VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY DIPLOMOVÁ PRÁCE. 2006 Kateřina Slámová

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY DIPLOMOVÁ PRÁCE 2006 Kateřina Slámová

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Hlavní specializace: Matematické metody v ekonomii Název diplomové práce SIMULACE STOCHASTICKÝCH PROCESŮ HROMADNÉ OBSLUHY Diplomant: Vedoucí diplomové práce: Kateřina Slámová Prof. Ing. Josef Jablonský, CSc. -2-

Prohlášení: Prohlašuji, že jsem diplomovou práci na téma Simulace stochastických procesů hromadné obsluhy zpracovala samostatně. Veškerou použitou literaturu a další podkladové materiály uvádím v seznamu použité literatury. Praha 3.1.2007 Kateřina Slámová -3-

Poděkování: Upřímně děkuji panu Prof. Ing. Josefovi Jablonskému, CSc., vedoucímu práce, za odborné vedení a náměty při zpracovávání této práce. Dále mé poděkování patří Ing. Janu Zouharovi za cenné rady a připomínky. -4-

Obsah 1 Úvod...6 2 Seznámení s problematikou a definice základních pojmů...8 2.1 Historie teorie hromadné obsluhy...8 2.2 Oblasti aplikace teorie hromadné obsluhy...9 2.3 Popis a základní charakteristiky MHO...10 2.4 Použití modelů hromadné obsluhy...15 2.5 Klasifikace modelů hromadné obsluhy...15 2.6 Model M/M/S/ /FIFO...17 2.7 Optimalizace systému hromadné obsluhy...20 3 Simulace...21 3.1 Vymezení základních pojmů...23 3.2 Použití simulace...24 3.3 Přínosy simulace vs. negativa...24 3.4 Metoda Monte Carlo...25 3.5 Dynamická simulace...26 3.6 Širší pojetí simulace...26 3.7 Perspektivy dalšího vývoje...27 4 Případová studie...28 4.1 O firmě...28 4.2 Řešený problém...29 4.3 Příprava a zpracování dat pro model...29 5 Navrhovaný postup řešení...36 5.1 Simul8...36 5.2 Model...38 5.3 Experimentování s modelem...47 5.4 Výsledky experimentu...51 6 Závěr...52 Literatura...54 Internetové zdroje...54 Přílohy...55-5-

1 Úvod Každý z nás nejednou v životě zažil únavné čekání na obsluhu. Bohužel se tento fenomén rozšiřuje a stává se záležitostí každodenního života. Ve frontě čekáme při dopravní zácpě, na poště, v supermarketu, na letišti při čekání na odbavení a podobně. My jako zákazníci obvykle toto čekání nevyhledáváme. Manažeři těchto zařízení nás také nevidí rádi čekat, jelikož je to může stát ztrátu zákazníků a tím jejich podnikání. Proč tedy stále čekáme? Odpověď je vcelku jednoduchá. V těchto zařízeních existuje větší poptávka po uspokojení služeb než je toto zařízení schopno uspokojit. Proč je tomu tak? Důvodů může být více. Uveďme například nedostatek obsluhujícího personálu, zapojení dodatečné obsluhující jednotky se z ekonomického hlediska nevyplatí, případně zde může být poskytnuto pouze omezené množství služeb. Obecně mohou být tato omezení redukována s vynaložením určitých nákladů. Abychom tedy věděli v jakém množství jsou služby k dispozici, je třeba si odpovědět na otázky typu: Jak dlouho musí zákazník čekat? a Kolik zákazníků se seskupí ve frontě?. Teorie front se pokouší, a v mnoha případech úspěšně, dát odpovědi na tyto otázky skrze detailní matematické analýzy. Tato práce umožňuje nahlédnout do hlubší problematiky teorie hromadné obsluhy, jak je tato disciplína operačního výzkumu odborně nazývána, poukazuje na některé problémy s ní spojené a navrhuje jejich řešení. Jedním z cílů této práce je shrnout a utřídit teoretické poznatky z této oblasti, tj. jak z oblasti stochastických systémů hromadné obsluhy jako takových, tak z oblasti druhé, jíž je nástroj pro modelování těchto procesů simulace. Simulace je nejčastěji používanou metodou operačního výzkumu v podnikové praxi. Pomocí tohoto nástroje je možné analyzovat a zlepšovat řízení složitých podnikových procesů. Přitom základní myšlenkou simulace je napodobení chování sledovaného systému. Touto teoretickou částí se zabývají kapitoly 2 a 3. Druhá etapa práce, konkrétně kapitola 4, je zaměřena na aplikaci teoretických poznatků do praxe. Pomocí simulačního softwaru Simul8 je zde modelován zjednodušený případ systému hromadné obsluhy. Simul8 je jedním z nejrozšířenějších softwarových produktů pro dynamickou diskrétní simulaci podnikových procesů. Pomocí programu -6-

SIMUL8 lze snadno vytvořit přesné a flexibilní simulace podnikových, výrobních nebo logistických procesů či systémů. Pro přípravu dat simulovaného model je v práci využit MS Excel a jeho doplněk Crystal Ball, který pomáhá jednoduchou cestou zpracovat prvotní data pro model, jako je určení pravděpodobnostního rozdělení dat a jeho parametry. Obecně je možné řešit a zkoumat jednodušší systémy analytickou cestou. Pro složitější systémy, kterým náš, i když zjednodušený příklad, bezpochyby je, je třeba volit jiné techniky, abychom byli schopni dokonale prozkoumat daný systém, odhalit jeho úskalí, ale i navrhnout a prozkoumat řešení nedostatků ještě předtím, než investujeme do změny systému. Proto je do simulační části zařazeno i experimentování s původním a pozměněným modelem a porovnání jednotlivých výsledků simulace, ze kterých následně můžeme usuzovat na vhodnost či nevhodnost toho kterého modelu. -7-

2 Seznámení s problematikou a definice základních pojmů Teorie hromadné obsluhy zkoumá systémy, ve kterých dochází k realizaci obsluhy požadavků přicházejících do systému hromadné obsluhy. Při zkoumání objektů pomocí modelů hromadné obsluhy (MHO) je často cílem měření vzájemných vazeb mezi základními ukazateli charakterizujícími kvalitu a efektivnost systému hromadné obsluhy (SHO) a nalezení optimálního provozního režimu vzhledem ke zvolenému kritériu. Optimalizací provozního režimu systému hromadné obsluhy lze zpravidla podstatně snížit možnost vzniku front, popř. snížit celkové ztráty z důvodu čekání. Je třeba se zabývat i ekonomickou stránkou problému. Snížení pravděpodobnosti vzniku front je obvykle spojeno s rozšířením kapacity obslužného zařízení. Proto je nutno stanovit optimální vztah mezi ztrátami z čekání požadavků na obsluhu a mezi náklady na zvýšení kapacity obsluhy. Vyčíslení ztrát či nákladů vznikajících v závislosti na provozních režimech zkoumaného systému obsluhy není v řadě případů jednoduchou záležitostí. 2.1 Historie teorie hromadné obsluhy Teorie hromadné obsluhy byla vyvinuta za účelem předvídat chování systémů poskytující určité služby, tak aby docházelo k jejich zkvalitňování. Průkopníkem v této oblasti byl dánský matematik Agner Krarup Erlang (1878-1929). Byl prvním, kdo se vědecky zabýval problematikou telefonních sítí. Roku 1909 publikoval své první dílo The Theory of Probabilities and Telephone Conversation (Teorie pravděpodobnosti a telefonní konverzace). Zjistil, že telefonní systém je charakterizován Poissonovým rozdělením příchozích hovorů. V roce 1917 Erlang vydal svou nejvýznamnější práci Solution of some Problems in the Theory of Probabilities of Significance in Automatic Telephone Exchange (Řešení některých problémů v teorii pravděpodobnosti významných v automatické telefonní výměně). Dílo obsahuje vzorec pro ztrátové a čekací časy, který je velmi známý v teorii telefonních ústředen. Známý je tzv. Erlangův vzorec pro pravděpodobnost ztráty, který určuje poměr volajících, kteří se snaží dovolat v čase, kdy je síť používána (obsazená). -8-

Další významnou osobností této oblasti byl David George Kendall, který se zasloužil o značení klasifikace modelů hromadné obsluhy. V roce 1953 zavedl klasifikaci typu A/B/C, vyjadřující základní charakteristiky modelu. Toto značení se používá dodnes. Důležitou událostí pro oblast THO bylo také vyslovení a dokázání Littleovy formule (John Little) v roce 1969. Dalšími mezníky byly rok 1986, kdy bylo publikováno první číslo odborného časopisu The Journal of Queueing System, a rok 1995, ve kterém se konalo první mezinárodní sympozium THO. Z dalších významných jmen vztahujících se k THO je nutné zmínit osobnosti jako Tore Olaus Engset, Conny Palm, Thornton Fry, Edward Charles Molina, Felix Pollaczek, Andrey Kolmogorov, Alexander Khinchin. 2.2 Oblasti aplikace teorie hromadné obsluhy Běžných oblastí aplikace teorie hromadné obsluhy existuje mnoho. Z nejznámějších je nutné zmínit vůbec první oblast, kde se tato teorie začala využívat, a tou je telefonní konverzace. První práce na téma reálné teorie front vznikla v roce 1909 díky A.K.Erlangovi. Erlang pracoval v kodaňské telefonní společnosti. Zabýval se otázkou optimálního počtu telefonních linek tak, aby ústředna zvládla frekvenci příchozích hovorů. V každém modelu front je třeba definovat co se míní příchody, obsluhou, frontou. Pro telefonní hovory to nemusí být na první pohled zřejmé. Při bližším pohledu ale zjistíme, že příchody jsou vlastně příchozí hovory a interval mezi nimi popisuje vstupní proud požadavků. Délka hovoru pak určuje dobu obsluhy. Frekvenci hovorů může být obtížné měřit, jelikož se může ozvat obsazovací tón a zákazník se tak vůbec nespojí s ústřednou. Kromě vyspělé techniky se tento problém řeší procentuálním odhadem neúspěšných zákazníků. Obsluhou jsou zde samotné telefonní linky a frontou soubor nedokončených hovorů. Telefonování představovalo jedinou oblast aplikace až do 50. let 20. století, kdy se začaly objevovat mnohé další. Jen pro ilustraci druhou zajímavou oblastí je letištní provoz, kdy sledujeme využití runwaye pro přistání a vzlétání letadel. Zdá se, že u tohoto problému je zřejmější, co představuje základní součásti a charakteristiky systému pro aplikaci některých technik THO. Například je jasné, že zákazníky jsou zde letadla, obsluhou rozumíme runway a frontou jsou stroje čekající na povolení k přistání či odletu. Schopnost -9-

analytika určit tyto a další základní charakteristiky modelu je základní podmínkou před řešením jakéhokoliv problému teorie front. Oblastí aplikace THO existuje nespočetně mnoho, většina z nich byla dobře zdokumentována v odborné literatuře týkající se pravděpodobnosti, operačního výzkumu, managementu. Dalšími oblastmi využívajícími poznatky teorie front jsou obsluha automatických stavů, platba mýtného, stanoviště taxi, nakládání a vykládání zásob, chod nemocnice, výrobní toky, vojenské aplikace, aplikace na poli počítačů a jiné. 2.3 Popis a základní charakteristiky MHO Systém hromadné obsluhy je základní teoretický model pro popis obslužných procesů. Teorie SHO se zabývá analýzou a návrhem systémů, jejichž náplní je opakovaná činnost uspokojující určité potřeby dané množiny objektů. Mezi základní části modelu SHO patří fronta a obslužný systém. Do fronty se požadavky řadí, je-li systém zaneprázdněn obsluhou jiného, dříve příchozího. Kanál obsluhy poskytuje obsluhu požadavkům přicházejících ve vstupním toku nebo čekajícím ve frontě. Po ukončení obsluhy trvající nějakou dobu se kanál uvolní a realizovaná položka odchází výstupním tokem ze systému hromadné obsluhy. SHO je možné zjednodušeně znázornit následovně: -10-

čekací prostor obslužný systém fronta odchod ze systému vstupní proud požadavků zpracování požadavku systém obsluhy proces hromadné obsluhy Obrázek 1: Schéma MHO Vstupní proud požadavků Vstupní tok je tvořen skupinou lidí nebo jinými nositeli požadavků, kteří vstupují do systému s přáním být obsloužen. Počet požadavků může být konečný (uzavřený systém) nebo nekonečný (otevřený systém). V případě nekonečného zdroje pak na počet potenciálních zákazníků nemá vliv počet zákazníků, kteří jsou obsluhováni nebo čekají. Vstupní tok charakterizuje zejména časový odstup mezi příchody jednotlivých žádostí. Jestliže je tento odstup konstantní hovoříme o deterministickém (regulárním) toku, jestliže je náhodný jde o stochastický tok. Vstupní proud lze obecně považovat za stochastický proces, jelikož požadavky přicházejí do systému obsluhy nejčastěji v náhodných okamžicích, tzn. že délky intervalů mezi jejich příchody jsou hodnoty spojitých náhodných veličin. Nejčastěji se jedná o systémy s Poissonovým vstupním proudem neboli exponenciální systémy. V praxi je ale možné také se setkat s Erlangovým rozdělením, logaritmicko-normálním a dalšími rozděleními. Řešení takovýchto modelů s jiným vstupním proudem požadavků než Poissonovým je však analyticky obtížnější. Počet žádostí za jednotku času udává intenzitu vstupu (λ). Příchody požadavků můžeme popsat i -11-

pomocí intervalu mezi příchody (X N ), což je čas mezi dvěma po sobě následujícími příchody. U vstupního toku nás zajímá také jeho stacionarita, ordinárnost a nezávislost. Stacionárním (homogenním) tokem je takový, jehož charakteristiky se s časem nemění. Ordinární je tok, u něhož se nevyskytne v jednom okamžiku více než jedna žádost. Nezávislost přírůstku toku úzce souvisí s počtem zdrojů a dobou trvání obsluhy. Čím je počet zdrojů požadavků menší, nebo doba trvání obsluhy delší, tím je tok více závislý na počtu současně realizovaných požadavků. Pro dostatečně velkou skupinu zdrojů požadavků a krátkou dobu jejich obsluhy lze považovat tok za nezávislý. Komplikace na vstupu mohou být způsobeny chováním zákazníků, kteří se rozhodují, zda vstoupit či nevstoupit do systému na základě délky fronty, rychlosti obsluhy atd. Doba trvání obsluhy Doba obsluhy je doba potřebná k obsloužení jednoho požadavku (T S ). Dobu obsluhy jednotlivých požadavků ovlivňuje řada náhodných faktorů, takže ji lze také pokládat za náhodnou veličinu. Jedná se tedy o střední hodnotu této náhodné veličiny. Rozdělení dob trvání obsluhy se obvykle řídí také exponenciálním zákonem rozdělení. Podobně náhodnou veličinou je intenzita obsluhy (µ), což je počet obsloužených jednotek za jednotku času. Disciplína čekání ve frontě Chování ve frontě se týká ochoty jednotek čekat ve frontě, případně pravidel pro výběr fronty, přecházení do jiné fronty apod. Systémy hromadné obsluhy se podle trpělivosti dělí na systémy bez čekání a systémy s čekáním. V prvním případě jsou jednotky netrpělivé a pokud není volný obslužný kanál v době jejich příchodu, rezignují a odcházejí neobslouženy. U systému s čekáním jednotka do systému vstoupí a buď trpělivě čeká a odchází ze systému až po dokončení obsluhy, nebo čeká alespoň určitou dobu, a teprve není-li během ní obsloužen, opouští systém. Někdy se jednotkám přiřazuje různě dlouhá míra netrpělivosti. Systémy s čekáním mohou mít jednak neomezenou délku fronty, kdy všechny požadavky přicházející do systému jsou ochotny čekat a jsou obslouženy. Naopak -12-

v systémech s omezenou kapacitou fronty (nebo i systému) není poskytnuta obsluha těm jednotkám, které přijdou do systému v době, kdy je kapacita fronty plně využita. Všem systémům hromadné obsluhy, kdy nejsou z různých důvodů obslouženy všechny přicházející požadavky, se někdy říká systémy se ztrátami. Jde o systémy s čekáním i bez čekání, ale s omezenou kapacitou nebo s netrpělivostí požadavků během čekání ve frontě. Režim fronty Režim nebo také řád fronty jsou pravidla, podle kterých jsou požadavky přijímány do obsluhy. Jde tedy o způsob fungování obslužných kanálů. Správně zvolený režim fronty je významný faktor ovlivňující efektivnost systému obsluhy. Prvním typem jsou systémy s pevně stanoveným pořadím neboli systémy s uspořádanou frontou. Mezi tyto patří FIFO (first in, first out) neboli podle pořadí vstupu do systému, a LIFO (last in, first out), tj. v obráceném pořadí příchodu do systému. Pokud není stanoveno pevné pořadí, jedná se o obsluhu s přihlédnutím k důležitosti nebo naléhavosti požadavku vyjádřením určité priority PRI (priority), nebo jsou požadavky přiřazovány k obsluze zcela náhodně bez předem daných pravidel SIRO (selection in random order), kdy mluvíme o systémech s neuspořádanou frontou. Dále rozlišujeme systémy s jednou frontou nebo s více frontami, kdy existuje pro každý obslužný kanál zvláštní fronta. V tomto případě je možno během čekání přecházet z jedné fronty do jiné. Počet a uspořádání obslužných linek (režim obsluhy) Obsluha může probíhat v jednom obslužném zařízení, kdy jde o systém s jednoduchou obsluhou neboli o jednokanálový systém obsluhy, nebo ve více homogenních či nehomogenních obslužných kanálech, pak hovoříme o systému s vícenásobnou obsluhou neboli o vícekanálovém systému obsluhy. Zvláštním případem je pak adaptabilní systém, ve kterém se počet míst v obsluze může měnit, např. úměrně počtu přicházejících požadavků. Uspořádání kanálů může být buď paralelní, kdy je vedle sebe několik homogenních linek poskytujících stejné služby, nebo sériové ( za sebou ), kdy požadavek musí projít postupně několik kanálů obsluhy. -13-

Omezený ZDROJ Neomezený Intenzita vstupu, intervaly mezi vstupy, střední hodnota, typ rozdělení Vstup Individuální Vstup v dávkách Okamžité odpadávání Nedokonalá informace o délce fronty Výběr nejvýhodnější fronty Přecházení do jiné fronty Hádky a konflikty Fronta nebo fronty čekajících Fronta/y Jednotka přidělena konkrétní lince obsluhy FIFO LIFO Vstup náhodným výběrem Vlastnosti front a čekajících Priority individuální Specializované fronty Limitovaná délka fronty Netrpěliví zákazníci Obslužné linky, rozdělení okamžiků zahájení obsluhy a dob trvání obsluhy Individuální obsluha Skupinová obsluha Obsluha Obslužné linky se stejnou nebo různou dobou obsluhy Variabilní počet linek Linky pro specifikované a nespecifikované operace Paralelně řazené Sériově řazené Kombinace paralelního a sériového uspořádání Výstup Intervaly mezi výstupy, typ rozdělení, vracející se zákazníci Obrázek 1: Struktura SHO -14-

2.4 Použití modelů hromadné obsluhy Modely hromadné obsluhy se používají pro řešení dvou základních typů problémů: Stanovení důležitých pracovních charakteristik systému na základě jeho matematického popisu. Pokud ovlivňují činnost systému náhodné vlivy, pak jsou charakteristiky náhodné veličiny. Většinou se spokojíme s odhady středních hodnot, případně rozptylů. Stanovení optimálních parametrů systému. Existuje-li určitá volnost ve struktuře systému (např. lze-li počet obslužných zařízení vedle sebe změnit) nebo je možné regulovat vstupní toky požadavků či měnit doby obsluh, pak lze uvažovat o optimalizaci činnosti systému. Přitom je možné optimalizaci provádět z řady mnohdy protichůdných hledisek. Například pro SHO je typická silná záporná korelace mezi dobami čekání ve frontách a využitím obslužných zařízení, a tak se zkrácení pobytu ve frontě obvykle projeví na snížení využití obslužných kanálů. 2.5 Klasifikace modelů hromadné obsluhy Podle základních charakteristik jsou MHO klasifikovány jednotným způsobem, který rozvinul D. G. Kendall. Zavedl původní trojmístnou klasifikaci, která byla později rozvinuta o tři další parametry. Obecně se používá posloupnost šesti symbolů A/B/C/D/E/F. Následující tabulka znázorňuje význam jednotlivých symbolů a možnosti jejich obsahu. -15-

Symbol Význam A Typ stochastického procesu popisujícího příchod zákazníků k obsluze Může obsahovat M-Poissonův proces vstupu, tj. exponenciální rozdělení intervalů mezi vstupy E k -Erlangovo rozdělení intervalů mezi vstupy požadavků D-deterministické rozdělení, tj. pravidelné vstupy požadavků G-obecný případ, jakékoliv rozdělení B Zákon rozdělení dob trvání obsluhy M-exponenciální rozdělení doby trvání obsluhy C D Počet paralelních zařízení obsluhy (kapacita obsluhy) Kapacita SHO, tj. počet míst v obsluze a ve frontě E k -Erlangovo rozdělení doby trvání obsluhy D-deterministické rozdělení, tj. konstantní doba obsluhy G-jakékoliv rozdělení trvání obsluhy 1, 2, (celé kladné číslo) 1, 2, (celé kladné číslo) E Počet zdrojů požadavků 1, 2, (celé kladné číslo) F Režim fronty FIFO, LIFO, PRI, SIRO Tabulka 1: Význam symbolů klasifikace MHO Při seznámení s výše uvedenou klasifikací systémů hromadné obsluhy je jasné, že možných kombinací základních charakteristik a tudíž i typů modelů je velmi mnoho. Zde si přiblížíme pouze model, který je pokládán za nejvíce využitelný v praxi. -16-

2.6 Model M/M/S/ /FIFO Pro tento model, který se v praxi vyskytuje nejčastěji, je charakteristické exponenciální rozdělení četností náhodných, vzájemně nezávislých veličin dob obsluhy a dob mezi příchody. Jde o otevřený systém s nejvýše S homogenními paralelně obsluhujícími kanály, z nichž každé má intenzitu obsluhy µ. Pro dvě zařízení obsluhy bude tedy intenzita obsluhy 2µ, pro tři pak 3µ, atd. Maximálně je možné dosáhnout intenzity Sµ. Fronta se začne tvořit až když vstoupí (S+1)-ní požadavek. Dále vycházíme z toho, že požadavky vstupují do systému s konstantní intenzitou λ a při obsazení všech obslužných linek čekají trpělivě na obsluhu. Kapacita fronty i systému je neomezená a obsluha probíhá v pořadí, v jakém požadavky přicházejí do systému. Výhodou tohoto modelu hromadné obsluhy je, že může zpravidla přizpůsobit kapacitu obsluhy intenzitě vstupního proudu požadavků. Model má charakter Markovova procesu, jelikož stav systému v libovolném časovém okamžiku t, který je jednoznačně určen číslem n udávající počet jednotek v systému, nezávisí na žádném z předešlých stavů kromě stavu bezprostředně předcházejícího. Uvažujeme tedy pouze možnost setrvání ve stejném stavu nebo přechod mezi stavy sousedními. Je to důsledek toho, že pravděpodobnosti přechodů mezi nesousedními stavy jsou nekonečně malé, neboť je zde zanedbatelná pravděpodobnost vstupu (příp. obsluhy) více než jedné jednotky v časovém intervalu t. Matice pravděpodobností přechodu, vyjadřující soustavu tzv. pravděpodobností přechodu mezi jednotlivými stavy za dobu t má tvar M= 1-λ t λ t 0... 0 0... µ t 1-(λ+µ) t λ t... 0 0... 0 2µ t 1-(λ+2µ) t... 0 0........................ 0 0 0... 1-[λ+(S-1)µ] t λ t... 0 0 0... Sµ t 1-(λ+Sµ) t... 0 0 0... 0 Sµ t.... Intenzitu pravděpodobností přechodu udávají tedy veličiny λ a µ. Na úhlopříčce matice jsou výrazy, které odpovídají pravděpodobnostem setrvání ve stavu, vpravo od ní -17-

pak pravděpodobnosti příchodu požadavku a vlevo pravděpodobnosti ukončení obsluhy požadavku. Ostatní prvky jsou nulové, jelikož jiná možnost přechodu mezi nesousedícími stavy prakticky neexistuje. Platí zde p(t+ t) = p(t).p kde p(t) = [p o (t), p 1 (t), p 2 (t),..., p n (t),...]. Z důvodů zjednodušení výpočtů se v modelech zkoumá, zda se daný systém hromadné obsluhy po dosti dlouhé době svého fungování ustálí, tj. přestane být závislý na čase t a na výchozích podmínkách. Podmínka stabilizace tohoto systému má tvar λ ρ = < 1 S µ S tj. intenzita obsluhy všech zařízení musí být větší než intenzita vstupu. Výraz λ ρ = nazýváme průměrná intenzita provozu. Udává stupeň vytížení µ systému hromadné obsluhy neboli vytížení kanálu obsluhy. Pro zajištění fungování musí být tedy menší než 1, tzn. obslužné zařízení musí mít vždy nějakou rezervu. Často se vyskytuje otázka, proč nemůže být využití kanálu obsluhy stoprocentní. Pokud by kanál měl být využit na 100%, tzn. nepřetržitě pracovat po celou pracovní dobu, musel by být v systému v každém okamžiku alespoň jeden zákazník. Nepravidelnost v příchodech jednotek vyplývající ze stochastického charakteru systému však způsobuje, že v určitých časových úsecích je systém prázdný a obsluha nepracuje. Tento ztracený čas nelze nijak nahradit a pracovní doba tedy není zcela využita. Pro rostoucí hodnoty intenzity provozu se výrazně zvyšuje doba, po kterou zákazník čeká ve frontě a samozřejmě i délka fronty. λ Výraz ρ = 1 říká, že fronta roste nade všechny meze, v tomto případě systém µ nefunguje. -18-

Stacionární pravděpodobnost, že se v systému nenachází žádná jednotka, tedy systém je prázdný, je dána vztahem p 0 S 1 n ρ = n= 0 n! S ρ 1 + S! ρ 1 S 1. Pravděpodobnost, že se v systému nachází právě n požadavků bude mít tvar p p n n n ρ = p0 pro 1 n < S, n! n S ρ S = p0 pro n S. n S S! Následující tabulka uvádí některé základní charakteristiky systému. Průměrný počet jednotek v systému Průměrný počet požadavků ve frontě n n = s n. p n n=0 f = ( n 1). p n n= 1 Průměrná doba strávená v systému T = s n s λ Průměrná doba čekání ve frontě T = f n f λ Průměrný počet nevyužitých kanálů obsluhy S = S n s n ) ( f Tabulka 2: Základní charakteristiky modelu M/M/S/ /FIFO -19-

2.7 Optimalizace systému hromadné obsluhy Matematické modely se dělí na dvě skupiny, a to deskriptivní a normativní modely. Deskriptivní modely slouží k popisu určitých reálných situací, často je jejich cílem vysvětlit vztahy mezi prvky systému. Na základě parametrů systému, které zde považujeme za konstanty, získáváme hodnoty základních pracovních charakteristik systému. Nelze-li v systému nic měnit, nemůže vzniknout žádný rozhodovací problém optimalizačního charakteru. V řadě případů ale lze změnit např. doby obsluhy, počet obslužných linek či řád fronty. V tomto případě jde o normativní modely, které dávají přímo návrhy k rozhodování, jednání, neboť slouží k určení optimálních hodnot veličin, které odpovídají rozhodovacím proměnným modelu. Optimalizační modely pak vyžadují kromě vymezení množiny přípustných řešení i stanovení kriteriální funkce. Ve většině úloh jde o stanovení kompromisního řešení mezi často protichůdnými požadavky [7]. Kriteriální funkcí může být nákladová funkce, zisková funkce, případně určitá kritická hodnota některé ze základních charakteristik efektivnosti systému obsluhy, kterou nelze překročit. Je-li cílem optimalizace dosažení minima celkových očekávaných nákladů SHO, pak kriteriální funkce obvykle zahrnuje náklady prostoje obslužného zařízení, náklady čekání na obsluhu, náklady setrvání požadavku v systému, náklady na obsluhu jednoho požadavku za časovou jednotku a náklady vyvolané ztrátou jednoho požadavku v systémech se ztrátami. Některé základní nákladové funkce např. pro exponenciální systém jednoduché obsluhy nebo model vícenásobné paralelní obsluhy uvádí např. [1]. -20-

3 Simulace Některé složitější systémy hromadné obsluhy je obtížné, někdy až nemožné řešit analytickým způsobem. Nabízí se zde jiná možnost zkoumání modelovaného systému. Tou je simulace. Vzniká zde tedy otázka, do jaké míry lze daný problém řešit analyticky, čím se analytický a simulační postup liší a zda jsou postupy v rozporu, nebo se mohou doplňovat. Na základě vztahů závislých na parametrech λ a µ můžeme analyticky stanovit některé důležité charakteristiky, jako střední hodnotu počtu jednotek v systému, pravděpodobnost vytvoření fronty, střední dobu čekání, využití zařízení apod. Tyto vztahy však platí pouze pro stabilizované chování. Pro jiné typy rozdělení a složitější systémy je mnohdy analytické řešení MHO nemožné. U simulačního přístupu jde o to, imitovat nebo simulovat ve správné časové posloupnosti příchody jednotek a jejich obsluhy podle zadaných pravděpodobnostních zákonů, což lze dobře provést pouze pomocí počítače. Registrují se přitom hodnoty, které slouží k výpočtu potřebných charakteristik. Informace poskytnuté simulací jsou numerického charakteru, nemají tedy tvar formulí, do nichž je možné dosadit parametry konkrétních rozdělení, jako je tomu u analytického přístupu. Kromě toho modely poskytují pouze odhady středních hodnot, případně rozptylů, takže zde vyvstává otázka přesnosti výsledků v závislosti na délce chodu programu. Závěrem lze tedy říci, že simulační postup použijeme zejména, jestliže modely obsahují velký počet proměnných a jejich funkcí, které se po intervalech mohou měnit, proměnné podléhají různým typům rušivých vlivů náhodného charakteru s různými typy rozdělení a vazeb, modely jsou tvořeny propojením dílčích modelů různými operacemi, vedle kombinací předešlých postupů existují určitá omezení pro průběh proměnných v modelech a omezení pro kombinaci modelů. Pro úplnost uveďme definici simulace, tak jak ji uvádí např. skripta VŠE [6]: Simulace je numerická metoda studia složitých pravděpodobnostních dynamických systémů pomocí experimentování s počítačovým modelem. -21-

Z této definice plyne, že hlavní problémy, které vznikají v souvislosti s realizací modelů ve formě programů, jsou zachycení struktury modelu, získávání hodnot náhodných veličin a zachycení dynamických vlastností modelů. K tomu přistupují některé další otázky jako experimentování s modelem, nebo zpracování a výstup výsledků ve vhodné formě. Jejich programování však obvykle nečiní žádné potíže. Převedení modelu do programové formy je závislé hlavně na konkrétním modelu. V počítači tedy vytvoříme kopii (model) reálného systému nebo procesu (výrobního procesu, logistického nebo obslužného systému). Na vytvořeném modelu pak sledujeme celkové chování systému, ale i konkrétní výkonnostní parametry systému nebo jeho citlivost na změny vstupních parametrů. V modelu můžeme experimentovat a vyzkoušet si, co by se stalo, kdybychom v reálném systému provedli nějaké změny. Simulace nám může pomoci nalézt optimální variantu řešení, nebo rozhodnout, zda je nutné pořídit nový stroj či rozšířit personál. Simulace vdechne život vývojovým diagramům, animuje továrnu, call-centrum nebo jakýkoli jiný proces, operaci po operaci a událost po události. Výsledky simulace nám umožní vyhodnotit efekty navržených změn ještě dříve, než začneme utrácet peníze za jejich realizaci. Pro simulaci je nezbytný simulační software. Díky výkonu, flexibilitě a snadnému použití se simulační software stává populárním a účinným nástrojem nejen ve výrobě, ale i v oblasti služeb a v dalších odvětvích jako jsou například call-centra, bankovní a pojišťovací instituce, zdravotnictví nebo doprava. V procesu konstrukce simulačního modelu rozlišujeme několik hlavních etap. Každá z nich má mnoho společných rysů s obecnou problematikou konstrukce modelů kvantitativního charakteru. Při použití simulačních technik se však vyskytnou některé specifické otázky. Články procesu výstavby modelu jsou: 1. Analýza problému shrnutí zadaných a hledaných údajů, vymezení problému, stanovení cíle výzkumu pomocí modelových experimentů, sběr a zpracování informací, formulace matematického modelu, odhady parametrů. 2. Výběr metody řešení. 3. Realizace modelu na počítači zobrazení reality v simulačním modelu. -22-

4. Výběr prostředků pro realizaci modelu úvahy o efektivnosti simulační metody, porovnání nákladů při různém způsobu řešení. 5. Programování. 6. Příprava experimentu příprava vstupních údajů. 7. Průběh pokusu výpočet požadovaných údajů. 8. Hodnocení aplikace výsledků na skutečnost, ověření správnosti modelu, navrhování experimentů s modelem, případné zlepšení modelu, celková analýza výsledků. 3.1 Vymezení základních pojmů V simulačním modelování se běžně používají následující pojmy: Systém část reálného světa, který je předmětem našeho zkoumání. Může jím být například obsluha klientů v bance. Model zjednodušené zobrazení studovaného systému pomocí slovních pravidel, matematických rovnic, obrázků či grafů. Stavové proměnné popisujeme jimi stav systému. Může jí být například počet zákazníků ve frontě. Událost vyvolání změny stavu systému. Za událost považujeme například vstup další jednotky do systému, tedy pro náš příklad příchod dalšího klienta do banky. Entita (prvek) dynamický objekt, který se pohybuje v průběhu času systémem. V našem případě je entitou zákazník, který přichází do systému, řadí se do fronty, obsazuje přepážku banky a opouští systém. Atribut vlastnost přiřazovaná entitě a dalším objektům. Atributem zákazníka v bance může být druh požadované služby. Zdroje jsou po určitý čas využívány nebo spotřebovávány entitami. Zdrojem je pracovník banky obsluhující klienta. Aktivita časově ohraničený stav entity mezi dvěma pro entitu důležitými událostmi. Aktivitou může být čekání klienta ve frontě nebo obsluha u přepážky. -23-

3.2 Použití simulace Simulace se používá k dosažení vzájemně se překrývajících cílů. Jedním z nich je pochopení reálného systému. Jde většinou o pochopení fungování skryté části systému. Například může jít o vytvoření či ověření hypotéz o vnitřní nedostupné struktuře systému. Dalším cílem mohou být parametrické studie reálného systému. Zkoumá se, jaký vliv mají změny parametrů systému na fungování systému, např. na jeho efektivnost. Specifický případ parametrických studií je optimalizace. Neposledním cílem může být náhrada za experimenty s reálným modelem. Ty v mnohých případech nelze provést, přestože je to mnohdy nutné. Častým důvodem neproveditelnosti je nákladnost experimentu. Systém se také experimentem může poškodit či úplně zničit. Důležitým hlediskem je také čas. Experiment, který v reálných podmínkách musí probíhat týdny než získáme potřebná data, lze za pomocí počítače provést během několika minut. Těchto cílů je možno dosáhnout i pomocí modelů řešených analyticky, a to obvykle levněji a jednodušeji, pokud ovšem analytické řešení lze provést. Takovou strukturu, kdy je možné získat potřebné výsledky analytickou nebo jinou nesimulační cestou, má pouze malá část praktických modelů. 3.3 Přínosy simulace vs. negativa Mezi důvody, proč je simulaci vhodné použít patří: Simulace umožňuje celkem snadno překonat potíže při řešení složitých úloh. Lze pomocí ní dospět k řešení složitých dynamických a stochastických modelů. Simulace umožňuje zkoumání chování systémů v reálném čase. Čas může být zrychlený či zpomalený, kdy právě zrychlený čas patří k důležitým hlediskům pro pomalé procesy. Simulace nahrazuje analytické řešení, které sice existuje, ale přesahuje dané matematické schopnosti. Simulace může ověřit řešení získané jinou cestou. Příkladem může být ověření analytického řešení založeného na zjednodušených předpokladech. -24-

Pozorování činnosti simulačního modelu může vést k lepšímu pochopení reálného systému, často stačí i samotné vytváření simulačního modelu. Simulace obvykle vyžaduje komplexnější pohled na studovaný systém. Simulace má však i své negativní stránky: Simulace je poměrně nákladný prostředek na studium systému. Tvorba simulačního modelu je často zdlouhavá. Simulace je numerická metoda, takže řešení určitého problému neřeší podobné problémy. Pro jakékoliv změny parametrů je pak nutné nové řešení. Výsledkem stochastických simulačních modelů jsou hodnoty náhodných veličin, kde další zvyšování přesnosti řešení stojí obvykle rostoucí množství výpočetního času. 3.4 Metoda Monte Carlo Simulace metodou Monte Carlo probíhá tak, že reálný (byť třeba jen teprve projektovaný) systém nahradíme jeho simulačním modelem se stejnými pravděpodobnostními charakteristikami a chování reálného systému mnohonásobně simulujeme na zkonstruovaném modelu. K přesnému odhadu dané pravděpodobnostní charakteristiky potřebujeme obvykle velmi mnoho pokusů. Pro metodu Monte Carlo platí e = δ n e δ n chyba odhadu směrodatná odchylka počet průchodů Možnosti využití této metody jsou široké a různorodé. Uveďme například finanční plánování a řízení rizik v podniku, modelování vývoje finančních trhů a oceňování aktiv, analýzu chování oligopolních trhů, či modelování dopadů hospodářské politiky. -25-

3.5 Dynamická simulace Simulace dynamického chování systému úzce souvisí se zachycením času v modelu, což je pravděpodobně nejdůležitější rozhodnutí při tvorbě simulačního modelu. Pokud simulovaný čas nabývá všech hodnot, pak jde o modely se spojitým časem. V druhém případě nabývá čas simulace hodnot z předem určené diskrétní množiny a mluvíme tak o modelech s diskrétním časem. Jinou rovinou pojetí času v simulaci je, zda se stav modelu mění průběžně nebo jen v určitých okamžicích. O simulaci diskrétních událostí hovoříme tehdy, pokud nesledujeme chování modelu v kontinuálním čase, ale jen v důležitých okamžicích (událostech), které ovlivní další vývoj simulace (např. příchod nové zakázky, dokončení výrobku). Zvolený způsob zachycení času a změna stavů v simulačním modelu určuje rovněž typ použitého matematického aparátu. To uvádí následující tabulka. stavy / čas spojitý diskrétní spojité diskrétní diferenciální rovnice simulace diskrétních událostí diferenční rovnice Markovovy řetězce Tabulka 3: Použitý matematický aparát v závislosti na typu modelu 3.6 Širší pojetí simulace Běžně je simulace definována, jak již bylo uvedeno, jako numerická metoda spočívající v provádění experimentů s určitými typy matematických modelů na počítačích. Na simulaci ale můžeme pohlížet i ze širšího hlediska. Například jde o to, jakým způsobem simulaci provádíme, teda na jakém přístroji. Pokud se budeme držet simulace ekonomických procesů, vystačíme s osobním počítačem. Simulační postupy se ale také zaměřují na oblast mimo ekonomii. Jde například o výcvik lidí v určitých dovednostech a znalostech. Pro výcvik se používá cvičných -26-

simulátorů, které slouží k nácviku ve skutečnosti nákladných a nebezpečných akcí. Tyto simulátory se využívají zejména při výcviku kosmonautů, pilotů, řidičů apod. Další významnou disciplínou, ve které se hojně využívá simulace, jsou podnikové hry, které se v moderní teorii podniku stávají důležitým prostředkem výuky a výchovy vedoucích kádrů. Pro úroveň odvětví či národního hospodářství se spíše používá pojem ekonomická hra. V rámci zadané ekonomické situace jde o řešení konfliktu a výsledek akcí jednoho hráče obvykle závisí na konání dalších účastníků hry. U nás bylo v konstrukci her dosaženo nemalých úspěchů. Ekonomické hry se stávají jednou z významných částí výuky. 3.7 Perspektivy dalšího vývoje Používání simulačních postupů v ekonomii je i ve světovém měřítku relativně novou, avšak expanzivně se rozrůstající záležitostí. Z celé řady úspěšných studií a ze vzrůstajícího zájmu o tuto problematiku lze však soudit, že simulační postupy se již staly plnohodnotným nástrojem operačního výzkumu a systémové analýzy. Na další rozvoj simulačních technik má bezesporu značný vliv výpočetní technika. Je patrné, že zvyšování rychlosti počítačů a růst kapacity operační paměti umožňuje modelování stále složitějších problémů. Počítače usnadňují dynamickou interakci člověka s modelem ve všech jeho fázích, tj. jak při konstrukci, testování, ale i při vyhodnocování experimentů. Rovněž se rozšiřují možnosti grafického výstupu výsledků. Simulační jazyky jsou tak ve stadiu rychlého vývoje. Simulační postupy tedy otevřely nejen řadu možností v nových oblastech, ale jsou podnětem pro nové přístupy i v klasických disciplínách, jako je například matematická statistika. -27-

4 Případová studie Jako případová studie byla pro tuto práci vybrána firma z prostředí, ve kterém jsem měla možnost nějaký čas působit. Analyzovat problém se všemi detaily je však nereálné z důvodu nedostupnosti všech potřebných dat a také vzhledem k náročnosti jednotlivých vazeb mezi prvky modelu. Pro účely této práce budou v modelu předpokládána určitá zjednodušení a model bude tvořen na základě menšího vzorku dat. Proto berme závěry práce s ohledem na tato zjednodušení a považujme je pouze jako obecný nástin dané problematiky. 4.1 O firmě Společnost SAZKA, a.s., již padesát let vnáší do života sázejících zábavu a vzrušení ze hry. Během své existence se stala neodmyslitelnou součástí společenského a ekonomického života České republiky. SAZKA, a.s. se svými příjmy převyšujícími částku 8 mld. Kč a rostoucím ziskem zaujímá místo největšího provozovatele číselných loterií, okamžitých loterií a sázkových her v České republice. V nabídce služeb nalezneme kromě sázkové činnosti rovněž prodej vstupenek na sportovní a kulturní akce. Prioritním posláním společnosti je finanční podpora českého sportu a tělovýchovy. Dceřinná společnost Sazky a.s., společnost Bestsport, podepsala v roce 2002 smlouvu na poradenskou činnost při výstavbě, financování a provozu multifunkční haly v Praze-SAZKA ARENY. Tato hala, patřící k největším v Evropě, byla postavena ve velmi krátké době za účelem pořádání Mistrovství světa v ledním hokeji 2004. Dnes je hojně využívanou halou pro sportovní, kulturní a společenské akce, výstavy, veletrhy a jiné kulturní události. Arénu charakterizují nejmodernější technologie, univerzálnost využití, sofistikovaný marketing, komfort a všestranné služby pro diváky a návštěvníky. Prodej vstupenek probíhá několika různými způsoby. Prvním z nich jsou on line terminály síť sběren SAZKA, a.s. Nabídka vstupenek tak probíhá na více než 7000 prodejních místech SAZKA, a.s., které jsou umístěny především na přepážkách České pošty, v prodejnách tisku a tabáku, v síti čerpacích stanic a obchodních řetězců. Prodej v terminálové síti akciové společnosti SAZKA umožňuje, aby ke vstupenkám měli rovný -28-

přístup zájemci v celé České republice, ve velkých aglomeracích stejně jako v menších městech a obcích. Před akcí není nutné cestovat a kupovat vstupenku v předprodeji, snahou je i eliminace mnohahodinových front před pokladnami. Pořadatelům a promotérům akcí potom rozsáhlá prodejní síť garantuje, že prodají mnohem více vstupenek než při tradičním způsobu prodeje, tj. prostřednictvím pokladen a omezeného počtu předprodejních míst. Další možností pořízení vstupenek je využití internetu nebo call centra a samozřejmě pokladny SAZKA ARENY. SAZKA ARENA, to je mimo jiné až 1 500 000 návštěvníků ročně, kapacita 18 000 míst, 2 460 Klubových a Komfortních sedadel, 66 Skyboxů, 4 Partyboxy a 2 900 míst v barech, restauracích a kavárnách. Hala má 6 podlaží, zaujímá plochu 35 000 m² a její spádová oblast činí 15 18 000 000 lidí. 4.2 Řešený problém Byť se zdá, že proces prodeje vstupenek je zajištěn na vysoké úrovni technologie a šikovným způsobem umožňuje zakoupit vstupenky na pořádané akce v předstihu a bez čekání, skutečnost je jiná. Stále ještě existuje velká skupina zákazníků, kteří nejsou o možnostech nákupu vstupenek dostatečně informováni. Před akcí se přeci jen tvoří zdlouhavé a únavné fronty, které nikdo nevyhledává. V našem modelu půjde o to, na základě vzorku dat nasimulovat celý proces prodeje. Snahou je tak prozkoumat daný systém, zjistit případné nedostatky a navrhnout jejich řešení. 4.3 Příprava a zpracování dat pro model Před samotnou tvorbou modelu za pomocí simulačního softwarového produktu je třeba si načrtnout strukturu modelu, určit některé základní parametry z dostupných dat a ujasnit si, co se od simulace očekává. Pak je teprve možné přistoupit k samotnému modelování problému. -29-

Odhad režimu vstupů a výstupů Určení režimu vstupů a režimu obsluhy, případně odhad trpělivosti zákazníků, je pravděpodobně nejdůležitější částí při zkoumání modelu hromadné obsluhy. Důležité je co nejvěrněji zobrazit realitu, aby bylo možné vyvozovat správné závěry a dělat správná rozhodnutí. Tato část tvorby modelu však patří k nejnáročnějším. Vyžaduje statistickou analýzu, včetně odhadů parametrů a testování hypotéz. Je však nutné rozlišit, zda se jedná o již fungující systém hromadné obsluhy, nebo zda bude systém teprve zaveden do provozu. U stávajícího obslužného zařízení je možné zjistit údaje monitorováním. Při analýze systému, který ještě nefunguje, je snahou předpovědět, kolik zákazníků bude přicházet a jak bude obsluha v realitě probíhat. Zde je nutné si pomoci různými expertními odhady. Pro vytvoření správného modelu je především třeba stanovit typ pravděpodobnostního rozdělení. Typ pravděpodobnostního rozdělení Pro určení typu pravděpodobnostního rozdělení existuje řada testů popsaných v mnoha statistických publikacích, jelikož nesouvisí pouze s pojmem teorie hromadné obsluhy, ale i s celou řadou oblastí týkající se statistiky, matematiky a operačního výzkumu. Jednou z nejpoužívanějších metod je χ 2 -test dobré shody (chí-kvadrát test dobré shody). Před provedením jakýchkoliv výpočetních testů je dobré nejdříve prozkoumat histogramy četností a jiné grafické znázornění dat ( oční testy ) a pokusit se na jejich základě pravděpodobnostní rozdělení odhadnout. Zároveň je vhodné oprostit data o vychýlené a nepravděpodobné hodnoty. -30-

Empirické četnosti intervalů mezi příchody 250 200 Četnosti 150 100 50 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 Intervaly Obrázek 2: Graf rozdělení četností intervalů mezi příchody Při pohledu na graf bychom mohli považovat rozdělení intervalů mezi příchody za exponenciální. Zdá se, že ani není nutné oprostit data o jakékoliv nepřijatelné hodnoty. Nezbývá, než se o odhadu přesvědčit aplikací některého ze statistických testů. χ2-test DOBRÉ SHODY Tento neparametrický test patří k nejstarším svého druhu. Jeho základem je možnost roztřídit výsledky náhodného výběru do určitého počtu (k) navzájem se nepřekrývajících tříd. Nulová hypotéza vyjadřuje teoretické pravděpodobnosti obsazení těchto tříd a porovnává je s empirickými četnostmi. Testujeme tedy nulovou hypotézu, udávající pravděpodobnost obsazení j-té třídy (p j ) H 0 : p j = p 0,j pro j = 1, 2,..., k, oproti alternativní H 1 : non H 0. Testové kritérium je veličina k 2 ( e j o j ) 2 χ =, o j= 1 j -31-

kde o j = n. p 0,j udává očekávané (teoretické) obsazení j-té třídy a e j je empirická četnost v j-té třídě. Statistika χ 2 má rozdělení χ 2 (k-1) a hypotézu H 0 zamítáme, pokud χ 2 překročí 2 kvantil χ ( k 1). 1 α Pro provedení tohoto testu lze použít některý ze statistických programů, jako jsou Statgraphics, SPSS, nebo MS Excel. Jednou z nevýhod těchto programů může být ruční výpočet a stanovení některých základních charakteristik potřebných pro správné provedení testu, jako je určení počtu intervalů (tříd) a následné určení empirických četností. Další nevýhodou je, že tento test používáme pro testování jednoho konkrétního rozdělení, a tak se může stát, že budeme testovat jednotlivá rozdělení jedno po druhém dosti dlouhou dobu, než nalezneme optimální rozdělení odpovídající reálným datům. To vyžaduje dostatek času a preciznost. V příloze 1 je uvedeno testování rozdělení dat pro exponenciální rozdělení za pomocí MS Excelu. Výsledek je však bezútěšný. Na 5%-ní hladině významnosti zamítáme nulovou hypotézu o exponenciálním rozdělení souboru dat, vzhledem ke skutečnosti, že vypočtená hodnota testového kritéria překračuje kritickou hodnotu s k-1 stupni volnosti (73,73 >14,6). Pro účely této práce využijeme software, který nám umožní určit pravděpodobnostní rozdělení mnohem jednodušší cestou. Představme si Crystal Ball firmy Decisioneering. CRYSTAL BALL Crystal Ball je uživatelsky příjemný software pro vytváření předpovědí a analýz rizika. Umožňuje simulaci metodou Monte Carlo a tím dává odpovědi na otázky potřebné pro rozhodování. Tím pomáhá nejen manažerům v mnoha oblastech podnikání, ale i vědcům ověřujícím své experimenty. Crystal Ball je doplněk Microsoft Excelu. Je velmi jednoduchý na ovládání, zvládne ho i běžný uživatel. Úkolem uživatele je jen vytvořit model v prostředí tabulkového kalkulátoru Excel. V této práci využijeme program Crystal Ball k odhadu pravděpodobnostního rozdělení a jeho parametrů na základě historických dat. Program přiřadí datům nejbližší z dvaceti různých pravděpodobnostních rozdělení (obr. 3) na základě tří testů chí-kvadrátu -32-

dobré shody, Anderson-Darlingova testu a Kolmogorov-Smirnovova testu. Metodiku posledních dvou uvedených testů je možné najít v odborné statistické literatuře, např. v [8]. Obrázek 3: Výběr pravděpodobnostního rozdělení v Crystal Ballu Výběrem položky Define Assumption a následným zadáním údajů o intervalech mezi příchody zákazníků získáme výsledek v podobě hodnot testových kritérií jednotlivých testů, grafů rozdělení četností a základních charakteristik řady dat pro jednotlivá rozdělení. Vhodné rozdělení je vyznačeno barevně zároveň s přijatelnou hodnotou testového kritéria. Můžeme měnit řazení pravděpodobnostních rozdělení v závislosti na jednotlivých testech. Dále můžeme měnit i jednotlivá rozdělení a sledovat na grafech odpovídající křivku rozdělení, jak odpovídá či neodpovídá daným datům. Při testování intervalů mezi příchody zákazníků nám Crystal Ball poskytl následující výsledek: -33-

Obrázek 4: Výsledek testování rozdělení pro intervaly mezi příchody zákazníků Jak vidíme, při testování intervalů mezi příchody chí-kvadrát testem dobré shody se data nejvíce blíží exponenciálnímu rozdělení. Při použití Anderson-Darlingova testu a Kolmogorov-Smirnovova testu se nabízí také přijetí gama rozdělení. Při řazení podle těchto testů se však řadí exponenciální rozdělení hned na druhé místo, zatímco podle chí- kvadrátu připadá gama rozdělení až třetí místo, proto budeme pro další práci s modelem předpokládat exponenciální rozdělení pro intervaly mezi příchody zákazníků. Toto je také nejběžnější pro modely hromadné obsluhy. Různá řazení pravděpodobnostních rozdělení dle jednotlivých testů jsou uvedena v přílohách 2 a 3. Důvodem, proč jsme při ručním výpočtu chí-kvadrátu zamítli hypotézu o exponenciálním rozdělení intervalů mezi příchody, může být rozdíl, jakým je test prováděn. Rozdíl může být například v určení počtu intervalů, ve kterých četnosti zjišťujeme. Crystal Ball může hodnotu testového kritéria počítat odlišně. Pro účely této -34-

práce budeme důvěřovat výstupu programu Crystal Ball a exponenciálním rozdělení četností. přijmeme hypotézu o Dále zbývá otestovat stejným způsobem rozdělení dob obsluhy zákazníků. Tentokrát přijmeme nabízené gama rozdělení, které vychází jako optimální podle všech tří uvedených testů, zatímco běžné exponenciální se umístilo až daleko za ostatníma, jak můžeme vidět na následujícím výstupu Crystal Ballu. Obrázek 5: Výsledek testování rozdělení doby obsluhy zákazníků Gama rozdělení je také vhodným rozdělením při modelování systémů hromadné obsluhy, jelikož exponenciální rozdělení Exp(0, λ) je jeho zvláštním případem. Nevhodnost použití exponenciálního rozdělení pro doby obsluhy ukazuje obrázek výstupu Crystal Ballu v příloze 4. -35-

5 Navrhovaný postup řešení Pro práci s modelem využijeme simulační program Simul8, který nám v mnoha oblastech usnadní zkoumání chování modelovaného systému. 5.1 Simul8 Program SIMUL8, produkt americké firmy Simul8 Corporation, je jedním z nejrozšířenějších softwarových produktů pro dynamickou diskrétní simulaci podnikových procesů. Pomocí programu SIMUL8 lze snadno vytvořit přesné a flexibilní simulace podnikových, výrobních nebo logistických procesů či systémů. SIMUL8 lze použít jako nástroj pro: Kvalifikované posouzení plánovaných změn výrobního nebo logistického systému firmy Identifikaci a eliminaci úzkých míst Reengineering Podporu rozhodování Redukci prostojů Snížení čekacích časů Analýzu výrobkového mixu Lepší řízení a porozumění zdrojům Optimalizaci a efektivnější využití zdrojů Vyvážení kapacity zdrojů Dosažení vyšší jakosti, účinnosti a rychlejší návratnosti vložených prostředků Zjištění efektu nového zařízení ve výrobním systému Zjištění efektu přemístění pracovišť ve výrobním systému Virtuální návrh nových výrobních linek a systémů Animovanou vizualizaci reálných procesů Dynamickou analýzu nákladů -36-

Zvýšení spokojenosti zákazníka Jasné odpovědi na otázky typu co-když (what-if analýza) Softwarový balík SIMUL8 nabízí uživatelsky přívětivé, integrované prostředí umožňující snadnou a rychlou práci s modely pro dynamickou diskrétní simulaci procesů. SIMUL8 je možné použít pro simulaci výrobních systémů, například: -modely montážních linek -modely materiálových toků ve výrobě logistických systémů -modely manipulace materiálu mezi skladem, výrobou a expedicí -modely skladových expedičních systémů -modely dopravní obsluhy distribučních center administrativního workflow -model zpracování přijatých objednávek systémů obsluhy zákazníků nebo poskytování služeb -modely obsluhy klientů na bankovních přepážkách -modely obsluhy volajících klientů v call-centrech -modely obsluhy zákazníků u pokladen v supermarketu. Silnou stránkou simulačního nástroje SIMUL8 je jeho uživatelské rozhraní, díky kterému je simulační projekt realizován rychleji a snadněji, než v kterémkoli jiném simulačním softwaru. Práce se softwarem SIMUL8 nespočívá v programování. Jde spíše o načrtnutí struktury, organizace nebo toků reálného systému pomocí vhodného propojení různých simulačních objektů (jakýchsi stavebních kamenů modelu) a následné nastavení správných parametrů použitých simulačních objektů. Program SIMUL8 je dodáván ve variantách SIMUL8 Standard, SIMUL8 Professional a SIMUL8 Education. -37-

SIMUL8 je vynikajícím nástrojem pro podporu rozhodování. Výsledky simulace nám dávají do ruky kvalifikované, statisticky ověřené podklady pro realizaci závažných rozhodnutí. 5.2 Model V našem modelu prodeje vstupenek půjde o to, nastínit základní vazby mezi prvky modelu, prozkoumat fungování celého modelu jako celku, nalézt jeho slabá místa a pokusit se navrhnout jejich řešení. Jak již bylo řečeno, prodej vstupenek probíhá v různých formách. Nejrozšířenější je prodej prostřednictvím on line terminálů sítě Sazka, kterých se nachází na území České republiky kolem 7000. Již při prozkoumání údajů z některých terminálů lze tyto z našeho modelu vypustit, jelikož zde nevzniká problém hromadění entit a pro náš model by nemělo zahrnutí terminálů příliš velký význam. Budeme se tedy soustředit hlavně na modelování prodejů, které probíhají na pokladnách SAZKA ARENY. Běžný všední den, kdy se v hale nekoná žádná akce, jsou otevřeny pouze 2 VIP pokladny pro klubové klienty a majitele skyboxů, kteří mají možnost koupit si v předprodeji vstupenky na svá pronajatá sedadla, a to v době od 15 do 18 hodin. Přibližně jednou za 4 dny se v hale koná představení různého druhu. V tyto dny mají i běžní zákazníci možnost zakoupit vstupenky přímo na místě, a to vždy 4 hodiny před začátkem akce. Pro ně je k dispozici 10 pokladen. Pro VIP klienty jsou v tyto dny k dispozici 4 pokladny, avšak 2 z nich mohou využívat i běžní zákazníci v případě, že tyto nejsou zrovna využívány VIP klientem. Dále uvažujeme jednu přepážku pro majitele permanentek FAN klubu, což se týká především konání ledního hokeje. Přesto tento prvek do modelu zahrneme, jelikož je hokej nejčastěji konanou akcí. Posledním obslužným kanálem v našem modelu pokladen bude reklamační oddělení, které je bohužel hojně navštěvovaným střediskem z důvodu výskytu nesrovnalostí a následných stížností zákazníků. Pro ukázku lze zahrnout do modelu 2 nestandardní on line prodejní místa v blízkosti pokladen haly. Těmi jsou terminál v bezprostřední blízkosti pokladen a terminál -38-

na hlavní budově společnosti. V prvním případě je tento hojně využívaný běžnými zákazníky přicházejícími ve všední den na VIP pokladny. Druhý je výjimečný svou schopností prodeje vstupenek, na které se vztahují slevy různého druhu, například dětské, ZTP atd. Touto vlastností se nevyznačuje žádný jiný terminál v celé republice. Proto se podíváme na fungování systému včetně těchto dvou středisek. Sestavení modelu předcházela analýza dostupných dat, ze které jsme získali základní charakteristiky jednotlivých prvků, jako jsou pravděpodobnostní rozdělení příchodu zákazníků na jednotlivá prodejní místa včetně středních dob těchto příchodů, podobně tyto charakteristiky pro doby obsluh, nebo procentuální odhady chování zákazníků apod. Zde jsou shrnuty základní údaje: Typ přepážky Příchody zákazníků Střední Prstní rozdělení doba Doby obsluh Střední Prstní rozdělení doba VIP Exponenciální 7; 1; 20 * Gama 1,91; 3 Akce Volný Exponenciální 8; 1; 15 * Průměr 3 FAN Exponenciální 5 Průměr 1 Reklamace Exponenciální 15 Průměr 7 VIP Exponenciální 5; 7 * Gama 1,91; 3 Běžný den Obyčejný Exponenciální 15 Průměr 2 Českomoravská Exponenciální 2 Průměr 2 Sazka Exponenciální 4 Rovnoměrné 0,5; 3 Tabulka 4: Základní charakteristiky modelu Na následujícím obrázku je znázorněna struktura celého modelu, tak jak systém ve skutečnosti vypadá, jeho jednotlivé objekty, včetně všech vazeb mezi nimi. Každému pracovnímu centru náleží prostor pro hromadění entit a zdroj, který je pracovním centrem využíván pro uspokojení požadavku přicházející jednotky. Díky paletě nástrojů všeho * Odlišné střední doby příchodů pro různé časti dne (směnný provoz) -39-

druhu a animovaným ikonám umožňuje Simul8 znázornit strukturu přehledně a pochopitelně. Obrázek 6: Struktura modelu pokladen Z praktických důvodů budeme zkoumat model odděleně pro dny běžné a pro dny konání akce, jelikož model funguje v těchto dvou částech poněkud odlišně. Na výsledný efekt nemá toto dělení žádný vliv, pouze máme možnost vyhodnotit zvlášť výsledky fungování modelu v jednotlivých situacích. -40-

Běžný den Model běžného dne se dvěmi VIP přepážkami, včetně dvou významných on line terminálů v blízkosti pokladen, znázorňuje následující obrázek: Obrázek 7: Model VIP pokladen - běžný den Kromě výše uvedených parametrů předpokládáme, že běžný zákazník, přicházející ve všední den na VIP pokladny, odchází z 35% neobsloužen domů, z 50% si odchází vyzvednout právě realizovanou rezervaci na nedaleký terminál na Českomoravské a z 15% požaduje určitý typ slevy a směřuje tak na hlavní budovu firmy. Tato skutečnost není v Simul8 modelována pomocí jednoduchých nástrojů, ale je nutné použít vestavěný simulační jazyk Visual Logic. -41-

Obrázek 8: Okno simulačního jazyka Visual Logic VIP klientela má samozřejmě při obsluze přednost, a tak obyčejný zákazník čeká na obsluhu do té doby, až jsou obslouženi všichni přítomní VIP klienti. To je namodelováno pomocí labelu (nálepky) Priority, která je v Simul8 využívána výhradně pro tyto účely. Simulujeme časový úsek 1 roku, přičemž předpokládáme fungování systému ve všední dny od 9:00 do 18:00 hodin (tuto dobu probíhá prodej na terminálech, VIP pokladny fungují od 15:00 do 18:00 hodin). Uvažujeme prodej 3 dny v týdnu, jelikož předpokládáme, že se přibližně dvakrát týdně koná v hale akce. Těchto dvou dní se týká náš druhý model. Díky uživatelské přívětivosti Simul8 a názorné animaci lze v modelu sledovat, jak vše funguje a jestli model pracuje, tak jak požadujeme. Necháme proběhnout několik simulačních běhů a můžeme se soustředit na výsledky. Každý objekt zachycuje výsledky svého fungování samostatně. Dílčí výsledky je možné vložit do souhrnu výsledků (Results Summary), který umožňuje srovnání a zhodnocení hodnot veličin přehledně na jednom místě. -42-

Obrázek 9: Výstup objektu fronta Obrázek 10: Ukázka přehledu výsledků simulace VIP pokladen -43-

Jak je vidět, ve výstupu nalezneme všechny potřebné údaje, které nás pro posouzení modelu zajímají. V uvedeném výstupu fronty na terminálu Sazky se zdá být všechno v naprostém pořádku. Netvoří se dlouhé fronty, průměrná doba čekání zákazníka je vyhovující a ani maximální délka čekání na obsluhu není nijak znepokojující. Vidíme, že 84% zákazníků je obslouženo do 5 minut, což je relativně uspokojivé. To můžeme vyčíst i z následujícího grafu. Obrázek 11: Graf relativních četností pro doby čekání ve frontě Simul8 poskytuje grafy i pro další veličiny, což je velice užitečné, jelikož oční testy uživateli umožní získat představu o fungování modelu pro podstatně příjemnější cestou. V následujícím grafu je na horizontální ose znázorněn simulovaný čas, na vertikální ose počet zákazníků čekajících na obsluhu. Hodnota 0,6 na této ose odpovídá průměrnému počtu zákazníků ve frontě, číslo 10 udává nejvyšší počet zákazníků, kteří se nacházeli ve frontě. Obrázek 12: Vývoj délky fronty během simulace -44-

Dále je možné získat grafy pro celkovou dobu strávenou v systému, vývoj počtu zákazníků na přepážce pokladny či procentní využití přepážky, nebo spíše směrodatnější hodnotu procentního využití zdroje přiřazenému konkrétnímu pracovnímu centru. Dva z nich jsou znázorněny obr. 13 a 14. Obrázek 13: Graf celkové doby strávené v systému pokladen Obrázek 14: Graf procentního využití pokladny Při detailní analýze výsledků a grafů každého objektu byla zjištěna znepokojující informace u objektu fronta na pokladnách VIP 1 a VIP 2. Přestože průměrný počet zákazníků ve frontě a tedy i v systému vykazují přijatelné hodnoty, hodnota maximální čekací doby na obsluhu je neúnosná. Doba obsluhy je poměrně dlouhá, a tak v případě současného příchodu více jednotek 2 přepážky na odbavení všech zákazníků nestačí. Ve skutečnosti však zákazníci pravděpodobně při tak dlouhém čekání ztratí trpělivost a systém opustí. Pokud omezíme trpělivost zákazníků čekání ve frontě na určitý počet minut, můžeme vidět, jakou ztrátu jednotek firma realizuje. Jakákoliv ztráta zákazníka je pro každý podnik bolestná. Nejenže podnik přichází o část zisku, který by byl realizován -45-