Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013.

Transkript

1 Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška Varačí rozpětí R = ma m = 85-5 = bod Kvatly % % % = = 7 = 7 bod

2 Sturgesovo pravdlo, podle kterého by měl být počet skup k přblžě k = +, log v ašem případě k = +, log =,8.. terval do 57. terval 58. terval 7 bod. terval terval terval 78 a více Iterval / Σ / do 57 0,0 0, ,09 0, ,70 0, , 0, ,7 0, a více 0,0,000 Σ Polygo kumulatvích absolutích četostí body Za výšku budeme tedy brát střed tervalu. U krajích tervalů uvažujeme, jako by škála pokračovala.

3 Artmetcký průměr = k = = 7,7 Použjeme vážeý artmetcký průměr také zaokrouhleý a jedu desetu = 7,7 cm. Rozptyl, směrodatá odchylka S S S = k ( ). ( ) 55 7,7 + 5 (0 7,7) + 7 (5 7,7) + (70 7,7) = + 8 (75 7,7) + (80 7,7) + =,8 = 5,777 body Směrodatá odchylka ukazuje, jakou výpovědí hodotu má artmetcký průměr. Je-l směrodatá odchylka velká, výpovědí hodota artmetckého průměru je malá a opačě. Mometové parametry jsou emprcké parametry, které vypočítáme z hodot statstckého zaku v ašem výběrovém souboru. Rozlšujeme: obecé momety, cetrálí momety ormovaé momety.

4 Obecé momety Doplěá tabulka: O O O O = = = = = = = = =,5 9, ,7 = = =,5 body Obecý momet prvího řádu O =,5 je vlastě artmetcký průměr vyjádřeý v prvcích škály ( až ). Jedoduše tuto hodotu převedeme a cetmetry. Střed tervalu je 5cm a ještě zbývá 0,55 délky dalšího tervalu (délka tervalu je 5cm), takže 5 + 0,5. 5cm = 7,7 cm. Vdíme, že je to ve shodě s předešlým výpočtem artmetckého průměru, který ám vyšel také = 7,7cm. Obecý momet prvího řádu O je parametrem polohy. Obecé momety slouží k výpočtu cetrálích mometů.

5 Cetrálí momety ( ) C = = O O = 0 ( ) ( ) ( ) C = = O O =,5 C = = O OO + O = 0,0 C = = O OO + OO O =,8 body Cetrálí momety jsou tedy počítáy vzhledem k cetrálí hodotě (artmetckému průměru). C je tedy vždy = 0. Cetrálí momet druhého řádu C je rozptyl a je parametrem šířky, C je směrodatá odchylka. V ašem příkladě C =,55. Pro vyjádřeí v cetmetrech tuto hodotu vyásobíme délkou tervalu S =,55. 5cm = 5,777cm. Což je ve shodě s předchozím výpočtem, kdy ám S vyšlo 5,78cm. Cetrálí momety třetího a čtvrtého řádu použjeme k výpočtu dalších emprckých parametrů. Normovaé momety Parametr škmost je ejčastěj určová pomocí ormovaého mometu. řádu a ese pak ázev koefcet škmost. N C = = C C 0,5 Je-l koefcet škmost kladý, pak prvky škály ležící vlevo od artmetckého průměru mají vyšší četost (kladě zeškmeé rozděleí četostí větší kocetrace meších prvků škály, meších hodot statstckého zaku) a opačě. 5

6 V ašem příkladě se jedá o mírě kladě zeškmeé rozděleí, to zameá, že v ašem souboru je více že meších, ež je průměrá výška = 7,7cm. Což s můžeme ověřt v tabulce. Parametr špčatost je ejčastěj určová pomocí ormovaého mometu. řádu a ese pak ázev koefcet špčatost. N C = =,77 C Špčatějšímu rozděleí četostí př daém rozptylu odpovídá vyšší hodota koefcetu špčatost ež rozděleí ploššímu. Používá se rověž velča eces, defovaá vztahem E = N = 0,8 Prametr eces srovává špčatost emprckého rozděleí se špčatostí zámého ormovaého ormálího rozděleí (vz. apříklad publkace Bílková, D. Budský, P. Voháka, V.: Pravděpodobost a statstka. Aleš Čeěk, Plzeň, 009. Podrobě se s ím sezámíme v dalším tématu). Je-l eces kladý, je emprcké rozděleí špčatější ež toto rozděleí. V ašem příkladu má soubor meší koefcet ež ormovaé ormálí rozděleí. v tervalu S ; + S leží 8% všech hodot a v tervalu S ; + S leží 95% všech hodot body

7 Nulová a alteratví hypotéza (vz především: Budský, P. et al. Základy ekoomcké statstky, Eupress, Praha 008, str.-, kde je také jý podobý příklad. Nulová hypotéza H 0 předpokládá, že ám studovaé emprcké rozděleí lze s praděpodobostí lepší ebo rovou ( - α ).00 % ahradt teoretckým rozděleím. Číslu α říkáme hlada výzamost. Alteratví hypotéza H a předpokládá, tuto áhradu elze provést. Neparametrcké testováí: Naše data podrobíme testu ormalty, tj. že aše výběrová data mohou být vybráa ze statstckého souboru odpovídajícího ormálímu (Gaussovu) rozděleí. Test provedeme a hladě výzamost α = 0,05. K tomuto testu použjeme tzv. umělé rozděleí (hodící se pouze pro testováí) (čt chí kvadrát). S ašm daty provedeme trasformac (substtuc) u =, S kde u je proměá ormovaého ormálího rozděleí s dstrbučí fukcí u Φ ( u) = e. π (Fukce Φ ( u) se ěkdy azývá Laplaceova fukce. V ěkterých tabulkách je ozačováa jako F ( u ).) Pomocí tabelovaých hodot Φ ( u) a použítím pravdla Φ( u) = - Φ ( u) vypočítáme pravděpodobost p odpovídající horím mezím tervalů ( ) ( ) p = Φ u Φ u Nyí můžeme vypočítat ep = ( p ) p ep epermetálí hodotu Teoretckou hodotu teor alezeme opět v jé tabulce a to v řádku v, v udává tzv. počet stupů volost v = k r, kde r je počet parametrů rozděleí, které testujeme (pro Gaussovo rozděleí r = ); tedy v =. Krtcký obor pro áš test je W v α ( ) ) = teor, ; +. 7

8 Pokud bude ep mmo krtcký obor, bude aše ulová hypotéza potvrzea a příslušé hladě výzamost. terval hor.mez u Φ ( u ) p p ( ) / p p Do 7-0,98 0, 0, 7,0 0, , 0,8 0,87,0, ,7 0,770 0,,8 0,58 7 a více 0,000 0,0 0,580 0,08 =,000 ep =, 807 α = 0,05 teor =,8 ep =,807,8; +. Epermetálí hodota statstckého krtera ep je mmo krtcký obor W, lze tedy přjmout ulovou hypotézu H 0 a tedy a hladě výzamost α = 0,05 lze aše data ahradt. body Parametrcké testováí se týká posuzováí vypočteých emprckých parametrů výběrových souborů. 8