MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ Lesnická a dřevařská fakulta Ústav nauky o dřevě Modální analýza rezonanční desky kytary Diplomová práce 2012/2013 Martin Lukeš
Prohlašuji, že jsem diplomovou práci na téma Modální analýza rezonanční desky kytary zpracoval sám a uvedl jsem všechny použité prameny. Souhlasím, aby moje diplomová práce byla zveřejněna v souladu s 47b Zákona č. 111/1998 Sb., o vysokých školách a uložena v knihovně Mendelovy univerzity v Brně, zpřístupněna ke studijním účelům ve shodě s Vyhláškou rektora MENDELU o archivaci elektronické podoby závěrečných prací. Autor kvalifikační práce se dále zavazuje, že před sepsáním licenční smlouvy o využití autorských práv díla s jinou osobou (subjektem) si vyžádá písemné stanovisko univerzity o tom, že předmětná licenční smlouva není v rozporu s oprávněnými zájmy univerzity a zavazuje se uhradit případný příspěvek na úhradu nákladů spojených se vznikem díla dle řádné kalkulace. V Brně, dne:... podpis studenta
Poděkování Rád bych poděkoval svému vedoucímu diplomové práce panu Ing. Janu Tippnerovi, Ph.D. za cenné rady, pomoc a čas, který mi věnoval. Rovněž děkuji výbornému kolektivu Ústavu nauky o dřevě. V neposlední řadě bych chtěl poděkovat své rodině za podporu.
Jméno a příjmení: Martin Lukeš Název práce: Modální analýza rezonanční desky kytary. Abstrakt: Práce je zaměřena na zkoumání vlivů různých faktorů, především materiálové skladby a geometrie rezonanční desky, na její vlastní frekvence a vlastní tvary kmitání. Je vytvořen konečně-prvkový model charakterizující mechanické chování tělesa v oblasti elastických deformací materiálu. Pro sestavení modelu a výpočty je použito řešiče (ANSYS) využívajícího metody konečných prvků. Numerický model předpokládá ortotropní lineárně-elastický materiál. Z výsledků modální analýzy je následně provedena optimalizace rezonanční překližované desky, kdy je snaha tuto desku nejvíce svými akustickými vlastnostmi přiblížit desce masivní. V závěru této práce je uvedena využitelnost výsledků v praxi. Klíčová slova: kytara, rezonanční deska, vlastní frekvence, vlastní tvary kmitání, ANSYS, metoda konečných prvků (MKP), modální analýza
Name and surname: Subject: Martin Lukeš Modal analysis of guitar resonance plate. Abstract: This thesis is focused on examining the effects of different factors, in particular material composition and geometry of the soundboard, the natural frequencies and vibration mode shapes. A finite element model is created to describing the mechanical behavior of solids in the elastic deformation of the material. To build the model and calculations is used solver (ANSYS) employing finite element methods. The numerical model assumes orthotropic linear-elastic material. The results of modal analysis are used for optimized resonant plywood. Goal of optimization is plywood with equal acoustic properties like a plate of solid wood. In the conclusion of this thesis is presented utility of the results in practise. Key words: guitar, soundboard, natural frequency, mode shapes, ANSYS, fine-element method (FEM), modal analysis
Obsah 1. Úvod... 8 2. Literární přehled... 10 2.1. Historie vzniku kytary... 10 2.2. Stavba kytary... 13 2.3. Rezonanční deska... 14 2.3.1. Materiály na výrobu rezonanční desky... 16 2.5. Akustické vlastnosti dřeva... 17 2.5.1. Základní akustické veličiny... 17 2.6. Kmity strun... 19 2.7. Kmity desek... 21 2.8. Metoda konečných prvků... 22 2.9. Modální analýza... 23 3. Cíl práce... 25 4. Metodika... 26 4.1. Tvorba geometrie modelu... 26 4.2. Materiálový model... 27 4.3. Konečně-prvková diskretizace modelu... 28 4.3.1. Použité typy elementů... 29 4.4. Definování okrajových podmínek... 29 4.5. Výpočet... 30 5. Výsledky a diskuze... 31 5.1. Vliv velikosti prvku sítě na frekvenci... 31 5.2. Vliv ukotvení desky na frekvenci... 33 5.3. Vliv druhu dřeva na frekvenci... 35 5.4. Vliv tloušťky desky na frekvenci... 38 5.5. Vliv poměru tloušťek dýh na frekvenci... 40 5.6. Vliv odklonu osy přířezu na frekvenci... 43 5.7. Vliv odklonu vláken dýh překližované desky na frekvenci... 46 5.8. Optimalizace rezonanční překližované desky... 47 6. Závěr... 54 7. Summary... 56
8. Použitá literatura... 57 9. Přílohy... 63
1. Úvod Kytara je nevypočitatelný, nejméně spolehlivý hudební nástroj v dějinách, ale také nejsladší, nejohnivější, nejcitlivější, jejíž melancholický hlas probouzí v naší duši tu největší úctu. Andrés Segovia Kytary zajisté patří mezi nejpopulárnějšího hudební nástroje na světě, kterých se v dnešní době vyrábí ročně miliony kusů ve všech možných modifikacích. Její velká obliba pramení z jednoduchosti, ale také z velké všestrannosti. Neexistuje jiný nástroj, který by zkombinoval tolik melodických, harmonických, rytmických a výrazových možností, jež si můžete vzít kamkoli s sebou. Kytara pronikla dnes do všech hudebních žánrů. Je to nástroj člověku nejbližší. Vývoj akustických hudebních nástrojů byl v naprosté většině případů inspirován, motivován a konkrétně určován vývojem hudebního myšlení, se kterým šel ruku v ruce i vývoj interpretačního umění, zejména pak techniky hry (Syrový 2009). Dvě kytary vyrobené stejným způsobem, ze stejného druhu dřeva, tím samým výrobcem mohou mít úplně rozdílný zvuk. I přes důslednost, jakou umožňují nové procesy hromadné výroby, je nutné se smířit s tím, že dřevo si i nadále zachovává své jedinečné vlastnosti. Tyto rozdílné vlastnosti, jedná-li se o tentýž druh dřeva, jsou dány dědičností, pěstebními podmínkami, stářím stromu, vlivem abiotických a biotických činitelů apod. Akustické vlastnosti kytary jsou nejvíce ovlivněny její rezonanční deskou, která má rozhodující vliv na výsledný zvuk nástroje. Chování desky je dáno její geometrií a materiálem. V případě dřeva se jedná o druh dřeva, hustotu, vlhkost, orientaci anatomických os dřeva vůči geometrii desky, výskyt růstových vad, šířku letokruhů, procentuální zastoupení jarního a letního dřeva v letokruhu aj. Konečné vlastnosti jsou dále ovlivněny vlastním tvarem desky, přepětím napnutých strun, obvodovým vetknutím k lubu, způsobem žebrování a povrchovou úpravou (Dániel 2008). 8
Díky pokroku vědy lze v dnešní době pomocí počítačové techniky provádět složité výpočty v krátkém čase. Dochází k velkým finančním a časovým úsporám. Např. za pomoci programu ANSYS lze vytvořit zjednodušený model rezonanční desky, u kterého je možno určit jeho (akustické) vlastnosti, aniž by bylo potřeba pracně provádět experimentální měření skutečných desek. Pomocí modální analýzy je možné stanovit akustické vlastnosti vytvořeného tělesa, a to konkrétně jeho vlastní frekvence a vlastní tvary kmitání. Celkové pochopení dynamiky nástroje je rozhodujícím prvkem v pochopení toho, jak vyrábět kvalitní nástroje. Za poslední čtyři desetiletí byly základní fyzikální a technické vlastnosti kytary značně zkoumány vědeckými výzkumníky, staviteli kytar i samotnými hráči. Základní chování nástroje se zdá být již dobře známo, avšak méně známé jsou interakce mezi jednotlivými prvky nástroje ovlivňující celkový zvuk (Inta 2007). 9
2. Literární přehled 2.1. Historie vzniku kytary Historii vzniku kytar popisují např. Malý (2002), Halabica (2009), French (2009) a Johnston et al. (2008). Tito autoři uvádějí následující. Kytara je považována dnes za nejpopulárnější instrument. První zmínky se datují již ve třináctém století. Podobné nástroje jsou nalezeny na obrazech a v církevních knihách. Ve Španělsku, které je považováno za její původ, byly známy dva druhy kytary - guitarra moresca (maurská), více podobná loutně svým klenutým tělem a aguitarra latina, konstrukcí připomínající dnešní klasickou kytaru. Obr. 1: Guitarra moresca 1 V 16. století se ve Španělsku objevil nástroj zvaný vihuela, což byla aristokratická forma kytary. Měla šest zdvojených strun a většina z nich byla nádherně zdobena drahými materiály - slonovinou, ebenem a přírodní perletí. Na její stavbu se také používalo nejkvalitnějšího dřeva. Obvykle měla kytara vihuela deset pražců a způsob hry se příliš nelišil od hry na dnešní klasickou kytaru. 1 http://www.viquiescoles.cat/viqui/fitxer:wartburg-laute.jpg 2 http://www.kirchmeyr.net/instrumente/vihuela/images/vihuela_vorne.jpg Obr. 2: Vihuela 2 10
Čtyřstrunná kytara zažila svůj rozkvět zejména v Itálii a potom ve Francii kolem roku 1550. Byl to malý, decentní nástroj, na kterém se dala dobře a jednoduchým způsobem obsáhnout harmonie, snadný na hraní a mnohem více použitelný pro amatéry než loutna nebo vihuela. Její popularita však byla dosti krátká a ustoupila kytaře pětistrunné, zvané také barokní. Pětistrunná kytara se pravděpodobně objevila opět ve Španělsku v polovině 16. století. Nástroje měly ve většině případů klenuté dno, které způsobovalo rychlý ozev, mnohem užší tvar v bocích a kobylku posunutou více směrem od ozvučného otvoru. Tím se prodloužila menzura a také kvalita basových tónů. Otvor byl téměř vždy umělecky dekorován, jako růžice u louten, ale často i formou různých spirál a použitím jiných materiálů pergamen, tvrzený papír, slonovina. Ozvučná vrchní deska byla zapuštěna do hmatníku, což přinášelo větší fixaci mezi krk a tělo a zlepšovalo rezonanci. Byly používány pražce převazované a také pražce pevné, vsazené do hmatníku, většinou z ebenu, později i kovové. Ocelové struny totiž obrušovaly střevové převazy. Hrálo se trsátkem ze želvoviny. Ladící kolíčky byly z tvrdého dřeva jako u houslí. Obr. 3: 5-ti strunná kytara Battente 3 Kolem roku 1800 se na některých kytarách začala objevovat přidaná šestá struna a došlo také vlivem nových konstrukcí ke zjednodušení dvojitých sborů, tedy v podstatě k dnešnímu ostrunění. Tato redukce probíhala v Itálii a Francii. Španělsko konzervativně zůstávalo u zdvojení. Ale bylo to paradoxně Španělsko, kde docházelo k největším změnám ve stavbě a celkovém pojetí nástroje. Tvar těla se rozšiřuje, užívá se palisandr a španělský cypřiš na dno a luby. Zdobení se zaměřilo pouze na perleťové ornamenty a mozaiky kolem ozvučného otvoru, tak jak je známe dnes. Kobylka se zjednodušuje a krk je připevněn ke korpusu pomocí vnitřní patky, obdobně jako u současných kytar. Spojení je u šestého až osmého pražce a hmatník zasahuje až k otvoru. Tenké pražce jsou z kovové slitiny a zapuštěné do hmatníku. Byly činěny mnohé pokusy s vnitřním žebrováním a tahem strun na rezonanční desku. Při 3 http://www.guyguitars.com/eng/handbook/briefhistory.html 11
zjednodušení sborů se začaly také užívat fixační dřevěné kolíčky do kobylky a kostěné sedlo. Kovové ladicí mechaniky se objevily asi od roku 1820. Předpokládá se, že první šestistrunná kytara se začala ve Španělsku užívat asi kolem roku 1825. V roce 1833 založil Christian Frederick Martin v USA firmu C.F. Martin & Company, nejproslulejší manufakturu na světě, jež se stala synonymem pro nejvyšší kvalitu kytar s plochou rezonanční deskou (flat top). Jako první v roce 1840 vyvinul vyztužení rezonanční desky pomocí žeber. V roce 1929 vznikl jeden z nejslavnějších modelů firmy a to model OM. Byl to první nástroj, na kterém bylo použito připojení krku k tělu na 14. pražci. Kytara měla velký korpus a delší menzuru. Obr. 4: Kytara Martin model OM 4 Vývoj moderní klasické kytary lze datovat do období kolem roku 1850. Je spojen se jménem Španěla Antonia Torrese, který nejvíce přispěl k vývoji v konstrukci a zvukové kvalitě nástroje. Stanovil nové rozměry kytary, větší a širší tělo, tvar a způsob vnitřního žebrování, který se udržel až do dnešních dnů. Je to sedmiramenný vějíř tenkých žeber pod kobylkou. Určil standardní menzuru 650 mm, umožňující snadnou hratelnost, širší a vyšší hmatník a dekoraci zjednodušil na skromné lemování lubů a rozety kolem otvoru. Jeho modely slouží jako naprosto dokonalé předlohy i pro současné stavitele. Obr. 5: Kytara podle Antonia Torrese 5 4 http://www.martinguitar.com/1887-1929.html 5 http://www.guyguitars.com/eng/handbook/briefhistory.html 12
2.2. Stavba kytary 1 - tělo, 2 - rezonanční deska, 3 - luby, 4 - kobylka, 5 - práh, 6 - rezonanční otvor, 7 - krk, 8 - hmatník, 9 - pražce, 10 - nultý pražec, 11 - hlava, 12 - ladící kolíky, 13 - patka, 14 - pickguard, 15 - rozeta Obr. 6: Popis částí kytary Popis jednotlivých částí je znázorněn na obr. 6. Podle Inta (2007) má moderní akustická (někdy nazývané folková) kytara obvykle 6 kovových strun, 1. až 3. struna je tvořena samotným jediným drátem, 4. až 6. struna má kovové jádro obtočené kovovým drátem. Naproti tomu klasická kytara má 1. až 3. strunu nylonovou, 4. až 6. struna má jádro z vláknitého hedvábí nebo nylonu obtočené kovovým drátem. Ladění strun se provádí pomocí ladící mechaniky umístěné na hlavě kytary. Standardní ladění vyžaduje napětí v rozmezí 100 až 140 N (viz. tab. 1). Tab. 1: Mechanické vlastnosti kovových kytarových strun (D'Addario EJ16), standardní ladění (komorní A - 110 Hz), menzura 648 mm (Inta 2007) Struna Ladění Frekvence (Hz) Průměr struny (mm) Statické napětí (N) Napětí/Délka (Nm -1 ) 1 E4 329,6 0,300 103,6 159,9 2 B3 246,9 0,406 103,6 159,9 3 G3 196,0 0,610 134,3 207,2 4 D3 146,8 0,813 135,5 209,2 5 A2 110,0 1,067 132,9 205,1 6 E2 82,4 1,346 115,5 178,3 13
Obr. 7: Varianty žebrování rezonančních desek firmy C.F. Martin & Company (Probert 2007) Napětí strun má tendenci deformovat kobylku a rezonanční desku. Chceme-li, aby nástroj byl hlasitý, musí být rezonanční deska tenká a rozměrově velká. Z toho důvodu je nutné rezonanční desku vyztužit žebry. Vyztužovací systém žeber X (viz. obr. 7), který je v dnešní době nejčastějším způsobem u akustických kytar, byl patentován firmou C.F. Martin & Company v roce 1850. Zpočátku byl systém žebrování vyvinut s cílem šetřit matriál, avšak od začátku používání kovových strun (kolem roku 1900) byl tento systém schopen zvládnout vyšší napětí s minimálními rozměrovými změnami (Probert 2007). Systém žebrování X je používán v různých modifikacích většiny výrobci kytar. Podle Procházky (2012) je možno systém X dělit na tři základní typy, a to standardní (poskytuje plný pevný zvuk s menším počtem vyšších harmonických tónů, nástroje jsou charakteristické spektrem posunutým k nižším středům), scallope (žebra jsou uprostřed snížena, méně pevné, bohatý barevný zvuk s výraznými basy a výškami, slabší ve středových frekvencích) a dvojité X (verze používaná firmou Gibson). 2.3. Rezonanční deska Při konstrukci kytar se setkáváme s pojmy překližovaný, polomasivní a celomasivní nástroj. Nástroje z překližovaného materiálu se skládají zpravidla z lichého počtu tenkých dýh (0,5 1,2 mm). Pojivem je tvrdé lepidlo, které dýhy prosytí a po vytvrdnutí určuje do značné míry vlastnosti desky. U těchto desek se akustické vlastnosti dají ovlivnit složitě a málo. Většina nástrojů pak má horší zvuk, postrádající barvu a kulturu. U polomasivních nástrojů je rezonanční deska masivní, luby a zadní 14
deska jsou překližované. Výsledný zvuk lze již ovlivnit pomocí rezonanční desky. Tyto nástroje se řadí mezi poloprofesionální, poskytují průměrné akustické vlastnosti. Celomasivní nástroje patří mezi nejhodnotnější. Hlavní výhodou kvalitního masivu je, že jak stárne, vyhrává se. Tudíž takové kytary např. ze 70 80tých let minulého století jsou vysoce ceněny (Procházka 2012). Rezonanční deska vyrobená z vrstveného dřeva je odolnější vůči mechanickému namáhání a je rozměrově stálá při změně vlhkosti prostředí. Deska masivní je z hlediska akustických vlastností výhodnější, nicméně je náchylnější ke zborcení (Bucur 1995). Obr. 8 ukazuje způsob výroby masivní desky složené ze dvou polovin principem "rozevírání knihy". Dřevní vlákna a rozdělení hustoty je symetrické kolem podélného směru (Inta 2007). Obr. 8: Skládání přířezů rezonanční desky (Inta 2007) Rezonanční deska je tenká, původně plochá, dřevěná deska. Díky malé tloušťce má nízkou hmotnost na relativně velkou plochu. To umožňuje efektivní přenos vibrací do okolního prostředí. Nicméně musí být dostatečně tuhá, aby vydržela zatížení napnutím strun. Některé kytary vyšších kvalit mají jejich rezonanční desku po obvodě ztenčenou ještě před nalepením na luby. Okraje jsou pružnější a méně masivní. V ideálním případě tvoří luby a dno tuhou část korpusu tak, že značná část zvuku je vyzařována jen z horní rezonanční desky. To je více prioritou pro klasické kytary oproti kytarám akustickým, a to z důvodu použití klasických kytar v koncertním prostředí (tj. silně vyzařovat zvuk směrem k publiku). V důsledku toho musí mít materiály pro luby a dno vysoký odpor, např. dřevo palisandru či mahagonu (Inta 2007). Elejabarrieta et al. (2000) dokazuje, že při zeštíhlení rezonanční desky po obvodu dochází ke snížení hodnot vlastních frekvencí desky, což dokazuje, že tuhost má větší vliv než hmotnost materiálu. Stejné výsledky jsou dosaženy i po opatření desky vyztužujícími žebry. 15
2.3.1. Materiály na výrobu rezonanční desky Volba vhodného materiálu pro výrobu jednotlivých částí akustické kytary hraje nesmírnou roli. Jak už bylo v úvodu nastíněno, největší důraz je kladen na rezonanční desku, která velkou mírou ovlivňuje výsledný zvuk celého nástroje. Navzdory rozmanitosti stavebních materiálů, které jsou v současné době k dispozici (např. syntetické polymery a vláknité kompozity - karbon), se stále nejvíce používá přírodní produkt - dřevo (Besnainou 1995). Dřevo se odebírá ze starších stromů ze spodní části kmene bez suků. U stojících stromů se posuzuje rovný, válcovitý, pravidelně rostlý kmen s bezsukatou spodní částí v délce 5 6 m (Ille 1968). Mezi základní požadavky na strukturu dřeva patří nízká objemová hmotnost dřeva (400 500 kg/m 3 ), úzké letokruhy (1 2 mm) a nízký podíl letního dřeva do 20 % (Maulis 2007). Vrstva rezonančního dřeva se začíná tvořit přibližně ve věku 90 let (Požgaj et al. 1997). Rezonanční desky se výhradně vyrábějí jako desky radiální (s kolmými letokruhy k ploše). Výřezy z dodaných kmenů jsou nejprve rozčtvrceny a každý blok dále rozřezán tak, aby dřeňové paprsky probíhaly po celé šířce desek (Lexa et al. 1952). Největší význam radiální desky tkví v tom, že se při sesychání málo smršťuje, proto se nebortí a nepraská. V radiálním směru je pevnost dřeva a modul pružnosti vyšší a tím je zároveň i v tomto směru větší rychlost zvuku než ve směru tangenciálním. Dalším důvodem jsou patrné dřeňové paprsky (tzv. zrcátka) na radiální ploše, které dávají zvláště smrkovému dřevu hedvábný lesk (Maulis 2007). Druh dřeviny nám předurčuje, jaký zvuk bude kytara vydávat. Mezi nejčastěji používané dřevo při výrobě kytar patří zajisté dřevo smrku ztepilého (Picea abies L. Karst.). Takzvané rezonanční smrky jsou kusy rostoucí velmi pomalu ve tvrdých horských podmínkách, a to se odráží především v hustotě letokruhů, tloušťce buněčných stěn apod. Evropský smrk je považován za zvukově nejkvalitnější, a proto se hojně používá při výrobě rezonančních desek. Zásadním požadavkem je hustota letokruhů, která koreluje s podnebím či stářím stromu. Jednou z hypotéz, proč zvuková stránka Stradivariho houslí nebyla dosud překonána, stojí na tvrzení, že malá doba ledová která v 16. 18. století Evropu postihla, měla vliv na vlastnosti dřeva smrků (Gruchala 2010). 16
Mezi druhé nejpoužívanější dřevo na výrobu rezonanční desky akustických kytar se řadí dřevo zeravu obrovského (Thuja plicata L.), anglicky zvaném Western redcedar, česky nesprávně cedrové dřevo. V porovnání se smrkem je lehčí, méně pevný, avšak zeravové desky se mnohem dříve rozehrávají. Akustická reakce zeravu je rychlá, kytary působí velmi živě, hlasitě a průrazně. Poskytuje brilantní výsky, ale spíše kulatější, méně pevné basy (Gruchala 2010). 2.5. Akustické vlastnosti dřeva Zvukem rozumíme mechanické vlnění prostředí, jehož vnější příčinou je uspořádaný kmitavý pohyb molekul přenášený působením sil, kterými na sebe vzájemně molekuly působí (Gandelová et al. 2004). Z pohledu smyslového vnímání chápeme zvuk jako sluchem registrovaný pohyb hmoty, kterou nejčastěji představují částice vzduchu v bezprostřední blízkosti našeho ucha. Vlastnosti zvuku lze dělit na objektivní (frekvence, amplituda, frekvenční spektrum, fáze) a subjektivní (výška, hlasitost, barva), (Syrový 2009). Syrový (2008) popisuje akustickou definici hudebního nástroje jako vhodně uspořádané, mechanického rozkmitáni schopné hmoty, která svou kmitavou energii vyzařuje do prostoru ve formě zvukové vlny. Akustickou kytaru tvoří tři funkční části: excitátor (prst, trsátko), oscilátor (struna) a rezonátor (ozvučná skříňka). 2.5.1. Základní akustické veličiny Rychlost šíření zvuku Rychlost šíření zvuku ve dřevě je závislá na materiálových charakteristikách (hustota, Youngův modul pružnosti) a dále na vlhkosti a teplotě prostředí. Lze ji zjednodušeně vypočítat podle vztahu: = [m.s 1 ] (1) kde E Youngův modul pružnosti, ρ hustota dřeva. 17
Z uvedeného vyplývá, že rychlost šíření zvuku ve dřevě je tím větší, čím je větší modul pružnosti a menší hustota dřeva. Je taktéž závislá na druhu dřevině a má anizotropní charakter. Poměr rychlosti zvuku v podélném, radiálním a tangenciálním směru lze zjednodušeně vyjádřit 15 : 5 : 3 (Gandelová et al. 2004). Akustická konstanta Významným ukazatelem rezonančních vlastností dřeva je konstanta vyzařování nazývaná akustickou konstantou. Za rezonanční se považuje takové dřevo, jehož akustická konstanta K > 12 (m 4.kg 1.s 1 ). Akustická konstanta K je závislá na hustotě dřeva a modulu pružnosti, proto je výrazně ovlivňována zejména anatomickou stavbou (točitost vláken) a vnitřními napětími vzniklými během sušení dřeva. Se zvyšující se hustotou se akustická konstanta dřeva snižuje. Rezonanční smrk má hodnotu konstanty 12 m 4.kg 1.s 1, zatímco např. javor má hodnotu 5,8 m 4.kg 1.s 1 (Horáček 2008). Logaritmický dekrement útlumu Pokud přestanou působit síly vyvolávající vynucené vibrace, amplituda vibrací se začne snižovat a těleso se vrátí do klidového stavu. Přirozená energie je rozptýlená částečně radiací zvuku, částečně vnitřním třením měnící se na teplo, které se nazývá kapacitou tlumení. Při volných netlumených vibrací se pokles amplitud dvou následujících vibračních cyklů (A 1, A 2 ) vyjadřuje logaritmickým zákonem. Poměr jejich amplitud se nazývá logaritmický dekrement útlumu a vypočítá se podle vztahu (Požgaj 1997): = 100 [%] (2) Gandelová et al. (2004) dokazuje, že tlumení způsobené radiací závisí především na poměru rychlosti šíření zvuku a hustoty dřeva. Kapacita tlumení dřeva rezonancí a vnitřním tření je větší než u jiných konstrukčních materiálů, proto je dřevo materiál s velmi dobrými akustickými vlastnostmi. 18
Akustický vlnový odpor Jak poukazuje Horáček (2008), rychlost šíření zvuku ve dřevě je závislá na odporu prostředí. Akustický vlnový odpor vyjadřuje odpor prostředí proti šíření zvukové vlny (vnitřní tření) a je závislý na hustotě dřeva a rychlosti šíření zvuku ve dřevě podle vztahu: = = [kg.m 2.s 1 ] (3) kde Z akustický vlnový odpor, E Youngův modul pružnosti, ρ hustota dřeva. Za rezonanční považujeme takové dřevo, ve kterém dochází k nízkému tlumení vnitřním tření a naopak k vysoké radiaci zvukové energie (Horáček 2008). 2.6. Kmity strun Syrový (2008) popisuje strunu jako základní kmitající elementem (oscilátor) strunných nástrojů. Převládá u ní jeden rozměr nad ostatními rozměry, je tedy lineární oscilátor. Jednotlivé body struny kmitají s různými amplitudami kolmo na podélný směr struny, konají tedy příčné kmity. Struna kytary je upnuta mezi kobylkou a nultým pražcem, které vytvářejí uzly. Jednotlivé frekvence, které přísluší vlnovým délkám λ se nazývají vlastní frekvence soustavy a vypočítají se podle vztahu: = = [Hz] (4) kde f frekvence, v rychlost šíření vlnění, λ vlnová délka. Frekvence pro n = 1 se nazývá základní (první) harmonická, další jsou vyšší harmonické (n-té). Vyšší harmonické frekvence ovlivňují tzv. barvu základního tónu. Pro získání tónu některé vyšší harmonické frekvence je možno rozkmitanou strunu lehce přitlačit v 1/n délky struny od konce pro n-tou harmonickou. Mód kmitů je označení stavu, kdy soustava (struna) kmitá na n-té harmonické frekvenci, jinak řečeno že kmitá v n-tém módu. Různými módy mohou kmitat i dvou a třírozměrná tělesa. Na dokonale tuhém upevnění struny dochází k úplnému odrazu vlny. Od pevného konce se odráží vlna s opačnou fází (Syrový 2008). 19
Obr. 9: Prvních sedm módů kmitů struny (Hanák 2011) V případě že se frekvence budící síly rovná vlastní frekvenci soustavy, dochází k rezonanci soustavy. Při nucených kmitech závisí velikost výchylky a rychlosti i fázový posuv mezi působením vnější síly k vlastní frekvenci netlumené soustavy. Rezonance pak znamená dosažení maxima výchylky příp. rychlosti kmitání soustavy při rezonanční frekvenci. Čím je tlumení soustavy menší, tím je uvedené maximum vyšší. Při velmi malém tlumení je možno považovat rezonanční frekvenci za rovnou frekvenci vlastních kmitů soustavy (Syrový 2008). Jelikož má struna relativně malou hmotnost, je i energie vyzařovaná strunou nepatrná. Aby se intenzita vyzařování zvýšila, napíná se struna pevně přes kobylku k rezonanční desce, která má oproti struně větší plošný rozměr a hmotnost. Kmitání rezonanční desky resp. celého korpusu vyvolá v okolním vzduchu periodické tlakové změny značné velikosti. Struna i rezonanční deska mají své vlastní frekvence a mechanickou vazbou jsou vzájemně ovlivňovány. Rezonanční skříňky jsou rezonátory silně tlumené, aby mohly reagovat na větší interval frekvencí struny. Tento problém souvisí s šířkou rezonanční křivky. Čím je rezonanční křivka systému širší a plošší, tím více je systém tlumený a tím širší interval frekvencí muže rezonancí zesílit (Čermáková 2002). 20
2.7. Kmity desek Rozložení výchylky stojatých vln při chvění mechanických soustav lze zkoumat i plošně (např. na rezonanční desce). Těmto výzkumům se jako jeden z prvních věnoval Ernst Florens Friedrich Chladni (1756 1827), jehož jméno obrazce rozložení uzlů na čtvercových deskách nesou. Zatímco struna nebo tyč jsou lineárními zářiči akustické energie, deska představuje zářič rovinný, poněvadž dva její rozměry převažují nad rozměrem třetím. Deska podobně jako tyč nekmitá pouze příčně, avšak koná složité ohybové kmity. Na rozdíl od tyče se však její pohyb skládá z ohybových kmitů ve dvou na sebe kolmých směrech, a proto je ještě o mnoho složitější než kmity tyče (Miláček 2001). Obr. 10: Chladniho obrazce (Hanák 2011) Obr. 11: Rozložení uzlů na těle kytary při různých frekvencích (Hanák 2011) U desek nebo membrán dochází ke chvění při každé budící frekvenci, avšak zvlášť silné chvění nastává jen při rezonančních frekvencích, které netvoří obecně harmonickou řadu. Polohu uzlů lze pak zjistit posypem desky jemným práškem, který při jejím chvění odskakuje z kmiten a hromadí se v uzlových čarách. Každé rezonanční frekvenci přísluší jiný obrazec uzlových čar, zvaný těž jako Chladniho obrazec (Syrový 2008). 21
2.8. Metoda konečných prvků Metoda konečných prvků (MKP) je moderní metoda pro řešení okrajových úloh mechaniky kontinua, tj. úloh, kdy v určitých místech řešené oblasti jsou zadány hodnoty funkcí, respektive hodnoty derivací těchto hledaných funkcí. Její vznik je možno datovat do roku 1943, kdy matematik Richard Courant publikoval práci zabývající se problémem torse a v ní nastínil matematický postup, který byl základem MKP. Dnes je MKP všeobecně známa jako varianta zobecněné Ritzovy metody se speciální bází tj. jako metoda variační. Její použití je zvláště široké, nejčastěji při řešení problémů mechaniky neformovatelných těles (Teplý 1991). Metoda je založena na zcela jiném principu než analytické metody pružnosti. Zatímco analytické metody jsou založeny na diferenciálním a integrálním počtu, MKP je založena na obecně méně známém počtu variačním, hledá minimum nějakého funkcionálu. Při variačních metodách se hledá řešení dané úlohy pomocí pokusného řešení. Postupuje se tak, že se daný funkcionál vyjádří jako funkce předpokládaného pokusného řešení. Ze všech možných řešení, splňujících okrajové podmínky, se poté vybere to, které činí daný funkcionál stabilní zajistí jeho minimum. Variačním principem nazýváme matematický postup, který umožňuje výběr řešení problému z celé třídy možných řešení (Benešová 2007). Kolář (1997) charakterizuje MKP jako zobecněnou Ritz-Galerkinova variační metodu, užívající bázových funkcí s malým kompaktním nosičem, úzce spjatým se zvoleným rozdělením řešené oblasti na konečné prvky. Základní myšlenkou metody konečných prvků je rozložení tělesa na menší části elementy (konečné prvky), na kterých je analýza chování poměrně jednoduchá. Základním prvkem v rovině je čtyřúhelník, v prostoru pak šestistěn (anglicky brick), někdy je nutné použít zjednodušené tvary prvku (trojúhelník, čtyřstěn). Rohy těchto prvků, případně některé další význačné body, jsou uzlovými body, v nichž se určují neznámé hodnoty posuvů, strany (hrany) prvků vytvářejí síť, jejíž hustota je rozhodující pro přesnost výsledků. Hrany prvků jsou obvykle přímé, ale pomocí kvadratických prvků lze realizovat i zakřivené. Kvadratické prvky mají kromě rohových uzlů ještě další uzly uprostřed stran (resp. hran), čímž dostáváme v rovině prvek osmiuzlový a v prostoru prvek (brick) dvacetiuzlový. Tyto prvky lépe vystihují lokální koncentraci napětí i při použití hrubé sítě. 22
Elementy představují obecný předpis, jehož výstupem je matice tuhosti elementu K, která definuje přírůstek deformační energie elementu v závislosti na vektoru lokálních zobecněných uzlových posuvů. Druhým výstupem je pak vektor ekvivalentních uzlových sil, pole posuvů a pole deformace. V deformační variantě, která je nejrozšířenější, se vychází z nahrazení posuvů náhradními funkcemi. Tyto funkce se berou ve tvaru polynomů prostorových souřadnic (Fusek, Halama 2011). Hlavní výhoda MKP spočívá možnosti dokonale aproximovat vyšetřované těleso a zautomatizování celého výpočtový proces na počítačích. Celý postup metody konečných prvků se dá vyjádřit v několika krocích: Rozdělení řešené oblasti (tělesa, soustavy) na podoblasti, tzv. konečné prvky či elementy. Formulace chování jednotlivých elementů. Opětovné složení a získání výsledné soustavy rovnic popisujících chování celého systému využitím rovnic získaných při analýze elementů. Aplikace okrajových či počátečních podmínek. Vlastní řešení systému rovnic. Získání primárních neznámých. V případě deformační varianty MKP se jedná o posuvy. Získání dodatečných (odvozených) výsledků. V případě pružného tělesa se jedná např. o přetvoření a napětí, popř. další veličiny. 2.9. Modální analýza Miláček (2001) charakterizuje modální analýzu jako moderní obor dynamiky, který k popisu kmitavých vlastností a kmitavého chování soustavy (konstrukce) využívá možnosti rozkladu složitého kmitavého děje na dílčí tzv. modální (též vlastní) příspěvky. Každý příspěvek je charakterizován vlastní frekvencí soustavy, vlastním tvarem kmitu a vlastním tlumením tvaru kmitu. Cílem modální analýzy je popsat mechanický systém pomocí lineárního matematického modelu s konečným počtem stupňů volnosti. Model je popsán systémem vzájemně vázaných lineárních diferenciálních rovnic druhého řádu. Z jejich řešení vyplynou mimo jiné také vlastní čísla (vlastní frekvence) a vlastní vektory, tj. tvary 23
kmitání příslušné jednotlivým vlastním frekvencím, nazývané také módy. V přenosových funkcí vyšetřovaného mechanického systému odpovídá každému jeho stupni volnosti jedno rezonanční maximum (Píštěk 1993). Modální analýzu můžeme provádět buď v teoretické rovině jako výpočtovou anebo v rovině praktické provedením experimentálního měření reálné struktury. Hodnoty vypočtené jsou často porovnávány s hodnotami naměřenými, avšak v technické praxi se jen zřídka shodují. Při matematickém modelování kmitavého chování jsou sestaveny pohybové rovnice a výsledné vlastnosti modální analýzy vypočteny užitím tzv. modální transformace. Tato transformace spočívá v náhradě soustavy vzájemně vázaných homogenních diferenciálních rovnic soustavou nezávislých, izolovaně řešitelných homogenních diferenciálních rovnic. Složité výpočty soustavy pohybových rovnic je v mnohých případech nutné podrobit matematickému zjednodušení, které může vést k možným chybám. Teoretická modální analýza se stává nenahraditelnou v případě neexistence reálné soustavy, ale pouze softwarového modelu (Dvořák 2011). Při experimentální modální analýze se určují vlastní frekvence, vlastní tvary kmitu a modální útlum dané soustavy pomocí experimentálně naměřené vhodné množiny dat frekvenční odezvové funkce H (ω). Tyto funkce bývají také často nazývány jako kmitočtové charakteristiky. Jen korektně provedená experimentální modální analýza nejpřesněji určí skutečné modální vlastnosti (Dvořák 2011). Snímání kmitů se provádí buď kontaktně pomocí mechanických snímačů (např. akcelerometrů), nebo bezkontaktně laserovým paprskem. Použití mechanických snímačů negativně ovlivňuje registrované kmity a u vzácných nástrojů vzhledem k nutnosti fixace polohy snímače např. lepením nepřipadá v úvahu. Přesto však kombinace poklepového kladívka a akcelerometru je používána při klasické modální analýze, která na základě výpočtu matice přenosových funkcí mezi body stanovené sítě modeluje dynamické chování např. rezonanční desky nebo celého nástroje (Syrový 2008). 24
3. Cíl práce Hlavním cílem této práce je studovat vlivy různých faktorů na vlastní frekvence desky a vlastní tvary kmitání, zejména vliv materiálové skladby a následně porovnat dva typy konstrukce rezonanční desky akustické kytary, a to desku z masivního dřeva a desku překližovanou. Za pomoci softwaru ANSYS budou vytvořeny konečně-prvkové modely desek, které budou následně podrobeny dynamickým analýzám ve frekvenční oblasti. Ze získaných výsledků bude provedena optimalizace překližované desky. Snahou je navrhnout takovou překližovanou desku, která se bude co nejvíce podobat svými akustickými vlastnostmi desce masivní. 25
4. Metodika Hlavní úkol spočívá ve vytvoření numerického modelu, jenž věrohodně napodobí reálný objekt. S důvodu vysokých nároků na výpočet je potřeba model zjednodušit, ne však natolik, aby vypočtené hodnoty byly příliš zkreslené. Pro navržení numerického modelu je využit americký počítačový software ANSYS ve verzi 13.0. Jedná se o program obecně nelineární, pracující na principu metody konečných prvků. Vytvoření modelu a jeho vyřešení probíhá parametricky ve vnitřním skriptovacím jazyku APDL (Ansys Parametric Design Language). Parametrizování je velmi přínosné, neboť značně zkracuje čas řešení např. při změnách konstant či podmínek výpočtu. Řešení úlohy v programu ANSYS lze rozčlenit do tří kroků, a to preprocessing, solution a postprocessing. První část (preprocessing) zahrnuje vytvoření geometrie modelu, definování materiálových konstant a konečně-prvkovou diskretizaci. Ve druhé části (solution), po definování okrajových podmínek, probíhá vlastní výpočet. Poslední třetí část (postprocessing) má za úkol vypočtené výsledky číselně či graficky interpretovat. 4.1. Tvorba geometrie modelu V programu ANSYS lze geometrii vytvořit několika způsoby, volba vhodného způsobu závisí zejména na složitosti objektu. Objekty je možno vytvořit jednak pomocí implementovaného nástroje Workbench, tak i metodou importu geometrie vytvořené v jiném patřičném grafickém softwaru (např. v CAD systému). S důvodu optimalizace je však vhodné využít při tvorbě geometrie vnitřní skriptovací jazyk APDL. Díky parametrizaci je možno zkoumat vlivy předvolených hodnot na výsledné vlastnosti objektu, v našem konkrétním případu vliv parametrů rezonanční desky na její vlastní frekvence a tvary kmitání. Při návrhu geometrie modelu rezonanční desky kytary se vycházelo z konstrukčního výkresu kytary vyrobenou firmou C.F. Martin & Company. Tento výkres je volně dostupný z webové stránky (Grellier 2007). Jedná se o typ Orchestra Model (OM-28), jehož rezonanční deska je vyrobena ze smrku o tloušťce 2,8 mm. Jako první bylo vytvořeno 16 bodů (keypointů) tvořící obrys jedné poloviny desky. Jednotlivé body byly spojeny křivkou (splinou) a konce křivky následně propojeny 26
přímkou. Z ohraničené oblasti byla vytvořena plocha (area), která se pomocí funkce zrcadlení zdvojila. Poté byly obě symetrické poloviny spojeny do jedné a celá plocha byla vytažena do požadované tloušťky desky. Tím byl vytvořen výsledný objem rezonanční desky. 4.2. Materiálový model Dřevo vykazuje různé vlastnosti v různých směrech, říkáme, že se jedná o materiál anizotropní. Za určitých podmínek lze uvažovat o dřevu jako o materiálu ortrotopním. Jedná se o určité zjednodušení, kdy rozeznáváme tři směry dřeva (podélný, tangenciální a radiální) a těmto směrům přiřazujeme hodnoty vlastností. Při zanedbání plastického chování materiálu není potřeba brát v zřetel změnu vlastností vlivem času, změn vlhkosti a teplot apod. S takovým model je možno v oblasti pružných deformací pracovat jako s modelem lineárně elastickým. Mezi základní materiálové charakteristiky potřebné k výpočtu patří hustota, Poissonova čísla, normálové moduly pružnosti (Youngovy) a smykové moduly pružnosti. Dle Kohnke (1998) se Poissonovy čísla dají rozlišit na tzv. malá (minor) a velká (major). Rozborem této problematiky se podrobněji zabývá ve své práci Tippner (2010). Z jeho výsledků vyplývá, že na výsledky modální analýzy v programu ANSYS nemá volba sady Poissonových čísel velký vliv. V této práci jsou použita spolehlivější malá (minor) Poissonova čísla. Materiálové charakteristiky dřeva smrku ztepilého (Picea abies L. Karst.) a zeravu obrovského (Thuja plicata L.) byly čerpány z publikace Wood handbook: wood as an engineering material, 2010ˮ (viz. tab. 2). Program ANSYS pracuje defaultně v elementovém souřadném systému globálním (kartézském). Za účelem odklonu anatomických os masivní rezonanční desky vzhledem k osám geometrických je potřeba natočit pracovní rovinu (WP Working Plane) a zavést nový lokální souřadný systém (CSYS). Odklon vláken je zajištěn síťováním modelu v souřadném systému prvku (ESYS) odkazující na nově vytvořený CSYS (Tippner 2010). U rezonanční desky zhotovené z vrstveného překližovaného materiálu se odklon vláken jednotlivých vrstev (layers) provádí za pomoci elementu SOLID186, který umožňuje změnit homogenní struktura na strukturu vrstvenou. Každé vrstvě je následně přiřazena vlastní tloušťka, typ elementu a odklon anatomických os. 27
Tab. 2: Materiálové charakteristiky vybraných dřev (Kretschmann et al. 2010) smrk ztepilý zerav obrovský MOE L [MPa] 13 650 7 700 MOE R [MPa] 789 624 MOE T [MPa] 289 424 µ LR [ ] 0,023 0,378 µ LT [ ] 0,014 0,296 µ RT [ ] 0,687 0,484 G LR [MPa] 573 670 G LT [MPa] 474 662 G RT [MPa] 53 39 ρ [kg.m -3 ] 445 320 4.3. Konečně-prvková diskretizace modelu Síťování (meshing) je postup diskretizace modelu na konečný počet malých prvků s množinou parametrů. Program ANSYS nabízí rozložení objemů (3D objektů) do sítě šestistěnů (hexahedral), popřípadě do sítě čtyřstěnů (tetrahedral). Dále se rozlišují postupy volného (free mash) a mapovaného (mapped mesh) síťování, eventuálně síťování taženého (sweep mesh). S důvodu volby vrstveného elementu SOLID186 (viz. další podkapitola), bylo nutnost aplikovat rozsíťování sweep mesh, tedy síťování tažené. Prvky sítě jsou specifikovány délkou hrany, tedy vzdáleností mezi uzly ve vrcholech prvku. Tato vzdálenost je přímo úměrná podrobnějšímu resp. přesnějšímu popisu chování a nepřímo úměrná náročností na výpočet (delší potřebný čas). Délka hrany byla parametrizací stanovena na trojnásobek tloušťky desky. 28
4.3.1. Použité typy elementů Výběr vhodného typu elementu je ovlivněn zejména tvarem (dimenzí) modelu a fyzikální oblastí. Podle dimenze se elementy dělí na jednorozměrné (1D), dvourozměrné (2D) a třírozměrné (3D). Pro rezonanční desku byl v programu ANSYS vybrán 3D element s názvem SOLID186. Obr. 12: SOLID186 vrstvená struktura Jedná se o element tvaru šestistěnu s dvaceti uzly, pro každý uzel platí tři stupně volnosti (posunutí ve směru osy X, Y a Z). Důvodem volby právě tohoto elementu je možnost jeho změny ve vrstvený a tím možnost imitovat jednotlivé vrstvy překližované desky. Program ANSYS nabízí u tohoto elementu nastavení počtu vrstev, jejich tloušťky, ke každé vrstvě je možno přiřadit vlastní materiál a orientaci (směr) anatomické osy. 4.4. Definování okrajových podmínek K okrajovým podmínkám se řadí ukotvení modelu tj. omezení stupňů volnosti posunutí. V práci byl zkoumán vliv ukotvení masivní a překližované desky na vlastní frekvence, avšak pro vlastní vypočet modální analýzy není takové ukotvení třeba. Omezení stupňů volnosti dochází při obvodu rezonanční desky, případně ve styku žebrování a desky. 29
4.5. Výpočet Pro zhodnocení dynamických vlastností rezonanční desky kytary byla provedena modální netlumená analýza vypočtená algoritmem block Lanczos. Tato analýza nám dává možnost nastavit počet požadovaných výstupních vlastních frekvencí a mezní (maximální a minimální) hodnoty frekvenčního pásma, ve kterém jsou frekvence hledány. Výstupem jsou zjištěné vlastní frekvence a vlastní tvary volného kmitání. Pro potřeby této práce bylo vybráno prvních šest vlastních frekvencí (módů), rozsah frekvencí byl omezen od 10 do 1000 Hz. 30
5. Výsledky a diskuze 5.1. Vliv velikosti prvku sítě na frekvenci Velikost prvku sítě, jinak řečeno hustota sítě, nám ovlivňuje vlastní frekvence desky. Tento vliv není zdaleka tak bezvýznamný, jak se poněkud zdá a je potřeba jej v jistých případech s opatrností hodnotit. Velikost sítě je nepřímo úměrná času rozsíťováníˮ, tedy celkovému času výpočtu. Se snižující se velikostí sítě se čas výpočtu prodlužuje, nicméně výsledky poté dosahují vyšších přesností. Pro srovnání byla zvolena smrková rezonanční deska překližovaná, celkové tloušťky 3,3 mm, třívrstvá, s odklonem vláken dýh 0 _90 _0. K porovnání přesnosti měření je uváděna průměrná relativní odchylka, určená podílem průměrné odchylky a aritmetického průměru z naměřených hodnot. Bylo vybráno celkem jedenáct velikostí sítě. Hodnoty frekvencí 1., 2., 4. a 6. módu udává tab. 3. U prvních šesti zjišťovaných módů nepřekročila průměrná relativní odchylka hodnotu 3,27 %. Rozdíl mezi nejmenší absolutní hodnotou frekvence a největší činí u prvního módu 4,5 Hz, u módu šestého již 14,2 Hz. Tab. 3: Vliv velikosti sítě na 1., 2., 4. a 6. vlastní frekvenci velikost sítě [mm] frekv. [Hz] 1. mód 2. mód 4. mód 6. mód odchylka frekv. [Hz] odchylka frekv. [Hz] odchylka frekv. [Hz] odchylka 3,0 37,8 2,9 47,7-2,3 107,4-0,7 203,7 9,9 4,5 35,1 0,2 46,8-3,2 106,0-2,2 195,5 1,7 6,0 33,3-1,6 50,7 0,7 108,1-0,1 189,5-4,3 7,5 34,3-0,6 48,3-1,7 106,0-2,2 195,5 1,7 9,0 34,4-0,5 51,0 1,0 108,6 0,4 191,4-2,4 10,5 34,6-0,3 49,8-0,2 109,7 1,5 190,3-3,5 12,0 34,4-0,5 50,7 0,7 108,0-0,2 192,4-1,4 13,5 34,8-0,2 49,9-0,1 107,9-0,3 194,7 0,9 15,0 33,6-1,3 54,5 4,5 109,7 1,6 189,9-3,9 16,5 34,8-0,1 52,1 2,1 109,3 1,1 196,2 2,4 18,0 36,7 1,8 48,6-1,4 109,3 1,1 192,7-1,1 průměr 34,9 0,9 50,0 1,6 108,2 1,0 193,8 3,0 průměrná rel. odchylka 2,57 % 3,27 % 0,96 % 1,56 % 31
250 200 frekvence [Hz] 150 100 50 0 3,0 4,5 6,0 7,5 9,0 10,5 12,0 13,5 15,0 16,5 18,0 1. mód 2. mód 3. mód 4. mód 5. mód 6. mód velikost prvku sítě [mm] Obr. 13: Vliv velikosti prvku sítě na frekvenci desky Pro další výpočty byla optimální velikost prvku sítě volena jako trojnásobek tloušťky desky, a to pomocí předdefinovaného parametru. 32
5.2. Vliv ukotvení desky na frekvenci Byl sledován rozdíl ukotvené a volné desky, a to jak masivní, tak i překližované na výsledné vlastní frekvence. Ukotvení, čili omezení stupňů volnosti, bylo použito na boční plochu po celém obvodu desky. Zjištěné hodnoty jsou zobrazeny na obr. 14 a v tab. 4. Z grafu je patrný jasný rozdíl mezi ukotvenou a překližovanou deskou, konkrétně se jedná o výrazné zvýšení frekvencí, v případě že byla deska po obvodu ukotvena. To je dáno zvýšením tuhosti soustavy jako celku. U ukotvené desky je rovněž zřejmé prudší tempo růstu hodnot frekvence. 400 350 300 frekvence [Hz] 250 200 150 100 50 ukotvená_překližka ukotvená_masiv volná_překližka volná_masiv 0 1 2 3 4 5 6 mód [-] Obr. 14: Vliv ukotvení na masivní a překližovanou desku Tab. 4: Hodnoty prvních šesti frekvencí volné a ukotvené desky frekvence [Hz] mód [-] volná_masiv volná_překližka ukotvená_masiv ukotvená_překližka 1 28,1 33,5 103,9 101,9 2 40,6 52,3 185,3 176,1 3 66,9 95,4 232,7 208,9 4 84,5 106,5 286,1 255,0 5 93,7 149,2 291,9 332,6 6 103,1 187,7 351,6 374,0 33
Tvary kmitání prvních třech módů jsou zobrazeny na obr. 15. U prvního módu nejsou ještě patrné rozdíly ve tvarech, u dalších je rozdíl již zřejmý. 1. mód 2. mód 3. mód volná_masiv_28,1 Hz volná_masiv_40,6 Hz volná_masiv_66,9 Hz volná_překližka_33,5 Hz volná_překližka_52,3 Hz volná_překližka_95,4 Hz ukotvená_masiv_103,9 Hz ukotvená_masiv_185,3 Hz ukotvená_masiv_232,7 Hz ukotvená_překližka_101,9 Hz ukotvená_překližka_176,1 Hz ukotvená_překližka_208,9 Hz Obr. 15: Vlastní tvary kmitání první třech módů ukotvené a volné masivní a překližované desky 34
5.3. Vliv druhu dřeva na frekvenci Jelikož se k výrobě rezonančních desek akustických kytar používá v největší míře dřevo smrku ztepilého (Picea abies L. Karst.) a zeravu obrovského (Thuja plicata L.), byly právě tyto dva druhy mezi sebou porovnány. Materiálové konstanty obou dřev použité k analýze jsou uvedeny v kapitole 4.2. Materiálový model. Dřevo zeravu obecně vykazuje nižší hodnotu hustoty, čili byly očekávány vyšší hodnoty vlastních frekvencí zeravových desek, oproti deskám ze smrku. Významnost jednotlivých vlastních frekvencí je vyvozena z tzv. participačního faktoru, respektive podílu vykmitané hmoty při konkrétním tvaru (Kohnke 1998). Pro srovnání byla zvolena smrková rezonanční deska překližovaná, celkové tloušťky 3,3 mm, třívrstvá, s odklonem vláken dýh 0 _90 _0 a deska masivní, rovněž tloušťky 3,3 mm a odklonem anatomické osy přířezů o 5. Byly porovnány tvary kmitání masivní desky smrkové a zeravové v prvních šesti módech (obr. 16). Změny jsou patrné v prvních třech módech, zbylé módy vykazují přibližně shodné tvary. 1. mód 2. mód 3. mód smrk_masiv 28,1 Hz 40,6 Hz 66,9 Hz zerav _masiv 34,4 Hz 42,5 Hz 63,9 Hz Obr. 16: Vlastní tvary kmitání masivní desky smrkové a zeravové v 1., 2. a 3. módu 35
Zjištěné hodnoty frekvencí a participačních faktorů jsou pro masivní desku uvedeny na obr. 17 a tab. 5, pro desku překližovanou na obr. 18 a tab. 6. Tab. 5: Hodnoty prvních šesti vlastních frekvencí a participačních faktorů masivní desky mód [-] freq_smrk_masiv [Hz] particip_smrk_masiv [-] freq_zerav_masiv [Hz] particip_zerav _masiv [-] 1 28,1 3,94E-11 34,4 1,70E-11 2 40,6 5,47E-11 42,5 6,58E-11 3 66,9 6,43E-12 63,9 6,27E-12 4 84,5 4,52E-12 91,8 5,31E-12 5 93,7 3,19E-12 97,0 1,01E-13 6 103,1 4,15E-12 110,6 2,08E-12 120 7,00E-11 frekvence [Hz] 100 80 60 40 20 6,00E-11 5,00E-11 4,00E-11 3,00E-11 2,00E-11 1,00E-11 participační faktor - směr Z [-] 0 1 2 3 4 5 6 mód [-] 0,00E+00 freq_smrk_masiv particip_smrk_masiv freq_zerav_masiv particip_zerav_masiv Obr. 17: Porovnání prvních šesti vlastních frekvencí a participačních faktorů masivní desky U obou typů desek je obdobný trend růstu vlastních frekvencí. U desky masivní jsou kromě třetího módu hodnoty frekvencí u dřeva zeravu vyšší než u dřeva smrku, to průměrně o 5,3 Hz. Participační faktor ve směru Z (kolmo na plochu desky) je u smrkové masivní desky obecně vyšší než u desky zeravové, významné se jeví první dva módy, kdy lze říci, že deska kmitá největší amplitudou. 36
Tab. 6: Hodnoty prvních šesti vlastních frekvencí a participačních faktorů překližované desky mód [-] freq_smrk překližka [Hz] particip_smrk překližka [-] freq_zerav překližka [Hz] particip_zerav překližka [-] 1 33,5 3,19E-11 38,6 5,09E-11 2 52,3 4,38E-11 51,1 1,52E-11 3 95,4 2,21E-12 94,1 9,13E-12 4 106,5 2,70E-12 108,4 4,30E-12 5 149,2 2,21E-12 144,4 2,13E-13 6 187,7 3,85E-14 188,9 2,34E-13 200 6,00E-11 frekvence [Hz] 180 160 140 120 100 80 60 40 20 5,00E-11 4,00E-11 3,00E-11 2,00E-11 1,00E-11 participační faktor - směr Z [-] 0 0,00E+00 1 2 3 4 5 6 mód [-] freq_smrk_překližka particip_smrk_překližka freq_zerav_překližka particip_zerav_překližka Obr. 18: Porovnání prvních šesti vlastních frekvencí a participačních faktorů překližované desky U překližované desky je rozdíl ve vlastních frekvencí nevýznamný, průměr rozdílů mezi frekvencemi je pouze 0,12 Hz. Druh materiál v tomto případě nehraje takovou roli jako u desky masivní. Změna participačního faktoru je opět nejvíce evidentní v prvním a druhém módě. 37
2. mód 5. mód 6. mód smrk_překližka 52,3 Hz 149,2 Hz 187,7 Hz zerav_překližka 51,1 Hz 144,4 Hz 188,9 Hz Obr. 19: Vlastní tvary kmitání překližované desky smrkové a zeravové v 2., 5. a 6. módě Tvary kmitání smrkové a zeravové překližované desky jsou odlišné v 2., 5., a 6. módě (obr. 19). Ostatní zjišťované módy mají změny pouze nepatrné. 5.4. Vliv tloušťky desky na frekvenci Ke stanovení vlivu tloušťky desky na její výsledné vlastní frekvence bylo vybráno pět druhů tloušťek (1,2; 2,4; 3,6; 4,8; 6,0 mm). Krajní hodnoty tloušťek jsou pouze teoretické, v praxi se nejčastěji setkáváme s tloušťkou kolem 2,8 mm (tj. 0,11 palců). Bylo provedeno zhodnocení masivní desky s odklonem anatomické osy přířezů o 5 a třívrstvé překližované desky s odklonem vláken dýh 0 _90 _0. U obou desek byl použit materiál dřevo smrku. Výsledky jsou vyobrazeny na obr. 20, obr. 21 a vypočtené hodnoty v tab. 7, tab. 8. Rostoucí tloušťka desky vede ke zvýšení vlastních frekvencí, a to jak u masivní desky, tak i u překližované. Se zvyšováním tloušťky dochází ke snížení schopnosti desky kmitat. Důvodem je větší hmotnost (resp. tuhost) desky. S každým dalším módem vykazuje nárust frekvencí strmější průběh. Průměrný rozdíl mezi frekvencemi prvního módu je u masivní desky 10,1 Hz, u šestého módu to 38
je již 37,2 Hz. Průměrný rozdíl mezi frekvencemi prvního módu u desky překližované je 11,9 Hz, u šestého módu 66,0 Hz. Vlastní tvary zůstávají pro všechny tloušťky bez patrných změn. 200 150 frekvence [Hz] 100 50 6. mód 5. mód 4. mód 3. mód 2. mód 1. mód 0 1,2 2,4 3,6 4,8 6,0 tloušťka masivní desky [mm] Obr. 20: Porovnání pěti různých tloušťek masivní desky a jejich vliv na prvních šest vlastních frekvencí Tab. 7: Hodnoty frekvencí prvních šesti módů masivní desky u šesti různých tloušťek frekvence [Hz] mód [-] 1,2 mm 2,4 mm 3,6 mm 4,8 mm 6,0 mm 1 10,3 20,5 30,6 40,7 50,6 2 14,8 29,6 44,3 58,9 73,5 3 24,6 48,9 72,8 96,2 119,1 4 31,0 61,7 92,0 121,8 151,1 5 34,7 68,7 101,9 134,2 165,6 6 37,6 75,1 112,4 149,5 186,3 39