Matlab & Simulink tudijní materiály pro předmět Základy kybernetiky Libor Kupka
Obah Předmluva... 5 Úvod... 7 Základy práce v protředí MATLAB... 9. Práce v příkazovém řádku...3. Proměnné v MATLABu...5.3 Komplexní číla...7.4 Formát zobrazování číel...7.5 Vybrané matematické funkce...8 3 Práce vektory a maticemi... 3 3. Některé peciální typy vektorů a matic...5 3. Základní operace maticemi...6 3.3 Indexovaní vektorů a matic...9 3.4 Základy práce mnohočleny...3 4 Základní použití D grafiky... 37 4. Vykrelení grafu...39 4. Popi grafu...4 4.3 Ovládání ouřadných o...46 4.4 Krelení více grafů do jednoho okna...48 4.5 Vybrané peciální typy D grafů...5 5 Práce e oubory a tvorba kriptů... 57 5. Základy práce e oubory...6 5. Tvorba kriptů...65 6 Základy práce v protředí Simulink... 69 6. Standardní knihovny Simulinku...7 6. Vytváření modelu...8 6.3 Spuštění imulace a zobrazení výledků...87 6.4 Vytváření ubytémů...93 6.5 Volba tetovacích ignálů...98 7 Modelové příklady... 4 7. Rezonanční vlatnoti RLC členu...4 7.. Vytvoření imulačního modelu...5 7.. Spuštění imulace a zobrazení výledků...8 3
Obah 7..3 Frekvenční charakteritiky... 7. Dynamika edadla řidiče... 4 7.. Vytvoření imulačního modelu... 7 7.. Spuštění imulace a zobrazení výledků... 8 7..3 Matematická analýza pohybu edadla... 9 7..4 Ověření analytického řešení v Simulinku... 3 7..5 Dynamický ytém na mezi periodicity... 4 7..6 Kmitavý dynamický ytém... 5 8 Příklady z oblati modelování ytémů... 3 8. Vývoj výšky hladiny v nádrži... 3 8. Vývoj výšky hladin dvou pojených nádrží... 35 8.3 Navíjecí zařízení... 38 8.4 Stejnoměrný motor cizím buzením... 4 8.5 Stejnoměrný motor buzením permanentními magnety... 45 9 Příklady z oblati automatického řízení... 48 9. Přechodové charakteritiky dynamických ytémů. řádu... 48 9. Přechodové charakteritiky dynamických ytémů. řádu... 53 9.3 Kontrukce dynamických charakteritik ytému využitím Control Sytem Toolboxu... 6 9.4 Frekvenční charakteritiky dynamických ytémů. řádu... 65 9.5 Přechodové charakteritiky PID regulátoru... 74 9.6 Regulační obvod e pojitým PID regulátorem... 78 9.7 Modifikace PID algoritmu, eřízení regulátoru metodou Zieglera a Nichole... 85 9.8 Oblat tability regulačního obvodu... 9 9.9 Dvoupolohová a třípolohová regulace... 97 9. Čílicové řízení, regulátor PSD... 9. Numerická optimalizace parametrů regulátoru... 7 Literatura... 5 PŘÍLOHA A: Laplaceova integrální tranformace... 7 4
Předmluva Tento tudijní text byl vytvořen v rámci projektu CZ.4..3/3..5.3/44 operačního programu Evropké unie Rozvoj lidkých zdrojů v Opatření 3. Podpora terciárního vzdělávání, výzkumu a vývoje, který byl zaměřen na inovaci tudijního oboru Informatika a logitika bakalářkého tudijního programu Elektrotechnika a informatika na Fakultě mechatroniky a mezioborových inženýrkých tudií. Nově vytvořený učební text vychází z již vydaných knih [8, 9], které velmi podrobně popiují protředí MATLAB & Simulink verze R6a. Tyto knihy byly primárně určeny pro vyučující tředních škol technického typu a jejich náklad byl již rozebrán. Nově zpracovaný text je přizpůoben podmínkám výuky v předmětu Základy kybernetiky probírány jou pouze některé partie, které výukou bezprotředně ouvií. Text je kompletně přepracován do novější verze protředí R7b. Studijní text by měl tudentům předmětu Základy kybernetiky, pro které je určen, především unadnit práci v programovém protředí MATLAB SIMULINK. Vzhledem k relativně nízké hodinové dotaci předmětu a vzhledem k abenci předmětu, ve kterém by bylo uvedené programové protředí probíráno amotatně, by měl tento text tudentům významně unadnit orientaci v probírané problematice. Text byl koncipován nejen pro podporu eminárních cvičení, ale tvoří i teoretický základ pro čát přednášek v předmětu. Student oboru Informatika a logitika by měl zíkat přehled o základních možnotech a přítupech k modelování dynamických ytémů, o tabilitě a tatických i dynamických vlatnotech těchto ytémů a amozřejmě také o metodách jejich řízení a regulace. Učební text lze využít i pro podporu výuky v předmětech Základy pojitého řízení a Protředky automatického řízení vyučovaných na fakultě v bakalářkém tudiu a předmětů Automatické řízení, Čílicové řízení, Identifikace dynamických ytémů a Adaptivní řízení vyučovaných ve tudiu navazujícím. Text však může být dobrou pomůckou i tudentům předmětů Základy řízení a regulace a Teorie automatického řízení vyučovaných na Fakultě trojní a Fakultě textilní Technické univerzity v Liberci. Studenti jej mohou použít amozřejmě i při vypracování jejich ročníkových projektů a bakalářkých či diplomových prací. Milou povinnotí autora je poděkovat paní doc. Ing. Jiřině Královcové, Ph.D., vedoucí projektu ESF pro inovaci tudijního oboru Informatika a logitika, za pokytnutý protor a finanční podporu, bez níž by tento text nemohl vzniknout. Autor by také rád vyjádřil poděkování doc. Ing. Joefu Janečkovi, CSc. za pokytnutí podkladů k úlohám uvedeným v kapitolách 7., 9., 9.5 a 9.8 až 9.. Liberec, červen 8 Autor 5
Úvod Předkládaný tudijní text i klade za cíl eznámit čtenáře ovládáním a e základními funkcemi protředí MATLAB Simulink. Vzhledem k rozahu tohoto protředí jou podrobně probírány pouze některé jeho čáti. Jou to zejména čáti, které jou pro práci v MATLABu a v Simulinku nezbytné. Jejich znalot je nutná při vytváření modelů, ať již amotných proceů nebo i regulačních obvodů, v rámci předmětu Základy kybernetiky, který je vyučován v oboru Informatika a logitika. Uživatel začátečník je potupně eznamován e základy práce MATLABem a jeho nadtavbovým protředím Simulink. Text nemá v žádném případě plnit funkci manuálu. Tam, kde to autor považoval za vhodné, je ale pro zlepšení přehledu uživatele doplněna o výčty všech použitelných funkcí a jejich vlatnotí obvykle ve formě tabulek. Sytém MATLAB, který vyvinula v roce 984 firma The Mathwork, Inc. v USA, je výkonné protředí určené pro vědecké a inženýrké výpočty a vizualizaci dat. Název MATLAB vznikl z anglického MATrix LABoratory. MATLAB integruje numerickou analýzu, maticové výpočty a grafiku do uživatelky příjemného protředí, ve kterém e řešené problémy zapiují podobně jako v matematice tedy bez obtíží klaického programování. V MATLABu je možné řešit široký okruh problémů pojených především matematikou, fyzikou, měřením a zpracováním dat a grafikou, ale i mnoho dalších. Nadtavbové protředí Simulink louží k modelování a imulaci dynamických ytémů. Simulink využívá rozáhlých grafických možnotí operačního ytému Window. Uživateli pokytuje možnot nadno a rychle vytvářet modely ve formě blokových chémat. Tato chémata jou značně podobná zapojením pro analogový počítač. Hierarchická truktura modelů umožňuje vytvářet i velmi ložité ytémy, jejichž jednotlivé čáti lze zahrnout do přehledné truktury ubytémů a to prakticky bez omezení počtu bloků. Simulink využívá algoritmy MATLABu pro numerické řešení diferenciálních rovnic. To je i také jeden z důvodů, proč je třeba e nejdříve eznámit e základním protředím MATLAB. Pro efektivní využití Simulinku při řešení ložitějších problémů je znalot MATLABu prakticky nezbytná. V další čáti učebního textu jou uvedeny dva modelové příklady každý v amotatné kapitole. Tyto příklady jou detailně rozpracovány, tedy včetně teoretického rozboru a dikuze možných variant jejich řešení. Uživatel je krok po kroku provázen imulačním experimentem. Jou uvedeny i kontrolní otázky a úkoly vybízející tudenta k aktivnímu přítupu k řešené problematice. V náledující čáti textu je uveden ucelený oubor příkladů, které byly voleny tak, aby byly přímo využitelné při výuce. Teoretický rozbor řešení je u nich obvykle velmi zkrácen. Příklady jou zaměřeny zejména na etavovaní matematických modelů pomocí matematicko-fyzikální analýzy. Jou vyloženy základní přítupy umožňující vytvoření odpovídajících imulačních modelů v protředí MATLAB Simulink. V polední čáti textu jou uvedeny úlohy, které jou orientovány na oblat teorie automatického řízení. Zvláštní pozornot je věnována jednak způobům modelování regulované outavy, ať již na základě přílušné diferenciální rovnice nebo na základě obrazového přenou, ale především možnotem realizace regulátoru. Uvedeno je několik různých realizací pojitého PID regulátoru a jeho čílicové obdoby PSD, ale i regulátorů nepojitých dvoupolohových a třípolohových. V protředí Simulinku jou vytvářeny 7
Úvod modely uzavřeného regulačního obvodu. Ve tručnoti jou popiovány a imulačně ověřeny některé přítupy vedoucí k nazelení optimálních parametrů regulátoru. Je také ilutrována jednoduchá, ale přeto velmi užitečná aplikace MATLABu, která umožňuje velmi efektivně podle zvoleného kritéria naleznout parametry regulátoru na základě numerické iterační optimalizace, tedy bez použití obtížných matematických potupů. Pro kontrukci dynamických charakteritik modelovaných ytémů je velmi užitečné také použití peciálních příkazů doplňkového Control Sytem Toolboxu. Tento toolbox pokytuje značné množtví příkazů pro teorii automatického řízení. V textu je protor věnován zejména charakteritikám frekvenčním je demontrováno několik zajímavých ituací při různém rozložení pólů charakteritické rovnice ytému. řádu. V jednom z příkladů je dikutována i oblat tability jednoduchého regulačního obvodu. 8
Základy práce v protředí MATLAB V této kapitole e eznámíme dektopem MATLABu, jeho možnotmi a základním natavením. Ukážeme i, jak e orientovat v rozáhlé nápovědě a využívat četná dema, která jou v protředí MATLAB k dipozici a také jak využívat technickou podporu MATLABu na internetových tránkách výrobce. Dále bude vyvětlen princip práce v příkazovém řádku a zápi jednoduchého výrazu a proměnné. Probrány budou také některé zvláštní typy proměnných a kontant a zápi komplexních číel. Protředí MATLAB putíme obvykle pomocí přílušné ikony na pracovní ploše počítače nebo protřednictvím základního menu ytému Window Start MATLAB R7b Matlab R7b. MATLAB je možné putit i protřednictvím ouboru matlab.exe, který je umítěn ve ložce C:/Program File/MATLAB/R7b/bin/win3. Umítění je platné pouze pro verzi MATLABu R7b. Máme-li k dipozici verzi jinou, název ložky je pozměněn, název ouboru je ale tejný. Záleží amozřejmě i na okolnoti, zda uživatel ponechal při intalaci implicitně nabízenou ložku. Zde popiovanou verzi MATLABu je vhodné provozovat pod operačním ytémem Window XP nebo Window Vita. Pokud má uživatel naintalovánu tarší verzi ytému Window, měl by použít nižší verzi MATLABu. Obr. -: Pracovní plocha protředí MATLAB R7b Verze MATLABu R7b je oproti předcházejícím verzím zejména oproti tále velmi čato používané verzi 5 poněkud odlišná. Po puštění MATLABu e otevře pracovní plocha tzv. dektop, obr. -, která je ložená ze tří oken. Základním oknem 9
Základy práce v protředí MATLAB je Command Window a dále jou otevřena také okna Workpace a Command Hitory. Okno Workpace může být pomocí myši přepnuto na Current Directory kliknutím na záložku ve podní čáti. Kombinace jednotlivých oken v dektopu je libovolná, každým oknem lze pracovat amotatně a do dektopu lze zakomponovat také další okna. Uživatelké natavení může být provedeno v položce Dektop Layout menu Dektop v horní liště základního okna. Původní upořádání oken lze vrátit pomocí menu Dektop Dektop Layout Default. Způob práce v dektopu názorně popiuje několik animovaných demo programů v Dektop Tool and Development Environment. Jejich puštění je možné protřednictvím okna Command Window příkazem demo. Další možnotí je volba položky Demo z menu tlačítka START. Obr. -: Pracovní plocha protředí MATLAB R7b použití tlačítka START Okno Command Window je hlavní a nejdůležitější čátí pracovní plochy dektopu. V tomto okně uživatel zapiuje jednotlivé příkazy a je v něm zobrazena odezva a různá ytémová hlášení MATLABu. V okně Command Hitory e zobrazují všechny příkazy, zapané uživatelem v hlavním okně Command Window. Chce-li uživatel použít již jednou zapaný příkaz nebo i celou ekvenci příkazů, tačí jej v tomto okně jednoduše nalitovat a poklepáním znovu aktivovat. Je také možné jej myší přetáhnout do hlavního okna. Přímo v hlavním okně Command Window lze již jednou zapané příkazy znovu vyvolat pomocí kurzorových šipek nahoru a dolů. Okno Workpace je při prvním puštění MATLABu prázdné. Veškeré proměnné, které v průběhu práce uživatel nadefinuje, e zobrazují v tomto okně. Okno obahuje vždy úplný eznam všech typů proměnných. Poklepáním myší na některé z nich je možné zobrazit detailní informace rozměr, truktura apod..
Základy práce v protředí MATLAB V okně Current Directory je zobrazen eznam ouborů v aktuální ložce. Poklepáním myší na některém ze ouborů je možné jej otevřít. Způob otevření ouboru je závilý na jeho typu, např. oubory příponou MAT jou otevírány ve vetavěném editoru. Aktuální ložka Current Directory je zobrazena nad oknem Command Window. Aktuální ložku je amozřejmě možné také změnit, implicitně je natavena do ložky C:\Document and Setting\Uer\Dokumenty\MATLAB, přičemž ložka Uer v uváděné cetě odpovídá označení uživatelkého účtu v konkrétní intalaci ytému Window. Od MATLABu verze 6 e v levé podní čáti pracovní plochy, podobně jako v operačním ytému Window, objevuje tlačítko START obr. -. S jeho pomocí je možné pouštět řadu vetavěných aplikací, používat nápovědu, otevírat internetové tránky apod. Ukončit práci protředím MATLAB je možné tandardním způobem, protřednictvím nabídky File Exit MATLAB Ctrl Q nebo kliknutím myší na křížek vpravo nahoře. Další možnotí jak ukončit MATLAB je zápi příkazu quit a jeho potvrzení kláveou ENTER. Některé vlatnoti a vzhled protředí MATLAB je možné natavit pomocí dialogového okna Preference, k němuž lze přitoupit pře menu File Preference Protřednictvím tohoto dialogu viz obr. -3 je možné natavit vlatnoti pro okna Command Window, Command Hitory a Current Directory. Dále některé vlatnoti vetavěného textového editoru a Simulinku. Pře základní menu v horní liště hlavního okna je možné jednoduše přitupovat i k ytému nápovědy a k oučátem MATLABu dotupným protřednictvím internetu obr. -4. V horní liště okna v tomto případě zvolíme menu Help rep. jeho položku Web Reource. Obr. -3: Dialogové okno Preference pro natavení vlatnotí protředí Obr. -4: Přítup k nápovědě a k oučátem MATLABu dotupným na Internetu
Základy práce v protředí MATLAB Obr. -5: Internetová podpora MATLABu Další možnotí jak přitupovat k nápovědě je zápi příkazu help v hlavním okně Command Window. Pokud příkaz zadáme a potvrdíme bez argumentu, dojde k vypání kompletního eznamu dotupných položek nápovědy. K jednotlivým položkám je možné přitupovat např. kliknutím na přílušné helo. Podrobný popi použití nápovědy je možné vyvolat zápiem příkazu help help. Užitečné je využití odkazů See alo, které předtavují podobné příkazy vztahující e aktuálně k hledanému. Je také možné vyvolat podrobnější textovou verzi nápovědy zobrazovanou v okně Help, které je mimochodem možné využít i jako prohlížeč internetových tránek jednoduchá obdoba používaných prohlížečů, např. Internet Explorer, Firefox, Opera, atd.. Přechod k této verzi nápovědy je možný opět jednoduše kliknutím na helo v čáti Reference page in Help brower. Jako příklad i uvedeme nápovědu k funkci inu. Obr. -6: Nápověda k příkazu in
Práce v příkazovém řádku Obr. -7: Podrobnější verze nápovědy k příkazu in např. kliknutím na doc in Aby bylo možné využít okna Help, je amozřejmě nutné mít naintalované oubory nápovědy. Tyto oubory jou typu HTML a umožňují kutečně efektivní způob přítupu k ytému nápovědy. V otevřeném okně Help je možné dále využít nabídku Index v levé horní čáti. Do příkazové řádky můžeme zapiovat příkazy nebo jejich čáti a MATLAB automaticky vyhledává a doplňuje možnou yntaxi. Dále je možné využít i položek Search, Content a také protřednictvím tohoto okna vyhledat vhodné demo volbou položky Demo. Všechna dotupná dema obahují i ukázky použitých příkazů a celých kriptů, které je možné dále využít, a ukázky možných výtupů např. ve formě grafů.. Práce v příkazovém řádku Jak již bylo řečeno, okno Command Window je základním oknem protředí MATLAB. Slouží k zadávání příkazů, pouštění kriptů m-ouborů a funkcí MATLABu, výpiu proměnných a případně k vyvolání nápovědy pomocí příkazu help. Některé základní užitečné příkazy jou uvedeny v tab. -. Výpi všech příkazů je možný po zadání help matlab/general. Prompt v příkazovém okně, který předtavuje připravenot MATLABu k činnoti je >>. Po zápiu jednoduchého výrazu a potvrzení kláveou ENTER je v okně zobrazen výledek, který e ukládá do proměnné an, e kterou lze dále pracovat. Příkladem je zápi jednoduchého výrazu na obr. -8. 3
Základy práce v protředí MATLAB Tab. -: Vybrané základní příkazy MATLABu Příkaz Popi helpwin vyvolání okna Help pro nápovědu help <funkce> nápověda k zadané funkci v okně Command Window doc <funkce> podrobnější nápověda k zadané funkci v okně Help pwd vypíše aktuální adreář včetně úplné cety dir, l výpi obahu aktuálního adreáře lookfor <výraz> vyhledává zadané klíčové lovo ve všech nápovědách cd, cd <adreář> mění pracovní adreář nebo vypíše aktuální včetně cety type <oubor> vypíše obah ouboru who výpi proměnných textová kopie Workpace who zjednodušený výpi proměnných pouze jejich název clear <proměnná> clear all vymazání dané proměnné rep. všech proměnných web zobrazí HTML oubor nebo zadanou HTTP adreu 4 Obr. -8: Zápi jednoduchého výrazu a zobrazení výledku Využití implicitní proměnné an není ale příliš vhodné, protože do an může být uložena jakákoliv hodnota. Vhodnější je přiřazování hodnot do proměnných. Na míto deetinné čárky zapiujeme tečku. Výledek je zobrazen ve formátu přenotí na čtyři deetinná míta. Základní matematické operace a jejich zápi jou v tab. -. Výrazy e vyhodnocují zleva doprava náledující prioritou: umocňování, náobení a dělení, čítání a odčítání. Prioritu lze tandardně měnit použitím závorek. Tab. -: Základní matematické operace v MATLABu Operace Symbol Příklad čítání, a b 3 odčítání, a b 9 54 náobení, a b * 3.4*.85 dělení, a b / nebo \ 56/8 8\58 umocňování, a b ^ ^8 Jak již bylo řečeno, provedené příkazy e ukládají do hitorie. Jednotlivé příkazy lze pak jednoduše vybírat pomocí kurzorových šipek a a nebo lze hitorii příkazů ledovat v okně Command Hitory. Mazání zvoleného příkazu, pokud jej nechceme použít, lze provét tikem klávey ESCAPE. Hitorii lze i vypnout rep. opětovně zapnout pomocí příkazu diary. Je také možné hitorii příkazů zapat do definovaného ouboru více help diary. Implicitně e hitorie zapíše do ouboru diary ve ložce
Proměnné v MATLABu C:/Program File/MATLAB/R7b/Work, pokud bylo zadáno diary on. Vlatní zápi je proveden až při ukončení činnoti MATLABu. Pokud je výraz, který chceme řešit, zapán chybně nebo zápi není úplný, dojde po potvrzení kláveou ENTER k vypání chybového hlášení. Příklad takového hlášení je na obr. -9. V tomto případě nebylo zadání výrazu úplné, chybí zápi druhého čítance. MATLAB zřetelně označil pozici chyby. Chybová hlášení jou velmi dobrou vlatnotí MATLABu, umožňují nadné vyhledání chyby i v případě ložitých výrazů či celých kriptů. Obr. -9: Příklad chybového hlášení Výše popaný, nejjednodušší způob práce v příkazovém řádku MATLABu připomíná práci kalkulačkou. Pokud budeme potupně zadávat další výrazy, okno Command Window e bude průběžně zaplňovat řešenými výrazy, výledky a případně i chybovými hlášeními. Po zaplnění celého okna dojde k pounu horních řádků měrem nahoru mimo oblat okna. Okno lze amozřejmě i mazat pomocí příkazu clc a zvýšit tak přehlednot. Obr. -: Označení chyby v řešeném výrazu a právný zápi. Proměnné v MATLABu Proměnná v protředí MATLAB e může kládat až z 63 znaků, další jou ignorovány. V názvu proměnné e rozlišují malá a velká pímena je cae enitive, jména proměnných muí začínat pímenem a nemí obahovat tečku. V tab. -3 náleduje eznam některých peciálních proměnných a v tab. -4 je přehled nejpoužívanějších řídicích znaků. Proměnná an ep realmax realmin Tab. -3: Speciální proměnné Popi a použití implicitní proměnná používaná k zápiu výledků neprovede-li uživatel přiřazení do proměnné přenot výpočtu na daném počítači největší možné kladné reálné čílo nejmenší možné kladné reálné čílo 5
Základy práce v protředí MATLAB 6 Proměnná Tab. -3: pokračování Popi a použití pi Ludolfovo čílo π i nebo j imaginární ložka komplexního číla, i j Inf inf nekonečno např. / NaN nan Not a Number např. / computer vypíše typ počítače obvykle PCWIN verion vypíše verzi MATLABu např. v textu popiovaná verze 7.5..34 R7b clock vypání aktuálního čau, je obvykle v náledujícím formátu.e3 *.6.8.5.4.5.448 date aktuální datum v počítači např. 5-Jun-8 nargin počet vtupních argumentů funkce, narginfunkce nargout počet výtupních argumentů funkce, nargoutfunkce Jednotlivé příkazy lze na řádku zapiovat za ebe a navzájem je oddělovat čárkou, nebo tředníkem ;. Čárka, na rozdíl od tředníku, nepotlačuje výpi obr. -. Pokud je příkaz příliš dlouhý, lze jej rozdělit na více řádků použitím tří teček, viz obr. -. Proměnná Tab. -4: Nejpoužívanější řídicí znaky Popi a použití. tečka deetinná tečka, oddělovač proměnných ve truktuře, čárka oddělovač příkazů na řádku výpi není potlačen nebo prvků ; tředník potlačení výpiu po přiřazení do proměnné, volání funkce nebo m-ouboru, oddělovač prvků ve loupci či celých řádků u matic : dvojtečka rozah hodnot nebo indexů ve vektoru nebo matici % procento oddělení komentáře na řádce tři tečky rozdělení dlouhého řádku! vykřičník puštění ytémových příkazů např.! dir výpi adreáře v okně MATLABu nebo! dir & přímo v okně emulátoru DOSu cmd.exe [ ] ohraničení obahu definovaného vektoru nebo matice { } ohraničení obahu definované buňky použití při indexování vektorů nebo matic, obahy apotrof ohraničení textové proměnné, tranpozice matice Při práci proměnnými je možné, že uživatel ztratí přehled kolik a pod jakými jmény jich již nadefinoval. K výpiu aktuálního tavu lze použít příkazy who nebo who. Druhý příkaz z uvedených provede podrobnější výpi eznamu proměnných. Kromě jejich názvu, bude vypán také jejich rozměr x značí proměnnou, jejíž obah je pouze jedno čílo kalár a truktura např. 8 double array značí počet obazených bajtů Byte v paměti a použitou přenot. Proměnné, které již nechceme používat, lze vymazat a ušetřit tak míto v paměti. K tomuto účelu louží příkaz clear. Všechny definované proměnné lze vymazat zadáním clear all, jednotlivou proměnnou pak zadáním clear <proměnná>. Příkaz clear amozřejmě nabízí více možnotí, jako je např. mazání definovaných globálních proměnných apod., více zadáním help clear nebo doc clear.
Komplexní číla Obr. -: Oddělování příkazů na řádku Obr. -: Rozdělení dlouhého příkazu.3 Komplexní číla Zadání komplexního číla e v příkazovém řádku provádí pomocí ymbolu i nebo j. Samotatně lze zobrazit reálnou a imaginární čát komplexního číla pomocí příkazů real a imag, vypočítat abolutní hodnotu délku průvodiče v komplexní rovině pomocí příkazu ab a úhel mezi průvodičem a reálnou oou pomocí příkazu angle. Je také možné vypočítat čílo komplexně družené konjugované pomocí příkazu conj. Na obr. -3 jou uvedeny příklady práce komplexními číly. Obr. -3: Příklady práce komplexními číly.4 Formát zobrazování číel MATLAB pracuje ve dvojnáobné přenoti double preciion. Deetinná číla jou zobrazována deetinnou tečkou, implicitně na 4 deetinná míta formát hort. Formát zobrazování číel neouvií přenotí výpočtu. Změnu formátu číel při výpiu výledku na obrazovku a také případné potlačení mezer mezi řádky umožňuje příkaz format: format hort implicitní formát číla na 5 čílic 4 deetinná míta, format compact potlačí volný řádek v příkazovém okně, 7
Základy práce v protředí MATLAB format looe přidá volný řádek v příkazovém okně. Tab. -5: Možné formáty zobrazení Příkaz Příklad formát číla π pi Popi format hort 3.46 5 čílic 4 deetinná míta format hort eng 3.46e 5 čílic exponent náobek tří format hort e 3.46e minimálně 5 čílic exponent format hort g 3.46 nejlepší z hort nebo hort e format long 3.45965358979 5 čílic 4 deetinných mít format long eng 3.45965358979e 5 čílic exponent náobek tří format long e 3.45965358979e 5 čílic exponent format long g 3.45965358979 nejlepší z long nebo long e format hex 49fb5444d8 hexadecimální šetnáctkový zápi format bank 3.4 deetinná míta format kladné, záporné nebo format rat 355/3 racionální přiblížení format debug Structure addre dfd36 m n pr db76 pi 3.46 informace o vnitřním uložení číla konečným zobrazením hort g.5 Vybrané matematické funkce MATLAB obahuje celou řadu matematických a dalších funkcí, které jou rozděleny do základních kupin. Úplný eznam lze zíkat pomocí příkazu help. Mezi základní kupiny funkcí efektivní je vypání jednotlivých funkcí pomocí help <kupina> patří: help elfun přehled elementárních matematických funkcí, help pecfun přehled peciálních matematických funkcí. Dále lze také zobrazit přehled příkazů pro všeobecné použití, přehled matematických operátorů, relačních operátorů, atd. help general přehled příkazů všeobecného použití, help op přehled všech typů operátorů, help arith přehled aritmetických operátorů, help relop přehled relačních operátorů. Tab. -6: Trigonometrické funkce Funkce in ind inh ain aind ainh Popi inu, argument v radiánech inu, argument ve tupních hyperbolický inu inverzní inu, výledek v radiánech inverzní inu, výledek ve tupních inverzní hyperbolický inu 8
Vybrané matematické funkce Tab. -6: pokračování Funkce co cod coh aco acod acoh tan tand tanh atan atand atanh cot cotd coth acot acotd acoth Popi koinu, argument v radiánech koinu, argument ve tupních hyperbolický koinu, argument v radiánech inverzní koinu, výledek v radiánech inverzní koinu, výledek ve tupních inverzní hyperbolický koinu, výledek v radiánech tangen, argument v radiánech tangen, argument ve tupních hyperbolický tangen, argument v radiánech inverzní tangen, výledek v radiánech inverzní hyperbolický tangen, výledek ve tupních inverzní hyperbolický tangen, výledek v radiánech kotangen, argument v radiánech kotangen, argument ve tupních hyperbolický kotangen, argument v radiánech inverzní kotangen, výledek v radiánech inverzní kotangen, výledek ve tupních inverzní hyperbolický kotangen, výledek v radiánech Funkce Tab. -7: Exponenciální funkce Popi exp exponenciální funkce log přirozený logaritmu v matematice ln, základ e,7 log dekadický logaritmu základ log logaritmu při základu pow mocnina při základu qrt druhá odmocnina nextpow nejbližší vyšší mocnina při základu Funkce Tab. -8: Funkce pro zaokrouhlování Popi a příklad použití fix zaokrouhlování měrem k nule, fix.4 floor zaokrouhlování měrem k, floor.4 ceil zaokrouhlování měrem k, ceil.4 round zaokrouhlování k nejbližšímu celému čílu, round.4, round.7 mod funkce modulo, mod3,5 3 rem zbytek po celočíelném dělení, rem3,5 3 ign funkce ignum znaménková funkce, ign5, ign, ign 5 9
Základy práce v protředí MATLAB Tab. -9: Komplexní funkce Funkce ab angle conj imag real ireal cplxpair Popi abolutní hodnota nebo modul fázový úhel komplexně družená hodnota imaginární čát reálná čát tet pro reálná pole etřídění komplexně družených párů Tab. -: Vybrané peciální matematické funkce Funkce cro dot vektorový oučin kalární oučin Popi Na náledujících obrázcích jou ukázky operací některými elementárními funkcemi, princip zápiu ložitějších výrazů a způob využívání nápovědy. Obr. -4: Použití nápovědy, výpi čáti kupiny elementárních funkcí
Vybrané matematické funkce Obr. -5: Operace některými základními funkcemi Obr. -6: Některé funkce pro zaokrouhlování
3 Práce vektory a maticemi Při eznamování e protředím MATLAB je třeba zvláštní pozornot věnovat maticím, na nichž je činnot protředí MATLAB založena. Z tohoto důvodu i v náledujícím textu podrobněji ukážeme právě práci vektory a maticemi. Zejména pak možnoti jejich definice, nejrůznější operace, které může uživatel vektory a maticemi provádět, a také jejich indexování a princip přítupu k jednotlivým prvkům. Obr. 3-: Vytváření vektorů a matic v MATLABu Jednoduchou matici lze zadat výčtem prvků, který je vložen do hranatých závorek. Prvky matice mohou být libovolné výrazy MATLABu. Matice e zapiují po řádcích, které jou odděleny tředníkem. Jednotlivé prvky každého řádku jou pak odděleny mezerou nebo je lze z důvodu větší přehlednoti oddělit také čárkou. Několik ukázek definice menších vektorů a matic je na obr. 3- a 3-. Exitují amozřejmě i další možnoti jak vektory či matice definovat. Jednoduchým způobem lze vytvořit i dlouhé vektory a matice. S výhodou můžeme použít dvojtečku :. Lze použít i příkazy linpace a logpace. Základní techniky jou hrnuty v tab. 3-, některé příklady na obr. 3-3 a 3-4. MATLAB v těchto případech rozdělí výpi vektoru na více řádků. 3
Práce vektory a maticemi Obr. 3-: Další možnoti při vytváření matic Obr. 3-3: Vytváření dlouhých vektorů příkazy linpace a logpace Obr. 3-4: Vytváření dlouhých vektorů a družování do matic 4
Tab. 3-: Základní techniky vytváření vektorů a matic Některé peciální typy vektorů a matic Technika etavení Popi x [ *pi qrt 3j] Vytvoří řádkový vektor x ze zvolených prvků. x X:X Vytvoří řádkový vektor x od X do X krokem x X:K:X x linpacex,x,n x logpacex,x,n Vytvoří řádkový vektor x od X do X krokem K Vytvoří řádkový vektor x od X do X mající N prvků Vytvoří řádkový vektor x logaritmickým rozložením od X do X mající N prvků 3. Některé peciální typy vektorů a matic V MATLABu je také možné využít peciální typy matic. Pomocí příkazů zero a one lze definovat vektor nebo matici amých nul rep. amých jedniček. Pomocí eye lze definovat jednotkovou matici. Možnoti definice takových matic jou na obr. 3-5 a 3-6. Obr. 3-5: Speciální typy matic zero Obr. 3-6: Speciální typy matic one a eye Velmi užitečný je i příkaz diag, pomocí něhož lze obadit nejen hlavní diagonálu matice vektorem obr. 3-7. 5
Práce vektory a maticemi Obr. 3-7: Obazení diagonály definovaným vektorem 3. Základní operace maticemi Operace vektory či maticemi e v MATLABu zapiují velice jednoduchým způobem. Pro operace mezi dvěma nebo více maticemi e používají operátory uvedené v tab. 3-. Dále lze využít také vnitřní funkce MATLABu pro operace nad jednou maticí. Množtví těchto funkcí a operátorů je poměrně velké. Jejich kompletní eznam zíkáme pomocí help lah rep. help matfun. Některé ukázky jednoduchých operací maticemi jou na obr. 3-8 a 3-9. Operace Sčítání matice a kaláru Náobení matice a kaláru Dělení matice kalárem Tab. 3-: Základní operace maticemi Popi C A c, ke každému prvku matice je přičten kalár c D A * c, každý prvek matice je vynáoben kalárem c E A / c, každý prvek matice je vydělen kalárem c Sčítání rep. odčítání matic F A ± B, oučet rep. rozdíl tejnolehlých prvků matic Náobení matic G A * B, klaické náobení matic Prvkové náobení matic H A.* B, náobení tejnolehlých prvků matic Dělení matic zprava I A / B, pravé dělení matic, platí A / B A B Prvkové dělení zprava Dělení matic zleva Prvkové dělení zprava Mocnění matice Prvkové mocnění matice J A. / B, pravý podíl tejnolehlých prvků matic A a B K A \ B, levé dělení matic, platí A \ B A B L A.\ B, levý podíl tejnolehlých prvků matic B a A M A^ n, n-tá mocnina pouze čtvercové matice N A.^ n, n-tá mocnina každého prvku matice Při zápiu vlatního výrazu, je třeba uvažovat rozměr matice. Některé operace není možné provádět vždy, např. výraz / B není možné z logických důvodů provét. Je ale možné, provét dělení prvkové, tedy. / B. Výpočet výrazu. / A, ale také není zcela v pořádku, dochází při něm k dělení nulou. MATLAB jej ale provede, vypíše varovné hlášení a u prvků, kde došlo k dělení nulou, je výledek inf tedy nekonečno. Situace je na obr. 3-9. V MATLABu je k dipozici i řada tzv. maticových funkcí. Přehled nejpoužívanějších funkcí je v tab. 3-3. Příklady použití některých uvedených funkcí jou na obr. 3- až 3-. 6