Kendallova klasifikace

Transkript

1 Kendallova klasifikace Délka obsluhy, frontový režim, Littleovy vzorce Parametry obsluhy Trvání obsluhy - většinou předpokládáme, že trvání obsluhy jsou nezávisl vislé náhodné proměnné, se stejným rozdělením Kapacita obsluhy - maximální počet požadavků, které se mohou v systému vyskytovat současně (počet linek) Dostupnost omezení, která zmenšují počet požadavků, které mohou být obsluhovány v porovnání s plnou kapacitou obsluhy plně dostupné systémy neúplně dostupné systémy je třeba udat frekvenci a trvání dob vyřazení linek z obsluhy dostupné systémy Režim obsluhy -řád obsazování linek obsluhy

2 Typy rozdělení pro délku obsluhy. Konstantní. Exponenciální trvání obsluhy D[ T ] E [ T ] t f ( t ) e, t t P( t t ) e dt e t t Jaká je pravděpodobnost, že v krátkém časovém okamžiku t dojde k ukončení obsluhy požadavku, jestliže obsluha už probíhá dobu t? Odpověď: Pst. ukončení obsluhy v průběhu krátkého časového intervalu je konstantní a nezávisí na tom, jak dlouho již probíhala. 3. Gama rozdělení kde Γ(a) je Eulerova gama funkce, a,b jsou parametry. x a a e x dx Γ a a b t f ( t) Γ( a) a b e b t E [ T ] D [ T ] b a Speciální typy Gama rozdělení: a a b t d pro a N platí Γ ( a) ( a )! K Erlangovo rozdělění f ( t) e ( a )! d pro a K konstantní doba obsluhy d n a n N χ pro,b, kde K rozdělení b t

3 Erlangovo rozdělení součet intervalů mezi příchody k událostí poissonova toku k k t t f ( t) e ( k )! X : Erlang k (, ) t k j ( t) P( X < t) f ( u) du e j! j t, 4. Beta rozdělení f ( t) t B( p +, q + ) parametry p >, q > p ( t q ), t,, Beta funkce: B( p, q) t ( t) p q dt, p >, q > Γ( p) Γ( q) B( p, q) Γ( p + q) 5. Rayleighovo rozdělení trvání obsluhy Doba obsluhy těch dopravních zařízení, u nichž vzhledem k vazbě na dráhu a rychlost obsluhy musí objektivně existovat minimální kladná hodnota náhodné proměnné ( t a) t a c f ( t) e, t > a c parametr a> je vzdálenost minimální hodnoty náhodné proměnné π [ ] a + c, D[ T ] c ( ) E T π 6. Konstantní doba obsluhy se zpožděním Hodnota doby obsluhy nemůže z praktických důvodů klesnout pod určitou hodnotu. TC+Z 3

4 Frontový režim FIFO (Firs In Firs Out) (P-FIFO) LIFO (Last In Firs Out) SIRO (RS) (Random Selection) SJF (Shortest Job First) Systém se ztrátami, fronta s rezignací X / Y / n / r X Y n r Kendallova klasifikace Typ stochastického procesu popisujícího příchod zákazníků k obsluze Zákon rozložení délky obsluhy počet linek (kapacita obsluhy) počet míst ve frontě M E k K n D G GI Vstupní tok požadavků Poissonův proces příchodů, tj. exponenciální rozložení intervalů mezi příchody Erlangovo rozložení intervalů mezi příchody (s parametry λ a k) rozložení χ n intervalů mezi příchody (n stupňů volnosti) pravidelné deterministické příchody obecné rozložení (žádné předpoklady o procesu příchodů) rekurentní proces příchodů Hustota rozdělení délky obsluhy Exponenciální rozložení doby obsluhy Erlangovo rozložení doby obsluhy (s parametry a k) rozložení χ n doby obsluhy konstantní doba obsluhy obecné, tj. jakékoliv rozložení doby obsluhy 4

5 Základní pojmy systému hromadné obsluhy λ Používané označení: λ intenzita vstupního toku intenzita obsluhy X počet zákazníků v systému p i (t) pst, že v čase t je v systému (fronta + obsluha) i zákazníků p i pst, že v systému je i zákazníků - stacionární stav F délka fronty S počet obsazených linek W F doba čekání náhodného požadavku ve frontě doba strávená náhodným požadavkem v systému W X WX W F + Jaká bude kvalita (rychlost) obsluhy měřená délkou čekání na obsluhu, případně časem stráveným v systému, případně kolik požadavků bude obsloužených? Základní charakteristikou systému je intenzita provozu λ ρ Deterministický model D/D/D Intenzita obsluhy intenzita vstupu ρ Ideální případ neexistujíčekající požadavky (pro počáteční stav bez zákazníka) a kanál je nepřetržitě využíván. [ ] [ ] [ ] [ ] W, E W, p, E F, E S, E X, využití linky % i 5

6 Deterministický model D/D/D Intenzita obsluhy > intenzita vstupu ρ < Bezčekání každý nově příchozí požadavek bude obsloužen bez čekání, obslužný kanál bude po jistou dobu nevyužitý. [ ] [ ] [ ] [ ] W, E W, p ρ, p ρ, E F, E S ρ, E X ρ, i využití linky ρ% Intenzita obsluhy < intenzita vstupu ρ > nestabilní v systému bez omezení se postupně začínají hromadit požadavky čekající na obsluhu, i když kanál pracuje nepřetržitě [ ] [ ] [ ] W, E W, E F, E S i Systém se ztrátami v případě obsazeného obslužného kanálu opouští nově příchozí požadavek systém bez obsloužení Pst. obsloužení požadavku q [ ρ] + Markovovský ý model Vstupní tok je homogenní ordinární proces s nezávislými přírustky Poissonovský proces s parametrem λ. Doba obsluhy má exponenciální rozdělení s intenzitou obsluhy Jaká bude kvalita (rychlost) obsluhy měřená délkou čekání na obsluhu, případně časem stráveným v systému, příp. kolik požadavků bude neobsloužených? Základní sledované ukazatele efektivnosti systému hromadné obsluhy pro ustálený režim (stabilizovaný stav) Využití kanálů obsluhy Střední hodnota počtu volných kanálů Střední hodnota počtu obsazených kanálů Kvalita obsluhy pravděpodobnost odmítnutí E[S], E[F], E[W], 6

7 Littleho vztahy Základní vztahy popisující vztah mezi vstupním tokem, střední hodnotou počtu požadavků ve frontě a střední dobou strávenou požadavkem ve frontě λ E[F] frontě E[W] frontě E[ F] λ E[ W ] Intenzita vstupního toku Střední počet požadavků ve Střední doba čekání ve Littleho vztahy platí pro jakýkoliv systém beze ztrát. O vstupním toku předpokládáme pouze, že je homogenní. Littleho vzorce - důkaz N t λ E ( N ) lim t t [ ] S E F t X [ ] E W S lim t N t X F 5 E [ F ] 5 Počet zákazníků ve frontě t S N t X SX E[ F] lim lim λe W t t t t N t 7

8 Vlastnost PASTA Poisson Arrivals See Time Averages Jen pro systémy s Poissonovským vstupem! (M /. /.) % zákazníků, kteří při svém vstupu naleznou systém ve stavu A je stejné, jako % času v němž se systém ve stavu A nachází. Nechť p je pst, že při náhodném vstupu zákazníka je systém prázdný, potom.p je % prostoje systému. Př: Pro D / D / systém je prázdný pro t, příchody jsou,3,5, čas obsluhy Queueing ToolPak ualberta.ca/.ca/aingolfsson/qtp/ M/M/n/r - charakteristiky systému počet Pravděpodobnost,8,6,4,,,8,6,4,, Pravděpodobnosti stavů Počet zákazníků v systému pst,,69,4 3,7 4,98 5,8 6,68 7,57 8,47 9,39,33,7,3 3 Průměrný počet zákazníků v systému Průměrný počet zákazníků ve frontě 4,3,4 Parametry systému hod Průměrná doba čekání v systému,8 intenzita vstupu 5, Průměrná doba čekání ve frontě,49 intenzita obsluhy 3 Pravděpodobnost, že je systém prázdný, počet linek Pravděpodobnost, že zákazník bude čekat,73 zásobník Pravděpodobnost ztráty zákazníka Pravděpodobnost rezignace zákazníka,,38 práh trpělivosti,5 Využití systému,8 Průměrný počet vytížených linek,67 8