Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Transkript

1 Odhady parametrů základího souboru

2 Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt celou populac, provádíme tzv. áhodý výběr z populace. Náhodý výběr popsujeme rověž jeho parametry, apř. výběrový průměr x, výběrový rozptyl s atd.

3 Úvodí pozámky Parametry populace jsou kostatí, parametry áhodého výběru jsou ovšem áhodé proměé (provedeím jého áhodého výběru získáme jé hodoty parametrů) řídící se výběrovým rozděleím. Záme-l pro kokrétí výběrovou charakterstku její výběrové rozděleí, jsme potom schop odhadout parametr celé populace. 3

4 Úvodí pozámky Rozlšujeme dva typy odhadů: ) Bodový odhad parametr populace aproxmujeme jedím číslem. ) Itervalový odhad parametr populace aproxmujeme tervalem, ve kterém jeho hodota leží s určtou pravděpodobostí. 4

5 Vlastost bodového odhadu Mějme áhodý výběr x, x,, x pocházejícího z rozděleí pravděpodobost defovaého dstrbučí fukcí F(x, θ), kde θ je ezámý parametr. Bodový odhad parametru θbudeme začt θˆ. 5

6 Vlastost bodového odhadu Dobrý bodový odhad musí splňovat určté vlastost: ) Nestraost(evychýleost, ezkresleost). ) Vydatost(efcece). 3) Kozstece. 4) Dostatečost. 6

7 Vlastost bodového odhadu Odhad je estraý, pokud se jeho středí hodota rová hledaému parametru, tedy: ˆ θ. Eθ Slabší formou estraost je asymptotcká estraost, odhad je asymptotcky estraý, pokud: lm E ˆ θ θ. Např. výběrový průměr je estraým odhadem středí hodoty. 7

8 Vlastost bodového odhadu Máme-l dva estraé odhady, potom vybereme te s meším rozptylem, tato vlastost se azývá vydatost. Nestraý odhad, jehož rozptyl je ejmeší ze všech estraých odhadů, se azývá ejlepší estraý odhad. Např. výběrový průměr je ejlepším estraým odhadem středí hodoty. 8

9 Vlastost bodového odhadu Odhad je kozstetí, pokud se s rostoucím rozsahem výběru zpřesňuje, musí tedy platt: lm Eθˆ θ a lm D ˆ θ 0. Např. výběrový průměr je kozstetím odhadem středí hodoty. 9

10 Vlastost bodového odhadu Odhad je dostatečý, pokud obsahuje veškerou formac o sledovaém parametru, kterou výběrový soubor poskytuje. Výběrový průměr je dostatečým odhadem středí hodoty. 0

11 Metody kostrukce bodových odhadů Pro kostrukc bodových odhadů se ejčastěj používají metody: ) Metoda maxmálí věrohodost. ) Metoda mometů.

12 Metoda maxmálí věrohodost Nechť áhodý výběr pochází z dskrétího rozděleí pravděpodobost defovaého pravděpodobostí fukcí s ezámým parametrem θ. Věrohodostí fukce je potom defováa jako sdružeá hustota pravděpodobost ezávslých proměých se stejým dskrétím rozděleím: L ( x,..., x, θ ) p( x, θ )... p( x, θ ) p( x, θ ).

13 Metoda maxmálí věrohodost Pochází-l výběr ze spojtého rozděleí s ezámým parametrem θ, je věrohodostí fukce defováa jako sdružeá hustota pravděpodobost ezávslých proměých se stejým spojtým rozděleím: L ( x,..., x, θ ) f ( x, θ )... f ( x, θ ) f ( x, θ ). 3

14 Metoda maxmálí věrohodost Jelkož je věrohodostí fukce ezámého parametru θ, je yí úkolem ajít θˆ tak, aby se maxmalzovala hodota věrohodostí fukce, tedy: ( x x, ˆ θ ) max L( x,...,, ) L,..., { x θ }. θ Př praktckých výpočtech se místo věrohodostí fukce pracuje s jejím přrozeým algortmem. 4

15 Metoda maxmálí věrohodost Podmíku optmaltymůžeme tedy vyjádřt ve tvaru: L( x,...,, θ ) l x θ 0. Řešeím této rovce (v případě více ezámých parametrů řešeím soustavy rovc) získáme odhady ezámého parametru, resp. parametrů. 5

16 Metoda maxmálí věrohodost Př. : Je dá výběr x, x,, x pocházející z ormálího rozděleí. Metodou maxmálí věrohodost odhaděte parametry μa. Normálí rozděleí je defováo hustotou pravděpodobost ve tvaru: f ( x) e π ( xµ ). 6

17 Metoda maxmálí věrohodost Pro věrohodostí fukc můžeme psát: L ( x x, µ, ) ( x µ ),..., e e π ( π ) ( x µ ). Věrohodostí fukc zlogartmujeme a dále upravujeme: l x l e ( ) π ( x,...,, µ, ) L ( µ ) x 7

18 Metoda maxmálí věrohodost ( ) ( ) ( ) ( ) l l x x e e π π µ µ ( ) ( ) ( ) ( ). l l l l l l l l + x x e x e µ π µ π π µ 8

19 Metoda maxmálí věrohodost Logartmus věrohodostí fukce máme uprave, provedeme parcálí dervace podle μa, které položíme rovy ule a získaou soustavu vyřešíme: l L µ l L ( x µ ) ( ) 0, ( ) ( x µ ) 0. ( ) poz. Je třeba s uvědomt, že druhá parcálí dervace je podle!!! 9

20 Metoda maxmálí věrohodost Z prví rovce úpravam získáme: ( ) ( ) 0 x µ ( x µ ) 0 ˆ µ x x., poz. Pro výběrový průměr platí, že součet odchylek jedotlvých pozorováí od výběrového průměru je rove 0, tedy: ( x x) 0. 0

21 Metoda maxmálí věrohodost Z druhé rovce úpravam a dosazeím získáme: ( ) ( ) ( ), 0 x µ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ˆ, 4 4 x x x x x µ µ µ

22 Metoda mometů Metoda mometů je založea a porováí výběrových mometů s odpovídajícím teoretckým momety předpokládaého rozděleí pravděpodobost. Výběrový počátečí momet k-téhořádu je defová: M k x k.

23 Metoda mometů Výběrový cetrálí momet k-téhořádu je defová: M k k ( x x). Teoretcké momety jsou defováy odlšě u dskrétí a spojté áhodé proměé. 3

24 Metoda mometů Pro dskrétí áhodou proměou je teoretcký počátečí momet k-téhořádu defová: µ k k x p( x ), teoretcký cetrálí momet k-téhořádu je defová: µ k k ( x EX ) p( x ). 4

25 Metoda mometů Pro spojtou áhodou proměou je teoretcký počátečí momet k-téhořádu defová: µ k x k f ( x) dx, teoretcký cetrálí momet k-téhořádu je defová: µ k k ( x EX ) f ( x) dx. 5

26 Metoda mometů Teoretcký počátečí momet prvího řádu je rove středí hodotě rozděleí EX, teoretcký cetrálí momet druhého řádu je rove rozptylu rozděleí DX. Je třeba získat tolk rovc, kolk odhadujeme ezámých parametrů rozděleí. 6

27 Metoda mometů Př. : Je dá výběr x, x,, x pocházející z ormálího rozděleí. Metodou mometů odhaděte parametry μa. Víme, že parametr μje středí hodota, tedy počátečí momet prvího řádu (teoretcký) a parametr je rozptyl, tedy teoretcký cetrálí momet druhého řádu. 7

28 Metoda mometů Můžeme tedy psát: ˆ µ ˆ x x, ( x x ). Vdíme, že odhady získaé metodou mometů jsou v případě ormálího rozděleí totožé s odhady získaým metodou maxmálí věrohodost. 8

29 Itervalové odhady Hledaý parametr aproxmujeme tervalem (azývá se terval spolehlvost, resp. kofdečíterval), ve kterém jeho hodota leží s určtou pravděpodobostí spolehlvost odhadu. Spolehlvost odhadu ozačujeme, kde se azývá hlada výzamost, zpravdla se volí 0,05 ebo 0,0. S rostoucí spolehlvostí odhadu roste šířka tervalu spolehlvost. 9

30 Itervalové odhady Ozačme dolí mez kofdečího tervalu T d a horí mez T h. Rozlšujeme 3 druhy tervalů spolehlvost: ) Levostraý terval spolehlvost: P ( θ T ), > d ) Pravostraý terval spolehlvost: P ( θ T ), < h 3) Oboustraý terval spolehlvost: P ( θ T ) P( θ > T ) P( T < θ < T ). < d h d h 30

31 Itervalový odhad středí hodoty Předpokladem je, že áhodý výběr pochází z ormálího rozděleí. Mohou vzkout dva případy: ) Záme směrodatou odchylku ormálího rozděleí, ze kterého pochází áhodý výběr. ) Nezáme směrodatou odchylku ormálího rozděleí, ze kterého pochází áhodý výběr. 3

32 Itervalový odhad středí hodoty ad ) Mějme áhodý výběr o rozsahu a s průměrem xpocházející z ormálího rozděleí se zámým rozptylem. Víme, že pro áhodou proměou Z platí: Z x µ N ( 0,), takto defovaá áhodá proměá se tedy řídí ormovaým rozděleím pravděpodobost. 3

33 Itervalový odhad středí hodoty Odvoďme s yí oboustraý terval spolehlvost pro středí hodotu. Ozačme 00 %-í kvatl ormovaého rozděleí jako z 00 a 00 %-í kvatl jako. z 33

34 Itervalový odhad středí hodoty Oboustraý terval spolehlvost f(x) z 0 z x 34

35 Itervalový odhad středí hodoty Na základě obrázku můžeme psát:. < < z Z z P Dosadíme a postupě upravujeme: 35,, µ µ < < < < z x z P z x z P

36 Itervalový odhad středí hodoty,, µ µ < < < < z x z x P x z x z P 36. µ + < < z x z x P poz. Jelkož je ormovaé rozděleí souměré, platí mez kvatly vztah:. z z

37 Itervalový odhad středí hodoty Vdíme tedy, že dolí mez kofdečího tervalu staovíme dle vztahu: T d x z a horí mez podle vztahu: T h x + z. 37

38 Itervalový odhad středí hodoty Příslušou hodotu kvatlu ormovaého rozděleí získáme buď z tabulek ebo s využtím fukce Excelu NORMSINV: z NORMSINV. 38

39 Itervalový odhad středí hodoty V případě levostraého tervalu spolehlvost získáme dolí hrac podle vztahu: T d x z v případě pravostraého tervalu získáme horí hrac podle vzorce: T h x + z. 39

40 Itervalový odhad středí hodoty ad ) Mějme áhodý výběr o rozsahu a s průměrem x pocházející z ormálího rozděleí s ezámým rozptylem. Víme, že platí: T x µ s t, testová statstka se tedy řídí Studetovým rozděleím pravděpodobost s stup volost. 40

41 Itervalový odhad středí hodoty Oboustraý terval spolehlvost f(x) t 0 t ; ; x 4

42 Itervalový odhad středí hodoty Na základě obrázku můžeme psát:. ; ; < < t T t P Dosazeím a aalogckým úpravam (Studetovo rozděleí je rověž souměré) získáme koečý vztah: 4. ; ; µ + < < t s x t s x P

43 Itervalový odhad středí hodoty Vdíme tedy, že dolí mez kofdečího tervalu staovíme dle vztahu: ; d t s x T a horí mez podle vztahu: 43 ; d. ; + h t s x T

44 Itervalový odhad středí hodoty Příslušou hodotu kvatlu Studetova rozděleí získáme buď z tabulek ebo s využtím fukce Excelu TINV: t ; TINV ( ; ). 44

45 Itervalový odhad středí hodoty V případě levostraého tervalu spolehlvost získáme dolí hrac podle vztahu: T d x s t ; v případě pravostraého tervalu získáme horí hrac podle vzorce: T h s x + t ;. Příslušý kvatl pomocí Excelu získáme: t TINV ( ; ). ; 45

46 Itervalový odhad středí hodoty V případě, když ezáme směrodatou odchylku ormálího rozděleí, ze kterého pochází áhodý výběr, ale máme výběr velkého rozsahu (tj. 30), můžeme Studetovo rozděleí aproxmovat ormovaým rozděleím, pro výpočet kofdečího tervalu můžeme použít prví vztahy ( s). 46

47 Itervalový odhad středí hodoty Př. 3: Př smulac světelé křžovatky bylo sledováo zdržeí vozdel čekáím ve frotě. Byl získá statstcký soubor o rozsahu 50 pozorováí. Výpočtem bylo zjštěo, že průměré zdržeí je rovo 3 s se směrodatou odchylkou 0 s. Za předpokladu, že se zdržeí vozdel řídí ormálím rozděleím, staovte 95%-í oboustraý terval spolehlvost pro středí dobu zdržeí. 47

48 Itervalový odhad středí hodoty V tomto případě sce ezáme směrodatou odchylku celé populace, ale máme výběr velkého rozsahu, proto můžeme Studetovo rozděleí aproxmovat ormálím rozděleím (výběrová směrodatá odchylka bude odhadem směrodaté odchylky populace). 48

49 Itervalový odhad středí hodoty Pro meze oboustraého tervalu spolehlvost platí: s T x z s d a T h x + z. Potřebou hodotu kvatlu alezeme pomocí tabulek: z z 0,05 z 0,975 &,96. 49

50 Itervalový odhad středí hodoty Nyí jž můžeme přstoupt k výpočtu obou mezí: T d T h 0 3,96 & 9,3s, ,96 & 34,77 s. 50 Středí doba zdržeí tedy s pravděpodobostí 0,95 leží v tervalu (9,3; 34,77). 50

51 Staoveí rozsahu výběru S rostoucím rozsahem výběru se zužuje šířka kofdečího tervalu, proto má smysl se zabývat otázkou, jaký rozsah áhodého výběru zvolt, abychom dosáhl požadovaou přesost odhadu. Přesost odhadu vyjadřujeme pomocí tzv. maxmálí přípusté chyby odhadu Δ, hodota přípusté chyby odhadu je rova polově oboustraého tervalu spolehlvost. 5

52 Staoveí rozsahu výběru př odhadu středí hodoty Př staoveí rozsahu výběru př odhadu středí hodoty musíme rozlšovat případy: ) Záme směrodatou odchylku (resp. máme výběr velkého rozsahu). ) Nezáme směrodatou odchylku a máme výběr malého rozsahu. 5

53 Staoveí rozsahu výběru př odhadu středí hodoty ad ) Oboustraý tervalový odhad můžeme vyjádřt ve tvaru: x ± z. Polova šíře tervalového odhadu (tedy maxmálí přípustá chyba odhadu) je potom rova: z. 53

54 Staoveí rozsahu výběru př odhadu středí hodoty Potřebý rozsah souboru potom staovíme z podmíky:, z postupým úpravam získáme: 54., z z

55 Staoveí rozsahu výběru př odhadu středí hodoty ad ) Maxmálí přípustou chybu odhadu můžeme v tomto případě odvodt aalogcky: s t ;. Vdíme, že v tomto případě chyba závsí a výběrové směrodaté odchylce, jejíž hodotu potřebujeme odhadout. Postupuje se tak, že se ejprve provede předvýběr o rozsahu a s výběrovou směrodatou odchylkou s, jež se považuje za odhad s. 55

56 Staoveí rozsahu výběru př odhadu středí hodoty Aalogcky jako v předchozím případě dostaeme: s t ;. Po staoveí potřebého rozsahu potom doplíme předvýběr o potřebý počet prvků a odhad potom provedeme z doplěého výběru. 56