Orientovaná úseka. Vektory. Souadnice vektor

Transkript

1 Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úseka Mjme dvojici bod A, B (na pímce, v rovin nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úseka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od A k B nebo od B k A, íkáme, že vzniká orientovaná úseka AB (pokud spojujeme od A k B) nebo BA (opan) a první bod (v pípad orientované úseky AB je to bod A) nazýváme poátením bodem a druhý (v pípad AB bod B) koncovým bodem. Pokud platí A = B, pak úseku nazýváme nulovou orientovanou úsekou AA, která má týž poátení i koncový bod A. Velikost orientované úseky AB je velikost úseky AB ( bez orientace") tedy vzdálenost bod A a B. Vektory Vektor je objekt, který získáme tak, že namnožíme orientovanou úseku AB. Každá orientovaná úseka AB nám uruje smr a velikost (vzdálenost mezi A, B) a zárove je umístna v prostoru (rovin, pímce), což umožují pevn dané body A, B. Pokud zachováme pouze smr a velikost a zkopírujeme AB kamkoliv (vznikne tím další orientovaná úseka s jinými body), vznikne nekonen mnoho kopií AB a získáme vektor. Úseky na obrázku jsou pak umístní vektoru, což zapisujeme u = AB nebo u = GH. Z toho již vyplývá definice vektoru: Vektor je množina všech souhlasn orientovaných úseek téže velikosti. Nulový vektor (oznaujeme o) je množina všech nulových orientovaných úseek. Souadnice vektor Mjme vektor u (nenulový) a jedno jeho umístní AB (orientovaná úseka). Bod A má souadnice [a 1 ; a 2 ; a 3 ] (v prostoru jsou souadnice 3, v rovin 2 a na pímce 1) a bod B [b 1 ; b 2 ; b 3 ], pak pro souadnice vektoru u platí u 1 = b 1 a 1, u 2 = b 2 a 2, u 3 = b 3 a 3, což zapisujeme u = (u 1 ; u 2 ; u 3 ) (v rovin má vektor pouze dv souadnice a na pímce jen jednu). Nulový vektor má souadnice o = (0; 0; 0). Je dán pravidelný šestiúhelník ABDEF se stedem S kružnice opsané. Rozhodnte, které z uvedených dvojic orientovaných úseek mají týž smr: a) AB, DF b) AB, F c) ES, EB d) AB, EF e) AB, ED f) S, F Nakreslíme obrázky každé situace a podle smru šipek rozhodneme: a) šipky smují opaným smrem úseky nemají stejný smr

2 E D F A B b) šipky smují stejným smrem úseky mají stejný smr E D F A B c) šipky smují stejným smrem úseky mají stejný smr E D F S A B d) šipky smují rzným smrem úseky nemají stejný smr E D F A B e) šipky smují stejným smrem úseky mají stejný smr E D F A B f) šipky smují opaným smrem úseky nemají stejný smr

3 E D F S A B Zobrazte pravidelný šestiúhelník ABDEF a jeho sted oznate S. Pomocí uvedených sedmi bod (vrchol a stedu šestiúhelníku) zapište všechna možná umístní vektoru a) u = S b) v = A. Nakreslíme šestiúhelník a vyznaíme zadané umístní vektoru. Poté postupn umisujeme daný vektor na jiná místa: a) u = AB, u = ED, u = FS, E D F S b) v = A, v = FD A E B D F S A B V rovin jsou dány bod A, B. Vypoítejte vektor v = AB, je-li dáno: a) A[3, 2], B[ 2, 4] b) A[3, 2, 1], B[2, 2, 1] Dosadíme do vzorce pro výpoet souadnic vektoru. a) v = (v 1 ; v 2 ) v 1 = b 1 a 1 v 2 = b 2 a 2 v 1 = 2 3 = 5 v 2 = 4 2 = 2 v = ( 5; 2) b) v = (v 1 ; v 2 ; v 3 ) v 1 = b 1 a 1 v 2 = b 2 a 2 v 3 = b 3 a 3

4 v 1 = 2 3 = 1 v 2 = 2 2 = 0 v 3 = 1 ( 1) = 2 v = ( 1; 0; 2) Zjistte, zda orientovaná úseka AB je umístním vektoru u = (5, 3), je-li dáno A[ 3, 2], B[2, 1]. ( 2 ( 3 ); 1 2) ( 5; 3) AB = = úseka je umístním vektoru u. Zjistte, zda orientovaná úseka D je umístním vektoru v = (3, 1, 4), je-li dáno [2, 3, 1], D[5, 2, 3]. ( 5 2, 2 ( 3 ), 3 1) ( 3,1, 4) D = = úseka je umístním vektoru v. Orientovaná úseka AB je umístním vektoru u. Urete souadnice koncového bodu B, je-li dáno A[1, 7], u = (3, 8). Pedpokládejme, že bod B má souadnice B[x B, y B ]. Dosame opt do vzorce pro výpoet souadnic vektoru: 3 = 1 8 = 7 x B y B x B = 4 y B = 1 Souadnice bodu B jsou B[4, 1]. Orientovaná úseka D je umístním vektoru v. Urete souadnice poáteního bodu, je-li dáno D[10, 3, 6] v = (8, 3, 9). Pedpokládejme, že bod má souadnice [x, y ]. Dosame opt do vzorce pro výpoet souadnic vektoru: 8 = 10 x 3 = 3 y 9 = 6 z x = 2 y = 0 z = 3 Souadnice bodu jsou [2, 0, 3].

5 Znázornte pravidelný šestiboký hranol ABDEFA'B''D'E'F'. Vyhledejte na nm všechny orientované úseky urené uspoádanými dvojicemi vrchol hranolu, které jsou dalšími umístními vektoru a) a = B b) b = A

6 V rovin jsou dány bod A, B. Vypoítejte vektor v = AB, je-li dáno: a) A[ 1, 6], B[2, 5] b) A,, B, c) A[ 2, 3, 2], B[1, 2, 4] d) A,,, B,, Zjistte, zda orientovaná úseka AB je umístním vektoru u = (5, 3), je-li dáno a) A[1, 1], B[4, 2] b) A[ 8, 2], B[ 3,1] c) A[ 6, 5], B[ 1, 2]

7 Zjistte, zda orientovaná úseka D je umístním vektoru v = (3, 1, 4), je-li dáno a) [ 7, 1, 5], D[ 4, 2, 1] b) [ 3, 2, 2], D[0, 1, 2] c) [ 4, 1, 2], D[ 1, 0, 2] Orientovaná úseka AB je umístním vektoru u. Urete souadnice koncového bodu B, je-li dáno a) A[ 5, 2], u = ( 1, 3) b) A[ 6, 11], u = (6, 9) c) A[ 7, 4], u = ( 3, 5)

8 Orientovaná úseka D je umístním vektoru v. Urete souadnice poáteního bodu, je-li dáno a) D[5, 2, 1], v = (7, 3, 1) b) D 1, 3,2, 2, 3, v = c) D,,, = ( 0,4; 0,1; 1) v Operace s vektory Rovnost vektor Mjme vektory u = (u 1 ; u 2 ; u 3 ) a v = (v 1 ; v 2 ; v 3 ), jejich rovnost oznaujeme u = v a zavádíme následovn: u 1 = v 1 ; u 2 = v 2 ; u 3 = v 3 Souet vektor (u + v) Mjme vektory u = (u 1 ; u 2 ; u 3 ) a v = (v 1 ; v 2 ; v 3 ), jejich souet oznaujeme u + v a zavádíme následovn: zvolíme umístní vektoru u = AB, pak zvolíme umístní vektoru v = B. Spojíme body A a a vzniká orientovaná úseka A, která je umístním soutu vektor u, v. u + v = (u 1 + v 1 ; u 2 + v 2 ; u 3 + v 3 ) Rozdíl vektor (u v) Mjme vektory u, v, jejich rozdílem nazýváme souet vektoru u s vektorem k v opaným, tedy s v. Rozdíl jsme tedy pevedli na souet, jehož postup je uveden výše. u v = (u 1 v 1 ; u 2 v 2 ; u 3 v 3 )

9 Vypoítejte souty a rozdíly vektor u, v je-li dáno u = ( 5, 5 ), v = ( 1, 2) Pi ešení použijeme vztahy pro sítání a odítání: u + v = u + v ; u + v = ; = 4; 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( v1 u1 v2 u2 ) ( ) ( u1 v1 u2 v2 ) ( ) ( v u v u ) ( ) v + u = + ; + = 1+ 5; = 4; 3 u v = ; = 5 1 ; 5 2 = 6; 7 v u = ; = 1 5; 2 5 = 6; Souet vektor je komutativní, proto je jedno jestli sítáme u + v nebo v + u. Pozor! Rozdíl komutativní není je velmi dležité, zda poítáme u v nebo v u. Jsou dány vektory = ( 3, 5,7 ), = ( 1,4, 9 ), = ( 4,3, 2) u = a + b c a b c. Urete souadnice vektoru u = a + b c = ( 3, 5,7) + ( 1, 4, 9) ( 4,3, 2) = ( ) ( ) ( ) ( ; 5 4 3; 7 9 2) ( 6; 4; 4) = = Vypoítejte souty a rozdíly vektor u, v je-li dáno: u = 6, 5, v = 4,3 a) ( ) ( ) b) u =,, v =, u = 7, 3, 4, v = 3, 2, 5 c) ( ) ( ) d) u =, 1,, = 1,, 3 2 v 3 2 4

10 Jsou dány vektory = ( 3, 5,7 ), = ( 1,4, 9 ), = ( 4,3, 2) a) v = a b c b) w = a b + c a b c. Urete souadnice vektoru: Násobení vektoru íslem (ku) Mjme libovolné (reálné) íslo k a vektor u. Souinem ísla k a vektoru u nazýváme vektor, který má stejný smr jako u, ale má velikost rovnu k u - je tedy k-krát delší než vektor u. Pokud je k záporné, musíme ješt pevrátit smr vektoru. Pokud je k nula, pak je výsledný vektor nulový. k u = k u ; k u ; k u ( ) Vektor opaný Vektor opaný k vektoru v je vektor v. Vznikne tedy vynásobením vektoru v íslem 1, což má za následek zachování velikosti, ale zmnu smru. Lineární kombinací vektor Lineární kombinací vektor v 1, v 2,, v n nazýváme vektor v, který lze vyjádit pomocí vektor v 1, v 2,, v n a ísel k 1,k 2,, k n ve tvaru: v = k 1 v 1 + k 2 v k n v n. Vektory v 1, v 2,, v n se nazývají lineárn závislé (LZ), lze-li jeden z nich vyjádit jako lineární kombinaci ostatních. Nejsou-li lineárn závislé, pak se nazývají lineárn nezávislé (LN). Je dán vektor u = ( 5, 5) a) 2u b) 1 5 u. Vypoítejte souadnice vektor Dosadíme do vzorce pro násobení vektor íslem. 2u = 2 5, 5 = 2 5, 2 5 = 10, 10 ( ) ( ) a) ( ) ( ) b) u = ( 5, 5) = 5, ( 5) = ( 1, 1)

11 Urete lineární kombinaci au + bv + cw vektor = ( 1, 2,3 ), = ( 6,0, 4 ), = ( 3,2,1) a = 1, b = 2, c = 0. u v w, je-li Dosadíme do zadaného vztahu a vypoteme naznaené operace. au + bv + cw = 1 1, 2, , 0, , 2,1 = 1, 2, , 0, 8 + 0, 0,0 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , 2 0 0, 3 8 0) ( 11, 2, 11) = = Zjistte, zda vektory = ( 1,3 ), = ( 3,1) u v jsou rovnobžné. Vektory jsou rovnobžné, jestliže jeden je násobkem druhého, neboli zda Do daného vztahu dosadíme: u = k v 1,3 = k 3,1 ( ) ( ) ( 1,3) = ( 3 k, k ) 1 1 = 3k k = 3 dv rzné hodnoty neexistuje k, tak aby u = k v 3 = k k = 3 Urete neznámé souadnice vektor = ( u, 2, 2 ), = ( 1, v, 2) rovnobžné. 1 2 Využijeme postupu pedchozího cviení. Vyjdeme ze vztahu u, 2, 2 = k 1, v, 2 ( 1 ) ( 2 ) ( u, 2, 2 ) = ( k, k v, 2k ) u = k 2 = k v 2 u = k v. u v tak, aby tyto vektory byly u = k v. 2 = 2k Z tetí rovnice je zejmé, že k = 1. Po dosazení do prvních dvou rovnic již získáváme požadované souadnice u 1 = 1 a v 2 = 2. Rozhodnte, zda vektor w = ( 0,6,3) je lineární kombinací vektor = ( 2,0,1 ), = ( 1,3, 2) u v. Podle zadání je zejmé, že w = k u + l v, neboli hledáme k a l, která vyhovují zadanému vztahu. Pokud takové k a l existují, pak i w je vektor, který vznikne jako lineární kombinace vektor u a v. w = k u + l v

12 ( 0,6,3) = k ( 2,0,1) + l ( 1,3,2 ) ( 0,6,3) = ( 2 k,0, k ) + ( l,3 l,2l) ( 0,6,3) = ( 2 k l,3 l, k + 2l ) 0 = 2k l 6 = 3l 3 = k + 2l Z druhé rovnice je zejmé, že l = 2. Dosadíme do první i tetí rovnice a vypoteme k. 0 = 2k 2 k = 1 3 = k + 4 k = 1 Zjistili jsme rzné hodnoty pro k. Je tedy zejmé, že neexistuje ešení pro k i l. Vektor w není lineární kombinací vektor u a v. Jsou dány vektory = ( 3, 5 ), = ( 2,6) u v. Vypoítejte souadnice vektor a) 2u b) 1 2 v c) u 4v d) 3u + 2v e) u v f) 2( u v) 3( u + v )

13 Urete lineární kombinaci au + bv + cw vektor = ( 1, 2,3 ), = ( 6,0, 4 ), = ( 3,2,1) a) a = 2, b = 3, c = b) a = 3, b =, c = c) a =, b =, c = u v w, je-li: Jsou dány vektory = ( 1, 2, 5 ), = ( 2, 7,1 ), = ( 3, 9, 2) b c d. Urete souadnice vektoru a, platí-li: a) a b + 2c = 3d b) 2a + b = 3c d

14 Zjistte, zda vektory u, v jsou rovnobžné: a) u = ( 2, 3 ), v = ( 4,6) b) u = ( 3,9 ), v = ( 2, 6) c) u =,, v = ( 0, 4; 1, 2 ) Zjistte, zda vektory u, v jsou rovnobžné: a) u = ( 1, 2, 3 ), v = ( 1, 2,3) b) u = 1,, 2, =,, 2 v u = 3, 4,6, v = 0,0,0 c) ( ) ( )

15 Urete neznámé souadnice vektor u, v tak, aby tyto vektory byly rovnobžné. a) u = ( u1, 2,6 ), v = ( 1, v2, 2) b) u = ( 6, u, 9 ), v = ( 8, 2, v ) 2 3 Rozhodnte, zda vektor w je lineární kombinací vektor u, v. a) w = ( 2, 1,1 ), u = ( 3,1,3 ), v = ( 1,1, 2) b) w = ( 2, 3,0 ), u = ( 3, 2,4 ), v = ( 4,5; 3;6) c) w = ( 1,1,2 ), u = ( 1,5, 2 ), v = ( 1, 2,0)

16 Urete neznámou souadnici vektoru u tak, aby vektor u byl lineární kombinací vektor v, w: u = 3, u,5, v = 4, 1,0, w = 3, 2,1 a) ( 2 ) ( ) ( ) b) u = ( u 1,8,2), v = ( 1,2,1 ), w = ( 2,12,5)

17 Velikost vektoru ( u ) Velikost vektoru u je dána vzorcem u = u + u + u Skalární souin vektor (u v) Skalární souin vektor u, v oznaujeme u v a platí: u v = u v + u v + u v = u v ϕ, cos kde ϕ je úhel mezi vektory u, v. Pokud je skalární souin dvou vektor v rovin nulový, pak jsou na sebe tyto vektory kolmé. Vypoítejte skalární souin u v, je-li dáno: u = 7, v = 6, ϕ = 60. Dosadíme do vzorce pro výpoet skalárního souinu. 1 u v = u v cosϕ = 7 6 cos60 = 42 = 21 2 Vypoítejte skalární souin u v, je-li dáno: = ( 3, 4 ), = ( 2,1) Dosadíme do vzorce pro výpoet skalárního souinu. u v = u1v1 + u2v2 = 3 ( 2) + ( 4) 1 = 6 4 = 10 Zjistte, zda vektory = ( 6,3 ), = ( 4, 8) u v jsou kolmé. u v. Vektory jsou kolmé, když jejich skalární souin je roven nule. Spoítejme tedy skalární souin vektor. Dosadíme do vzorce pro výpoet skalárního souinu. u v = u1v1 + u2v2 = ( 8) = = 0 Skalární souin je roven nule, proto vektory jsou kolmé.

18 Vypoítejte skalární souin u v, je-li dáno: a) u = 4, v = 3 2, ϕ = 45 b) u = 4 3, v = 5, ϕ = 150. c) u = 3, 5, v = 5 2, ϕ = 90. Vypoítejte skalární souin u v, je-li dáno: u = 6,8, v = 4,3 a) ( ) ( ) b) u = ( 3, 3,5 ), v = ( 3, 7, 6) c) u = ( 4, 2,0 ), v = ( 3,2,8)

19 Zjistte, zda vektory u, v jsou kolmé: a) u = ( 1,3 ), v = ( 3,1) b) u = ( 7, 3, 9 ), v = ( 3,8, 5) c) u = ( 2,17, 4 ), v = ( 6, 0,3) Vektorový souin vektor ( u v ) Vektorový souin vektor u, v oznaujeme u v a platí u v = u v v u ; u v v u ; u v v u ( ) Výsledkem vektorového souinu je vektor kolmý k vektorm u, v a jeho smr uruje pravidlo pravé ruky. Má smysl ho tedy zavádt pouze v tírozmrném prostoru. Úhel mezi vektory u, v Úhel mezi vektory u, v s umístním AB, A je konvexní úhel BA o velikosti ϕ = BA, kde ϕ ( 0,180 ). Úhel nedefinujeme, pokud je jeden z vektor nulový. Úhel mezi vektory u, v mžeme spoítat ze vzorce cosϕ = u v u v Urete vektorový souin vektor = ( 2, 3,1 ), = ( 3, 4, 2) u v. Dosadíme do vzorce pro vektorový souin. u v = u v v u ; u v v u ; u v v u = ; ; = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( 6 4;3 4; 8 + 9) = ( 2; 1;1)

20 Urete vektorový souin vektor u, v, jestliže platí a) u = ( 3, 5,7 ), v = ( 1,2, 3) b) u = ( 4, 7, 12 ), v = ( 2,3, 5) c) u = ( 5, 6,8 ), v = ( 6, 8,9)