Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Transkript

1 Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy jsou áhodé veličiy měřey za podmíek kolísáí rozptylu kolem určité středí hodoty Hustota pravděpodobosti spojité áhodé veličiy x ležící v itervalu (- ", " s Laplaceovým rozděleím má tvar ( 05 Φ exp l l( Φ Φ Θ Φ Laplaceova rozděleí je = Θ,, 0 a = 6 Ve srováí s ormálím rozděleím je Laplaceovo rozděleí špičatější a má delší koce Tak %í kvatil Laplaceova rozděleí je rove - 7 D(, zatímco odpovídající kvatil ormálího rozděleí je - 33 ( Laplaceovo rozděleí připouští výskyt výrazěji odchýleých hodot a využívá se jako "robustí" alterativa ormálího rozděleí Po dosazeí a zlogaritmováí vyjde logaritmus věrohodostí fukce ve tvaru i i Θ Při zámé hodotě parametru lze maximálě věrohodý odhad ˆΘ parametru Θ získat miimalizací výrazu i je výběrový mediá θ 05 Odhad parametru se počítá dle rovice ˆΦ i i Θ se vyjádří vztahem ( ˆΦ Φ lze kostruovat tak, že je-li záma středí hodota Θ, lze určit 00( - α%í iterval spolehlivosti pro Φ podle vztahu i ˆΦ χ α/ ( Φ ˆΦ χ α/ ( b rovoměré (rektagulárí rozděleí je ejjedodušším typem rozděleí pro oboustraě omezeou áhodou veličiu, která musí ležet v zadaém itervalu Týká se áhodých veliči, které se v daém itervalu vyskytují se stejou pravděpodobostí Pokud je = 0 a -k = 05 0, popisuje rovoměré rozděleí chyby, vziklé zaokrouhleím a desetiých míst Hustota pravděpodobosti rovoměrého rozděleí má tvar ( rovoměrého rozděleí je, = 0 a = 8 Logaritmus věrohodostí fukce má tvar l l (

2 pro mi( max( Teto vztah abývá maxima při miimálí velikosti Je zřejmé, že mi( = a max( = Maximálě věrohodý ˆ je rove ( ( a maximálě věrohodý ˆ 05 ( ( ( ˆ 05 ( ( ( Odhad ˆ je totožý s polosumou Odhad ˆ je vychýleý ˆ se získá ásobeím odhadu ˆ P 0 faktorem Pro rozptyly těchto odhadů vztahy ( ˆ je rove ( ( a (ˆ ( ( Pro 00( - α%í iterval spolehlivosti libovolého parametru Θ lze užít asymptotický vztah ˆΘ α/ ( ˆΘ Θ ˆΘ α/ ( ˆΘ : expoeciálí rozděleí je jedostraě ohraičeé zdola Využívá se ho k popisu řady reálých dějů Expoeciálí rozděleí má uplyulý čas, resp obsazeý prostor před tím, ež astal áhodý jev Je typické pro životost součástí strojů, vzdáleost, kterou urazí molekuly plyu při ízkém tlaku až do vzájemé srážky, doby mezi dopadem částic do čítače a doby bezporuchové čiosti Expoeciálí rozděleí bývá spjato s Poissoovým rozděleím áhodých jevů Popisuje statistické chováí kladé áhodé veličiy pro 0 Jeho hustota pravděpodobosti je defiováa vztahem ( Θ exp Θ jedoparametrového expoeciálího rozděleí je = a = 9 je rove = Θ l Logaritmus věrohodostí fukce má tvar 05 l l Θ i i Θ Po dosazeí se určí maximálě věrohodý odhad Θ a vyčíslí se odpovídající i i rozptyl ( ˆΘ Θ Při kostrukci itervalů spolehlivosti se využívá skutečosti, že áhodá veličia ˆΘ /Θ má rozděleí χ ( Pro ˆΘ χ α/ ( Θ pak ˆΘ χ α/ (

3 d popisuje statistické chováí áhodé veličiy, která může abývat hodot µ, tj je zdola ohraičeá Hustota pravděpodobosti má tvar ( Θ exp ( µ/θ je Vztahy pro rozptyl, šikmost a špičatost jsou stejé jako u jedoparametrového expoeciálího rozděleí ˆµ je ˆµ ( mi(,, Pro maximálě věrohodý odhad ˆΘ parametru Θ lze apsat ˆΘ i ( i ˆµ ( ˆµ (ˆµ µ Θ (ˆµ Θ má středí hodotu a / ˆΘ má středí hodotu ( ˆΘ Θ a ( ˆΘ Θ 3 Maximálě věrohodé odhady ˆΘ a ˆµ jsou vychýleé Pro ˆΘ a ˆµ lze odvodit vztahy ˆµ 0 ( Θ, (ˆµ 0, ( ( ˆΘ 0 ( Θ, ( ˆΘ 0 Odhady ˆµ 0, Θ 0 jsou však korelovaé s korelačím koeficietem rovým (-/ Pro ( ˆΘ 0 Θ ( ˆΘ 0 χ α/ ( χ α/ ( Protože má podíl ( / ˆΘ 0 -rozděleí se a ( - stupi volosti, je spodí mez µ pro 00( - α%í iterval spolehlivosti parametru µ vyjádřitelá vztahem µ ( ˆΘ 0 α (, P (, ( [( ] 0 0 Horí mez je s pravděpodobostí blízkou jedé ejmeší prvek výběru Pro určeí kvatilů rozděleí (, - ( stačí dosadit do vztahu e é: logaritmicko-ormálí roz-děleí je ejrozšířeější alterativou rozděleí ormálího pro jedostraě ohraičeá data Fyzikálí veličiy (teplota, tlak, objem, hmotost, kocetrace, atd jsou buď kladé, ebo mají přirozeě defiovaý počátek (apř absolutí ula u teploty Pokud jsou však aměřeé hodoty v blízkosti počátku, je lépe použít apř logormálí rozděleí Toto rozděleí se používá všude tam, kde se měří ízké kocetrace, malé hmotosti, malé délky, atd Typickým příkladem je v aalytické chemii stopová aalýza Rověž souhrá chyba, která je součiem dílčích malých chyb, má logormálí rozděleí Náhodá veličia s dvouparametrovým logormálím rozděleím souvisí s áhodou veličiou s ormovaým ormálím rozděleím vztahem

4 ( ( Θ σ π l( µ σ kde µ, σ jsou parametry Log-ormálí rozděleí má áhodá veličia, která může abývat pouze kladých hodot, tj leží v itervalu 0 < " S využitím vztahů pro hustotu pravděpodobosti trasformovaé áhodé veličiy lze odvodit hustotu pravděpodobosti logormálího rozděleí ve tvaru exp (l( Θ µ Náhodá veličia má dvouparametrové logormálí rozděleí, pokud má áhodá veličia l ormálí rozděleí N(µ, σ a áhodé veličiy se vyčíslí podle vztahů σ ( exp(µ 05 σ a ( exp( µ ω (ω, kde ω = exp(σ a tohoto rozděleí závisí pouze a veličiě ω podle rovic ω (ω a ω 4 ω 3 3 ω 3 Také δ je pro logormálí rozděleí fukcí pouze parametru ω a δ ω ˆM a lze vyjádřit vztahy ˆM exp(µ σ a exp(µ Maximálě věrohodý se určí vztahem a maximálě věrohodý ˆµ ˆσ i i l i (l i ˆµ který je však vychýleý ˆσ 0 se vyčíslí aalogicky jako u ormálího rozděleí ˆσ 0 ( /( ˆσ V řadě případů je aalýza v logaritmické trasformaci evyhovující Je třeba staovit odhady parametrů polohy a rozptýleí spolu s jejich itervaly spolehlivosti pro původí data Jedoduše lze kostruovat itervaly spolehlivosti pro mediá, který je expoeciálí trasformací parametru µ Pro exp ˆµ α/ ( σ se vypočte vztahem ˆσ exp ˆµ α/ ( ˆσ Podobě lze sestrojit i itervaly spolehlivosti pro variačí koeficiet, šikmost a špičatost, které jsou fukcí pouze parametru σ Pro exp ( ˆσ δ exp ( ˆσ χ α/ ( χ α/ ( Pokud je třeba odhadout středí hodotu původích dat a odpovídající rozptyl užije se vztahů ˆ exp(ˆµ (05 σ ˆ exp( ˆµ ( σ ( ˆσ

5 V obou vztazích je fukce vyjádřea ekoečou řadou ( " j ( j j ( ( 3 ( j! f : toto rozděleí má áhodá veličia, která může abývat hodot vyšších ež spodí mez Θ, t z leží v itervalu Θ < " Náhodá veličia má tříparametrové logormálí rozděleí, pokud má áhodá veličia l( - Θ ormálí rozděleí N(µ, σ Pro parametry polohy tříparametrového logormálího rozděleí, že jsou o Θ vyšší ež odpovídající parametry dvouparametrového logormálího rozděleí Parametry rozptýleí, šikmost a špičatost jsou shodé