MATEMATICKÁ STATISTIKA - zákldě výběrových d zjeme obecější kečo, ýkjící e zákldího obor rovádíme zevšeobecňjící (dkví) údek - dkví zováí omocí memcko-ckých meod je zv. cká dkce - dkví vžováí ebo vždy ee rzko erávého údk (= rzko omyl) - výběrová d mí bý oříze áhodým výběrem. Scké dkce zhrje:. eor odhd. eováí ckých hyoéz. Teore odhd - meody, kerým lze z ozorových hodo NV zík co ejleší odhdy ezámých rmerů jejího rozděleí.. Bodový odhd - očívá v hrzeí ezámé hodoy rmer zákldího obor (dále ZS) hodoo vhodé výběrové chrkerky, kerá bde lož jko dobrá áhrd ezámého rmer - vhodo jedolvých odhdů ozjeme odle ěkolk vloí. Vlo bodového odhd:. evychýleo (ero): odhd má vzhledem ke ředí hodoě lové vychýleí. kozece 3. vydo. Symbolk: rmery v ZS zčíme obecě (kokréě ř.,, ) výběrové chrkerky zčíme obecě (ř.,, ) je výběrová chyb ymbolcký zá bodového odhd: e ebo ~.. Iervlový odhd - očívá v korkc áhodého ervl, od ěhož e zvoleo rvděodoboí očekáváme, že bde obhov kečo hodo ezámého rmer - dovolje, bychom vžovl rvděodobo, íž lze očekáv, že odhd je rávý. Solehlvo odhd - je o rvděodobo - volíme vždy čílo blízké, ejčěj,95 (eve.,99 ebo,9) - čím vyšší olehlvo žádáme, ím je z jk ejých odmíek IS šrší.
Rzko odhd - dává, v kolk řídech ze (v jkém % řídů) ebde IS okrýv odhdový rmer. Iervly olehlvo moho bý korováy jko:. oboré: d h, kde h je horí mez,. jedoré: rvoré h levoré > d d je dolí mez Odhd rmer µ (ředí hodoy) ormálího rozděleí. Bodový odhd Bodovým odhdem ředí hodoy evychýleý odhd ředí hodoy. N je výběrový růměr N. Je o Směrodá odchylk výběrového růměr = drdí chyb odhd: - je odrzem řeo výběrového růměr, jko odhd ředí hodoy - oví eje vrblo zkomého roce, le rověž velkoí výběrového obor. D. Iervlový odhd ř korkc IS ro rmer μ rozlšjeme 3 řídy:. Velký výběr z ormálího rozděleí e zámým rozylem σ : Oborý IS: rvorý IS: Levorý IS: je říá chyb odhd.
3. Velký výběr z ormálího rozděleí ezámým rozylem σ : ř řešeí rkckých úloh obvykle ezáme rozyl ZS σ. Odhdjeme jej omocí výběrového rozyl :. Oborý IS: rvorý IS: Levorý IS: 3. Mlý výběr z ormálího rozděleí ezámým rozylem σ : Kvly rozděleí N[μ σ ] hrdíme kvly Sdeov rozděleí volo. Oborý IS: rvorý IS: Levorý IS: Odhd rmer π (relví čeo )lervího rozděleí Je řeb mí k dozc výběr doečě velkého rozh o je zjšěo lěím odmíky >9.
4. Bodový odhd Bodovým odhdem relví čeo N M je výběrová relví čeo (výběrový odíl) m, M oče jedoek e ledovo vloí v ZS N celkový oče jedoek ZS m oče jedoek e ledovo vloí ve výběrovém obor rozh výběr.. Iervlový odhd Oborý IS: je říá chyb odhd. rvorý IS: Levorý IS: Odhd rmer σ (rozyl) ormálího rozděleí. Bodový odhd Bodovým odhdem rozyl N N je výběrový rozyl. Je o ezkreleý kozeí odhd.. Iervlový odhd ř korkc IS ro rmer σ rozlšjeme řídy: bď záme rmer μ ebo ho ezáme. V r je čější říd, kdy rmer μ ezáme, roo e ěj změříme.
5 Oborý IS: rvorý IS: Levorý IS: Soveí mmálího rozh výběr ro oveí mmálího rozh výběr vycházíme ze vzorce říé chyby odhd rmer, jehož jedodcho úrvo doeme:. okd ezáme, ožjeme jeho bodový odhd. Bdeme-l vycháze ze vzorce říé chyby odhd rmer, doeme:. okd ezáme, ožjeme jeho bodový odhd.
Teováí ckých hyoéz - eováí hyoéz je o, ložící k ověřeí ředokldů o ZS (zv. hyoéz) zákldě výběrových d (j. hodo z výběrového obor) - hyoéz = rčý ředokld (vrzeí) o zákldím obor - eováí možňje rozhodo, zd rčo hyoéz zmíeme č kol, o mlým, ředem zvoleým rzkem (α) - okd e hyoéz ýká ezámého rmer rvděodoboího rozděleí zákldího obor, jde o ey rmercké - jelže e hyoéz ýká vloí zákldího obor, jde o ey ermrcké. Zákldí ojmy ymbolk: yoézy: : lová (eová) hyoéz : lerví hyoéz Teové krerm (): - je o áhodá velč, kerá má ř lo zámé rvděodoboí rozděleí - roor hodo eového krér rozdělíme dv djkí obory ( V). Krcký obor (): - krcký obor je voře hodom TK, keré jo ř lo k erémí, že rvděodobo jejch výky je velm mlá. Obor řjeí (V): - obor řjeí je voře všem hodom TK, keré leží mmo krcký obor. ld výzmo (α) = rvděodobo chyby I. drh: - rvděodobo že zmíeme, čkol lí. rvděodobo chyby II. drh (β): - rvděodobo, že ezmíeme, čkol elí. Síl e (- β): - rvděodobo rávého zmíí (choo e zmío elo ). Sdrdí eovcí o: - obecý, bez ohled kokréí y e.. Formlce hyoéz.. Volb eového krér: zvolíme vhodo chrkerk, jejíž rvděodoboí rozděleí ř lo je zámé. 6
3. Vymezeí krckého obor: je omeze kvly rozděleí TK ř lo (zv. krcké hodoy). 4. Výoče hodoy TK z výběrových d. 5. Formlce závěr o výledk e: velm důležé, ejí oze dvě možo. I. TK leží v krckém obor (TK ): zmíáme, edy rokázl jme. II. TK eleží v krckém obor (TK ): ezmíáme, edy erokázl jme. Možé výledky rozhodovcího roce ř eováí ckých hyoéz jejch rvděodobo Rozhodí ezmíáme zmíáme lí rávé rozhodí ezmíáme lo erávé rozhodí zmíáme lo chyb I. drh Skečo elí erávé rozhodí ezmíáme elo chyb II. drh rávé rozhodí zmíáme elo 7
rmercké ey - hyoézy ěcho eů e ýkjí ezámých rmerů rvděodoboího rozděleí zákldího obor - vyždjí mmálě zlo rvděodoboího rozděleí zákldího obor, což ředvje velm lý ředokld - ejčější je ředokld ormly d, kerý v r čo eí lě ebo ho elze ověř z důvod mlého rozh výběr - jo obecě áročější ež ey ermercké, všk jejch íl je vyšší - v řídě elěí ředokldů ro rmercké ey ebo emožo jejch ověřeí je vždy řeb vyží eů ermerckých (vz dlší výkld). Te rmer μ ormálího rozděleí. Formlce hyoéz : ) oborá lerví hyoéz : : b ) rvorá lerví hyoéz : c ) levorá lerví hyoéz. Volb eového krér Rozlšjeme ř řídy: ) záme rozyl ZS σ U N b) ezáme rozyl ZS σ výběr má mlý rozh c) ezáme rozyl ZS σ výběr má velký rozh N U 8
9 3. Soveí krckého obor ro řídy ) c) růzé yy lervích hyoéz: ) ) b c ) ro říd b) růzé yy lervích hyoéz: ) ) b ) c Te rmer σ ormálího rozděleí. : : ) : ) b : ) c. Rozlšjeme dv řídy: bď drhý rmer μ záme ebo e. V r je čější říd, kdy rmer μ ezáme, roo e ěj omezíme. 3. ) ) b ) c Te rmer π lervího rozděleí Je řeb mí k dozc doečě velký výběr, kerý lňje odmík >9.. : : ) : ) b : ) c
. U N 3. ) b ) c) Teováí hody rmerů ve dvo oborech Nejdříve je řeb rozlš, zd e jedá o závlé ebo ezávlé výběry, áledě zvolíme vhodý y e. Nezávlé výběry: - vybíráí jedoek z jedoho zákldího obor ezáví vybíráí jedoek ze obor drhého. Závlé výběry: - hodoy z rvího výběr voří logcký ár hodom z drhého výběr, jedá e o zv. árové ey - říkld: výledky vyšeřeí ceů řed o lkc rčého lék. Te hody ředích hodo dvo ormálích rozděleí (ezávlé výběry). : ) : b ) : c ) : Dlší o, j. body. 3. vz blk A. Te hody rozylů dvo ormálích rozděleí (ezávlé výběry). : : : : ) b ) c )
. F F ( ) 3. ) F F F ( ) F F ( F F F ( ) b) c) F F F ( ) ) Te hody relvích čeoí dvo lervích rozděleí (ezávlé výběry) ředokld: Máme áhodý výběr velkého rozh A áhodý výběr velkého rozh z rozděleí A, řčemž výběry jo ezávlé.. : ) : b ) : c ) : z rozděleí. U N 3. ) U U U b ) U U c) U U Te hody ředích hodo dvo ormálích rozděleí (závlé výběry) Z kždého -ého árově kečěého ok zjíme rozdíly jejch růměr d rozyl d. d ovíme. : ) : b ) : c ) :
. d d ( ) 3. ) ) b ) c
Tblk A: Te hody ředích hodo dvo ormálích rozděleí (ezávlé výběry) Záme Východko Nezáme ředokládáme: Nezáme ředokládáme: Tzv. Aové- elchov korekce Teové krérm U Rozděleí T ř lo N rmery rozděleí Alerví hyoéz : : > : < : : > : < : : > : < U Krcký obor U U U 3
Nermercké ey - hyoézy ěcho eů e ýkjí růzých vloí zákldího obor - jo ezávlé č éměř ezávlé kokréím rvděodoboím rozděleí - vyždjí edy lbší ředokldy, ež ey rmercké (ř. mío ormly rozděleí vyždjí oze jeho ymer d.) - oro eům rmerckým je íl ěcho eů meší. lcooův e ro jede výběr - ermercká lerv e o ředí hodoě ormálího rozděleí - evyždje lěí ředokld ormly d - mío ředí hodoy ejeme olčí medá. ředokldy e: - jedým ředokldem ohoo e je ymere rozděleí NV v zákldím obor. o e: ovíme rozdíly d ~ okd je ěkerý rozdíl rove le, je vyšě rozh výběr e íží bolí hodoy rozdílů d ořádáme odle velko řřdíme jm ořdová číl ořdová číl rozdělíme do dvo k: S oče ořdových číel kldých odchylek S oče ořdových číel záorých odchylek.. Formlce hyoéz ~ ~ : X X ~ ~ ) : X X oborá lerví hyoéz ~ ~ b) : X X rvorá lerví hyoéz ~ ~ c) : X X levorá lerví hyoéz. Teové krérm TK m S, 3. Soveí krckého obor S TK TK w Krcké hodoy ohoo e jo belováy ro růzá. 4
Mův-heyův (lcooův) e ro dv ezávlé výběry - ermercká lerv k e hody dvo ředích hodo ormálího rozděleí v řídě, že výběry jo ezávlé - ožívá e v řídě oršeí ředokld ormly zkomé NV - loží ověřeí hody ředích hodo (medáů) ve dvo zákldích oborech - je o jede z ejlějších ermerckých eů. ředokldy e: - rcjeme ezávlým áhodým výběry o rozh - áhodé výběry ocházejí ze ojého rozděleí - okd e rozděleí ledové velčy v obo olcích lší, k jedě úroví - škál měřeí NV X je leoň ordálí. o e: ob obory ojíme dohromdy, hodoy ořádáme vzeě odle velko je očíljeme ořdovým číly hodým hodoám řřdíme růměr jejch ořdových číel R je oče ořdových číel v rvím výběr R je oče ořdových číel v drhém výběr vyočeme T T : T R T R. Formlce hyoéz ~ ~ : X X ~ ~ ) : X X oborá lerví hyoéz ~ ~ b) : X X rvorá lerví hyoéz ~ ~ c) : X X levorá lerví hyoéz. Teové krérm U m T, T 3. Soveí krckého obor U U M,, Krcké hodoy ohoo e jo belováy ro růzá. 5
χ - e dobré hody - loží k ověřeí hody mez eoreckým emrckým rozděleím - ředokldem e je možo rozříd výledky áhodého výběr do rčého oč (k) djkích říd odle ějkého zk - je oželý je v řídě velkých výběrů - emáme-l k dozc doečě velký výběr, lze mío ohoo e lkov e Kolmogorovův-Smrovův. ředokldy e: - je é, by rozh výběr zjl doečé eorecké obzeí ve všech kách, do chž je obor rozřídě, j. 5, - o odmík lze formlov mírěj: ve všech řídách mí l leoň v 8 % říd mí l 5.,, Nejo-l výše vedeé odmíky lěy, je řeb loč ěkeré řídy (ř. oedí č věcě říbzé). okd e ce ezleší, je o oží jý e. Teo e e ožívá ve dvo cích:. dává roorce čeoí v jedolvých kách (může bý formlováo říkld vě).. ředokládá, že ZS má rozděleí rčého y: okd dává y rozděleí jeho rmery, jedá e o úlě ecfkový model okd dává oze y rozděleí bez ecfkce rmerů, jde o eúlě ecfkový model. Sce. :, ro =,,..., k : o. G k,, k kde... emrcká (ozorová, výběrová) čeo,... eorecké (hyoecká) čeo, j. eorecké obzeí -é řídy. 3. G G k 6
Sce Úlě ecfkový model (říkld). : o : o Dlší o (j. body. 3.) vz ce. Neúlě ecfkový model (říkld). : o. : o G k,, k kde je oče rmerů rozděleí, keré odhdjeme. 3. G G k Závěr e: okd TK Є, zmíáme (z., že řjímáme ). V om řídě eí rozděleí, ecfkové lovo hyoézo, vhodým modelem ro emrcká d. Shod obo rozděleí (eoreckého emrckého) e hldě výzmo α eovrdl. Kolmogorovův-Smrovův e ro jede výběr - e o vr rozděleí, loží k ověřeí hody mez eoreckým emrckým rozděleím - lze ho oží ro výběr mlého č velm mlého rozh - údje emí bý rozříděy do k, e vychází z ůvodích ozorových hodo - edochází k ke zráě formce, kerá je ve výběr obže. ředokldy e: - áhodý výběr ochází z ěkerého ojého rozděleí, keré mí bý hyoézo úlě ecfkové. Symbolk: F emrcká (kečá) drbčí fkce áhodé velčy X F eorecká (hyoecká) drbčí fkce áhodé velčy X Emrcká drbčí fkce F : To fkc rčíme z hodo ořádých odle velko. 7
F je defová vrem: F, < =,,,,, =,. Teovcí o:. F F : : o. d F F 3. d d d Krcké hodoy ohoo e jo belováy ro růzá. Závěr e: okd TK Є, zmíáme řjímáme. V om řídě eí rozděleí, ecfkové lovo hyoézo, vhodým modelem ro emrcká d. Shod obo rozděleí (eoreckého emrckého) e hldě výzmo α eovrdl. 8