Podpora výuky předmětu "Teorie automatického řízení I" Petr Žajdlík

Transkript

1 Podpora výuky předmětu "Teorie automatického řízení I" Petr Žajdlík Bakalářká práce 6

2

3

4 ABSTRAKT Abtrakt čeky Tato bakalářká práce e zabývá vzorovým vypracováním zápočtových protokolů polu návrhem zadání příkladů pro tudenty, to vše k předmětu Teorie automatického řízení I. Konkrétně půjde o vnější popi a analýzu LSDS a v druhé řadě e budeme zabývat yntézou regulačních obvodů a jeho vnitřním popiem. Dalším cílem je hrnout pro tento předmět vyučovanou látku, e kterou e tudenti eznání na přednáškách. Přednášky obahově vychází ze kript Teorie automatického řízení - lineární pojité dynamické ytémy od autorů: Prokop, R., Matušů, R., Prokopová, Z. K vytvoření imulačních chémat použijeme program MATLABSIMULINK od firmy The MathWork, Inc. ABSTRACT Abtrakt ve větovém jazyce My thei deal with the realization of pattern build up include protocol with concept range pecification ample for tudent, that all for ubject Theory of automatic proce control I. Specifically, the external (input-output) decription and analyi of LSDS are conidered and next the ynthei of control ytem and tate-pace decription problem are olved. The next objective i to ummarize the ubject matter, which are tudent acquaint with during chalk talk. It content wa taken from publication Teorie automatického řízení - lineární pojité dynamické ytémy, written by: Prokop, R., Matušů, R., Prokopová, Z. The program environment MATLABSIMULINK from The MathWork, Inc. ha been utilized for creation of imulation cheme.

5 Děkuji Ing. Radkovi Matušů za vedení mé bakalářké práce, za jeho věcné připomínky v průběhu řešení práce, pokytnuté materiály a ochotu při řešení problémů. Ve Zlíně, OBSAH podpi

6 ÚVOD...8 SHRNUTÍ UČIVA PŘEDNÁŠKOVÉ ČÁSTI...9 Úvod do teorie ytémů... 9 Lineární pojité dynamické ytémy... 9 Spojité regulátory a metody jejich natavení... Polynomiální metody návrhu regulátorů... Mnohorozměrné ytémy... Popi ytémů ve tavovém protoru... PŘÍKLADY VÝPOČTŮ ZÁPOČTOVÝCH PROTOKOLŮ.... Protokol č. vnější popi a analýza LSDS periodického ytému..... Stanovení přenoové funkce LSDS..... Určení nul, pólů, řádu a relativního řádu LSDS Rozhodnutí o tabilitě, kmitavoti a fázovoti LSDS Výpočet přechodové funkce a vykrelení přechodové charakteritiky Výpočet impulní funkce a vykrelení impulní charakteritiky Výpočet frekvenčního přenou LSDS a jeho upravení Vykrelení Nyquitovy křivky Vykrelení Bodeho křivky Závěr protokolu č. vnější popi a analýza LSDS periodického ytému.... Protokol č. - vnější popi a analýza LSDS aperiodického ytému Vyjádření přenoové funkce LSDS Stanovení nul, pólů, řádu a relativního řádu LSDS Rozhodnutí o tabilitě, kmitavoti a fázovoti LSDS..... Výpočet přechodové funkce a vykrelení přechodové charakteritiky Výpočet impulní funkce a vykrelení impulní charakteritiky Určení frekvenčního přenou LSDS a jeho úprava Vykrelení Nyquitovy křivky Vykrelení Bodeho křivky Závěr protokolu č. vnější popi a analýza LSDS pro aperiodickou outavu Protokol č. yntéza RO a vnitřní popi pro periodickou outavu Návrh pojitého regulátoru pomocí kritéria tability Spojitý regulátor navržený dvěma klaickými metodami Aplikace dopravního zpoždění na daný ytém a jeho řízení Návrh truktury řízení pro DOF a DOF konfiguraci Popi ytému ve tavovém protoru, řiditelnot a pozorovatelnot ytému Závěr protokolu č. yntéza RO a vnitřní popi pro periodickou outavu Protokol č. yntéza RO a vnitřní popi pro aperiodickou outavu Regulátor navržený pomocí kritéria tability Návrh regulátoru dvěma klaickými metodami Přidání dopravního zpoždění na daný ytém a jeho řízení Návrh truktury řízení pro DOF a DOF konfiguraci Popi ytému ve tavovém protoru, řiditelnot a pozorovatelnot ytému Závěr protokolu č. yntéza RO a vnitřní popi pro aperiodickou outavu Protokol č.3 mnohorozměrový ytém Určení levého a pravého maticového zlomku Rozhodnutí o tabilitě ytému Návrh pojitého dvourozměrného regulátoru Závěr protokolu č.3 mnohorozměrný ytém... 7 ZÁVĚR...7 SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY...75 SEZNAM POUŽITÝCH SYMBOLŮ A ZKRATEK...76

7 SEZNAM OBRÁZKŮ...78 SEZNAM TABULEK...79 SEZNAM PŘÍLOH...8

8 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 8 ÚVOD Úpěšný rozvoj automatizace a její řízení je podpořen dotatečným zabezpečením technickými protředky. K tomu, aby mohl být dále rozvíjen a realizován přechod od mechanizace a dílčí automatizace a její řízení k automatizaci komplexní, aby mohly být využity vypracované teorie, je třeba mít přílušnou oučátkovou a přítrojovou základnu. Protředky automatického řízení prodělaly při vém rozvoji několik čátí. Z počátku to byla měření amotných veličin charakterizující jednotlivé výrobní procey. Poté náledovalo díky rozvoji telemechaniky centrální hromažďování informací z mnoha měřících mít do dozorny, tak bylo umožněno plně proniknout technikům do průběhu amotného proceu. V dalším tupni vývoje byla realizace automatického ovládání a regulace. K těmto především analogovým protředkům automatického řízení e v nepolední řadě přidaly i protředky čílicové. V dnešní době e přitupuje k využívání řídících počítačů pro přímé čílicové řízení i pro automatickou optimalizaci průběhu řízených proceů. Vznikají tak čím dál lepší zařízení na zpracování amotných dat a protředky pro zlepšení komunikace mezi trojem a člověkem. Kybernetika, jako amotatný vědní obor zaznamenal v poledních letech velký rozvoj. Zabývá e zejména zkoumáním a popiem dějů a zákonitotí u hmotných dynamických objektů, především e zaměřením na živou i neživou přírodu, ale i na umělé objekty. Zkoumá je jako oubory tvořené ytémy prvků, které e na vzájem ovlivňují a půobí na ebe. Popiuje a vyhodnocuje jejich vlatnoti a chování z pohledu toku informace mezi prvky. Využívá především poznatků matematiky, fyziky, biologie a moderní techniky. Můžeme říct, že je vědou hledající neutále nové vazby mezi různými obory. Automatizace jako vědní obor mě zaujala natolik, že jem e rozhodl zaměřit tuto bakalářkou práci na hrnutí vyučované látky pro předmět Teorie automatického řízení I, návrh konkrétních číelných hodnot jednotlivých outav pro tudenty a vzorově vypracovat zápočtové protokoly. Tedy zaměřit e hlavně na vnější popi a analýzu LSDS a v druhé řadě na yntézu regulačních obvodů a jeho vnitřním popiem.

9 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 9 SHRNUTÍ UČIVA PŘEDNÁŠKOVÉ ČÁSTI Úvod do teorie ytémů Hitorie, základní pojmy kybernetiky a teorie řízení Sytém a jeho klaifikace Matematické modely a řízení - Příklady ytémů a modelů Abtrakce ytému, zpětná vazba Regulační obvod, veličiny a ytémy v regulačním obvodu Lineární pojité dynamické ytémy Řešení lineárních diferenciálních rovnic Laplaceova tranformace - Heaviideův rozvoj - Definice a účel použití - Vlatnoti LT, vzory a obrazy funkcí - Využití LT pro řešení diferenciálních rovnic - Zpětná LT, věta o reiduích Popi pojitých lineárních dynamických ytémů - Diferenciální rovnice a přenoová funkce - Nuly a póly LSDS, řád a relativní řád - Přechodová a impulová funkce a jejich charakteritiky - Popi ytémů ve frekvenční oblati (Nyquitova křivka) - Logaritmické frekvenční charakteritiky, rezonance Sytémy dopravním zpožděním Stabilita a jejich kritéria - Nutná podmínka tability, tabilní a netabilní polynomy - Stabilita LSDS, Ljapunovká a BIBO tabilita - Algebraická kritéria tability - eometrická kritéria tability Mejerovo kritérium Bloková algebra a vztahy mezi ytémy

10 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky Rozvětvené regulační obvody - Regulační obvod kompenzací poruchy - Regulační obvod pomocnou akční veličinou - Regulační obvod pomocnou řízenou veličinou vlečná regulace - Regulační obvod pro kompenzaci dopravního zpoždění Smithův prediktor Spojité regulátory a metody jejich natavení - Natavení z kritického zeílení (Ziegler Nicholova metoda) - Využití kritéria tability pro návrh regulátorů - Natavení z přechodové charakteritiky (aperiodického typu) - Natavení z přechodové charakteritiky (Åtrömova úprava) - Nalinova metoda - Whitleyovy tandardní tvary - Cohen-Coonova metoda - Chin, Hrone a Rewickova metoda (CHR metoda) Polynomiální metody návrhu regulátorů Okruhy a tělea Diofantické rovnice Návrh regulátorů v základních konfiguracích ytému řízení - Analýza obvodu e trukturou DOF - Analýza obvodu e trukturou DOF Mnohorozměrné ytémy Popi a tabilita mnohorozměrných ytémů Syntéza mnohorozměrného regulačního obvodu Popi ytémů ve tavovém protoru Převod tavového popiu na přeno Převod přenou na tavový popi - Diferenciální rovnice bez derivace na pravé traně - Diferenciální rovnice derivací na pravé traně - Metoda potupné integrace

11 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky Singulární ytémy Neminimální realizace Řešení tavových rovnic - Homogenní tavová rovnice - Nehomogenní tavová rovnice Vlatnoti ytémů - Řiditelnot a doažitelnot - Pozorovatelnot a rekontruovatelnot

12 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky PŘÍKLADY VÝPOČTŮ ZÁPOČTOVÝCH PROTOKOLŮ. Protokol č. vnější popi a analýza LSDS periodického ytému Jednorozměrný lineární pojitý dynamický ytém je dán diferenciální rovnicí: a y'' t a y' t a y t b u t () Doaďte hodnoty do () podle vašeho individuálního zadání a k tomuto ytému vypracujte náledující úkoly:.. Stanovení přenoové funkce LSDS Napište přenoovou funkci zadaného ytému, uvažujte přitom nulové počáteční podmínky: ( t) y' ( t) y( t) u( t) y' ' Uvažujeme nulové počáteční podmínky: y' u z y y' Y y Y U Y Y U Y Y U Y ( ) U Y Po úpravě obdržíme přenoovou funkci ve tvaru: Y U.. Určení nul, pólů, řádu a relativního řádu LSDS Určete nuly, póly, řád a relativní řád ytému: Nuly: Tento dynamický ytém má dvě nuly v nekonečnu. Póly:

13 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 3 Vyřešíme rovnici a tím dotaneme přílušné póly: D -,658 p p,5 j,39,5 - j,39 Řád: Řád ytému je druhý, což vidíme ze tupně polynomu jmenovatele. Relativní řád je taktéž druhý, rovná e tupeň jmenovatele mínu tupeň čitatele...3 Rozhodnutí o tabilitě, kmitavoti a fázovoti LSDS Rozhodněte o tabilitě, periodicitě (kmitavoti) a fázovoti ytému: Sytém je druhého řádu, všechny koeficienty jou kladné nutná podmínka tability. Nutná podmínka tability je zároveň potačující podmínkou tability. Z toho vyplývá, že ytém je tabilní. Kořeny jou komplexně družené, proto je ytém periodický. Sytém je minimálně fázový, protože žádná nula (kořen čitatele) neleží v pravé komplexní polorovině... Výpočet přechodové funkce a vykrelení přechodové charakteritiky Analyticky vypočítejte přechodovou funkci a na jejím základě vykrelete přechodovou charakteritiku. Charakteritiku pak zíkejte také pomoci příkazů MATLABu (Control Sytem Toolbox) a výledky porovnejte. Pomocí lovníku LT využitím metody neurčitých koeficientů: Máme outavu ve tvaru: U Y Y U Reakce outavy na jednotkový kok: Aplikujeme LT: U

14 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky h ( t) L Originál H ( ) Obraz () Rozložíme na parciální zlomky a vypočítáme přílušné koeficienty: H -,5 A,39D E(,5) (,5),39 (,5),39 A(,5),39 ),39D E(,5) A(,5),39 ) (,39 ),39D(,5) A 3,5,66D (,5),39 ),39(,7559) E(,5) D, E,5 E Po výpočtu a úpravě pomocí zpětné LT obdržíme přechodovou funkci ve tvaru: h,5t,5t ( t) A De in,39t Ee co,39t,5t,5t h t,7559e in,39t e co,39t (3) Počáteční a koncový bod určíme limitně: h h lim h( t) lim [ H ] t ( ) lim h( t) lim [ H ] t lim lim lim lim Vypočítat přechodovou funkci lze i pomocí jiných metod, a to - pomocí lovníku LT využitím Heaviideova rozvoje, nebo za pomoci reziduí

15 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 5 h (t) 3,5,5,5 6 8 t [] na základě čaové funkce na základě přenou Obr. Přechodová charakteritika pro periodickou outavu Hodnoty pro vykrelení přechodové charakteritiky zíkáme jednak výpočtem na základě čaové funkce (3), nebo ze zadaného přenou outavy využijeme programu MATLAB (Control Sytem Toolbox), konkrétně příkazu [x,t]tep([],[ ]). Data upravíme a zkopírujeme do Excelu. Obě charakteritiky vykrelíme do jednoho obrázku. Pomocí příkazu tep([],[ ]) lze vykrelit přechodovou charakteritiku v MATLABu do amotatného okna Figure. Na obrázku vidíme v začátku charakteritik nepatrný rozdíl, ten je způoben nedotatkem hodnot při vykrelení. Jinak jou obě křivky podobné...5 Výpočet impulní funkce a vykrelení impulní charakteritiky Analyticky vypočítejte impulní funkci a na jejím základě vykrelete impulní charakteritiku. Charakteritiku pak zíkejte také pomocí příkazů MATLABu (Control Sytem Toolbox) a výledky porovnejte. Pomocí lovníku LT : Aplikujeme LT: { } i t L Originál I Obraz () I,39A,5,39

16 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 6,39A,39A (,5),39 A 3,53 Úpravou a využitím zpětné LT obdržíme impulní funkci: ( t) Ae,5t in,39t i,5t i t 3,53e in,39t (5) Derivací přechodové funkce: i t dh t (6) dt,5t,5t,5t ( t),3779e in,39t e co,39t e co,39t i,658e,5t in,39t Opět po úpravě obdržíme impulní funkci ve tvaru:,5t i t 3,53e in,39t (7) Počáteční a koncový bod určíme opět limitně: i limt i t lim I lim lim lim i( ) limt i ( t) lim I lim lim

17 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 7 i (t),5,5 -, t [] na základě čaové funkce na základě přenou Obr. Impulová charakteritika pro periodickou outavu Data pro vykrelení impulní charakteritiky zíkáme na základě čaové funkce (7) výpočtem využitím programu Excel. Pro rovnání použijeme i data zíkaná na základě zadaného přenou outavy z programu MATLAB, využijeme příkazu [x,t]impule([],[ ]). Obě křivky vykrelíme do jednoho obrázku a vidíme že jou podobné. Přechodovou charakteritiku lze vykrelit do amotatného okna Figure pomocí příkazu impule([],[ ])...6 Výpočet frekvenčního přenou LSDS a jeho upravení Určete frekvenční přeno daného dynamického ytému a upravte jej na ložkový a exponenciální tvar komplexního číla. Na základě přenou určíme frekvenční přeno tím, že za jω: ( jω) ω jω Takto zíkaný frekvenční přeno upravíme:

18 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 8 (,5,5ω ) jω ω jω,5ω,5jω,5 (,5,5ω ),5,5ω,5jω,5,5ω,5ω,65ω,5,5ω,5,875ω,5jω,65ω,65ω,5jω,5jω Po úpravě dotáváme frekvenční přeno vyjádřený pomocí komplexního číla ve ložkovém tvaru: jω,5,5ω,5ω j,5,875ω,65ω,5,875ω,65ω (8) Poté vypočítáme amplitudovou frekvenční charakteritiku: A ω (,5,5ω ),5 ω (,5,875ω,65ω ) (,5,875ω,65ω ),5,5ω,65ω,65ω (,5,875ω,65ω ) (,5,875ω,65ω ),5,875ω,65ω,5,875ω,65ω A ω,5,875ω,65ω (9) Náledně určíme fázovou frekvenční charakteritiku,5ω Im,5,875ω,65ω,5ω ϕ ( jω) arctg arctg arctg Re,5,5ω,5,5ω,5,875ω,65ω () Nakonec po úpravě dotaneme frekvenční přeno vyjádřený pomocí komplexního číla v exponenciálním tvaru: ( jω),5,875ω,65ω e,5ω arctg,5,5ω

19 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 9..7 Vykrelení Nyquitovy křivky S využitím jednoho z výše uvedených tvarů komplexního číla vykrelete amplitudověfázovou frekvenční charakteritiku v komplexní rovině (Nyquitovu křivku). Stejnou charakteritiku vykrelete využitím příkazu MATLABu, výledky porovnejte. Tab. Vybraná data na vykrelení Nyquitovy křivky pro periodickou outavu. ω [rad. - ] reálná imaginární - - -,6 -, , -, 8 -,635 -,8 -, -, -,79 -, -,5 -,5 6 -,57, Obr.3 Nyquitova křivka pro periodickou outavu K zíkání dat pro vykrelení Nyquitovy křivky využijeme výpočtu frekvenčního přenou vyjádřeného pomocí komplexního číla (8) a pro rovnání i zadaného přenou outavy. Na výpi dat do Workpace použijeme příkaz [x,y,t]nyquit[],[ ]). K vykrelení Nyquitovy křivky louží v MATLABU příkaz nyquit([],[ ]) Křivky vykrelíme do jednoho obrázku, tak aby je bylo možné lépe rovnat

20 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky..8 Vykrelení Bodeho křivky Na základě analytického výpočtu vykrelete amplitudově frekvenční a poté i fázovou frekvenční charakteritiku v logaritmických ouřadnicích (Bodeho křivku). Stejné charakteritiky vykrelete také využitím příkazu MATLABu a výledky porovnejte. Amplitudová frekvenční charakteritika v logaritmických ouřadnicích Obr. Amplitudová frekvenční charakteritika v logaritmických ouřadnicích pro periodickou outavu Na obrázku vidíme tejné průběhy obou charakteritik. Fázová frekvenční charakteritika v logaritmických ouřadnicích

21 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky Obr.5 Fázová frekvenční charakteritika v logaritmických ouřadnicích pro periodickou outavu Na obr., obr.5 vidíme vykrelené charakteritiky na základě vypočítaného amplitudového a fázového frekvenčního přenou (9), () a na základě přenou outavy. V programu MATLAB vykrelíme obě frekvenční charakteritiky do jednoho obrázku pomocí příkazu bode([],[ ]). Pokud chceme vypat data do Workpace použijeme příkaz [x,y,t]bode([],[ ])...9 Závěr protokolu č. vnější popi a analýza LSDS periodického ytému Zadaný ytém máme: y' '( t) y' ( t) y( t) u( t) Po úpravě jme obdrželi přenoovou funkci ve tvaru: Náledně jme určili nuly, póly, řád a relativní řád ytému: Tento dynamický ytém má dvě nuly v nekonečnu. Póly jme určili vyřešením rovnice : p,5 j,39 p,5 j,39 Řád i relativní řád ytému je: druhý Rozhodli jem o tabilitě, periodicitě (kmitavoti) a fázovoti ytému:

22 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky Sytém je druhého řádu, všechny koeficienty jou kladné. Můžeme tedy říct, že ytém je tabilní. Kořeny jou komplexně družené, proto je ytém periodický. Sytém je minimálně fázový, protože žádná nula (kořen čitatele) neleží v pravé komplexní polorovině. Analyticky jme vypočítali přechodovou funkci (pomocí lovníku LT využitím metody neurčitých koeficientů) a na základě čaové funkce jme i v programu Excel vykrelili přechodovou charakteritiku: h,5t,5t ( t),7559e in,39t e co,39t Pro ověření jme vykrelili charakteritiku na základě přenou outavy v MATLABu (Control Sytem Toolbox) pomocí příkazu tep([],[ ]). Data z programu MATLAB jme zíkali příkazem [x,t]tep([],[ ]), upravili je a zkopírovali do programu Excel. Vykrelili jme obě křivky do jednoho obrázku. Na obr. je vidět hodnot obou charakteritik. Poté jme analyticky vypočítali impulní funkci (ze lovníku LT a náledně pro ověření derivací přechodové funkce) a opět na základě čaové funkce v programu Excel vykrelili impulní charakteritiku: ( t) 3,53e,5t in,39t i Pro ověření jme vykrelili i charakteritiku na základě přenou outavy v MATLABu pomocí příkazu impule ([],[ ]). Data z programu MATLAB jme zíkali příkazem [x,t]impule([],[ ]) Charakteritiky jou totožné, což je vidět na obr.. Určili jme frekvenční přeno daného dynamického ytému a upravili jej na ložkový a exponenciální tvar komplexního číla: Frekvenční přeno: ( jω) ω jω Frekvenční přeno ve ložkovém tvaru:,5,5ω,5,875ω,65ω,5ω,5,875ω,65ω ( jω) j Frekvenční přeno v exponenciálním tvaru:

23 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 3 ( jω),5,875ω,65ω e,5ω arctg,5,5ω Vykrelili jme amplitudově-fázovou frekvenční charakteritiku v komplexní rovině (Nyquitovu křivku). A to na základě vypočítaného frekvenčního přenou vyjádřeného pomocí komplexního číla v programu Excel a na základě přenou outavy v programu MATLABu pomoci příkazu nyquit([],[ ]). Data z programu MATLAB jme zíkali příkazem [x,y,t]nyquit([],[ ]) Pro rovnání jou obě charakteritiky vidět na obr.3. Vykrelili jme na základě vypočítaného amplitudového a fázového frekvenčního přenou a poté i využitím přenou outavy nejprve amplitudovou frekvenční charakteritiku a náledně fázovou frekvenční charakteritiku v logaritmických ouřadnicích (Bodeho křivku). Pro vykrelení Bodeho křivky jme využili příkazu nyquit([],[ ]). Data z programu MATLAB jme zíkali příkazem [x,y,t]bode([],[ ]) Vykrelené křivky vidíme na obr., obr.5.. Protokol č. - vnější popi a analýza LSDS aperiodického ytému Jednorozměrný lineární pojitý dynamický ytém je dán diferenciální rovnicí: a y'' t a y' t a y t b u t () Doaďte hodnoty podle individuálního zadání a k tomuto ytému vypracujte náledující úkoly:.. Vyjádření přenoové funkce LSDS Napište přenoovou funkci zadaného ytému, uvažujte přitom nulové počáteční podmínky: ( t) 5y' ( t) y( t) u( t) y' ' Uvažujeme nulové počáteční podmínky: y' u z

24 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky y y' 5Y y Y U Y Y 5 U 5Y Y U Y ( 5 ) U Y Po úpravě obdržíme přenoovou funkci ve tvaru: Y U 5.. Stanovení nul, pólů, řádu a relativního řádu LSDS Určete nuly, póly, řád a relativní řád ytému: Nuly: Tento dynamický ytém má dvě nuly v nekonečnu. Póly: Vyřešíme rovnici 5 a tím dotaneme přílušné póly: D 3 p p Řád: Řád ytému je druhý, což vidíme ze tupně plynomu jmenovatele. Relativní řád je taktéž druhý, rovná e tupeň jmenovatel mínu tupeň čitatele...3 Rozhodnutí o tabilitě, kmitavoti a fázovoti LSDS Rozhodněte o tabilitě, periodicitě (kmitavoti) a fázovoti: Sytém je druhého řádu, všechny koeficienty jou kladné nutná podmínka tability. Nutná podmínka tability je zároveň potačující podmínkou tability. Můžeme říct, že ytém je tabilní. Kořeny nejou komplexně družené, proto je ytém aperiodický. Sytém je minimálně fázový, protože žádná nula (kořen čitatele) neleží v pravé komplexní polorovině.

25 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 5.. Výpočet přechodové funkce a vykrelení přechodové charakteritiky Analyticky vypočítejte přechodovou funkci a na jejím základě vykrelete přechodovou charakteritiku. Charakteritiku pak zíkejte také pomoci příkazů MATLABu (Control Sytém Toolbox) a výledky porovnejte. Pomocí lovníku LT užitím metody neurčitých koeficientů: Máme outavu ve tvaru: 5 U Y 5 Reakce outavy na jednotkový kok: Aplikujeme LT: h ( t) L Originál H ( ) Obraz U Rozložíme na parciální zlomky a vypočítáme přílušné koeficienty: H 5 A B C ( ) ( ) B ( ) C ( ) A A A,5 () - 3B B,33 - C C,8 Po výpočtu a aplikaci zpětné LT obdržíme přechodovou funkci ve tvaru: h ( t) A Be t Ce t h t t ( t),5,33e,8e Počáteční a koncový bod určíme limitně:

26 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 6 h limt h ( t) lim H lim lim 5 h ( ) limt h ( t) lim H lim lim, 5 5 Za pomocí reziduí: h H ( t) lim lim lim ( 5 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e t e t 3 e t lim e t lim Přechodovou funkci obdržíme ve tvaru: t t e t e t e lim h t,5,33e,8e (3) t e t h (t),, 6 t [] na základě čaové funkce na základě přenou Obr.6 Přechodová charakteritika pro aperiodickou outavu Data pro přechodovou charakteritiku jme zíkali na základě vypočítané čaové funkce (3) v programu Excel. Pro rovnání použijeme i data zíkaná na základě zadaného přenou outavy z programu MATLAB, využijeme příkazu [x,t]tep([],[ 5 ]).

27 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 7..5 Výpočet impulní funkce a vykrelení impulní charakteritiky Analyticky vypočítejte impulní funkci a na jejím základě vykrelete impulní charakteritiku. Charakteritiku pak zíkejte také pomocí příkazů MATLABu (Control Sytem Toolbox) a výledky porovnejte. Pomocí lovníku LT dotáváme: Aplikujeme LT: { } i t L Originál I Obraz () A B 5 I - - ( ) B( ) A A,33 B,33 Úprav a využitím zpětné LT obdržíme výlednou impulní funkci ve tvaru: ( t) i t t t t ( t),33e,33e i Ae Be Derivací přechodové funkce: i t dh t (5) dt t t i t,33e,33e (6) Limitně určíme počáteční a koncový bod:

28 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 8 i lim t i t lim I lim lim 5 lim 5 i ( ) lim t i ( t) lim I lim lim 5 i (t),, 6 t [] na základě čaové funkce na základě přenou Obr.7 Impulová charakteritika pro aperiodickou outavu Opět jme hodnoty potřebné pro vykrelení impulní charakteritiky zíkali na základě vypočítané čaové funkce (6) v programu Excel. Pro rovnání použijeme hodnoty zíkaná na základě zadaného přenou outavy z programu MATLAB, využijeme příkazu [x,t]impule([],[ 5 ])...6 Určení frekvenčního přenou LSDS a jeho úprava Určete frekvenční přeno daného dynamického ytému a upravte jej na ložkový a exponenciální tvar komplexního číla. Za pomocí přenou outavy určíme frekvenční přeno tím, že za ( jω) ω 5 5jω Zíkaný frekvenční přeno upravíme: jω:

29 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 9 ( ω ) jω ω 5jω ω 5jω ( ω ) ω 5jω 6 7ω ω 5jω ω 5jω 5jω 6 ω ω 5ω ω Dotaneme frekvenční přeno vyjádřený pomocí komplexního číla ve ložkovém tvaru: jω ω 5ω j 6 7ω ω 6 7ω ω (7) V dalším kroku vypočítáme amplitudově frekvenční charakteritiku: A ω ( ω ) 5ω 6 8ω ω 5ω ( 6 7ω ω ) ( 6 7ω ω ) ( 6 7ω ω ) 6 7ω ω ( 6 7ω ω ) ( 6 7ω ω ) A ω 6 7ω ω (8) Dále vypočteme fázově frekvenční charakteritiku: 5ω Im 6 7ω ω 5ω ϕ jω arctg arctg arctg Re ω ω 6 7ω ω (9) Nakonec tanovíme frekvenční přeno v exponenciálním tvaru: ( jω) 6 7ω ω e 5ω arctg ω..7 Vykrelení Nyquitovy křivky S využitím jednoho z výše uvedených tvarů komplexního číla vykrelete amplitudověfázovou frekvenční charakteritiku v komplexní rovině (Nyquitovu křivku). Stejnou charakteritiku vykrelete využitím příkazu MATLABu, výledky porovnejte. Tab. Vybrané hodnoty k vykrelení Nyquitovy křivky pro aperiodickou outavu.

30 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 3 ω [rad. - ] reálná imaginární -, -, ,66 -,56 8 -,5 -,78 -,8 -,3 -,6 -,6 -,6 -,7 6 -,36 -, Obr.8 Nyquitova křivka pro aperiodickou outavu Na obrázku vidíme Nyquitovu křivku, která je vykrelená na základě vypočítaného frekvenčního přenou vyjádřený pomocí komplexního číla (7) v programu Excel a pro rovnání i za pomocí přenou zadané outavy v programu MATLAB (Control Sytem Toolbox). Všimněme i, že obě charakteritiky jou tejné...8 Vykrelení Bodeho křivky Na základě analytického výpočtu vykrelete frekvenční charakteritiku v logaritmických ouřadnicích (Bodeho křivku). Stejnou charakteritiku vykrelete také využitím příkazu MATLABu a výledky porovnejte. Amplitudová frekvenční charakteritika v logaritmických ouřadnicích

31 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 3 Obr.9 Amplitudová frekvenční charakteritika v logaritmických ouřadnicích pro aperiodickou outavu Můžeme říct, že průběhy jou podobné. Fázová frekvenční charakteritika v logaritmických ouřadnicích Obr. Fázová frekvenční charakteritika v logaritmických ouřadnicích pro aperiodickou outavu Na obr.9, obr. vidíme vykrelené charakteritiky na základě vypočítaných frekvenčních funkcí (8), (9) a na základě přenou zadané outavy.

32 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 3..9 Závěr protokolu č. vnější popi a analýza LSDS pro aperiodickou outavu Zadaný ytém: y' '( t) 5y' ( t) y( t) u( t) Přenoovou funkci obdržíme ve tvaru : Určili jem nuly, póly, řád a relativní řád ytému: Tento dynamický ytém má dvě nuly v nekonečnu. Póly jme určili vyřešením rovnice 5 p 5 p Relativní řád i řád ytému je:druhý Rozhodli jme o tabilitě, periodicitě (kmitavoti) a fázovoti ytému: Sytém je druhého řádu, všechny koeficienty jou kladné. Sytém je tedy tabilní. Kořeny jou reálné, proto je ytém aperiodický. Sytém je minimálně fázový, protože žádná nula (kořen čitatele) neleží v pravé komplexní polorovině. Vypočítali jme analyticky přechodovou funkci (pomocí lovníku LT využitím metody neurčitých koeficientů a poté pro ověření za pomoci reziduí ) a na jejím základě vykrelili přechodovou charakteritiku : h t t ( t),5,33e,8e Pro ověření jme vykrelili charakteritiku na základě přenou outavy v MATLABu (Control Sytem Toolbox), potřebná data jme zíkali pomocí příkazu [x,t]tep([],[ 5 ]). Obě charakteritiky jme vykrelili do jednoho grafu v využití programu Excel. A na obr.6 je vidět totožnot obou charakteritik. Poté jme analyticky vypočítali impulní funkci (ze lovníku LT a náledně pro ověření derivací přechodové funkce) a na jejím základě vykrelili impulní charakteritiku: t t ( t),33e,33e i Pro ověření jme vykrelili charakteritiku na základě přenou outavy, hodnoty jme zíkali v MATLABu příkazem [x,t]impule([],[ 5 ]) a křivky vykrelili do jednoho obrázku. Můžeme říct, že obě charakteritiky jou tejné, což je vidět na obr.7.

33 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 33 Určili jme frekvenční přeno daného dynamického ytému a upravili jej na ložkový a exponenciální tvar komplexního číla: Frekvenční přeno: ( jω) ω 5jω Frekvenční přeno ve ložkovém tvaru: ω 6 7ω ω 5ω 6 7ω ω ( jω) j Frekvenční přeno v exponenciálním tvaru: ( jω) 6 7ω ω e arctg 5ω ω Využili jme výše uvedených tvarů komplexního číla a vykrelili amplitudově-fázovou frekvenční charakteritiku v komplexní rovině (Nyquitovu křivku). A to na základě vypočítaného frekvenčního vyjádřený pomocí komplexního číla, využili jme programu Excel a na základě přenou outavy v programu MATLAB. Data na vykrelení křivky jme zíkali pomoci příkazu [x,y,t]nyquit ([],[ 5 ]). Pro rovnání obě charakteritiky vidíme na obr.8. Vykrelili jme na základě analytického výpočtu a poté i využitím přenou outavy nejprve amplitudovou frekvenční charakteritiku a náledně fázovou frekvenční charakteritiku v logaritmických ouřadnicích (Bodeho křivku). Pro vykrelení Bodeho křivky jme využili příkazu bode([],[ ]). Data z programu MATLAB jme zíkali příkazem [x,y,t]bode([],[ ]) Křivky vidíme na obr.9, obr...3 Protokol č. yntéza RO a vnitřní popi pro periodickou outavu Jednorozměrný lineární pojitý dynamický ytém je dán diferenciální rovnicí : a y'' t a y' t a y t b u t () Doaďte hodnoty podle individuálního zadání (viz protokol č..) a k tomuto ytému vypracujte náledující úkoly:

34 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 3.3. Návrh pojitého regulátoru pomocí kritéria tability Pomocí kritéria tability navrhněte pojitý regulátor a imulačně ověřte jeho funkčnot. R q q b a q p r r r q;r q Charakteritický polynom uzavřeného regulačního obvodu je ve tvaru apbq ( )(qq ) 3 (q )q Pomocí Routh-Schurova kritéria tability určíme tabilitu ytému ( q ) q q q q ( ) q q q q q q q > r > q > > 3,5 6,5 3,5 q 5 r Navržený PI regulátor pomocí kritéria tability máme ve tvaru: q q r R r 5

35 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 35 Obr. Simulační chéma základního RO Uvedené imulační chéma vytvořené v programu MATLAB jme použili pro tři níže uvedené imulace regulačního pochodu. Tedy pro obr., 3, 5. w,y,u t [] w - žádaná hodnota y - regulovaná veličina u - regulační záah Obr. Simulace regulačního pochodu pomocí regulátoru navrženém metodou kritériem tability pro periodický ytém Pomocí této metody lze zvolit více kombinací hodnot PI regulátoru. Na obrázku i všimněme regulované veličiny, které trvá delší dobu než e utálí na žádané hodnotě. Průběh regulačního záahu je hodně kmitavý..3. Spojitý regulátor navržený dvěma klaickými metodami Libovolnými dvěmi klaickými metodami navrhněte pojitý regulátor, který zajití tabilní regulační pochod a ledování žádané veličiny. Řízení ytému imulujte. a) Whiteleyovy tandardní tvary Zadaná outava: Pro náš případ budeme navrhovat PID regulátor. b a

36 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 36 Regulátor v obecném tvaru: Přeno řízení: R q q q q p q q q w/ y 3 q q q Tab.3 Hodnoty pro výpočet parametrů regulátoru za n3, Whiteleyovy tandardní tvary Použijeme uvedenou Tab.3:, pro n3, tedy 6,7 6,7 : q q,5 : q 6,7 q,75 : q 6,7 q, 5 Dotáváme PID regulátor ve tvaru: r,5 R r r,75, 5

37 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 37 w,y,u t [] w - žádaná veličina y - regulovaná veličina u - regulační záah Obr.3 Simulace regulačního pochodu regulátorem navrženým Whiteleyho metodou pro periodickou outavu Na obrázku vidíme, že regulátor navržený Whiteleyho metodou má lepší regulační pochod v porovnání předchozí metodou. Regulovaná veličina e utálí poměrně rychle na žádané hodnotě, naproti tomu regulátor na začátku kokové změny žádané hodnoty hodně kmitne. b) Natavení z přechodové charakteritiky (modifikovaná Ziegler Nicholova metoda) Tato metoda je formálně určena pro aperiodické outavy, jak ale bylo ověřeno, lze ji použít i pro outavy periodické. Využijeme náledujícího potupu: - naměříme přechodovou charakteritiku regulované outavy. - Odečít dobu průtahu T u, dobu náběhu T n a finální hodnotu K podle obr.3 - Vypočítáme γ, platí γ T u /T n. - Ze zíkaných parametrů vypočítat z Tab. parametry regulátoru.

38 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 38 y(t) K T u T n t Obr. Určení parametrů K, T u a T n z přechodové charakteritika regulované outavy Tab. Parametry regulátoru pro modifikovanou Ziegler-Nicholovu metodu P PI PD PID k r T I T D γ K - -,9γ K 3,5 T u -,γ K -,5T u,5γ K T u,5 T u T T u n,968,79 K T γ T n u,79,968 3,7665 Návrh PID regulátoru z Tab.: kp,5 γ,5 3,7665,35 r,35 K r TI Tu,968,5936 r 3,9658 TI T,5 T,5,968,8 r r T,39 D u D

39 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 39 Regulátor PID máme ve tvaru: 3,9658 R,35,39 Obr.5 Simulace regulace využitím modifikované Ziegler Nicholovi metody pro periodický ytém Regulovaná veličina e poměrně rychle utálí na žádané hodnotě. Můžeme říct, že regulační pochod jako celek je o něco horší, než u předchozí metody. Opět i všimněme nežádoucího nadkmitu u regulačního záahu pří kokové změně žádané hodnoty..3.3 Aplikace dopravního zpoždění na daný ytém a jeho řízení K danému ytému přidejte dopravní zpoždění Θ ; a řiďte jej pomocí regulátoru navrženého v jedné z metod z předchozího bodu a to nejprve v základním regulačním obvodu a poté pomocí Smithova prediktoru. Pro imulaci budeme brát hodnoty z výpočtu Whiteleyho metody, protože regulační pochod je lepší, než u modifikované Ziegler Nicholovi metody. Regulátor PID máme ve tvaru: a) bez Smithova prediktoru,5 R,75, 5

40 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky Obr.6 Simulační chéma základního RO dopravním zpožděním Regulační chéma jme vytvořili v MATLABu. Využili jme ho k imulaci regulačního pochodu uvedeného na obr.6. Jde o základní RO, do kterého přidáme blok dopravní zpoždění. Obr.7 Simulace regulačního pochodu bez použití Smithova prediktoru pro periodický ytém K danému ytému jme přidali dopravní zpoždění Θ. Tedy maximální povolené v zadání, což mělo velký vliv na regulační pochod. Jak je vidět z obr.7, bez použití Smithova prediktoru tradiční zpětnovazební zapojení nedává pro daný ytém tabilní regulační pochod.

41 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky b) e Smithovým prediktorem Obr.8 Simulační chéma regulačního obvodu Smithův prediktor Obr.9 Simulace regulačního pochodu využitím Smithova prediktoru pro periodický ytém Z obrázku vidíme, jak velký vliv na tabilitu celého ytému může mít použití Smithova prediktoru. Zkvalitní e celý regulační pochod..3. Návrh truktury řízení pro DOF a DOF konfiguraci Navrhněte pomocí polynomiální yntézy pojitý regulátor, zajišťující tabilitu regulačního obvodu a aymptotické ledování žádané hodnoty, pro DOF i DOF

42 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky trukturu řízení. Polynom d na pravých tranách Diofantických rovnic volte ve tvaru d ( m) deg d, tedy náobným kořenem. Regulátory navrhněte a regulační pochody imulujte pro několik hodnot náobného pólu, vizuálně zhodnoťte jejich kvalitu a nejlepší regulační pochod uveďte do protokolu. a) Návrh regulátoru pro trukturu řízení DOF Přeno regulované outavy: a b a a Zavedeme předpoklad, že veškeré poruchy půobící na ytém e rovnají nule. w ( t) v( t) w fw v fv fn f t a t b t f t q t p t d q q q q () p% p% p% () 3 d d d d d m (3) 3 R q q q q q p f p% (p% p % ) Rovnice () má integrační ložku () Setavíme základní Diofantickou rovnici: afp% bq d (5) (% % ) a a a p p b q q q d d d d 3 3 a p% a p% a p% a p% a p% b q a p% b q b q.. d d 3 Roznáobením a porovnáním koeficientů u přílušných mocnin proměnné převedeme problém vyřešení jedné Diofantické rovnice na řešení outavy pěti lineárních rovnic o pěti neznámých.

43 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 3 : a p % % 3 : a p ap d3 % % % : ap ap bq d (6) : a p bq d % : bq d A XB (7) a p% a a p% A a a b X q a b q b q B d 3 d d d d d ( m) 3 m 3 m 6 m m 3 m d d d 6m m m 3 Při výpočtu parametrů regulátoru použijeme m-file v programu MATLAB, protože ruční výpočet je zdlouhavý (viz příloha P).

44 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky Obr. Simulační chéma vytvořené k imulaci truktury řízení DOF Zvolíme za m, obdržíme regulátor ve tvaru: R q ~ f p,7 -,7 ( 3,8),58 Obr. Simulace regulačního pochodu trukturou řízení DOF pro periodickou outavu Při imulaci jme volili několik parametrů m, přičemž vhodný regulační pochod zajitíme pro ladící parametr m,. Při zvyšování m e regulovaná veličina utálí rychleji na žádané hodnotě, ale regulátor muí více zaahovat do regulačního pochodu.

45 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 5 b) Návrh regulátoru pro trukturu řízení DOF Máme outavu přenoem: a b a a w f ( t) v( t) w fw v n f t f t f t a fv fn t b t q t r t p t d 3 t t k - q q q (8) p% p% p% (9) r r (3) t t t t (3) 3 d d d d d (3) 3 ZV PV q q q q p f p% p% p% r r p p% p% První Diofantická rovnice: (33) (3) af p% bq d (35) 3 ( a a a )( p% p% ) b ( q q ) d d d ( m) a p% a p% a p% a p% a p% b q a p% b q... d d : a p % : a p ap d % % % % : ap ap bq d (36) : ap bq d %

46 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 6 A XB (37) a p% a a p% A X a a b q a b q B d d d d d ( m) 3m m 3m m 3 d d 3m m 3 Druhá Diofantická rovnice: tf br d (38) t t t b r d d d (39) 3 3 : t : t d3 : t d () : br d C XD ()

47 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 7 t t C X t r b d D d d Dále jme při výpočtu parametrů regulátoru využili m-filu vytvořeného v MATLABu (viz příloha P). Obr. Simulační chéma vytvořené k imulaci truktury řízení DOF Doadíme za m,5 dotáváme: ZV PV,35,963 3,5,838 3,5

48 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 8 Obr.3 Simulace regulačního pochodu trukturou řízení DOF pro periodickou outavu Optimálního regulačního pochodu doáhneme při volbě parametru m,5. Struktura obvodu DOF kompenzuje nežádoucí podkmity u regulované veličiny, na rozdíl od metody DOF, kde e tyto podkmity objevují..3.5 Popi ytému ve tavovém protoru, řiditelnot a pozorovatelnot ytému Napište libovolný tavový popi. Ze tavového popiu zíkejte zpět přenoovou funkci. Setavte matice řiditelnoti a pozorovatelnoti a rozhodněte, je-li ytém řiditelný, rep. pozorovatelný. b Y a a a U u t y t y t y t x t x t x t y t x t u t x t x t x t y t

49 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 9 ( t) ( t) ( t) ( t) ( t) ( t) ( t) x x u x x x x y u ( t) ( t) A B C D ( ) Zpětný převod: () C(I A) B D () det () ( ) ( ) - () ( ) Určení matice řiditelnoti a pozorovatelnoti: A B C D ( ) R ( B;A B) ; detr 6 je řiditelný a doažitelný ( ) C P C A ( ) detp je pozorovatelný a rekontruovatelný

50 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 5 Determinanty obou matic e nerovnají nule, z čehož plyne, že ytém je jak řiditelný a doažitelný, tak pozorovatelný i rekontruovatelný..3.6 Závěr protokolu č. yntéza RO a vnitřní popi pro periodickou outavu Zadaný přeno outavy: Pomocí kritéria tability jme navrhli pojitý regulátor a imulačně ověřili jeho funkčnot v protředí MATLAB-SIMULINK. Navrhli jme PI regulátor: R 5 Na obr. i všimněme regulované veličiny, které trvá delší dobu než e utálí na žádané hodnotě. Dále jme navrhli pojitý regulátor dvěma klaickými metodami, který zajišťuje tabilní regulační pochod a ledování žádané veličiny. Řízení ytému jme imulovali v protředí MATLAB SIMULINK. a) Využili jme Whiteleyovu metodu návrhu regulátoru Navrhli jme PI D regulátor:,5 R,75, 5 Na obr.3 vidíme, že regulátor navržený Whiteleyho metodou má lepší regulační pochod v porovnání předchozí metodou. Regulovaná veličina e utálila poměrně rychle na žádané hodnotě b) Natavení z přechodové charakteritiky (modifikovaná Ziegler Nicholova metoda) Navrhli jme PID regulátor: 3,9658 R,35,39 Z obr.5 je vidět, že regulátor navržený modifikovanou metodou Ziegler-Nichol nezajišťuje tak kvalitní regulační pochod v porovnání předchozí metodou. K danému ytému jme přidali dopravní zpoždění Θ a řídili jej pomocí regulátoru navrženého Whiteleyovou metodou a to nejprve v základním RO a poté pomocí Smithova prediktoru.

51 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 5 Uvažovali jme PI D regulátor: 3,9658 R,35,39 Jak je vidět z obr.7, bez použití Smithova prediktoru tradiční zpětnovazební zapojení nedává pro daný ytém tabilní regulační pochod. Z obr.9 vidíme, jak velký vliv na tabilitu celého ytému může mít použití Smithova prediktoru. Regulovaná veličina e poměrně rychle utálí na žádané hodnotě. Tím e zkvalitní celý regulační pochod. K imulaci průběhů jme využili chémat vytvořených v programu MATLAB, které vidíme na obr.6 a obr. 8. Náledně jme navrhovali trukturu řízení DOF a DOF. a) pro DOF Při imulaci jme volili několik m, přičemž vhodný regulační pochod zajitíme pro m,5. R,7 -,7,58 ( ) 3,8 Při zvyšování m e regulovaná veličina utálí rychleji na žádané hodnotě, ale regulátor muí více zaahovat do regulačního pochodu. b) pro DOF Optimálního regulačního pochodu doáhneme při volbě parametru m,5. ZV PV,35,963 3,5,838 3,5 Struktura řízení DOF kompenzuje nežádoucí podkmity u regulované veličiny, na rozdíl od truktury řízení DOF, kde e tyto podkmity objevují. Nakonec jme doadili hodnoty ze zadání do přenou a k tomuto ytému napali tavový popi. Ze tavového popiu jme zíkali zpět přenoovou funkci. Setavili

52 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 5 jme matice řiditelnoti a pozorovatelnoti. Při zkoumání jem došli k závěru, že ytém je jak řiditelný a doažitelný, tak i pozorovatelný a rekontruovatelný.. Protokol č. yntéza RO a vnitřní popi pro aperiodickou outavu Jednorozměrný lineární pojitý dynamický ytém je dán diferenciální rovnicí : a y'' t a y' t a y t b u t (3) Doaďte hodnoty podle individuálního zadání (viz protokol č..) a k tomuto ytému vypracujte náledující úkoly:.. Regulátor navržený pomocí kritéria tability Pomocí kritéria tability navrhněte pojitý regulátor a imulačně ověřte jeho funkčnot. R 5 q q q p r r r q;r q b a Charakteritický polynom u RO je ( 5 ) ( q q ) 3 5 d ( q ) q d ap bq Pomocí Routh-Schurova kritéria tability určíme tabilitu ytému 5 q q 5 q q q ( ) q q > q r q q > q > q 3 q > 3 q 3,5 r

53 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 53 Po úpravě dotáváme náledující parametry PI regulátoru: q q r R r 3,5 w,y,u w - žádaná hodnota y - regulovaná veličina u - regulační záah t [] Obr. Simulace regulačního pochodu využitím kritéria tability pro aperiodickou outavu Porovnáme-li tuto metodu návrhu regulátoru metodami Åtrömova a Ziegler Nicholova vidíme, že utálení regulované veličiny na žádané hodnotě trvá nejdelší dobu. Naproti tomu nemuí regulátor tolik zaahovat... Návrh regulátoru dvěma klaickými metodami Libovolnými dvěmi klaickými metodami navrhněte pojitý regulátor, který zajití tabilní regulační pochod a ledování žádané veličiny. Řízení ytému imulujte. y ''( t) 5y'( t) y( t) u( t) a) Åtrömova metoda Hodnoty Tu, Tn, K určíme tejným potupem, jako v předešlém protokolu.3, přičemž využijeme i tejných imulačních chémat. Budeme měnit pouze parametry regulátoru a outavy.

54 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 5 T T u n L,6,5878 K,5 a K L T n,5,6,96,5878 Návrh PI regulátoru: k p,9 a,9,96 5,98 r 5,98 T I 3 L 3,6,3738 r r T I,8 Úpravou obdržíme PI regulátor ve tvaru:,8 R 5,98 w,y,u t [] w - žádaná hodnota y - regulovaná veličina u - regulační záah Obr.5 Simulace regulačního pochodu pomocí Åtrömovi metody pro aperiodickou outavu U této metody návrhu regulátoru vidíme celkem rychlé utálení regulované veličiny na žádané hodnotě. Naproti tomu amplituda regulačního záahu je poněkud zvlněná.

55 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 55 b) Natavení z přechodové charakteritiky (modifikovaná Ziegler Nicholova metoda) T T u n,6,5878 K,5 T γ T n u,5878,6,73 Návrh PI regulátoru: k P,9 γ K,9,73,5 5,875 r 5,875 T I 3,5 T u 3,5,6,36 r r T I 5,98 Výledný PI regulátor dotaneme ve tvaru: 5,98 R 5,875 w,y,u t [] w - žádaná hodnota y - regulovaná veličina u - regulační záah Obr.6 Simulace regulačního pochodu využití modifikované Ziegler Nicholovi metody pro aperiodickou outavu Na obrázku vidíme podobný průběh jako u předchozí metody. Srovnáme-li obrázky důkladněji, můžeme říct že regulační pochod je lepší než u předešlé metody.

56 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky Přidání dopravního zpoždění na daný ytém a jeho řízení K danému ytému přidejte dopravní zpoždění Θ ; a řiďte jej pomocí regulátoru navrženého v jedné z metod z předchozího bodu a to nejprve v základním regulačním obvodu a poté pomocí Smithova prediktoru. Hodnoty regulátoru bereme z výpočtu modifikované Ziegler Nicholovi metody, protože regulační pochod je přijatelnější než u Åtrömovi metody. Regulátor PI dotaneme ve tvaru: 5,98 R 5,875 a) bez Smithova prediktoru w,y,u w - žádaná hodnota y - regulovaná veličina u - regulační záah Obr.7 Simulace regulačního pochodu bez použití Smithova prediktoru pro aperiodickou outavu t [] Provedli jme imulaci regulace pomocí modifikované Ziegler Nicholovi metody v základním regulačním obvodu bez použití Smithova prediktoru. Opět vidíme jak velký vliv na tabilitu celého ytému má dopravní zpoždění. Celý ytém e tává netabilním. b) e Smithovým prediktorem

57 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 57 w,y,u t [] w - žádaná hodnota y - regulovaná veličina u - regulační záah Obr.8 Simulace regulačního pochodu využitím Smithova prediktoru pro aperiodickou outavu Můžeme říct, že Smithův prediktor má opět velký vliv na tabilitu celého ytému dopravním zpožděním... Návrh truktury řízení pro DOF a DOF konfiguraci Navrhněte pomocí polynomiální yntézy pojitý regulátor, zajišťující tabilitu regulačního obvodu a aymptotické ledování žádané hodnoty, pro DOF i DOF trukturu řízení. Polynom d na pravých tranách Diofantických rovnic volte ve tvaru d ( m) deg d, tedy náobným kořenem. Regulátory navrhněte a regulační pochody imulujte pro několik hodnot náobného pólu, vizuálně zhodnoťte jejich kvalitu a nejlepší regulační pochod uveďte do protokolu a) Návrh regulátoru pro trukturu řízení DOF Máme outavu ve tvaru: 5 a b a a w ( t) v( t) w fw v fv fn f t a t b t f t q t p t d

58 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 58 q q q q () p% p% p% (5) 3 d d d d d m (6) 3 R q q q q q p f p% p% p% Rovnice (7) má integrační ložku (7) Diofantická rovnice afp% bq d (8) (% % ) a a a p p b q q q d d d d 3 3 a p% a p% a p% a p% a p% b q a p% b q b q.. d d 3 : a p % % 3 : a p ap d3 % % % : ap ap bq d (9) : a p bq d % : bq d a p% a a 5 p% A a a b 5 X q a b q b q B d 3 d d d

59 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 59 d ( m) 3 m 6 m m 3 m d 3 m d d d 6m m m 3 Stejně tak použijeme při výpočtu parametrů regulátoru m-file v program MATLAB, ulehčíme i od ručního výpočtu (viz příloha P). Zvolíme za ladící parametr m,5 obdržíme tak regulátor ve tvaru: R q ~ f p,5 9,5 5,65 ( ) w,y,u t [] w - žádaná hodnota y - regulovaná veličina u - regulační záah Obr.9 Simulace regulačního pochodu trukturou řízení DOF pro aperiodickou outavu Regulaci jme imulovali pro několik parametrů m, přičemž optimální regulační pochod zajitíme pro parametr m,5. Při zvyšování m e urychlí regulační pochod. Naproti tomu vzniká nežádoucí tále vyšší nadkmit. Jednak u regulované veličiny ale i u regulačního záahu.

60 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 6 b) Návrh regulátoru pro trukturu řízení.dof Soutava má tvar: 5 a b a a w f ( t) v( t) w fw v n f t f t f t a fv fn t b t q t r t p t d 3 t t k - q q q (5) p% p% p% (5) r r (5) t t t t (53) 3 d d d d d (5) 3 ZV PV q q q q p f p% p% p% r r p p% p% První Diofantická rovnice: (55) (56) af p% bq d (57) 3 ( a a a )( p% p% ) b ( q q ) d d d ( m) a p% a p% a p% a p% a p% b q a p% b q... d d : a p % : a p ap d % % % % : ap ap bq d (58) : ap bq d %

61 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 6 A XB (59) a p% a a 5 p% A X a a b 5 q a b q d B d d d ( m) m 3m m 3 d d d 3 m 3m 3 m Druhá Diofantická rovnice: tf br d (6) t t t b r d d d (6) 3 3 : t : t d3 : t d (6) : br d C XD (63)

62 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 6 t t C X t r b d D d d Opět jme při výpočtu parametrů regulátoru využili m-filu vytvořeného v MATLABu (viz příloha P). Zvolíme-li za ladící parametr m 3 dotaneme: ZV PV 3 7 w,y,u t w - žádaná hodnota y - regulovaná veličina u - regulační záah Obr.3 Simulace regulačního pochodu trukturou řízení DOF pro aperiodickou outavu Dále jme provedli imulaci pro několik parametrů m, a došli k náledujícímu závěru. Při volbě m < je ytém značně rozkmitaný. Regulátor nezvládá voji funkci.

63 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 63 Optimální imulace je pro ladící parametr m 3 a dále při zvyšujícím m e krátí ča regulace. Naproti tomu narůtá nadkmit u regulačního záahu. V praxi záleží pro jakou outavu budeme regulátor navrhovat...5 Popi ytému ve tavovém protoru, řiditelnot a pozorovatelnot ytému b Doaďte hodnoty z Vašeho zadání do přenou a a a a k tomuto ytému napište libovolný tavový popi. Ze tavového popiu zíkejte zpět přenoovou funkci. Setavte matice řiditelnoti i pozorovatelnoti a rozhodněte, je-li ytém řiditelný, rep. pozorovatelný. b Y Z a a a 5 5 Z U u t u t y t 5y t y t u t z t 5z t z t y t z t z t y( t) x ( t) x ( t) x t z t x t z t x t x t x t u t 5x t x t ( t) ( t) x t x t u t x t 5 x t x x y t u t

64 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 6 A 5 B C ( ) D Zpětný převod: () C(I A) B D (6) det () ( ) ( ) -5 5 () ( ) 5 5 Určení matice řiditelnoti a pozorovatelnoti: A B C D ( ) 5 R ( B;A B) ; 5 5 detr je řiditelný a doažitelný ( ) C P C A ( ) 5 detp je nepozorovatelný a nerekontruovatelný Vidíme, že determinant matice R e nerovná nule, ytém je tedy řiditelný a doažitelný. Naproti tomu determinant matice P e rovná nule, ytém je nepozorovatelný a tedy i nerekontruovatelný.

65 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky Závěr protokolu č. yntéza RO a vnitřní popi pro aperiodickou outavu Zadaný přeno outavy: 5 Rozhodli jme, že pro naši outavu budeme navrhovat regulátor typu PI, který e v praxi hojně používá. Pomocí kritéria tability jme navrhli pojitý regulátor a imulačně ověřili jeho funkčnot v protředí MATLAB-SIMULINK Obdržíme regulátor PI ve tvaru: R 3,5 Porovnáme-li tuto metodu návrhu regulátoru metodami Åtrömova a modifikovaná Ziegler Nicholova vidíme, že utálení regulované veličiny na žádané hodnotě trvá nejdelší dobu. Naproti tomu nemuí regulátor tolik zaahovat. Dále jme navrhli pojitý regulátor dvěma metodami, který zajišťuje tabilní regulační pochod a ledování žádané veličiny. Řízení ytému jme imulovali. a) jme použili Åtrömovu metodu Navrhli jme PI regulátor:,8 R 5,98 U této metody návrhu regulátoru vidíme rychlé utálení regulované veličiny na žádané hodnotě. Regulátor muí více zaahovat do regulačního pochodu. Metoda je vhodná pro aperiodické přechodové charakteritiky. b) Natavení z přechodové charakteritiky (modifikovaná Ziegler Nicholova metoda) Navrhli jme PI regulátor ve tvaru: 5,98 R 5,875 Na obr.6 vidíme podobný průběh jako u předchozí metody. Srovnáme-li obrázky důkladněji, můžeme říct že regulační pochod je lepší než u předchozí metody. K danému ytému jme přidali dopravní zpoždění Θ a řídili jej pomocí regulátoru navrženého modifikovanou Ziegler Nicholovou metodou a to nejprve v základním regulačním obvodu a poté pomocí Smithova prediktoru. Regulátor PI jme navrhli ve tvaru: 5,98 R 5,875 Z obr.7 opět vidíme jak velký vliv na tabilitu celého ytému má dopravní zpoždění.