Vážení zákazníci dovolueme si Vás upozornit že na tuto ukázku knihy se vztahuí autorská práva tzv. copyright. To znamená že ukázka má sloužit výhradnì pro osobní potøebu potenciálního kupuícího (aby ètenáø vidìl akým zpùsobem e titul zpracován a mohl se také podle tohoto ako ednoho z parametrù rozhodnout zda titul koupí èi ne). Z toho vyplývá že není dovoleno tuto ukázku akýmkoliv zpùsobem dále šíøit veøenì èi neveøenì napø. umis ováním na datová média na iné internetové stránky (ani prostøednictvím odkazù) apod. redakce nakladatelství BEN technická literatura redakce@ben.cz
3 KITOÈTOVÌ ZÁVISÉ OBVODY Pøísnì vzato nelze žádný prvek považovat za dokonale lineární a kmitoètovì nezávislý pro teoreticky nekoneèný rozsah napìtí a kmitoètu Nadále však budeme považovat za kmitoètovì závislé obvody pouze zapoení ve kterých se vyskytuí reaktance 1) Tyto obvody s kondenzátory a cívkami maí v elektronice velmi široké použití napø ako filtry 3 1 Fázorový poèet v elektronice Pro matematický popis tìchto obvodù se s výhodou používá komplexní poèet Základní rozdíl proti pøedchozím výpoètùm spoèívá ve vektorovém charakteru velièin Napìtí proud ale i zdánlivý odpor - impedance maí neen velikost ale i smìr (poèáteèní fázový posuv) takže e nelze ednoduše sèítat Tento vektorový (fázorový) poèet do elektroniky zavedl anglický vìdec OIVER HEVISIDE (*10 12) a tím znaènì zednodušil elektrotechnické výpoèty imo iné e i autorem myšlenky pupinace telegrafních rovnic a operátorového poètu Jeho operátorový poèet umožnil velmi elegantní a rychlé øešení složitých diferenciálních rovnic popisuících pøechodné dìe Jako zaímavost lze uvést že matematici tuto metodu pøiali a teoreticky vysvìtlili až pomìrnì dlouho po eho smrti À ; 0 ( ) VQ + 7 ( ý 6 2 0 ; 0 ; 2'Ë/ À ; 0 ( ) VQ + 7 ( ý 2 6 2'Ë/ 62ý(7 2'Ë/ Obr 3 1 Vektorový souèet a rozdíl dvou harmonických napìtí 1) Viz také rozdìlení prvkù na kmitoètovì závislé a nezávislé v první kapitole ROBERT ÁNÍÈEK: EEKTRONIK 143
Na obr 3 1 e znázornìna známá grafická metoda odvození sinusového (harmonického) prùbìhu signálu u U sin(t + ) pomocí prùvodièe rotuícího konstantní úhlovou rychlostí a/t 1) Celou kružnici (otoèení o úhel 2p) vektor opíše za dobu periody T takže musí platit 2p/T nebo po dosazení za kmitoèet (f 1/T) 2pf Pøedstava rotuícího vektoru umožòue snadné sèítání nebo odèítání harmonických signálù se steným kmitoètem a s rozdílnými poèáteèními fázovými posuvy Vektory samozøemì není nutné sèítat graficky ale e možné e rozložit na pravoúhlé složky a sèítat nebo odeèítat podle pravidel pro poèítání s vektory Protože e zažité poèítání s efektivními hodnotami harmonického prùbìhu U U / kreslí se i fázorové diagramy pro efektivní hodnoty I když e možné vystaèit pro praktické výpoèty s pøedstavou rotuících èasových vektorù (fázorù) dává se pøi praktických výpoètech pøednost tzv symbolickému poètu v komplexní rovinì Oproti matematice se pro imaginární svislou složku vektoru nepoužívá písmenko i protože by se pletlo s okamžitou hodnotou proudu ale písmenko - Každý bod v komplexní rovinì má reálnou (vodorovnou) a imaginární (svislou) souøadnici Komplexní velièina bude pro rozlišení znaèena tuèným písmem napø Z R + Kromì složkového tvaru lze komplexní èíslo zapsat v trigonometrickém tvaru: Z Z (cos + sin) Závorku také lze nahradit praktiètìším exponenciálním tvarem: Z Z e Tento tvar odpovídá vyádøení vektoru velikost/úhel: Z Z Ð a používá se pøi násobení a dìlení komplexních èísel Složkový tvar e naopak výhodnìší pro operace sèítání a odeèítání Vzáemné pøevody bývaí k dispozici na kalkulátorech 6 Ë2 1 È 1 * 0 ; %2'.203/(;1Ë 21< + ; (È/1È26 1././ý( 3 (2'Ž 3 + ; DUFJ (; ) 3 (2'3Ž FRV ; VQ 03('1( ±; ; / Obr 3 2 Vektorový charakter impedance základních prvkù 3 2 Reaktance v obvodu støídavého proudu Podobnì ako se ve fyzice rozlišue prùmìrná rychlost a okamžitá rychlost e možné definovat prùmìrný proud I Q/t a okamžitý proud ako zmìnu náboe i dq/dt Pro nábo na kondenzátoru platí: Q C u Po dosazení získáme vztah: 1) V elektrotechnice e úhlová rychlost nazýván úhlový kmitoèet a má stenou ednotku rad/s 144 ROBERT ÁNÍÈEK: EEKTRONIK
nebo po úpravì: Ï To že proud kondenzátorem e derivací napìtí na kondenzátoru mùžeme využít pro odvození impedance kondenzátoru Bude-li podle pøedchozího obrázku mít vstupní napìtí sinusový prùbìh (u U sin2pft) získáme po derivaci: i CU 2pfcos2pft Protože èlen pøed kosinovou funkcí má význam amplitudy proudu vyplývá z toho že ; pi má rozmìr ohmu Velièina se nazývá kapacitní reaktance a e nepøímo úmìrná kmitoètu Protože funkce kosinus pøedbíhá funkci sinus o devadesát stupòù øíkáme že u kondenzátoru proud pøedbíhá napìtí Fázory sou vùèi sobì posunuty o 0 takže À À - p Àp Výsledná impedance má tedy fázový posuv 0 a e proto zápornì imaginární Z C U operátorového poètu bývá zvykem sdružovat imaginární èlen s kmitoètem takže po úpravì rozšíøením ( 2 1) e: Z» ± ª - ² ½ pi Õ Steným zpùsobem lze z indukèního zákona / odvodit indukèní reaktanci cívky Z která e pøímo úmìrná kmitoètu Napìtí na cívce pøedbíhá proud o 0 Obì reaktance sou èistì imaginární a z dùvodu posuvu mezi napìtím a proudem e vždy po ètvrtinu periody souèin napìtí a proudu kladný a po ètvrtinu záporný To znamená že elektrostatické nebo elektromagnetické pole vzniká a odebírá energii ze zdroe a pak zaniká a dodává energii zpìt do zdroe Na rozdíl od rezistoru který má napìtí i proud ve fázi nevzniká tedy v ideálním kondenzátoru nebo cívce žádné teplo pouze dochází k cyklické výmìnì energie mezi reaktancí a zdroem Tohoto poznatku se nìkdy využívá k návrhu bezeztrátových pøedøadníkù Pokud pomineme školácké vysvìtlení že støídavý proud protéká kondenzátorem protože vlnovka støídavého proudu obede pøekážku a rovný stenosmìrný proud narazí mùžeme vysvìtlit vlastnosti kondenzátoru i ednoduchou úvahou V obvodu stenosmìrného proudu (nenižší možný kmitoèet) proud kromì krátkého pøechodového dìe neprotéká (izolované desky) Kdežto v obvodu støídavého proudu se kondenzátor neustále nabíí vybíí a pøebíí na opaènou polaritu S ROBERT ÁNÍÈEK: EEKTRONIK 14
rostoucím kmitoètem se poèet elektronù protékaících pøívodními vodièi za ednotku èasu zvyšue takže narùstá i proud a proto i klesá zdánlivý odpor kondenzátoru Je nutné zdùraznit že se poøád edná o proud nabíeící a vybíeící kondenzátor a pøes nevodivé dielektrikum proud ve skuteènosti neprochází Pro zapamatování posloupnosti napìtí a proudu mùže pomoci pøedstava že kondenzátor e nádoba do které nedøíve musí být napouštìn nábo aby vzápìtí zaèala narùstat výška hladiny (napìtí) U cívky e posloupnost velièin opaèná t napìtí pøedbíhá proud o 0 Toto zpoždìní proudu vyplývá z indukèního zákona Pro zapamatování chování cívky v závislosti na kmitoètu e vhodné si uvìdomit že cívka e vlastnì smotaný kus drátu Z toho vyplývá že po odeznìní pøechodného dìe po pøipoení zdroe by cívka ve stenosmìrném obvodu mìla mít prakticky zanedbatelný odpor S rostoucím kmitoètem musí vznikat a zanikat magnetické pole v okolí cívky a cívka se zdánlivì brání zmìnì protékaícího proudu To se proevue ako nárùst zdánlivého odporu který se proto s rostoucím kmitoètem zvìtšue Pøíklad 3 1 Reaktance ako pøedøadník Budeme uvažovat pøipoení žárovky 7 V/300 m na napìtí 230 V/0 Hz Problém lze øešit buï transformátorem což e drahé ale nelepší øešení anebo pøedøadníkem Pøi použití klasického srážecího odporu by na nìm bylo témìø celé sí ové napìtí a protékal by ím celý menovitý proud žárovky Ztrátový tepelný výkon by proto byl mnohokrát vìtší než výkon žárovky (P 223 03» 67 ) Pøedøadná tlumivka by se cenou i rozmìry blížila transformátoru takže ako poslední øešení budeme uvažovat kondenzátor Napìtí na kondenzátoru se urèí z fázorového diagramu pomocí PYTHOROVY vìty: - Z OHOV zákona se zistí potøebná reaktance C 22/03 7663 a z reaktance se urèí kapacita: C 1/(2p0 7663) 41 mf Kondenzátor musí vydržet minimálnì dvonásobek amplitudy sí ového napìtí (60 V) À- Obr 3 3 3 3 Bezeztrátový pøedøadník Použití symbolického poètu Pøi úpravách komplexních rovnic se lze eštì setkat se sdruženým komplexním èíslem které e vzhledem k reálné ose umístìno symetricky Pro sdružená komplexní èísla platí: Z a + b a Z* a b popøípadì: Z Ze a Z* Ze Pøi výpoètech lze nìkdy využít snadno odvoditelná pravidla: Z Z* a 2 + b 2 Z 2 Z/Z* e 2 Z + Z* 2a Z Z* 2b V elektronice 146 ROBERT ÁNÍÈEK: EEKTRONIK
se kromì sdruženého èísla používá velmi èasto inverzní èíslo které v pøípadì impedance pøedstavue zdánlivou vodivost neboli admitanci Y 1/Z S admitancí se snadnìi poèítá pøi paralelním øazení prvkù Poslední zaímavou vlastností komplexních èísel e snadnost derivování a integrování v exponenciálním tvaru: a H ( + p) H H Ï p - H H H Pøi derivování se tedy vektor vynásobí a pootoèí doleva o 0 a pøi integraci se podìlí a otoèí se opaèným smìrem (1/ 1e p/2 ) ' ( ( H ± ± ± ± ± 6 1(1Ëý 1 'ä( 7(* H ± ± È/ ± H ±H 1 e ý (.722È ýè ± 1 ± (1 Ëý 4 +.[ [ Ṁ 4 È ý È 2 2 7. ( Obr 3 4 Operace v komplexní rovinì a vektorové køivky Konec (šipka) vektoru mùže v závislosti na èase kmitoètu nebo iném parametru opisovat v komplexní rovinì libovolnou køivku - vektorovou èáru U harmonického prùbìhu rotovala šipka po kružnici Pokud nebude amplituda signálu konstantní mùže kružnice pøeít napø ve šroubovici Na obrázku e znázornìn další pomìrnì èastý pøípad pøímky Pokud se pro každý bod na pøímce sestroí inverzní vektor získáme kružnici procházeící poèátkem ako vektorovou èáru inverzní k pøímce Transformace platí i opaènì t kružnice procházeící poèátkem se inverznì zobrazí ako pøímka Pøíklad 3 2 Odvození reaktancí pomocí symbolického poètu Pro okamžité napìtí na cívce platí: / ROBERT ÁNÍÈEK: EEKTRONIK 147
Rovnici vyádøíme v symbolickém tvaru: H / H / H Po zkrácení bude: U I Stenì rychle lze odvodit i reaktanci kondenzátoru pro zmìnu z integrální rovnice: Opìt se dosadí: Ï po zkrácení e t bude: H H H Ï Protože reaktance sou imaginární a nemaí reálnou složku není k urèení eich velikosti nutná PYTHOROV vìta Pro kondenzátor e: C 1/C ( C 1/C) a pro cívku: Pøíklad 3 3 Náhradní schéma cívky a kondenzátoru Stenì rychle a ednoduše lze øešit i složitìší obvody Jako pøíklad si uvedeme odvození impedance ednoduchého náhradního schématu cívky tvoøeného sériovým spoením odporu vinutí s vlastní indukèností cívky Podle II KIRCHHOFFOV zákona platí: u Ri + di/dt Po úpravì do symbolického tvaru e: Ue t RIe t + Ie t Po stené úpravì ako v pøedchozím pøíkladu e: U (R + ) I Závorka má rozmìr ohmu a nazývá se impedance Z R + Ve shodì s posledním obrázkem by vektorovou èarou pro promìnný kmitoèet byla v komplexní rovinì pøímka Kmitoèet ovšem nemùže být záporný takže vektorovou èarou bude polopøímka v prvním kvadrantu a vektorovou èarou pøevrácené hodnoty (admitance) bude polokružnice ve ètvrtém kvadrantu U náhradního schématu kondenzátoru pøedpokládáme paralelní øazení ideálního kondenzátoru / / / Obr 3 Prùbìhy napìtí a proudu v sériovém R a paralelním RC obvodu 14 ROBERT ÁNÍÈEK: EEKTRONIK
s eho svodem Podle I KIRCHHOFFOV zákona e: i u + Cdu/dt a v symbolickém tvaru: Ie t Ue t + CUe t Po úpravì pokrácením a vytknutím e: I ( + C) U Závorka má rozmìr siemense a nazývá se admitance Y 1/Z + C Vektorovou èarou e opìt polopøímka a pro impedanci paralelního spoení opìt polokružnice ve ètvrtém kvadrantu 3 4 Impedanèní a výkonové diagramy Ke zednodušení øešení støídavých obvodù lze využít i podobnosti troúhelníkù Pokud se pøi kreslení fázorových diagramù budeme držet zásady že spoleèná velièina se kreslí do kladné reálné poloosy (volba poèátku) mùžeme tuto zvolenou velièinu považovat za reálné èíslo Násobení nebo dìlení touto velièinou pak pøedstavue násobení nebo dìlení konstantou Podle provedené 4 6 3 ; 6 4 3 ; Obr 3 6 Troúhelník výkonù a impedancí operace získáme výkonové impedanèní anebo admitanèní (vodivostní) diagramy Pro èinný výkon P Scos alový výkon Q Ssin a zdánlivý výkon S UI sou pro rozlišení používány i iné ednotky ( Vr a V) i když rozmìr ednotky e u všech velièin shodný V prakticky shodném pøípadì odporu R Zcos reaktance Zsin a impedance Z U/I se vektorový charakter velièiny v názvu ednotky neodrazí Diagramy lze využít neen pro pøehledné urèení velikostí napø : + ; a fáze arctg (/R) ale i k výpoètùm v komplexní rovinì protože vektorový charakter velièin zùstává zachován napø pro náš obvod e: Z R C Pro paralelní spoení prvkù lze steným zpùsobem odvodit diagram výkonù a diagram vodivostí Oproti fázorovému diagramu napìtí a proudu se diagram impedancí neotáèí úhlovou rychlostí To lze opìt nesnadnìi dokázat pomocí symbolického poètu: Z Ue (t ) /Ie t Ze Zato diagram výkonù se otáèí dvonásobnou rychlostí: S Ue (t ) Ie t Se (2t ) Dùkaz toho že napø èinný výkon na spotøebièi má dvonásobný kmitoèet oproti kmitoètu zdroe lze udìlat snadno i bez znalosti symbolického poètu Pro okamžitý výkon na odporu platí: p Ri 2 sin 2 (t) [1 cos(2t)]/2 O okamžitém tepelném výkonu se proto øíká že má tepavý charakter Výkon klesá k nule ale poøád má harmonický prùbìh (funkce kosinus) Pøíklad 3 4 ìøení indukènosti metodou tøí ampérmetrù ROBERT ÁNÍÈEK: EEKTRONIK 14