Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz
Modely ARIMA Transformace Proces náhodné procházky Random Walk Process Proces Y t = Y t 1 + ɛ t je označuje jako proces náhodné procházky. Pomocí operátoru zpětného posunutí lze vyjádřit jako (1 L)Y t = ɛ t. ACF tohoto procesu klesá pomalu, PACF hodnotu φ 11 = 1, ostatní hodnoty jsou nulové.
Modely ARIMA Transformace Proces náhodné procházky Random Walk Process
Modely ARIMA Transformace Procesy ARIMA Diferenci Y t = Y t Y t 1 lze pomocí operátoru zpětného posunutí zapsat jako Y t = Y t Y t 1 = Y t LY t = (1 L)Y t. Pro diferenci 2. řádu 2 Y t = (Y t Y t 1) = Y t Y t 1 = Y t Y t 1 (Y t 1 Y t 2) = Y t 2Y t 1 + Y t 2 lze pomocí operátoru zpětného posunutí zapsat jako 2 Y t = (1 L) 2 Y t. Diferencování časové řady v R-ku provedeme funkcí diff.
Modely ARIMA Transformace Procesy ARIMA Pro některý procesy platí, že po transformaci pomocí diference řádu d, je lze popsat jako proces ARMA(p, q). Takový model označujeme jako model ARIMA(p, d, q) (1 φ 1L φ pl p ) d Y t = (1 + θ 1L + + θ ql q )ɛ t, (1 φ 1L φ pl p )(1 L) d Y t = (1 + θ 1L + + θ ql q )ɛ t. K ověřování nestacionarity procesu slouží tzv. testy jednotkových kořenů unit root tests. Mezi nejznámější patří Dickey-Fullerovy testy (ADF testy). Odhady parametrů ARIMA modelů získáme v R-ku pomocí funkce arima, základní diagnostiku vhodnosti modelu dává funkce tsdiag, předpovědi určíme s využitím funkce predict.
Modely ARIMA Transformace Procesy ARIMA
Modely ARIMA Transformace Procesy ARIMA
Modely ARIMA Transformace Logaritmování Mimo diferencování existují i jiné transformace, pomocí nichž lze dosáhnou stacionarity. Asi nejpoužívanější transformací je logaritmování. Předpokládejme, že Y t > 0 pro Všechna t a že E(Y t) = µ t a D(Yt) = µ tσ. Předpoklad popisuje situaci, kdy se rozptyl mění v závislosti na střední hodnotě. Potom E(ln Y t) ln µ t a D(ln Y t) σ 2. Tyto závěry vyplývají z Taylorova rozvoje ln Y t ln µ t + Yt µt µ t.
Modely ARIMA Transformace Box-Coxova transformace Pro danou hodnotu parametru λ je transformace definována následovně { x λ 1 pro λ 0, g(x) = λ ln x pro λ = 0. Hodnota parametru λ může být odhadnuta v R-ku pomocí funkce BoxCox.ar. Požití ukážeme na časové řadě popisující množství elektrické energie vyrobené v USA v období 01/1973 12/2005 - měsíční data.
Modely ARIMA Transformace Box-Coxova transformace
Uvažujme nejprve stacionární modely. Označme s sezónní periodu (pro měsíční časové řady s = 12, pro čtvrtletní s = 4). Mějme proces Všimněme si, že ale Y t = ɛ t + Θɛ t 12. C(Y t, Y t 1) = C(ɛ t + Θɛ t 12, ɛ t 1 + Θɛ t 13) = 0, C(Y t, Y t 12) = C(ɛ t + Θɛ t 12, ɛ t 12 + Θɛ t 24) = Θσ 2 ɛ. Tento proces je stacionární a má nenulové autokorelace pouze pro zpoždění 12.
Definujme sezónní MA(Q) proces s periodou s následovně Y t = ɛ t + Θ 1ɛ t s + Θ 2ɛ t 2s +... Θ Q ɛ t Qs. Charakteristický polynom má tvar Θ(z) = 1 + Θ 1z s + Θ 2z 2 s + + Θ Q z Qs. Analogicky definujeme sezónní AR(P) proces s periodou s Y t = Φ 1Y t s + Φ 2Y t 2s + + Φ P Y t 2s s charakteristickým polynomem Φ(z) = 1 Φ 1z s Φ 2z 2 s +... Φ P z Ps. Sezónní ARMA model vznikne spojením modelů AR(P) a MA(Q)
Sezónní ARMA(p, q)(p, Q) model s periodou s jen model s AR charakteristickým polynomem φ(z)φz a s MA charakteristickým polynomem θ(z)θ(z), kde φ(z) = 1 φ 1z φ 2z 2 +... φ pz p, Φ(z) = 1 Φ 1z s Φ 2z 2 s +... Φ P z Ps, θ(z) = 1 + θ 1z + θ 2z 2 + + θ qz q, Θ(z) = 1 + Θ 1z s + Θ 2z 2 s + + Θ Q z Qs.
U ARIMA procesů se stacionarity dosáhlo pomocí diferencování ( Y t = Y t Y t 1). U nestacionárních sezónních procesů definujeme sezónní diferenci sy t = Y t Y t s. Lze definovat obecný nestacionární proces SARIMA(p, d, q)(p, D, Q), kde d značí D řád sezónní diference. φ(l)φ(l s ) d D s = θ(l)θ(l s )ɛ t Např. SARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 1) 12 má tvar (1 L)(1 L 12 )Y t = (1 + θ 1L)(1 + Θ 1L)ɛ t, nebo ekvivalentně Y t Y t 1 Y t 12 + Y t 13 = ɛ t + θ 1ɛ t 1 + Θ 1ɛ t 12 + θ 1Θ 1ɛ t 13.
CO 2
CO 2 Call: arima(x = co2, order = c(0, 1, 1), seasonal = list(order = c(0, 1, 1), period = 12)) Coefficients: ma1 sma1-0.5792-0.8206 s.e. 0.0791 0.1137 sigma^2 estimated as 0.5446: log likelihood = -139.54, aic = 283.08
CO 2
CO 2