8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti

Transkript

1 Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z rozděleí áhodé veličiy X a chceme odhadout parametr θ tohoto rozděleí (a Bodový odhad parametru θ je fukce áhodého výběru ˆθ ˆθ(X 1,, X Hodotu ˆθ musí být možé smysluplě iterpretovat jako odhad skutečé hodoty parametru θ, apř je-li θ = µ, pak ˆµ = X = ˆθ(X 1,, X U bodového odhadu obvykle požadujeme, aby byl estraý V této třídě se pak sažíme vybrat te ejlepší Defiice 1 Bodový odhad ˆθ N (X 1,, X je estraý, jestliže E ˆθ N = θ Nestraý bodový odhad ˆθ NN (X 1,, X je ejlepší estraý odhad, jestliže var(ˆθ NN = mi ˆθ N var(ˆθ N Ozačme EX = µ a varx = σ Jelikož ze sedmého tématu víme, že E X = µ a ES = σ, jsou X a S estraé odhady parametrů µ a σ Nadto, pokud X N (µ, σ, pak X a S jsou ejlepší estraé odhady parametrů µ a σ Pozámka 1 Odhadů parametru je ekoečě moho, záleží tedy a vkusu a zkušeosti každého z ás, jaký odhad použijeme Např pro symetrická rozděleí 1 je estraým odhadem parametru µ ˆµ = X max + X mi, kde X max = max{x i, i = 1,, }, X mi = mi{x i, i = 1,, } Aebo odhadem rozptylu σ je také (vedle výběrového rozptylu S ˆσ = 1 (X i X Teto odhad ovšem eí estraý ( Eˆσ = 1 σ, zato má meší rozptyl ež S 1 rozděleí je symetrické, jestliže existuje x 0 R tak, že pro fukci g platí i=1 g(x 0 x = g(x 0 + x, x R, kde pro spojité rozděleí je g jeho hustota, pro diskrétí rozděleí je g jeho pravděpodobostí fukce 1

2 (b Itervalový odhad parametru θ Defiice (i Oboustraý (1 100% iterval spolehlivosti pro parametr θ je iterval ˆθ1 (X 1,, X, ˆθ (X 1,, X takový, že pro áhodé veličiy ˆθ 1 (X 1,, X, ˆθ (X 1,, X platí P (ˆθ1 (X 1,, X θ ˆθ (X 1,, X = 1 (ii Jedostraý (1 100% dolí iterval spolehlivosti pro parametr θ je (zdola omezeý iterval j ˆθ 1 (X 1,, X, + s vlastostí P ( j ˆθ 1 (X 1,, X θ = 1 (iii Jedostraý (1 100% horí iterval spolehlivosti pro parametr θ je (shora omezeý iterval (, j ˆθ (X 1,, X s vlastostí P ( θ j ˆθ (X 1,, X = 1, kde j ˆθ1 (X 1,, X, j ˆθ (X 1,, X jsou fukce áhodého výběru Máme-li realizaci áhodého výběru x 1,, x, pak se často píše θ ˆθ1 (x 1,, x, ˆθ (x 1,, x Pokud bychom měli hodě realizací áhodého výběru, pak lze apř 95% iterval spolehlivosti pro µ chápat tak, že 95 % itervalů sestaveých z oěch realizací by obsahovalo µ Pozámka Uvědomme si, že itervaly spolehlivosti mají áhodé meze, apř ˆθ 1 (X 1,, X ˆθ 1 (X 1 (ω,, X (ω, ω Ω Odvozeí oboustraého itervalu spolehlivosti pro µ, je-li X N (µ, σ, kde µ ezáme a σ záme Již víme, že pochází-li áhodý výběr z N (µ, σ, má výběrový průměr X N (µ, σ, a tudíž ormovaá áhodá veličia X N = X µ σ N (0, 1 Ze sudosti hustoty ormovaého ormálího rozděleí plye 1 = P ( X N u 1 Dále pak P ( ( X N u 1 = P u 1 X µ σ = 1 u 1 ( = P µ X + σ u 1

3 Defiujeme-li ˆθ 1 (X 1,, X = X σ u 1, ˆθ (X 1,, X = X + σ u 1, ašli jsme oboustraý (1 100% iterval spolehlivosti pro µ (při σ zámém, X + σ u 1 Odvod me si ještě apř jedostraý dolí iterval spolehlivosti pro µ (záme-li σ : ( ( X 1 = P ( X µ N u 1 = P u 1 = P X σ u 1 µ Ozačíme-li j ˆθ1 (X 1,, X = X σ u 1, je hledaý iterval σ X σ u 1, + Stejým postupem lze odvodit i jedostraý horí iterval spolehlivosti pro µ (při σ zámém (, X + σ u 1 Příklad 1 Náhodá veličia X popisuje výšku křováka Předpokládáme, že X N (µ, 36, tj σ = 36 záme a chceme sestrojit 95% iterval spolehlivosti pro µ, záme-li výšku pěti áhodě vybraých křováků x i Jelikož = 0, 05, = 5, x = 16 a u 1 = u 0,975 = 1, 960, je hledaý iterval , 960; = 1, , 74; 167, Aalogicky lze sestrojit 99% iterval spolehlivosti pro µ (u 0,995 =, , 55; 169, 45 Povšiměme si, že s rostoucí spolehlivostí (to je číslo (1 % roste délka itervalu Obdobými postupy lze odvodit i další itervaly spolehlivosti Přehled itervalů spolehlivosti pro µ, σ zámé, X + σ u 1, X σ u 1, +, (, X + σ u 1, 3

4 pro µ, σ ezámé X t 1 ( 1 S, X + t 1 ( 1 S, X t 1 ( 1 S, +, (, X + t 1 ( 1 S, pro σ ( 1S ( 1S,, ( 1 ( 1 χ 1 Cvičeí k tomuto tématu χ ( 1S χ 1 ( 1, +, (0, ( 1S χ ( 1 (i Ve výrobě rumu se áhodě odebralo 7 vzorků, ve kterých se změřil obsah alkoholu x i (v % Předpokládejme, že kocetrace alkoholu v rumu je áhodá veličia s ormálím rozděleím N (µ, σ (a Na základě bodových odhadů µ, σ odhaděte pravděpodobost, že vzorek odebraý při zítřejší kotrole bude splňovat ormu (která zí, že kocetrace je ejméě 40 % (b Kotrola odebere 5 vzorků Jaká je pravděpodobost, že (ba budou všechy v ormě? (bb budou aspoň 3 v ormě? (bc budou všechy pod ormou? (bd průměr obsahu alkoholu bude ejméě 40 %? (ii Během jedé miuty se změřilo možství oxidu siřičitého v 1 m 3 v pěti áhodě vybraých místech daé lokality x i (µg Předpokládá se, že možství oxidu siřičitého v 1 m 3 se řídí ormálím rozděleím N (µ, σ Norma říká, že průměré možství oxidu siřičitého v daé lokalitě esmí překročit 100 µg a 1 m 3 Sestrojte (a 95% a 99% itervaly spolehlivosti (oboustraé, horí i dolí pro µ, záte-li σ = 87, 5; (b 95% a 90% itervaly spolehlivosti (oboustraé, horí i dolí pro µ, je-li σ ezámé; (c 95% itervaly spolehlivosti (oboustraé, horí i dolí pro σ (iii Uvažme úlohu z předchozího příkladu (a 95% iterval spolehlivosti pro µ při σ zámém je moc široký Jaký by musel být rozsah áhodého výběru, aby šířka itervalu byla ejvýše 10 µg? (b Řešte úlohu (a pro σ ezámé (dcv Vezměme si úlohu z Příkladu (i a sestrojme 95% itervaly spolehlivosti (oboustraé i jedostraé pro 4

5 (a µ při σ = 4 zámém, (b µ při σ ezámém, (c σ Může výrobce a základě vhodých itervalů spolehlivosti pro µ tvrdit, že splil ormu? 5