, b 3 ) a matice A má prvky a ij, i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3. Matici A budeme nazývat transformační matice. O této matici se dá dokázat přímým výpočtem, že platí: a 1i a 1j + a 2i a 2j + a 3i a 3j = δ ij. (1.12) Jde o skalární součiny vektorů daných sloupci matice A. Takto určené vektory jsou jednotkové a vzájemně kolmé. Proto se matice s touto vlastností označují jako ortonormální. Navíc lze vypočítat, že pro determinant ortononální matice A platí det A = ±1. Můžeme tedy rozlišit dva případy orientace S a S : 1. je-li det A = 1, jsou soustavy orientovány souhlasně; 2. je-li det A = 1, jsou soustavy orientovány nesouhlasně.

9 1.1. TRANSFORMACE KARTÉZSKÉHO SYSTÉMU SOUŘADNIC 9 V geometrii a v řadě aplikací se používají i tzv. afinní souřadnicové soustavy, tj. soustavy souřadnic, v nichž vektory e 1, e 2 a e 3 nejsou ortonormální, ale tvoří obecnou bázi. Přechod od kartézské soustavy souřadnic k afinní soustavě je popsán rovněž vztahem (1.11), ale matice A je jen regulární (nikoliv nutně ortonormální). Příklad 1. Uvažujme bod X[1,1,1] daný souřadnicemi v kartézské souřadnicové soustavě (O, e 1, e 2, e 3 ). Určíme souřadnice bodu X v afinní (nekartézské) souřadnicové soustavě (O, e 1, e 2, e 3), kde e 1 = e 1, e 2 = e 2, e 3 = e 2 + e 3. Řešení: Pokud si načtnete ilustrační obrázek, snadno dojdete při tomto jednoduchém zadání k výsledku bez výpočtu (doporučujeme, abyste si hypotézu o výsledku vytvořili). Pokud využijeme vztah (1.11) a uvědomíme-li si, že počátek souřadnicového systému se nemění, tj. vektor b je nulový, můžeme psát [1, 1, 1] = [x, y, z ]A T, neboli (vzhledem k přepodkládané regularitě matice A existuje matice inverzní) [x, y, z ] = [1, 1, 1](A T ) 1. Matice A má podle (1.5) ve sloupcích souřadnice vektorů nové souřadnicové soustavy vzhledem k původní souřadnicové soustavě, tj. platí 1, 0, 0 1, 0, 0 A = 0, 1, 1, A T 1 = 0, 1, 0. 0, 0, 1 0, 1, 1 Všimněte si, že matice A není ortonormální (uvažujte např. druhý a třetí sloupec, resp. velikost vektoru daného třetím sloupcem). Výpočet inverzní matice zde neuvádíme, nebot jde jen o velmi jednoduché cvičení na uplatnění Jordanovy eliminace, resp. výpočtu pomocí algebraických doplňků. Nyní již můžeme psát [x, y, z ] = [1, 1, 1] 1, 0, 0 0, 1, 0 0, 1, 1 = [1, 0, 1]. Věříme, že se výsledek shoduje s předpokládaným výsledkem na základě vašeho úvodního náčrtku.

10 1.2. HOMOGENNÍ SOUŘADNICE Homogenní souřadnice Než přistoupíme k popisu geometrických transformací bodů, zavedeme speciální souřadnice bodů tzv. homogenní souřadnice pomocí nichž se zjednoduší maticový zápis geometrických transformací. Uspořádanou čtveřici čísel [x h, y h, z h, w] (w 0) nazveme pravoúhlé homogenní souřadnice bodu P v projektivním rozšíření euklidovského prostoru E 3, platí-li: x = x h w, y = y h w, z = z h w kde čísla x, y, z jsou kartézské souřadnice bodu P. Body, pro které je w = 0, odpovídají vektorům a nazývají se nevlastní body. Tyto body nelze určit jejich kartézskými souřadnicemi. Projektivní rozšíření euklidovského prostoru značíme P (E 3 ) a můžeme říci, že vznikne doplněním eukleidovského prostoru o nevlastní body. Z definice je patrné, jak lze převádět homogenní souřadnice vlastních bodů (w 0) na jejich kartézské souřadnice a naopak. Příklad 2. Bod A má v daném kartézském systému souřadnic souřadnice [3,2,1]. Za jeho homogenní souřadnice lze volit trojici [3w, 2w, w, w], kde w 0. Např. pro w = 1 jsou to souřadnice [3,2,1,1]. Body (v homogenních souřadnicích) B=[3,2,1,0.5] a C=[3,2,1,2] mají kartézské souřadnice B=[6,4,2] a C=[1,5;1;0,5]. Homogenní souřadnice nevlastního bodu určeného vektorem OA jsou např. [3,2,1,0]. Obdobně lze zavést pravoúhlé homogenní souřadnice bodu P v rovině. 1.3 Geometrické transformace v E 2, resp. v P (E 2 ) Zabývejme se nejprve transformacemi v rovině E 2, resp. v jejím projektivním rozšíření P (E 2 ). Bod o souřadnicích [x, y], popř. [x h, y h, w] budeme transformovat do bodu [x, y ], popř. [x h, y h, w ] Posunutí neboli translace Posunutí (translace) je určeno vektorem posunutí p = (x t, y t ). Souřadnice bodu [x, y] se transformují rovnicemi x = x + x t, y = y + y t. Je zřejmé, že nevlastní bod určený vektorem (x, y) se posunutím nemění. Použijeme-li homogenní souřadnice, lze obě transformace pro vlastní i nevlastní body zapsat jednotně v maticovém tvaru: [x, y, w ] = [x, y, w] 1, 0, 0 0, 1, 0 x t, y t, 1

11 1.3. GEOMETRICKÉ TRANSFORMACE V E 2, RESP. V P (E 2 ) Otáčení neboli rotace okolo bodu Otáčení (rotace) kolem počátku O[0, 0] je určeno orientovaným úhlem α. Na obr. 1.2 je znázorněna odpovídající situace. Koeficienty odvodíme z podmínky, že body [0,0], [1,0] a [0,1] se otočí do bodů [0, 0], [cos α, sin α], [ sin α, cos α]. Platí: x = x cos α y sin α, y = x sin α + y cos α. (1.13) Obrázek 1.2: Obrázek 1.3: Transformační rovnice přepíšeme do maticového tvaru: cos α, sin α, 0 [x, y, w ] = [x, y, w] sin α, cos α, 0. (1.14) 0, 0, 1 Snadno zjistíme, že w = w Osová souměrnost Osová souměrnost je určena osou souměrnosti. Uvedeme transformační rovnice pro případ, kdy osou souměrnosti je některá souřadnicová osa. Platí x = ix, y = jy, kde i = 1, j = 1 pro souměrnost podle osy y; i = 1, j = 1 pro souměrnost podle osy x. Transformační rovnice pro souměrnost podle osy x přepíšeme do maticového tvaru: [x, y, w ] = [x, y, w] 1, 0, 0 0, 1, 0 0, 0, 1. (1.15)

12 1.3. GEOMETRICKÉ TRANSFORMACE V E 2, RESP. V P (E 2 ) 12 Podobně je možné uvést maticový zápis souměrnosti podle osy y. Souměrnost podle obecné osy popíšeme pomocí rozkladu na elementární transformace viz odst Změna měřítka neboli dilatace Změna měřítka (dilatace) na souřadnicových osách je určena násobky původních jednotek: x = s x x, y = s y y. Je-li s x = s y = s dostaneme stejnolehlost se středem v počátku O[0, 0] a koeficientem stejnolehlosti s. Maticový zápis transformačních rovnic si snadno představíte. Matice dilatace je diagonální Obecná afinní transformace Ŕekneme, že tři body A, B, C jsou kolineární, jsou-li kolineární vektory B A a C A. Afinní transformací rozumíme geometrické zobrazení T, které zachovává kolinearitu bodů a jejich dělící poměr, tj. pro každé tři kolineární body A, B, C platí, že body T(A), T(B), T(C) jsou kolineární a pro dělící poměr tří navzájem různých kolineárních bodů A, B, C platí (A, B, C) = (T(A), T(B), T(C)). Dá se ukázat, že každou afinní transformaci lze popsat v následujícím maticovém tvaru: a 11, a 12, 0 [x, y, w ] = [x, y, w] a 21, a 22, 0, (1.16) p 1, p 2, 1 ( ) a11, a kde matice A = 12 je regulární (tj. má nenulový determinant) a p = (p a 21, a 1, p 2 ) 22 je vektor posunutí. Pokud bychom upustili od použití homogenních souřadnic, je možné zapsat vztah (1.16) pro body prostoru E 2 je tvaru ( ) [x, y a11, a ] = [x, y] 12 a 21, a 22 + (p 1, p 2 ), (1.17) neboli stručně: X = X A + p, (1.18) kde p = (p 1, p 2 ) je vektor posunutí. Pokud použijeme homogenních souřadnic a označíme a 11, a 12, 0 T = a 21, a 22, 0, (1.19) p 1, p 2, 1 máme pro transformaci vlastních i nevlastních bodů vztah X = X T.

13 1.3. GEOMETRICKÉ TRANSFORMACE V E 2, RESP. V P (E 2 ) 13 Příklad 3. Na obr. 1.3 je uveden příklad afinní transformace v rovině. Stín je odvozen pomocí afinní transformace s maticí 1; 0; 0 [x, y, w ] = [x, y, w] 1; 0, 5; 0. (1.20) 0; 0; Skládání transformací Geometrický objekt je zpravidla podroben posloupnosti uvedených elementárních transformací. Z asociativního zákona pro násobení matic plyne, že matice složené transformace je součinem matic elementárních transformací. V předcházejících odstavcích jsme uvedli některé transformace s tím, že jsme předpokládali speciální určení (např. středem rotace byl počátek, osou souměrnosti byla souřadnicová osa). Složitější transformace můžeme popsat pomocí rozkladu (dekompozice) na transformace elementární. Postup vysvětlíme na příkladu. Příklad 4. Najdeme rovnici rovinné transformace pro otáčení kolem bodu A[x A, y A, 1] o úhel α. Řešení: Hledanou transformaci složíme ze tří elementárních transformací. Posunutím o vektor p = ( x A, y A ) se bod A ztotožní s počátkem O. Po otočení bodů kolem počátku o úhel α posuneme výsledné body zpět o vektor p. Posloupnost transformací zapíšeme za využití homogenních souřadnic v maticovém tvaru: X = X 1, 0, 0 0, 1, 0 x A, y A, 1 cos α, sin α, 0 sin α, cos α, 0 0, 0, 1 1, 0, 0 0, 1, 0 x A, y A, 1 Provedeme-li vynásobení uvedených tří matic, obdržíme matici dané transformace ve tvaru cos α, sin α, 0 sin α, cos α, 0. x A (1 cos α) + y A sin α, y A (1 cos α) x A sin α, Inverzní geometrická transformace Pro inverzní transformaci T 1 k dané transformaci T platí, že složením těchto dvou transformací je identita, tj. transformace, která každému bodu X přiřadí týž bod, tj. X = X. Maticí identity je samozřejmě jednotková matice I. Označme T matici transformace T a L matici transformace T 1. Pro tyto matice však musí platit vztah T L = L T = I, tj. L = T 1 matice inverzní transformace je inverzní maticí k matici dané transformace..

14 1.4. GEOMETRICKÉ TRANSFORMACE V E 3, RESP. V P (E 3 ) Geometrické transformace v E 3, resp. v P (E 3 ) Uvedeme přehled elementárních afinních transformací v prostoru E 3, resp. v P (E 3 ). Transformační rovnice zapíšeme v maticovém tvaru. Postupovat budeme rychleji, nebot v mnoha případech je určení transformací v P (E 3 ) analogické k uvedeným poznatkům pro prostor P (E 2 ). Podrobnější výklad je uveden jen tam, kde tato analogie neexistuje Posunutí neboli translace Pro posunutí (translaci) určenou vektorem posunutí p = (x t, y t, z t ) máme transformační rovnici: 1, 0, 0, 0 [x, y, z, w ] = [x, y, z, w] 0, 1, 0, 0 0, 0, 1, 0. x t, y t, z t, Otáčení neboli rotace okolo osy Otáčení (rotace) je určeno osou otáčení a orientovaným úhlem otáčení. Uvedeme matici R x,α pro otáčení kolem souřadnicové osy x o úhel α, matici R y,β pro otáčení kolem osy y o úhel β a matici R z,γ pro otáčení kolem osy z o úhel γ. Snadno stanovíme matici R z,γ, nebot vztahy pro transformaci složky x a y jsou analogické s rotací bodu okolo počátku vztah (1.13), souřadnice z se nemění. Další případy, tj. popis rotace okolo osy x a y, získáme cyklickou záměnou os tab Osa rotace 1. osa 2. osa z x y x y z y z x Tabulka 1.1: Pro hledané matice platí: R x,α = 1, 0, 0, 0 0, cos α, sin α, 0 0, sin α, cos α, 0 0, 0, 0, 1 R z,γ =, R y,β = cos γ, sin γ, 0, 0 sin γ, cos γ, 0, 0 0, 0, 1, 0 0, 0, 0, 1 cos β, 0, sin β, 0 0, 1, 0, 0 sin β, 0, cos β, 0 0, 0, 0, 1 Všimněte si, že souměrnost podle osy můžeme v prostoru P (E 3 ) nahradit rotací okolo dané osy o úhel ϕ = π. V prostoru P (E 2 ) je rotace okolo bodu o úhel ϕ = π souměrností podle daného bodu (středu)..,

15 1.4. GEOMETRICKÉ TRANSFORMACE V E 3, RESP. V P (E 3 ) Souměrnost podle roviny Souměrnost podle roviny je určena rovinou souměrnosti. Uvedeme rovnice pro transformaci bodu souměrností podle jednotlivých souřadnicových rovin: i, 0, 0, 0 [x, y, z, w ] = [x, y, z, w] 0, j, 0, 0 0, 0, k, 0, 0, 0, 0, 1 kde i = -1, j = 1, k = 1 pro souměrnost podle roviny yz, i = 1, j = -1, k = 1 pro souměrnost podle roviny xz, i = 1, j = 1, k = -1 pro souměrnost podle roviny xy Dilatace Dilatace neboli změna měřítka na souřadnicových osách je určena nenulovými násobky s x, s y, s z původních jednotek. Maticově můžeme psát: s x [x, y, z, w ] = [x, y, z, w] 0 s y s z Podobně jako v případu rovinné geometrie dostaneme i zde pro s = s x = s y stejnolehlost se středem stejnolehlosti v počátku a s koeficientem s. = s z Obecná afinní transformace a projektivní transformace Podobně jako v rovinném případě můžeme i v prostoru P (E 3 ) popsat každou afinní transformaci v následujícím maticovém tvaru: a 11, a 12, a 13, 0 [x, y, z, w ] = [x, y, z, w] a 21, a 22, a 23, 0 a 31, a 32, a 33, 0, (1.21) p 1, p 2, p 3, 1 kde matice A = a 11, a 12, a 13 a 21, a 22, a 23 a 31, a 32, a 33 je regulární (tj. má nenulový determinant). Opět můžeme uvést, že uplatnění obecné afinní transformace je popsáno maticovým součinem X = X T, kde T je matice transformace. Pro zvídavého čtenáře můžeme ještě doplnit, že obecnější transformací je tzv. projektivní transformace. Ta sice zachovává kolinearitu bodů, ale již může měnit dělící poměr bodů (nemění však podíl dělících poměrů tzv. dvojpoměr). Popis takového transformace je tvaru (1.21) s tím, že poslední sloupec transformační matice může obsahovat i nenulové prvky. V afinní transformaci vlastnímu bodu byl přiřazen vždy bod vlastní (a nevlastnímu

16 1.5. SKLÁDÁNÍ TRANSFORMACÍ A INVERZNÍ TRANSFORMACE 16 bod nevlastní). Toto již neplatí v případě projektivní transformace. V důsledku to znamená, že projektivní transformace obecně nezachovává rovnoběžnost (afinní transformace rovnoběžnost zachovává). Příkladem projektivního zobrazení je např. perspektivní pohled apod. 1.5 Skládání transformací a inverzní transformace Vše, co jsme uvedli o skládání transformací a o inverzní transformaci v rovinném případě, je platné i pro transformace v prostoru P (E 3 ). Pro ilustraci uvedeme alespoň jeden příklad. Příklad 5. Sestavíme matici souměrnosti podle roviny x 2z +3 = 0. Určíme pak obrazy bodů O[0, 0, 0], R[1, 1, 1] a Q[ 3, 0, 5] a obraz směru (nevlastního bodu) daného vektorem (1, 0, 2). Řešení: Zvolíme postup, který byl použit již v části věnované rovinným transformacím, tj. provedeme rozklad (dekompozici) hledané transformace T na elementární transformace. Daná rovina je zřejmě rovnoběžná s osou y (koeficient u y je nulový). Transformaci T tedy získáme složením: posunutí P (rovina souměrnosti bude po posunutí procházet osou y), rotace R (rovinu souměrnosti převedeme do polohy totožné s rovinou xy), souměrnosti S podle roviny xy, rotace R 1, posunutí P 1. Poslední dvě transformace (pozor na pořadí) umístí zpět rovinu souměrnosti do původní polohy. Píšeme T = P 1 R 1 S R P. Vektor normály dané roviny je n = (1, 0, 2). Určíme dále alespoň jeden bod roviny, např. bod X x. Volíme tedy z = 0 a máme X[ 3, 0, 0]. První transformací bude posunutí P o vektor (3, 0, 0). Rovina souměrnosti prochází po provedení transformace P počátkem a osou y. Nyní provedeme rotaci R, v níž rovina přejde do některé souřadnicové roviny, např. xy. Stanovíme úhel otočení α jako odchylku rovin. Použijeme k tomu normálové vektory n a z, kde z=(0,0,1) je normálový vektor roviny xy. Platí cos α = n z n z, tj. cos α = 2 5 = Pomocí vztahu sin 2 α = 1 cos 2 α vypočteme sin α = 5 5.

17 1.6. CVIČENÍ 17 Označme matice, které odpovídají daným transformacím stejnými písmeny, jako jsou označeny dílčí transformace (R bude matice rotace R apod.). Pro matici T výsledné transformace platí (pozor na pořadí): T = P R S R 1 P 1, tj. T = 1, 0, 0, 0 0, 1, 0, 0 0, 0, 1 0 3, 0, 0, , 0, 5, 0 5 0, 1, 0, 0 5, 0, , 0 5, 0, 5, 0 5 0, 1, 0, 0, 0, , 0 5 0, 0, 0, 1 0, 0, 0, 1 1, 0, 0, 0 0, 1, 0, 0 0, 0, 1 0 3, 0, 0, 1 1, 0, 0, 0 0, 1, 0, 0 0, 0, 1 0 0, 0, 0, 1. Provedeme-li naznačené násobení matic, obdržíme matici výsledné transformace: 3, 0, 4, T = 0, 1, 0, 0 4, 0, 3, , 0, 12, Pro určení nové (transformované) polohy daných vlastních bodů O, R, Q a nevlastního bodu [1, 0, 2, 0] stačí vynásobit homogenní souřadnice daných maticí T. S výhodou můžeme tuto operaci zapsat ve tvaru (řádky první matice jsou dány homogenními souřadnicemi zadaných bodů): 0, 0, 0, 1 1, 1, 1, 1 3, 0, 5, 1 1, 0, 2, 0 3, 0, 4, , 1, 0, 0 4, 0, 3, , 0, 12, = 6, 0, 12, , 1, 13, , 0, 3, 1 1, 0, 2, 0 Máme tedy T(O) = [ 6, 0, 12, 1], T(R) = [ 1, 1, 13, 1], T(Q) = [1, 0, 3, 1] a obrazem vektoru s = (1, 0, 2) je vektor T(s) = ( 1, 0, 2), tj. vektor opačný (jde vlastně o obraz normálového vektoru zadané roviny souměrnosti). Oba vektory s a T(s) určují stejný nevlastní bod, tj. bod, který je v dané transformaci samodružný. 1.6 Cvičení. 1.1 Je dána jednotková krychle ABCDA B C D. Napište transformační rovnice přechodu od kartézského souřadnicového systému {A, AB, AD, AA } k systému {C, C D, C B, C C}. [x = x + 1, y = y + 1, z = z + 1]

18 1.6. CVIČENÍ Rozhodněte, zda matice A = 1, 2, , 2, , 0, je transformační maticí pro přechod mezi dvěma kartézskými soustavami souřadnic. [využijeme vztahů (1.12) není] 1.3 Sestavte transformační rovnice přechodu mezi dvěma kartézskými systémy souřadnic, jestliže nový systém vznikne z původního otočením kolem osy z o úhel ϕ = π. 4 [x = 2 2 (x + y ), y = 2 2 ( x + y ), z = z ] 1.4 Určete nové souřadnice bodu M[2, 1, 3], jestliže se kartézská souřadnicová soustava otočí okolo osy z o orientovaný úhel α = π. 6 [ 3 [ 1, 1 3 ]], Sestavte matici geometrické transformace v E 2, která vznikne složením (v tomto pořadí) rotace okolo bodu S[1, 2] o úhel 45 o a dilatace, v níž se mění měřítko na ose x na poloviční. 2, 2, T = 2, 2, 0 4 2, , Určete obrazy bodů S[1, 2] a O[0, 0] a vektoru a = (1, 1) v transformaci podle předcházejícího příkladu. [ T(A) = [ 1, 2], T(0) = [ 1 + 2, 2 ] ], T(a) = (0, 2) 1.7 Určete matici inverzní transformace k transformaci podle cvičení 5 z této kapitoly. [ určete T 1, příp. (pořadí!) T 1 = R S, 45 0 D sx=2 ] 1.8 V prostoru E 2 určete afinní transformaci, která má samodružné body O[0, 0] a A[1, 0] a obrazem bodu B[0, 1] je bod B [1, 1]. 1, 0, 0 T = 1, 1, 0 0, 0, Sestavte matici rotace jako geometrické transformace v E 3, je-li osou rotace přímka o : x = t, y = 2t, z = 1. T = P 1 o o 1 R 1 o 1 y R y,ϕ R o1 y P o o1 ; 4 cos ϕ + 1, 2 cos ϕ 2, 2 5 sin ϕ, T = cos ϕ 2, 1 cos ϕ + 4, 5 sin ϕ, sin ϕ, 5 sin ϕ, cos ϕ, sin ϕ, 5 sin ϕ, cos ϕ 1, 1 5 5

19 1.7. KONTROLNÍ OTÁZKY Maticově popište geometrickou transformaci, která vznikne složením rotace okolo osy z a posunutí ve směru této osy (jde o popis šroubového pohybu). cos ϕ, sin ϕ, 0, 0 matice transformace T = sin ϕ, cos ϕ, 0, 0 0, 0, 1, 0 0, 0, v 0 ϕ, Kontrolní otázky 1.1 Jak se liší homogenní souřadnice vlastního a nevlastního bodu. 1.2 Pomocí geometrických transformací v rovině uved te příklad dvou matic A a B, pro něž A B = B A, tj. případ zaměnitelného pořadí dvou transformací. 1.3 Pomocí geometrických transformací v rovině uved te příklad dvou matic A a B, pro něž A B B A, tj. případ nezaměnitelného pořadí dvou transformací. 1.4 Matice transformace v P (E 3 ) je tvaru T = α, 0, 0, 0 0, β, 0, 0 0, 0, γ, 0 0, 0, 0, 1 Do následující tabulky doplňte pro dané hodnoty diagonálních prvků, o jaké souměrnosti se jedná:. α β γ souměrnost podle K maticím souměrností z předcházející otázky stanovte inverzní transformace a formulujte obecné tvrzení o inverzní transformaci k souměrnosti. 1.6 Popište, jak je možné stanovit parametrické vyjádření translačních (vznikají posuvným pohybem křivky), rotačních a šroubových ploch pomocí transformací.

20 Kapitola 2 Křivky 2.1 Základní pojmy Křivkou rozumíme dráhu pohybujícího se bodu. Křivka je jednoparametrická množina bodů, nebot pohyb je závislý na jediném parametru zpravidla jde o čas. Obrázek 2.1: K definici křivky Pomocí matematických prostředků je možné definovat regulární křivku takto: Definice 1. Regulární křivkou třídy C n v E 3 rozumíme množinu K E 3 (obr. 2.1), pro níž existuje vektorová funkce P (t), t I tak, že (a) P : I K, I je otevřený interval, (b) P je třídy C n, (c) P (t 0 ) 0 pro všechna t 0 I, (d) t 1 t 2 P (t 1 ) P (t 2 ). 20

21 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY 21 Je samozřejmě možné omezit se v definici na rovinu, tedy na prostor E 2, tedy na křivky ležící v rovině. Rovinnou křivkou rozumíme navíc ale i křivku, která je definována v prostoru E 3, ale všechny její body leží v jedné rovině. Křivkou (bez přívlastku regulární ) zpravidla rozumíme množinu bodů, která je po částech regulární křivkou, tj. připouštíme, že v konečném počtu bodů jsou porušeny uvedené podmínky. Uvedená definice využívá tzv. vektorový popis křivky, který lze ale snadno rozepsat do parametrických rovnic. Příklad 6. Např. elipsa má parametrické vyjádření její vektorový popis v E 2 je Rovnice x = a cos t, y = b sin t, t (0, 2π); a, b > 0, P (t) = (a cos t, b sin t). x = r cos t, y = r sin t, z = 2t, t ( π, π) jsou vyjádřením části šroubovice. Vektorově můžeme psát P (t) = (r cos t, r sin t, 2t). I rovinnou křivku můžeme zapsat jako křivku v prostoru např. je vyjádřením úsečky v prostoru Tečna a normála křivky x = 1 + t, y = t, z = 2 0.5t, t 5, 6 Na křivce zvolíme bod T a v jeho okolí bod A. Tečna křivky je limitní polohou přímky AT pro A T (obr.2.2). Pomocí vektoru první derivace můžeme definovat tečnu křivky jako přímku určenou bodem křivky a tečným vektorem. Píšeme X = T + su, kde u = (x (t), y (t), z (t)), u o je tečný vektor a T [T 1, T 2, T 3 ] dotykový bod. Sečna je spojnice dvou bodů křivky. Asymptota je tečna v nevlastním bodě. Normála v bodě T je každá přímka kolmá k tečně v bodě T procházející bodem T. Normálová rovina je množina všech normál v bodě křivky. Je to rovina kolmá k tečně. Úhel křivek k 1, k 2 (protínajících se) je úhel jejich tečen v jejich průsečíku (obr.2.3). Rovnoběžným nebo středovým průmětem prostorové křivky je rovinná křivka. Průmětem tečny je tečna nebo bod.

22 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY 22 Obrázek 2.2: Obrázek 2.3: Klasifikace bodů křivky Bod, ve kterém má křivka jedinou tečnu určenou jediným nenulovým vektorem, nazýváme regulární bod; v opačném případě bod nazveme singulární. Různé typy singulárních bodů vidíme na obr Bod A v obrázku 2.4a) se nazývá uzlový bod, body B a C v obrázku 2.4b) a c) jsou body vratu a bod D v obrázku 2.4d) je inflexní bod (ten je speciálním případem regulárního bodu). Obrázek 2.4: Rektifikace Rektifikace oblouku křivky je rozvinutí oblouku křivky na přímku, tj. sestrojení úsečky stejné velikosti, jako je délka oblouku křivky. Nejjednodušší rektifikace je založena na náhradě křivky lomenou čarou (lineární interpolace) - obr Na křivce zvolíme vhodný počet bodů (na obr. 2.5 jsou označeny A 1, A 2,...), spojíme lomenou čarou a jednotlivé úsečky přeneseme na přímku. Je zřejmé, že čím více bodů zvolíme, tím přesněji můžeme zjistit délku křivky. Věta 1. Délku oblouku prostorové křivky, pro kterou známe její parametrické vyjádření, můžeme vypočítat pomocí integrálu t2 x (t) 2 + y (t) 2 + z (t) 2 dt, t 1

23 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY 23 Obrázek 2.5: Obrázek 2.6: kde t 1 a t 2 jsou krajní body oblouku křivky. K rektifikaci oblouku kružnice se často užívalo přibližných konstrukcí jako např. konstrukce Kochaňského, d Ocagneova nebo Sobotkova. Použití počítačů v technických oborech nám umožňuje zjistit délku oblouku mnohem pohodlněji i přesněji, proto i zde budeme používat bud výpočtu pomocí integrálu, nebo pomocí lineární interpolace (jako součet délek stran nahrazující lomené čáry). Obráceně můžeme také navinout úsečku na křivku, tj. na dané křivce najdeme oblouk, jehož délka se rovná velikosti dané úsečky Oskulační rovina a oskulační kružnice Je dán bod T a tečna t v tomto bodě, na křivce zvolíme v okolí bodu T bod A. Rovina α je určená bodem A a tečnou t. Limitní poloha této roviny při A T se nazývá oskulační rovina. V oskulační rovině leží jedna z normál křivky v daném bodě. Tuto normálu nazýváme hlavní normála. Normála kolmá k oskulační rovině se nazývá binormála. Určení rovnice oskulační roviny můžeme provést podle následujícího tvrzení: Věta 2. Pokud jsou vektory P a P v daném bodě P (t 0 ) křivky nekolineární, tj. daný bod křivky není jejím inflexním bodem, pak oskulační rovina křivky v daném bodě je určena vektory P a P, tj. rovnici oskulační roviny můžeme psát ve tvaru X(u, v) = P (t 0 ) + up (t 0 ) + vp (t 0 ), u R, v R. Na křivce k zvolíme libovolný regulární bod A. Dále na křivce zvolíme ještě další dva body A 1, A 2. Body A, A 1, A 2 je určena kružnice l. Oskulační kružnice křivky k v bodě A je limitní polohou kružnice l(a, A 1, A 2 ), jestliže A 1 A a A 2 A (obr.2.6). Střed této kružnice nazýváme střed křivosti a poloměr r této kružnice nazýváme poloměr křivosti. Číslo 1 k = 1 nazýváme první křivostí (flexí) křivky k v bodě A. Kromě toho r u křivek pracujeme i s druhou křivostí (torzí) 2 k, která vyjadřuje prostorové zakřivení křivky, tedy zakřivení vzhledem k oskulační rovině. Návod k určení obou křivostí dává následující věta.

24 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY 24 Věta 3. Pro regulární křivku s obecným parametrem platí ( 1 k) 2 = (P P ) 2 (P P ) 3 2 k = (P, P, P ) (P P ) 2 Oskulační kružnice se v malém okolí bodu A velmi málo liší od křivky k, a proto můžeme v okolí bodu A nahradit křivku její oskulační kružnicí. Toto nahrazení se používá např. u kuželoseček, kde známe jednoduché konstrukce oskulačních kružnic ve vrcholech. Oskulační kružnice leží v oskulační rovině křivky a má poloměr rovný převrácené hodnotě první křivosti dané křivky v daném bodě. Pro polohový vektor středu S křivosti křivky v bodě daném parametrem t 0 máme S = P (t 0 ) k(t 0 ) n. Křivky se dotýkají v daném bodě, mají-li v něm společnou tečnu. Křivka může být dána i jiným způsobem, než jako dráha bodu, např. jako obálka jednoparametrické soustavy křivek, ekvidistanta, evoluta, evolventa, cykloida nebo jako průnik ploch. Některé z těchto křivek dále popíšeme, ale více se zaměříme na prostorovou křivku důležitou pro technickou praxi šroubovici. Obrázek 2.7: Obrázek 2.8: Příklad 7. Pro prostorovou křivku danou vektorovou funkcí P (t), t I, určete jednotkové vektory určující tečnu, hlavní normálu a binormálu tak, aby tvořily pravotočivý systém. Řešení: Hledané jednotkové a vzájemně kolmé vektory označme t, n a b. Je zřejmé, že t = P P (jde o normování tečného vektoru). Vektory P a P určují (pokud jde o neinflexní bod) spolu s daným bodem křivky oskulační rovinu. Místo vektoru P můžeme uvažovat již

25 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY 25 jednotkový vektor t. Pomocí vektorového součinu určíme vektor kolmý k oskulační rovině a provedeme jeho normování. Pro vektor binormály tedy platí b = t P t P. Jednotkový vektor hlavní normály (pozor na pořadí vektorů) určíme již snadno pomocí vektorového součinu jednotkových a na sebe kolmých vektorů (není již nutné normování): Obálka n = b t. Je dána jednoparametrická soustava křivek v rovině. Křivka u, které se dotýkají všechny křivky soustavy se nazývá obálka soustavy křivek. Dotykový bod obálky a křivky daného systému se nazývá charakteristický bod. Na obrázku 2.7a) je křivka u obálkou soustavy přímek, na obrázku 2.7b) je dvojice křivek u, u obálkou soustavy elips. Na každé obálce je vyznačeno několik charakteristických bodů. Věta 4. Uvažujeme rovinnou křivku danou implicitní rovnicí F (x, y, α) = 0, kde α je parametr popisující jednotlivé křivky dané soustavy křivek. Necht 2 F 0, tj. tvořící α 2 křivka má s obalovou křivkou lokálně společný jen bod, tedy křivka se svým pohybem nereprodukuje. Pak souřadnice bodů obalové křivky jsou řešením soustavy F (x, y, α) = 0, F (x, y, α) α = 0. Uvažujeme-li α jako parametr, dostaneme obalovou křivku a α je její parametr. Příklad 8. Určete obálku systému kružnic (x α) 2 + y 2 = 1. Řešení: Podle předcházející věty máme rovnice: Dostáváme dvě rovnice (x α) 2 + y 2 = 1 F α = 2(x α)( 1) = 0. (x α) 2 + y 2 1 = 0 x α = 0 Dosazením z druhé rovnic do první, máme tuto rovnici y 2 1 = 0, tj. y = ±1. Obálkou systému křivek jsou tedy dvě přímky y = 1 a y = 1. Výsledkem je samozřejmě v souladu s tím, že v zadání šlo o jednotkovou kružnici, které se posouvá svým středem po ose x.

26 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY Ekvidistanta Máme dánu rovinnou křivku k. Okolo každého bodu této křivky opíšeme kružnici o poloměru r. Jestliže existuje obálka této soustavy kružnic nazýváme ji ekvidistantou křivky k - obr Body ekvidistanty můžeme získat také jiným způsobem: v každém bodě A křivky k sestrojíme hlavní normálu a naneseme na ni od bodu A úsečku o velikosti r. Tento postup lze použít i pro prostorové křivky. k h c e p Obrázek 2.9: Obrázek 2.10: Cykloida Při odvalování křivky k po pevné křivce p opíše každý bod roviny křivku, kterou nazýváme trajektorie (dráha). Při odvalování kružnice k po přímce p opíše každý bod kružnice (prostou) cykloidu. Bod uvnitř kružnice k opíše zkrácenou cykloidu a bod vně kružnice opíše prodlouženou cykloidu. Na obrázku 2.9 je znázorněna cykloida c, zkrácená cykloida e a prodloužená cykloida h Evoluta a evolventa Jestliže existuje obálka hlavních normál rovinné křivky, nazýváme ji evolutou. Lze ji pak také získat jako množinu středů křivosti křivky. Evolventu křivky p získáme následujícím způsobem: Na křivce p zvolíme bod A, na křivce volíme další body, v každém bodě A 1 sestrojíme tečnu a naneseme na ni délku oblouku A 1 A. Takto získaný bod je bodem evolventy křivky p. Můžeme také říci, že jestliže odvalujeme přímku po křivce p, bod přímky opisuje evolventu. Na obrázku 2.10 je část evolventy kružnice. Křivka q je evolventou kružnice p (kruhovou evolventou). Kružnice p je evolutou křivky q Řídící kuželová plocha Řídící kuželová plocha prostorové křivky je množina všech přímek, vedených pevným bodem V rovnoběžně se všemi tečnami křivky (tečna křivky je rovnoběžná s povrchovou

27 2.2. ŠROUBOVICE 27 přímkou řídící kuželové plochy) (obr.2.11). Obrázek 2.11: 2.2 Šroubovice Základní pojmy Definice 2. Šroubový pohyb vzniká složením rovnoměrného otáčivého pohybu kolem pevné přímky (osy) a rovnoměrného posuvného pohybu ve směru této přímky. Šroubovice je dráha bodu A při šroubovém pohybu, kde ω je úhel otočení a p posunutí bodu A (obr. 2.12). Výška závitu v je velikost posunutí bodu při otočení o 2π radiánů. Jestliže otočíme bod o 1 radián, označíme velikost posunutí v 0 a nazýváme redukovanou výškou závitu. Platí v 0 = v. 2π Šroubovice (o, A, v 0, {±}) je určena osou o, bodem A, redukovanou výškou závitu v 0 a informací o pravotočivosti nebo levotočivosti šroubovice (+ nebo ). Šroubovice leží na rotační válcové ploše. Jestliže rozvineme tuto válcovou plochu do roviny, šroubovice se rozvine do přímky. Pokud zavedeme souřadnicový systém tak, aby stopník šroubovice (bod, ve kterém šroubovice protíná půdorysnu) ležel v počátku a osa šroubovice byla rovnoběžná s osou y, je toto rozvinutí šroubovice grafem závislosti posunutí na délce oblouku (neboli úhlu otočení) (obr.2.13) Parametrické vyjádření šroubovice Parametrické rovnice pravotočivé šroubovice, jejíž osou je osa z, r je poloměr válcové plochy, na níž šroubovice leží, redukovaná výška závitu je v 0 a bod A[r, 0, 0], jsou x = r cos ω, y = r sin ω, z = v 0 ω, ω (0, 2π). Jestliže šroubovici umístíme tak, aby osa šroubovice byla kolmá na půdorysnu, pak půdorysem šroubovice je kružnice a nárysem šroubovice je zobecněná sinusoida (křivka odpovídající sinusoidě v afinitě).

28 2.2. ŠROUBOVICE 28 Obrázek 2.12: Obrázek 2.13: Obrázek 2.14: Tečna šroubovice a její průvodní trojhran Věta 5. Tečny šroubovice svírají konstantní úhel s rovinou kolmou k ose šroubovice, resp. s osou šroubového pohybu. Říkáme, že šroubovice je křivka konstantního spádu. Důkaz: Určíme tečný vektor křivky a vypočteme odchylku tohoto vektoru od směrového vektoru osy šroubovice. Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že osou šroubovice je osa z, tedy směrový vektor osy z = (0, 0, 1). Derivováním složek parametrické rovnice šroubovice podle parametru ω vypočteme Pro odchylku α vektorů z a P platí P = ( r sin ω, r cos ω, v 0 ). cos α = z P z P = v 0 1 r 2 + v 2 0 = v 0. r2 + v0 2 Z toho je zřejmé, že úhel α nezávisí na parametru ω a tedy odchylka tečny šroubovice od její osy je ve všech bodech šroubovice stejná.

29 2.2. ŠROUBOVICE 29 Půdorysné stopníky tečen šroubovice leží na kruhové evolventě kružnice, která je půdorysem šroubovice. Věta 6. Řídící kužel šroubovice (řídící kuželová plocha), který je tvořen površkami rovnoběžnými s tečnami šroubovice, je rotační, má výšku v 0 a poloměr podstavy r. Důkaz: Tvrzení plyne z důkazu věty 5. Tečna šroubovice je rovnoběžná s přeponou trojúhelníka o odvěsnách v 0 a r s tím, že odvěsna délky v 0 leží na ose šroubového pohybu. Hlavní normála šroubovice je normála kolmá k ose a osu protíná. Oskulační rovina je určena hlavní normálou a tečnou šroubovice. Binormála je normála kolmá na oskulační rovinu Křivosti šroubovice Provedeme výpočet první a druhé křivosti šroubovice. Máme a vypočteme Určíme vektor P = ( r sin ω, r cos ω, v 0 ) P = ( r cos ω, r sin ω, 0). q = P P = (rv 0 sin ω, rv 0 cos ω, r 2 ). Pro první křivost podle věty 3 obdržíme 1 r k = 2 v0 2 + r 4 (r 2 + v 02 ) = r 3 r 2 + v. 2 0 První křivost šroubovice je tedy konstatní. Pro druhou křivost vypočteme 2 k = v 0 r 2 r 2 v 02 + r 4 = v 0 r 2 + v 0 2. Tedy i druhá křivost šroubovice je konstatní. Provedený výpočet zřejmě nezáleží na orientaci šroubovice a ani na umístění osy. Věta 7. První křivost šroubovice je konstatní a platí 1 k = r r 2 + v 0 2. Druhá křivost šroubovice je konstatní a platí 2 k = v 0 r 2 + v 0 2. Frenetův průvodní trojhran je tvořen tečnou, hlavní normálou a binormálou.

30 2.2. ŠROUBOVICE 30 Obrázek 2.15: Obrázek 2.16: Poznámka 1. Šipkou budeme v půdorysu vyznačovat směr klesání šroubovice. Příklad 9. Sestrojíme průsečík šroubovice (o, A, v 0, +) s rovinou α o - obr Řešení: (obr.2.16) 1. Najdeme půdorys průsečíku A 1 šroubovice s rovinou α. 2. Pomocí velikostí v 0 a r sestrojíme graf závislosti výšky na délce oblouku. 3. Ze znalosti délky oblouku x = A 1 A 1 odečteme z grafu velikost výšky v x a tuto výšku naneseme od bodu A 2 ve směru stoupání. Na ordinále pak najdeme bod A 2.

31 2.2. ŠROUBOVICE 31 Obrázek 2.17: Obrázek 2.18: Obrázek 2.19: Obrázek 2.20:

32 2.3. KONTROLNÍ OTÁZKY 32 Příklad 10. Sestrojíme průsečík šroubovice (o, A, v 0, +) s rovinou β o - obr Řešení: (obr.2.18) 1. V nárysu zjistíme vzdálenost v x bodu A šroubovice od roviny β. 2. Pomocí velikostí v 0 a r sestrojíme graf závislosti výšky na délce oblouku. 3. Ze znalosti změny výšky, o kterou musí vystoupat bod A, odečteme z grafu délku oblouku x, tento oblouk naneseme od bodu A 1 ve směru stoupání. Na ordinále pak najdeme v rovině β bod A (rozumí se jeho nárys). Příklad 11. Sestrojíme tečnu šroubovice (o, A, v 0, +) v bodě A - obr Řešení: (obr.2.20) 1. Určíme půdorys t 1 tečny t v bodě A. 2. Sestrojíme půdorys površky t řídícího kužele, která je rovnoběžná s tečnou (její stopník najdeme na půdorysu šroubovice o úhel 90 o ve směru klesání od bodu A). 3. Odvodíme nárys P 2 stopníku P a nárys površky t. 4. Tečna prochází bodem A a je rovnoběžná s t. 2.3 Kontrolní otázky 2.1 Definujte hlavní normálu prostorové křivky. 2.2 Definujte řídící kuželovou plochu prostorové křivky. 2.3 Jakou první a druhou křivost má přímka? 2.4 Jakou první a druhou křivost má kružnice? 2.5 Uved te definici šroubového pohybu. 2.6 Čím je určen šroubový pohyb? 2.7 Definujete parametr v 0 šroubového pohybu? 2.8 Uved te vztah mezi výškou závitu šroubovice a redukovanou výškou závitu. 2.9 Definujte (dvěma způsoby) evolutu křivky a přibližně načrtněte evolutu elipsy.

33 Kapitola 3 Obecné poznatky o plochách 3.1 Základní pojmy Plocha je jednoparametrická soustava křivek (plocha vzniká pohybem křivky, která není dráhou pohybu - křivka se může během pohybu měnit) dvouparametrická soustava bodů Obrázek 3.1: Obrázek 3.2: Podobně jako u křivek nyní uvedeme matematickou definici plochy. Používáme zde značení parametrů, které vychází z tenzorové symboliky. V dalším textu budeme ale pro jednoduchost místo parametrů u 1, u 2 používat označení u, v: Definice 3. Regulární plochou třídy C n v E 3 rozumíme množinu P E 3, pro niž existuje vektorová funkce P (u 1, u 2 ), (u 1, u 2 ) Ω, kde Ω je oblast (otevřená kompaktní množina), taková že (a) P : Ω P je zobrazení na množinu, (b) P je třídy C n (n 3), (c) P u 1 a P u 2 jsou lineárně nezávislé ve všech bodech oblasti Ω, 33

34 3.1. ZÁKLADNÍ POJMY 34 (d) (u 1 0, u 2 0) Ω,(u 1 1, u 2 1) Ω a (u 1 0, u 2 0) (u 1 1, u 2 1) P (u 1 0, u 2 0) P (u 1 1, u 2 1). Klasifikace ploch Plocha vzniká pohybem křivky, proto nás zajímají dva způsoby klasifikace ploch: podle druhu pohybu a podle tvořící křivky. V následujících dvou tabulkách jsme plochy roztřídili podle těchto dvou hledisek. Podle druhu pohybu Název Pohyb Příklad translační posunutí válec, rovina rotační rotace rot. válec, rot. kužel, rot. hyperboloid šroubové šroubový pohyb cyklická šroubová plocha, vývrtková plocha Podle tvořící křivky Název Křivka Příklad přímkové přímka kuželová plocha, hyperbolický paraboloid cyklické kružnice válec, Archimédova serpentina jiné jiná křivka kvadriky, obalové, grafické Rovnice plochy Parametrické vyjádření: x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), u I, v J (např. parametrické vyjádření rotační válcové plochy je x = 3 cos u, y = 3 sin u, z = v, u 0, 2π, v R nebo zápis pomocí vektorové funkce: r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) jestliže u = konst. dostáváme: x = x(u 0, v), y = y(u 0, v), z = z(u 0, v) v-křivky, (pro uvedený válec jsou v- křivkami přímky) jestliže v = konst. dostáváme:

35 3.2. ÚLOHY NA PLOCHÁCH 35 x = x(u, v 0 ), y = y(u, v 0 ), z = z(u, v 0 ) u-křivky, (pro uvedený válec jsou u- křivkami kružnice) Explicitní tvar: z = f(x, y) (např. z = 3x + 7y 9) Implicitní vyjádření: F (x, y, z) = 0 (např. 3x 2 + y 2 + 4z 2x = 0) Křivka na ploše je křivka, jejíž body vyhovují rovnici plochy. Speciálními křivkami na ploše jsou parametrické křivky. Jsou charakterizovány tím, že jeden z parametrů je konstantní. Tečná rovina plochy je množina tečen křivek plochy v daném bodě. Tečna plochy je přímka tečné roviny, která prochází dotykovým bodem. Normála plochy je kolmice k tečné rovině plochy v bodě dotyku. Dvě plochy se dotýkají v daném bodě, jestliže v něm mají společnou tečnou rovinu. Průniková křivka je množina společných bodů dvou ploch. Bod na ploše je regulární, jestliže v něm existuje právě jedna tečná rovina a singulární v ostatních případech. Přímky na ploše rozdělujeme na regulární, kdy v každém bodě přímky existuje jiná tečná rovina - tečné roviny tvoří svazek rovin (např. přímky na rotačním jednodílném hyperboloidu) a torzální, kdy existuje jediná tečná rovina podél celé přímky (např. přímky na kuželové ploše). 3.2 Úlohy na plochách Tečná rovina τ v bodě T a normála plochy: 1. zvolíme dvě křivky k 1, k 2 na ploše procházející bodem T (vhodné jsou např. tvořící křivka a dráha pohybu, při řešení úlohy výpočtem pak je vhodné zejména parametrické křivky), 2. určíme tečny t 1 a t 2 k těmto křivkám (předpokládáme, že jsou různé), 3. tečná rovina τ je určena tečnami t 1 a t 2 (obr. 3.2), 4. normálu plochy určíme jako kolmici k tečné rovině v daném bodě. Řez plochy rovinou ϱ a tečna řezu: 1. zvolíme křivku k plochy 2. průnikem křivky k s rovinou ϱ je bod K (jeden bod řezu) 3. opakováním bodů 1) a 2) dostáváme jednotlivé body řezu (obr. 3.3). 4. tečna řezu je průsečnicí tečné roviny a roviny řezu (obr. 3.4). Průsečík přímky p s plochou κ: 1. proložíme rovinu ϱ přímkou p,

36 3.2. ÚLOHY NA PLOCHÁCH 36 Obrázek 3.3: Obrázek 3.4: 2. určíme řez plochy κ rovinou ϱ, dostaneme průnikovou křivku k, 3. průnik přímky p a křivky k je hledaný průsečík X (obr. 3.5). Obrázek 3.5: Obrázek 3.6: Průnik dvou ploch α a β: 1. zvolíme pomocnou rovinu ϱ, 2. najdeme průnikovou křivku k 1 roviny ϱ s plochou α, 3. najdeme průnikovou křivku k 2 roviny ϱ s plochou β, 4. průsečík P křivek k 1 a k 2 je bodem průniku ploch α a β (obr. 3.6), 5. opakováním bodů 1)-4) najdeme požadovaný počet bodů průniku ploch α a β, 6. tečna průnikové křivky v daném bodě je průsečnicí tečných rovin obou ploch v daném bodě (jiná možnost určení tečny průnikové křivky spočívá v konstrukci kolmice k rovině dané normálami daných ploch v daném bodě). Skutečný obrys plochy tvoří body plochy, v nichž jsou promítací přímky tečnami plochy. Zdánlivý obrys plochy je průmět skutečného obrysu plochy.