p03 1 3. Prvek tělesa a napětí v řezu Asi před 200 lety přišel Bernoulli na geniální myšlenku, že v tělese vznikají vnitřní síly, které se snaží při vnějším silovém působení na těleso vrátit toto těleso do původního nedeformovaného stavu. Ve statice jste se seznámili s pojmem statická rovnováha a dospěli jste k závěru: jestliže je těleso ve statické rovnováze, musí být ve statické rovnováze i každá jeho část. Základním vyšetřovaným objektem prvkem soustavy těles bylo těleso. V PP je těleso základním útvarem a prvkem nazýváme každou jeho část vyšetřovanou z hlediska vnitřních sil. Prvek tělesa je každá jeho souvislá část, oddělená z něj jedním nebo více myšlenými řezy. V těchto řezech působí vnitřní síly. statická rovnováha Geometrický tvar prvku volíme s ohledem na tvar vyšetřovaného tělesa, zvolený souřadnicový systém a charakter řešeného problému. Rozměry prvku mohou být buď konečné nebo nekonečně malé v limitním smyslu. Prvek označíme jako konečný (Ω 0 ) všechny rozměry konečné, jednonásobně elementární (Ω 1 ) jeden rozměr nekonečně malý, dvojnásobně elementární dva rozměry nekonečně malé, trojnásobně elementární (Ω 3 ) tři rozměry nekonečně malé. OBSAH další
p03 2 Vyšetřování vnitřních sil začíná uvolněním prvku. Oddělíme-li z tělesa prvek jediným řezem ω, pak na tomto řezu musíme zavést účinky vzájemného působení. V mechanice těles to jsou účinky silové, spojitě nebo po částech spojitě rozložené na řezu a jsou to tedy plošné síly. Tuto operaci nazýváme uvolněním prvku tělesa, analogicky k uvolnění celého tělesa, které jsme zaváděli ve statice a které sloužilo k určení vnějších silových účinků reakcí ve vazbách. síla
p03 3 Na plošku ds v řezu ω působí elementární síla d F = fds, kde f je měrná plošná síla, kterou nazveme obecné napětí v řezu. Může mít v každém bodě řezu jiný směr i velikost. Souřadnicový systém je vhodné při určování vnitřních sil volit tak, že jedna osa je totožná se směrem normály k plošce ds a druhá bude ve směru tečném. Normálové a tečné síly se totiž výrazně liší v účinku na materiál a jejich vliv na mezní stavy je odlišný. Obecné napětí f rozložíme do směru normály e n a do směru tečny e t : f = σ e n + τ e t. Obecné napětí je vektor, který má samozřejmě v trojrozměrném prostoru 3 složky: jednu normálovou σ a dvě smykové τ. Při vhodné volbě souřadnicového systému (jedna z os je normála řezu a druhá průsečnice tečné roviny řezu s rovinou danou normálou a vektorem f) však je jedno ze smykových napětí (ve směru e b ) nulové. Ani při jiné volbě souřadnicového systému není nutné mezi oběma tečnými směry rozlišovat, z hlediska mezních stavů je důležitá pouze velikost smykového napětí. Pak lze psát σ = f e n, τ = f 2 σ 2 = f e t. Základní jednotkou napětí (obecného, normálového, smykového) a měrné plošné síly je pascal. [f] = [σ] = [τ] = [df/ds] = Pa
p03 4 Určení orientace napětí: normálového: σ > 0 = tahové, směřuje ven z řezu, σ < 0 = tlakové, směřuje dovnitř prvku, smykového: volí se smluvně, u izotropních materiálů není volba podstatná. orientace
p03 5 3.1. Princip určování napětí Na těleso Ω působí rovnovážná silová soustava Π. Řezem ω uvolníme prvek Ω 01 zatížený podsoustavou Π 1 (členy soustavy Π působící v bodech prvku Ω 01 ), která ale už nesplňuje podmínky statické rovnováhy. Protože každý uvolněný prvek musí být ve statické rovnováze, působí v řezu ω soustava elementárních vnitřních plošných sil Πv (obecná napětí v bodech řezu) a soustava Π 1 Πv je staticky rovnovážná. Rozložení obecného napětí v řezu ω neznáme, vzhledem k elementárnosti sil představuje nekonečný počet neznámých parametrů a jeho určení je tedy úloha staticky neurčitá. Použitelné podmínky statické rovnováhy poskytnou pouze ν 6 rovnic (podle charakteru soustavy Π 1 Πv), takže pro řešení by byl nutný velký počet deformačních podmínek. Uvolníme-li při řešení vnitřních sil z tělesa trojnásobně elementární prvek, dostaneme soustavu parciálních diferenciálních rovnic se složitými okrajovými podmínkami. V předpočítačové éře tato soustava nebyla obecně řešitelná, ale pružnostně pevnostní problémy bylo nutno řešit. Proto vznikly přístupy, které problém zjednodušovaly zavedením jistých předpokladů, vyplývajících z experimentů a z úrovně vědy v příslušné době. Zavedení těchto předpokladů sice snižuje náročnost řešení problémů, ale omezuje použitelnost pouze na ta tělesa, u nichž jsou tyto předpoklady s dostatečnou přesností splněny. Jde tedy o jednodušší, ale omezeně použitelnou pružnost, pracující s modelovými tělesy [2]. Jejich přehled, který je současně přehledem možností analytické PP, uvádí kapitola 3.2. statický rozbor statické podmínky deformační podmínka
p03 6 3.2. Přehled modelových těles řešitelných analyticky Úloha řešení deformačně napěťových stavů tělesa je analyticky řešitelná pouze při zavedení jistých předpokladů. Tyto předpoklady vymezují následující typy modelových těles: 1. prut, 2. tlustostěnné těleso válcové nebo kulové, 3. rotačně symetrická stěna, 4. rotačně symetrická deska, 5. rotačně symetrická bezmomentová skořepina, 6. válcová momentová skořepina. Jak je z přehledu vidět, možnosti analytické pružnosti a pevnosti jsou omezeny kromě těles prutových na tělesa rotačně symetrická. Rotační symetrie musí být dodržena nejen z hlediska geometrie, ale i materiálu, vazeb a zatížení tělesa. Jedině potom je i napjatost a deformace tělesa také rotačně symetrická a lze ji analyticky řešit. Ostatní tělesa vyžadují numerické řešení s využitím speciálních počítačových metod a programů. Uvedené názvy abstraktních modelových těles se běžně přenášejí i na tělesa skutečná, o nichž pak hovoříme jako o prutu, skořepině, desce atd. Proto je třeba zdůraznit, že výpočtový model použitelný pro řešení (a to nejen v pružnosti analytické, ale i při použití numerických metod) není jednoznačně dán tvarem tělesa, ale závisí i na okrajových podmínkách, zahrnujících vazby a zatížení tělesa.
p03 7 1. Prut - základním prvkem je jednonásobně elementární prvek, jehož použití umožňují prutové předpoklady. 2. Tlustostěnné těleso válcové nebo kulové - základním prvkem je trojnásobně elementární prvek. Praktické využití při výpočtech tlakových nádob. 3. Rotačně symetrická stěna - těleso definované střednicovou rovinou a tloušťkou (výrazně menší oproti ostatním rozměrům), jehož zatížení leží pouze ve střednicové rovině. V praxi nejčastěji používáno pro výpočet rychloběžných kotoučů zatížených odstředivými silami, případně nalisováním na hřídel. Základním prvkem je dvojnásobně elementární prvek. 4. Rotačně symetrická deska - těleso definované shodně se stěnou, ale zatížené pouze kolmo ke střednicové rovině. V praxi používáno pro výpočet přírub, dna nádob, pístů apod. Základním prvkem je dvojnásobně elementární prvek. 5. Rotačně symetrická bezmomentová skořepina - těleso definované rotační střednicovou plochou a tloušťkou (výrazně menší oproti ostatním rozměrům), zatížené spojitě bez skokových změn a uložené tak, aby nedocházelo k omezení radiálních posuvů (jsou splněny předpoklady bezmomentovosti). V praxi se používá pro výpočet většiny rotačně symetrických nádob (včetně trubek) s tím, že v oblastech, kde jsou omezeny radiální posuvy nebo dochází ke skokovým změnám spojitého zatížení, tato teorie neplatí a napětí mají vyšší hodnoty při složitějším charakteru napjatosti. Základním prvkem je dvojnásobně elementární prvek. 6. Válcová momentová skořepina - těleso definované válcovou střednicovou plochou a tloušťkou (výrazně menší oproti ostatním rozměrům), které při splnění podmínek rotační symetrie nesplňuje podmínky bezmomentovosti. Základním prvkem je dvojnásobně elementární prvek. prutové předpoklady
p03 8 3.3. Rozdělení PP Při silovém působení se prvek deformuje, proto by se měl uvolňovat v deformovaném stavu, což vede ke značným výpočtovým složitostem, protože tento stav na začátku výpočtu neznáme. Deformaci a napjatost pak nelze řešit nezávisle na sobě, protože změna tvaru tělesa vlivem deformace vyvolá změnu napjatosti a obráceně. Kde není deformace podstatná, uvolňujeme prvky ve stavu nedeformovaném (PP I. řádu, případy prostého namáhání prutu tah, ohyb, krut). Tam, kde deformace je podstatná, uvolňujeme prvky ve stavu deformovaném (PP II. řádu, vzpěr prutů, ztráta stability stěn). Podle metody řešení dělíme pružnost a pevnost na napjatost vzpěr a) obecnou z tělesa je nutno uvolňovat trojnásobně elementární prvek a určování napjatosti a deformace je vzájemně závislé. b) prostou určení napjatosti a deformace jsou na sobě nezávislé procesy. Nutnou podmínkou je uvolňování prvku v nedeformovaném stavu (PP I. řádu), formulace předpokladů, umožňujících použít jedno nebo dvojnásobně elementární prvek, využití Saint Venantova principu. Saint Venantův princip předchozí OBSAH následující kapitola