4 Soustavy lineárních rovnic

Podobné dokumenty
Lineární algebra. Vektorové prostory

Rostislav Horčík. 13. října 2006

Gymnázium, Praha 10, Voděradská 2 Projekt OBZORY

Výrazy lze též zavést v nečíselných oborech, pak konstanty označuji jeden určitý prvek a obor proměnné není množina čísel.

2.1. Pojem funkce a její vlastnosti. Reálná funkce f jedné reálné proměnné x je taková

Definice z = f(x,y) vázané podmínkou g(x,y) = 0 jsou z geometrického hlediska lokálními extrémy prostorové křivky k, Obr Obr. 6.2.

Grafické řešení soustav lineárních rovnic a nerovnic

pro řešení soustav lineárních rovnic. Gaussova eliminační metoda pro řešení soustavy lineárních rovnic sestává ze dvou kroků:

11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice

IRACIONÁLNÍ ROVNICE. x /() 2 (umocnění obou stran rovnice na druhou) 2x 4 9 /(-4) (ekvivalentní úpravy) Motivace: Teorie: Řešené úlohy:

KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE (početní a grafická řešení)

Asymptoty grafu funkce

Numerická integrace. 6. listopadu 2012

a m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem.

(k 1)x k + 1. pro k 1 a x = 0 pro k = 1.

UŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE

MATEMATIKA I VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY

6. Matice. Algebraické vlastnosti

Druhá mocnina. Druhá odmocnina Druhá odmocnina. Předpoklady: V této hodině jsou kalkulačky zakázány.

3. Polynomy Verze 338.

2.6.4 Lineární lomené funkce s absolutní hodnotou

Goniometrie trigonometrie

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/ Reálná čísla

Rovnice s neznámou pod odmocninou I

Jan Březina. Technical University of Liberec. 17. března 2015

Hra a hry. Václav Vopravil. Teorie kombinatorických her se zabývá abstraktními hrami dvou hráčů. Hra je definována R },

Exponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu

Funkce Vypracovala: Mgr. Zuzana Kopečková

Fyzikální praktikum 3 - úloha 7

MS Word 2007 REVIZE DOKUMENTU A KOMENTÁŘE

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

2 Trochu teorie. Tab. 1: Tabulka pˇrepravních nákladů

Řešení lineárních a kvadratických funkcí v prostředí programu GeoGebra

c sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = Vypočtěte stranu b a zbývající úhly.

Soustavy lineárních rovnic

Matematický model kamery v afinním prostoru

2.8.8 Kvadratické nerovnice s parametrem

4 DVOJMATICOVÉ HRY. Strategie Stiskni páku Sed u koryta. Stiskni páku (8, 2) (5, 3) Sed u koryta (10, 2) (0, 0)

Soustavy lineárních rovnic

Stavební mechanika přednáška, 2. května 2016

Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB

4. R O V N I C E A N E R O V N I C E

Taky si zkuste promyslet, která zobrazení jsou afinní: to které zobrazí přímku jako rovinu? Nebo snad to které zobrazí rovinu jako přímku?

M - Příprava na čtvrtletní písemnou práci

7. Silně zakřivený prut

Vztah mezi dvěma čísly, které se rovnají, se nazývá rovnost, jako například : ( 2) 3 = 8 4 = 2 ; 16 = 4 ; 1 = 1 a podobně. 2

Matematika pro 9. ročník základní školy

Jan Paseka. Masarykova Univerzita Brno. 3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC p.1/57

1 Měření kapacity kondenzátorů

( ) ( ) Podmíněné pravděpodobnosti I. Předpoklady: 9207

( ) ( ) Sčítání vektorů. Předpoklady: 7201

Kvadratické rovnice pro učební obory

Matice. Význačné matice. Matice A typu (m, n) je uspořádané schéma m*n prvků, které jsou zapsány do m řádků a n sloupců:

Sekvenční obvody. S R Q(t+1) 0 0? Q(t)

1.7. Mechanické kmitání

Orientovaná úseka. Vektory. Souadnice vektor

Analytická geometrie ( lekce)

Regresní analýza. Statistika II. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel

2.2.2 Zlomky I. Předpoklady:

Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9 Projekt MŠMT ČR: EU PENÍZE ŠKOLÁM

Daniel Velek Optimalizace 2003/2004 IS1 KI/0033 LS PRAKTICKÝ PŘÍKLAD NA MINIMALIZACI NÁKLADŮ PŘI VÝROBĚ

( ) Slovní úlohy o společné práci I. Předpoklady: Sepiš postup na řešení příkladů o společné práci.

Změnu DPH na kartách a v ceníku prací lze provést i v jednotlivých modulech.

Ne tak letmý úvod k maticím První pracovní verze

MODEL MOSTU. Ing.Jiřina Strnadová. Evropský sociální fond Praha a EU Investujeme do vaší budoucnosti. Předmět:Fyzika

3. Slimák lezl na strom 10m vysoký. Přes den vylezl 4m ale v noci vždycky sklouzl o 3m. Za kolik dní dosáhl vrcholu stromu?

pracovní list studenta

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )

M - Rovnice - lineární a s absolutní hodnotou

M-10. AU = astronomická jednotka = vzdálenost Země-Slunce = přibližně 150 mil. km. V následující tabulce je závislost doby

Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X se nazývá obraz.

7. Odraz a lom. 7.1 Rovinná rozhraní dielektrik - základní pojmy

6 Extrémy funkcí dvou proměnných

( ) ( ) ( ) 2 ( ) Rovnice s neznámou pod odmocninou II. Předpoklady: 2715

Příklad 1.3: Mocnina matice

Úloha 2 Tepelný odpor a vrstvená konstrukce

Jednofázový alternátor

5.1.2 Volné rovnoběžné promítání

Line rn oper tory v euklidovsk ch prostorech V t to sti pou ijeme obecn v sledky o line rn ch oper torech ve vektorov ch prostorech nad komplexn mi sl

Definice a vlastnosti funkcí

Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně

Profilová část maturitní zkoušky 2015/2016

Posouzení únosnosti svaru se provádí podle zásad pružnosti a pevnosti v nebezpečném průřezu.

( x ) 2 ( ) Další úlohy s kvadratickými funkcemi. Předpoklady: 2501, 2502

2. SÉRIE: SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC, METODY E ENÍ. lineárních rovnic (prove te zkou²ku dosazením):

B Kvantitativní test. Semestrální práce TUR. Novotný Michal

ČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ

Střední průmyslová škola a Vyšší odborná škola technická Brno, Sokolská 1. Podpora digitalizace a využití ICT na SPŠ CZ.1.07/1.5.00/34.

Nerovnice s absolutní hodnotou

5.2.3 Kolmost přímek a rovin I

Úlohy domácího kola kategorie C

Úprava tabulek v MS Word. Centrum pro virtuální a moderní metody a formy vzdělávání na Obchodní akademii T. G. Masaryka, Kostelec nad Orlicí

GEOMETRICKÁ TĚLESA. Mnohostěny

Přílohy. Příloha I. Seznam příloh

Kontrolní test Číslicová technika 1/2. 1.Převeďte číslo 87 z desítkové soustavy z= 10 do soustavy dvojkové z=2

Řešení: Dejme tomu, že pan Alois to vezme popořadě od jara do zimy. Pro výběr fotky z jara má Alois dvanáct možností. Tady není co počítat.

(3) Zvolíme pevné z a sledujme dráhu, kterou opisuje s postupujícím časem koncový bod vektoru E v rovině z = konst. Upravíme vztahy (2) a (3)

Business Contact Manager Správa kontaktů pro tisk štítků

Využití fixních a variabilních nákladů pro manažerské rozhodování a finanční řízení

AMU1 Monitorování bezpečného života letounu (RYCHLÝ PŘEHLED)

Transkript:

4 Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic, to znamená několika lineárními rovnicemi, které musí být současně splněny. 4.1 Základní pojmy Definice Soustavu m lineárních rovnic o n neznámých zapisujeme ve tvaru a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2,. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m, (1) kde a ij, b i pro i = 1,..., m, j = 1, 2,..., n jsou daná čísla. Hledáme n-tici čísel (reálných nebo komplexních) (v 1, v 2,..., v n ) takovou, že po dosazení v i za x i do 1 dostaneme identity. Označujeme-li A = pak ( 1) lze zapsat ve tvaru a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n... a m1 a m2... a mn, x = x 1 x 2... x n, b = b 1 b 2... b m, Ax = b, (2) Matice A se nazývá matice soustavy ( 1), matice b se nazývá sloupec pravých stran a matice x se nazývá matice neznámých. Matice A a b zapisujeme také společně jako jednu matici, označujeme ji A b, v níž poslední sloupec tvoří sloupec pravých stran a při jejím zápisu pomocí prvků oddělujeme poslední sloupec svislou čarou, tj. A b = a 11 a 12... a 1n b 1 a 21 a 22... a 2n b 2............... a m1 a m2... a mn b m Matice A b se nazývá rozšířená matice soustavy. Je-li matice pravých stran b nulová, nazývá se taková soustava homogenní, je-li alespoň jedno z čísel b i, i = 1, 2,..., m nenulové, mluvíme o nehomogenní soustavě. Pojem řešitelnosti soustavy lineárních rovnic 1

Na soustavě dvou rovnic se dvěma neznámými x, y a 11 x + a 12 y = b 1, a 21 x + a 22 y = b 2 si ukážeme tři možnosti pro řešitelnost soustavy lineárních rovnic. (a) Soustava má jediné řešení. Například soustava x + y = 3 x y = 1 ( 1 1 má jediné řešení x = (2, 1) T. Vidíme, že det 1 1 je regulární. ) = 2 0, tj. matice soustavy Jestliže x a y považujeme za souřadnice bodu v rovině, pak každá rovnice soustavy vyjadřuje přímku v rovině. Dvojice v 1, v 2 je řešením soustavy, právě když bod [v 1, v 2 ] leží na obou přímkách. y y x + y = 3 x y = 1 [2, 1] 0 1 3 x x + y = 3 2x + 2y = 6 0 3 x Obrázek 1: Obrázek 2: V našem případě mají obě přímky společný bod [2, 1] - viz obr. 1. (b) Soustava má nekonečně mnoho řešení. Například soustava x + y = 3 2x + 2y = 6 obsahuje dvě rovnice, z nichž druhá je dvojnásobkem první. Druhá rovnice tedy nedává žádnou novou informaci o dvojici neznámých x, y, a proto ji můžeme vynechat. Tím se soustava redukuje na jednu rovnici se dvěma neznámými. Jejím řešením je nekonečně mnoho dvojic, pro něž platí y = 3 x, ( 1 1 např. (1, 2) T, (2, 1) T, ( 1, 4) T atd. Vidíme, že det 2 2 je singulární. Geometricky vyjadřují obě rovnice tutéž přímku (viz obr. 2). 2 ) = 0, tj. matice soustavy

(c) Soustava nemá řešení. Například soustava x + y = 3 2x + 2y = 4 nemá řešení, neboť levá strana 2. rovnice je dvojnásobek( levé strany ) 1. rovnice, pro 1 1 pravé strany však uvedený vztah neplatí. Vidíme, že det = 0. Geometricky 2 2 y x + y = 3 0 2 3 2x + 2y = 4 x Obrázek 3: vyjadřují obě rovnice dvě různé rovnoběžné přímky (nemají společný bod) viz obr.3. Poznámka Řešit soustavu znamená najít všechna její řešení, popř. zjistit, že je neřešitelná. Má-li soustava nekonečně mnoho řešení, řešit soustavu znamená uvést předpis, podle něhož lze vyjádřit jednotlivé neznámé. V předchozím příkladě (b) lze tento předpis uvést ve tvaru x = t, y = 3 t, t R. Geometricky řečeno, zapsali jsme přímku x + y = 3 v parametrickém tvaru. 4.2 Metody řešení soustav lineárních rovnic 4.2.1 Elementární úpravy matice Mějme dánu soustavu lineárních rovnic tvaru (1) s maticí soustavy A = (a ij ) typu (m, n). Elementárními úpravami matice A budeme rozumět kteroukoli z následujících úprav: přehození i-tého a j-tého řádku; vynásobení i-tého řádku nenulovým číslem; přičtení k-násobku i-tého řádku k j-tému řádku. 3

Elementárními úpravami matice A vznikne matice B. O maticích A a B říkáme, že jsou ekvivalentní. Značíme A B. Lze dokázat, že elementárními úpravami matice soustavy získáme soustavu rovnic, která má stejné řešení. Elementární úpravy aplikované na matici soustavy jsou tedy takové úpravy, které nemění řešení soustavy. Poznámka Někdy se za elementární úpravy považuje i vyškrtnutí nulového řádku. Tato úprava však mění typ matice, a proto ji za elementární úpravu nebudeme považovat. Další pojem, který zavedeme je matice ve stupňovitém tvaru. Řekneme, že matice A je ve stupňovitém tvaru, jestliže platí: Je-li v některém řádku prvek na i-tém místě první nenulový, potom ve všech dalších řádcích jsou všechny prvky až do i-tého včetně rovny nule. 4.2.2 Gaussova eliminační metoda Proces Gaussovy eliminace budeme při řešení soustavy lineárních rovnic realizovat na prvky rozšířené matice soustavy. Uvedeme paralelně dva způsoby vylučování neznámých, jednak přímo v soustavě, jednak s prvky rozšířené matice soustavy. Cílem úprav je převést rozšířenou matici soustavy do stupňovitého tvaru. x 1 +3x 2 +x 3 = 5 2x 1 +x 2 +x 3 = 2 x 1 +x 2 +5x 3 = 7 1 3 1 5 2 1 1 2 1 1 5-7 1. krok Ze všech rovnic, kromě první, vyloučíme neznámou x 1. U rozšířené matice soustavy to znamená, že chceme, aby v pozicích (2, 1) a (3, 1) byly nulové prvky. První řádek opíšeme a postupně jej násobíme číslem 2 a přičteme ke druhému řádku, číslem 1 a přičteme ke třetímu řádku. x 1 +3x 2 +x 3 = 5 5x 2 x 3 = 8 2x 2 +4x 3 = 12 1 3 1 5 0 5 1 8 0 2 4 12 2. krok Vyloučíme x 2 ze třetí rovnice. U rozšířené matice soustavy násobíme druhý řádek číslem 2 5 a přičteme ke třetímu řádku. Tím dostaneme v pozici (3, 2) nulový prvek. x 1 +3x 2 +x 3 = 5 5x 2 x 3 = 8 22 x 5 3 = 44 5 1 3 1 5 0 5 1 8 22 0 0 5 44 5 (3) Rozšířená matice soustavy ( 3) je již ve stupňovitém tvaru. Proces Gaussovy eliminace je u konce. Soustavu ( 3) již snadno vyřešíme zpětným dosazením: 22 5 x 3 = 44 5 x 3 = 2 5x 2 x 3 = 8 x 2 = 2 x 1 + 3x 2 + x 3 = 5 x 1 = 1. 4

Řešením je trojice čísel (1, 2, 2) T. O správnosti řešení se můžeme přesvědčit dosazením trojice do dané soustavy. Dalšími dvěma příklady budeme ilustrovat použití Gaussovy eliminace pro případ soustavy, která má nekonečně mnoho řešení, a pro případ neřešitelné soustavy. Řešme soustavu x 1 2x 2 +3x 3 4x 4 = 4 x 2 x 3 +x 4 = 3 x 1 +3x 2 3x 4 = 1 7x 2 +3x 3 +x 4 = 3. V tomto příkladě již budeme vylučovat neznámé Gaussovou eliminací pouze v rozšířené matici soustavy. Rozšířenou matici soustavy A b = převedeme Gaussovou eliminací na matici 1 2 3 4 4 0 1 1 1 3 1 3 0 3 1 0 7 3 1 3 1 2 3 4 4 0 1 1 1 3 0 0 1 2 6 0 0 0 0 0 Rozšířená matice soustavy má po eliminaci jeden řádek nulový a ten odpovídá rovnici 0 x 1 + 0 x 2 + 0 x 3 + 0 x 4 = 0, která je splněna identicky, tj. platí pro libovolnou čtveřici čísel, a proto ji můžeme vynechat. Ekvivalentní soustava vzniklá po eliminaci má tedy tvar x 1 2x 2 +3x 3 4x 4 = 4 x 2 x 3 +x 4 = 3 x 3 2x 4 = 6. (4) Chceme zjistit výsledný tvar řešení. Převedeme soustavu ( 4) na tvar x 1 2x 2 +3x 3 = 4 +4x 4, x 2 x 3 = 3 x 4, x 3 = 6 +2x 4. Jestliže do této soustavy dosadíme x 4 = t, t R, dostaneme soustavu, kterou již umíme řešit zpětným dosazením. 5

Soustava má tedy nekonečně mnoho řešení tvaru x 1 = 8, x 2 = 3 + t, x 3 = 6 + 2t, x 4 = t, t R, např. [ 8, 4, 8, 1], [ 8, 3, 6, 0], apod. Řešme soustavu Rozšířenou matici soustavy upravíme eliminací na tvar x 1 +2x 2 +3x 3 = 4 2x 1 +x 2 x 3 = 3 3x 1 +3x 2 +2x 3 = 10 A b = 1 2 3 4 2 1-1 3 3 3 2 10 1 2 3 4 0 3 7 5 0 0 0 3 Ekvivalentní soustava vzniklá po eliminaci má tedy tvar x 1 +2x 2 +3x 3 = 4 3x 2 +7x 3 = 5 0 x 3 = 3. Neexistuje x 3 takové, aby byla splněna poslední rovnice vzniklé soustavy. Daná soustava je tudíž také neřešitelná. 4.2.3 Podmínky řešitelnosti soustavy lineárních rovnic Při realizaci Gaussovy eliminace lze zároveň rozhodnout o řešitelnosti a jednoznačnosti řešení soustavy. Pomocí matice a rozšířené matice soustavy můžeme vyslovit obecné podmínky řešitelnosti a jednoznačnosti řešení. Každé matici A přiřadíme celé nezáporné číslo h(a), které nazýváme hodnost matice a definujeme jako počet nenulových řádků v matici, kterou dostaneme převedením matice A do stupňovitého tvaru. Vraťme se nyní k příkladům z předcházejícího odstavce a zkusme formulovat podmínky řešitelnosti uvedených soustav pomocí hodnosti matice soustavy a hodnosti matice rozšířené. 6

1. V příkladě 3.2, kde soustava měla jediné řešení, vznikla po eliminaci rozšířená matice ve tvaru 1 3 1 5 A b = 0 5 1 8 22 0 0 5 44 5 Matice soustavy i rozšířená matice mají 3 nenulové řádky, a proto mají obě hodnost 3, tj. h(a) = h(a b) = 3. 2. V příkladě 3.3, kde soustava měla nekonečně mnoho řešení, vznikla po eliminaci rozšířená matice ve tvaru 1 2 3 4 4 0 1 1 1 3 0 0 1 2 6 0 0 0 0 0 Zde je h(a) = h(a b) = 3. Připomeňme, že šlo o soustavu, která má čtyři neznámé. 3. V příkladě 3.4, kde soustava neměla řešení, vznikla po eliminaci rozšířená matice ve tvaru 1 2 3 4 0 3 7 5 0 0 0 3 V tomto případě je h(a) = 2, h(a b) = 3. V uvedených příkladech je zajímavé si všimnout vztahu mezi hodností matice soustavy a hodností matice rozšířené. U řešitelné soustavy (případ 1. a 2.) platí h(a) = h(a b), u neřešitelné (případ 3.) je h(a) h(a b). Tyto vlastnosti platí obecně a lze je shrnout do následující tabulky (n v tabulce značí počet neznámých dané soustavy lineárních rovnic). Tvar soustavy Podmínky h(a) = h(a) = h(a) < h(a b) = h(a b) = n = h(a b) < n Řešitelnost Existuje jediné Existuje nekonečně Neexistuje řešení mnoho řešení řešení 7

Tab. 1 4.2.4 Cramerovo pravidlo Pro ilustraci Cramerova pravidla vyřešíme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2. Vynásobíme první rovnici číslem a 22, druhou rovnici číslem a 12 a obě rovnice sečteme. Vyloučíme tak proměnnou x 2 a dostaneme jednu rovnici pro neznámou x 1 Je-li pak (a 11 a 22 a 12 a 21 )x 1 = a 22 b 1 a 12 b 2. a 11 a 22 a 12 a 21 0, x 1 = a 22b 1 a 12 b 2 a 11 a 22 a 12 a 21. Obdobně dostaneme (vyloučením proměnné x 1 ) x 2 = a 11b 2 a 21 b 1 a 11 a 22 a 12 a 21. Vzorce pro x 1 a x 2 můžeme přepsat pomocí determinantů na tvar b 1 a 12 b 2 a 22 a 11 b 1 a 21 b 2 x 1 = a 11 a 12, x 2 = a 21 a 22 a 11 a 12. a 21 a 22 Uvedené vzorce jsou speciálním případem tzv. Cramerova pravidla. Uvažujme soustavu n rovnic o n neznámých Ax = b (matice soustavy A je čtvercová) s regulární maticí soustavy A (tj. det A 0). Potom řešení soustavy můžeme vyjádřit pomocí determinantů ve tvaru x 1 = det A 1 det A, x 2 = det A 2 det A,..., x n = det A n det A, (5) kde A k, k = 1, 2,..., n, je matice, která vznikne z matice A nahrazením jejího k-tého sloupce sloupcem pravých stran. Vzorce ( 5) se nazývají Cramerovo pravidlo. Ve srovnání s ostatními metodami řešení soustav lineárních rovnic (v numerické matematice) je Cramerovo pravidlo pro n > 3 mnohem pracnější a časově náročnější. 8

Pomocí Cramerova pravidla řešte soustavu Matice soustavy je čtvercová a det A = 4x 1 +x 2 x 3 = 2, x 2 +x 3 = 10, 2x 1 +3x 2 2x 3 = 24. 4 1 1 0 1 1 2 3 2 = 4 0, proto můžeme Cramerovo pravidlo použít. Vypočteme tedy postupně determinanty det A 1, det A 2, a det A 3. 2 1 1 det A 1 = 10 1 1 24 3 2 = 8, det A 4 2 1 2 = 0 10 1 2 24 2 = 32, 4 1 2 det A 3 = 0 1 10 2 3 24 = 8. Podle ( 5) je tedy x 1 = 8 4 = 2, x 2 = 32 4 = 8 x 3 = 8 4 = 2. Poznámka Ze vzorců ( 5) můžeme také odvodit jeden výsledek týkající se řešení homogenní soustavy s regulární maticí soustavy. U homogenní soustavy jsou det A k = 0 pro k = 1, 2,..., n a soustava má tedy vždy jen nulové (tzv. triviální) řešení. 4.3 Soustavy lineárních rovnic s parametrem Budeme se zabývat soustavou lineárních algebraických rovnic Ax = b (homogenní i nehomogenní), v níž některé z prvků a ij, b i nejsou udána jako čísla, ale jako parametry, které mohou nabývat libovolných hodnot z dané číselné množiny. Hodnost matice i rozšířené matice takové soustavy závisí obecně na hodnotách parametru, a proto na hodnotách parametru závisí i existence či neexistence řešení. U soustav s parametrem je třeba nejdříve provést rozbor a teprve pak hledat příslušná řešení soustavy, pokud existují. 9

Proveďte rozbor existence řešení soustavy lineárních rovnic x 1 +px 2 +3x 3 = 1 2x 1 +x 2 +px 3 = 3 x 1 5x 2 7x 3 = 0 (6) v závislosti na parametru p R a najděte všechna její řešení. Řešení: Nejprve zjistíme, pro které hodnoty parametru p je matice soustavy regulární. Stanovíme proto det A: det A = 1 p 3 2 1 p 1 5 7 = (p 2)(p 17). Matice A je regulární, právě když det A 0, tj. když p 2 a p 17. Musíme tedy vyšetřit zvlášť tři případy. 1. Pro hodnoty parametru p 2 a p 17 můžeme hledat řešení soustavy např. pomocí Cramerova pravidla: 1 p 3 det A 1 = 3 1 p = 26(2 p), 0 5 7 1 1 3 det A 2 = 2 3 p 1 0 7 = 2 p, 1 p 1 det A 3 = 2 1 3 = 3(2 p). 1 5 0 Odtud x 1 = 26(2 p) (p 2)(p 17) = 26 17 p, x 2 = (2 p) (p 2)(p 17) = 1 17 p, pro p 2 a p 17. x 3 = 3(2 p) (p 2)(p 17) = 3 17 p 2. Pro hodnotu parametru p = 2 je det A = 0 a Cramerovo pravidlo tedy nelze použít. Gaussovou eliminací dostaneme, že rozšířená matice soustavy ( 6) má tvar 1 2 3 1 1 2 3 1 2 1 2 3 0 3 4 1 1 5 7 0 0 0 0 0 10

a soustava tedy má nekonečně mnoho řešení ve tvaru x 1 = 5 3 + 1 3 t, x 2 = 1 3 4 3 t, x 3 = t, t R. 3. Pro hodnotu parametru p = 17 má rozšířená matice soustavy ( 6) tvar 1 17 3 1 1 17 3 1 2 1 17 3 0 3 1 1 11 1 5 7 0 0 0 0 15 44 Vidíme, že hodnost matice soustavy je menší než hodnost rozšířené matice soustavy, a tedy soustava nemá řešení. Proveďte rozbor existence řešení soustavy lineárních rovnic x +y +2z +2t = 2 x +2y +3z +t = 3 x +z +3t = a (7) v závislosti na parametru a R a najděte všechna její řešení. Řešení: Tuto soustavu nelze řešit postupem z předchozího příkladu, protože matice soustavy není čtvercová. Použijeme tedy Gaussovu eliminaci. Po úpravě dostaneme rozšířenou matici soustavy ve tvaru 1 1 2 2 2 0 1 1 1 1 0 0 0 0 a 1 1. Pro a = 1 je hodnost matice soustavy stejná jako hodnost matice rozšířené a je rovna 2. Soustava má tedy nekonečně mnoho řešení tvaru x = 1 3p q, y = 1 + p q, z = q, t = p, p, q R. 2. Pro a 1 nemá soustava řešení, protože hodnost matice soustavy je 2, kdežto hodnost matice rozšířené je 3. 11

4.4 Výpočet inverzní matice 4.4.1 Výpočet inverzní matice eliminací Na obecné regulární matici A třetího řádu ukážeme, že prvky inverzní matice lze určit modifikovanou Gaussovou eliminací. Označíme prvky matice A a A 1 : A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33, A 1 = Naším úkolem je najít matici A 1 takovou, aby x 11 x 12 x 13 x 21 x 22 x 23 x 31 x 32 x 33 (8) AA 1 = A 1 A = I, (9) kde I je jednotková matice. Rovnost AA 1 = I lze rozepsat pomocí tří rovností takto: a 11 a 12 a 13 x 11 1 a 21 a 22 a 23 x 21 = 0, a 31 a 32 a 33 x 31 0 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 x 12 x 22 x 32 x 13 x 23 x 33 = = Máme tedy tři soustavy rovnic se stejnou maticí soustavy A. O matici A víme, že je regulární, všechny tři soustavy mají tedy jediné řešení. Neznámé v soustavách jsou prvky inverzní matice A 1. Řešením první soustavy dostaneme prvky x 11, x 21, x 31, řešením druhé soustavy prvky x 12, x 22, x 32 a řešením třetí soustavy prvky x 13, x 23, x 33. Použijeme-li pro řešení všech tří soustav (se stejnou maticí soustavy) Gaussovu eliminační metodu, můžeme eliminaci provádět současně tak, že vytvoříme modifikovanou rozšířenou matici soustavy ve tvaru a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 } {{ } (1) 1 0 0 0 1 0 0 0 1 } {{ } (2) 0 1 0 0 0 1, (10). (11) Gaussovu eliminační metodu můžeme modifikovat tak, aby v rozšířené matici soustavy ( 11) na místě matice A (v ( 11) je toto místo označeno (1)) vznikla jednotková matice. Na místě jednotkové matice (označeno (2)) pak vznikne matice inverzní. Tato modifikace Gaussovy eliminace se nazývá Jordanova metoda, jejíž princip se dá charakterizovat v několika krocích: 12

1. Vytvoříme rozšířenou matici ( 11). 2. V ní eliminujeme známým postupem prvky pod diagonálou (GEM). Analogickým postupem eliminujeme i prvky nad diagonálou. 3. Dělíme řádek, pomocí něhož jsme provedli eliminaci, jeho diagonálním prvkem. Tímto algoritmem dostaneme a) na místě původní matice A matici jednotkovou, b) na místě jednotkové matice matici inverzní A 1. Jordanovou metodou určete inverzní matici k matici 2 1 1 A = 1 1 4 3 2 1 Řešení: Vytvoříme rozšířenou matici A I = 2 1 1 1 0 0 1 1 4 0 1 0 3 2 1 0 0 1 1. krok Známým postupem dostaneme v pozicích (2, 1) a (3, 1) nulové prvky. 2 1 1 1 0 0 0 1 7 1 2 0 0 1 1 3 0 2 2. krok Stejným postupem eliminujeme prvek v pozici (3, 2) a dostaneme matici 2 1 1 1 0 0 0 1 7 1 2 0 0 0 8 2 2 2 2 1 1 1 0 0 0 1 7 1 2 0 0 0 4 1 1 1 K dokončení úpravy druhého sloupce k prvnímu řádku přičteme druhý řádek a tím eliminujeme prvek v pozici (1, 2): 2 0 6 2 2 0 0 1 7 1 2 0 0 0 4 1 1 1 1 0 3 1 1 0 0 1 7 1 2 0 0 0 4 1 1 1 13

Pomocí násobků třetího řádku eliminujeme dva prvky třetího sloupce v pozicích (1, 3) a (2, 3): 4 0 0 7 1 3 0 4 0 11 1 7 0 0 4 1 1 1 3. krok Poslední krok spočívá v převedení matice, která je na místě původní matice A, na jednotkovou. První a třetí řádek vydělíme 4, druhý řádek 4: 7 1 0 0 1 3 4 4 4 0 1 0 11 1 7 4 4 4 1 1 0 0 1 1 4 4 4 Hledaná inverzní matice má tedy tvar A 1 = 7 11 4 1 4 4 1 4 3 4 1 7 4 4 1 4 1 4 Tím jsme vyřešili současně všechny tři soustavy rovnic ( 10). Správnost výsledku můžeme ověřit platností rovností AA 1 = I, A 1 A = I. 4.4.2 Výpočet inverzní matice pomocí determinantu Věta Nechť A = (a ij ), i, j = 1,..., n, je regulární matice řádu n. Pak A 1 = 1 det A D 11, D 21,..., D n1 D 12, D 22,..., D n2... D 1n, D 2n,..., D nn, (12) kde D ij je algebraický doplněk prvku a ij (viz (??). Důkaz Označme AA 1 = C = (c ij ). Ověříme, že matice C je jednotková. Podle definice součinu matic je c ij = 1 det A (a i1d j1 + a i2 D j2 + + a in D jn ). Je-li i = j, pak podle (??) je a i1 D i1 + a i2 D i2 + + a in D in = det A, 14

a tedy c ii = 1 pro i = 1, 2,..., n. Je-li i j, pak součet a i1 D j1 + a i2 D j2 + + a in D jn představuje rozvoj determinantu (podle i-tého řádku) matice, která vznikla z matice A nahrazením j-tého řádkového vektoru i-tým řádkovým vektorem. Jde tedy o determinant matice, která má dva řádky stejné a to znamená, že determinant je roven nule, takže c ij = 0 pro i j. Matice C je tedy jednotková. Analogicky se dokáže, že také BA je jednotková matice. Pro matici druhého řádu je podle (??) a tedy podle (12) ( ) a11, a A = 12 a 21, a 22 D 11 = a 22, D 12 = a 21, D 21 = a 12, D 22 = a 11, A 1 = 1 ( a22, a 12 det A a 21, a 11 ). Poznámka Vzorec ( 12) je pro praktický výpočet inverzní matice vhodný pouze u matic nejvýše třetího řádu. Pro matice čtvrtého řádu vyžaduje výpočet jednoho determinantu čtvrtého řádu a šestnácti determinantů třetího řádu. 15