HARMONICKÝ USTÁLENÝ STAV - FÁZOR, IMPEDANCE

Transkript

1 HAMONICKÝ USTÁLENÝ STAV - FÁZO, IMPEDANCE Úvodem Fyzikální popis induktoru a kapacitoru vede na integrodiferenciální rovnice, jejichž řešení je značně obtížné, zvláště v případě soustav rovnic. Příklad uvažujme sériovou kombinaci kapacitou C a rezistoru, napájené harmonickým zdrojem napětí u(t) =U msin(!t m + ¼ 2 ) ). Pro obvod dostaneme rovnici Z t u(t) =i(t)+ 1 i( )d u C(+) C Tuto rovnici je potřeba derivovat a následně řešit diferenciální rovnici. Jejím řešením je rovnice " # U m i(t) = U m!c sin(¼ tan 1 (!C)) p e t U m!c C + p 1+(!C) 2 1+(!C) 2 sin(!t+¼ tan 1 (!C)) Tímto postupem se budeme zabývat příští semestr. Co s tím? vhodnou transformací převést integrály a derivace na násobení a dělení, kdy můžeme použít např. maticový zápis řešení soustavy rovnic (Gauss, Cramér, inverzní matice, ) Fázor Pokud nás nezajímá přechodná složka (člen obsahující e t C, který za velmi krátkou dobu : = 3C zaniká), pak lze využít Eulerův vzorec: e jx =cos x + j sin x My potřebujeme nahradit komplexním číslem časový průběh napětí u(t) =U m sin(!t + ') Funkce sin je imaginární částí polárního tvaru komplexního čísla U m sin(!t+') =Im fu m [cos(!t + ')+jsin(!t + ')]g =Im nu m e j(!t+')o Grafickou reprezentací je vektor v komplexní rovině, který se otáčí kolem počátku úhlovou rychlostí! proti směru hodinových ručiček. V čase t je tak - 1 -

2 tento vektor otočen proti reálné ose o úhel!t + '. Animaci vektoru si můžete zobrazit programem na adrese Po stažení soubor přejmenujte na HUS_Demo.exe. Protože všechny obvodové veličiny se otáčejí stejnou úhlovou rychlostí!, není nutné neustále opisovat výraz e j!t e j!t. Komplexní číslo se tak zjednoduší na tvar U m = U m e j' Toto komplexní číslo nazveme fázor napětí. Značení: V tištěném textu se obvykle používá velké tučné písmo: U; I;::: V psaném textu akcentovaná kurzíva bu; I; b : : : (lze se setkat i s jinými typy akcentů eu; U;:::) ¹ Používáme dva typy fázorů fázory v měřítku maximálních hodnot a fázory v měřítku efektivních hodnot. Časový průběh je udán amplitudou U m, u elektrické zásuvky nás ale nezajímá, že amplituda sinusovky je 325 V, ale že její efektivní hodnota je 23 V. Jediný rozdíl bude při výpočtu výkonů. Fázor v měřítku efektivních hodnot U = Ue j' = U m p e j' = U m p 2 2 ODVOZENÍ Impedance, admitance Mezi napětím a proudem na kapacitoru platí obecný vztah i(t) =C du(t) dt Pro harmonické napětí dostaneme i(t) =Cd d dt [U m sin(!t)] =U m C!cos(!t) =U m C! sin(!t + ¼ 2 ) e j ¼ 2 Transformací na fázor a s využitím vztahu e j ¼ 2 I m = U m C!e j ¼ 2 = Um C!j. = j - 2 -

3 Mezi fázorem proudu a fázorem napětí tak dostáváme lineární vztah, který je formálně shodný s Ohmovým zákonem známým z odporových obvodů, kde I = GU, kde G je vodivost. Výraz c Y = j!c kapacitoru. ODVOZENÍ nazveme v harmonickém ustáleném stavu admitance Pro napětí na kapacitou můžeme odvodit u(t) = Výraz Z C = 1 nazveme v harmonickém ustáleném stavu impedance j!c kapacitoru. Obdobně lze odvodit impedanci / admitanci induktoru. Pro jednotlivé obvodové prvky můžeme vše shrnout do tabulky: Obvodový prvek 1 C Z t I msin(! )d + u C () = I m cos(! ) 4 C! 2 3 t 5 + u C () = I m!c [1 cos(!t)]+u C() = I m!c [1 sin(!t + ¼ 2 )]+u C() Tento časový průběh obsahuje dva členy stejnosměrnou složku I m!c + u C() a harmonický průběh. Můžeme ho považovat za superpozici dvou nezávislých zdrojů stejnosměrného a střídavého. Pouze střídavý můžeme transformovat s použitím fázoru: U m = I m!c ej ¼ ji m 2 =!C = I m j!c odpor vodivost G = 1 C impedance 1 j!c L impedance j!l admitance admitance j!c 1 j!l - 3 -

4 Vztah mezi fázory napětí a proudu na obvodových prvcích: Obvodový prvek U = I C U = 1 j!c I L I = GU I = j!cu U = j!li I = 1 j!l U V uvedených vztazích j představuje fázový posun mezi proudem a napětím (viz předchozí odvození): j = e j ¼ 2. Fakticky, v časové oblasti, se jedná o posun časový! ( ¼ 2 je 1 4 periody). Na rezistoru jsou napětí i proud ve fázi. Na kapacitoru se tak proud předbíhá před napětím o ¼ 2, resp. napětí se zpožďuje za proudem nejdříve proud, pak napětí. Vzpomeňte cisternový model kapacitoru napětí je výška hladiny vody, proud je přítok vody. Abych měl v nádrži určitou hladinu vody, nejdříve ji tam musím nalít. Na induktoru se naopak napětí předbíhá před proudem o ¼ 2, resp. proud se zpožďuje za napětím nejdříve napětí a pak proud. Pokud chci napumpovat vodu, nebo třeba roztlačit vozík, musím nejprve pořádně napnout svaly V komplexní rovině je časový (fázový) posun po transformaci reprezentován otočením vektoru proti směru hodinových ručiček, počátkem otáčení (referenční ) je kladná reálná poloosa viz fázor. V komplexní rovině pak můžeme uvedené poučky reprezentovat graficky: Im Î C L Im Im Û e Î Û e ¼ Î ¼ Û e - 4 -

5 Častou chybou bývá nepochopení rozdílu mezi časovým průběhem a fázorem. Transformací na fázor (komplexní číslo) jsme se přesunuli do zcela jiného světa. Ze světa funkcí do světa komplexních čísel. Výrazy, jako i(t) =j!cu, P = U 2m sin(!t + ' 2 ) jsou zcela nesmyslné!!! U 1m sin(!t + ' 1 ) eaktance Uvažujme následující příklad: ezistor s odporem zapojíme do série s induktorem s indukčností L. Připojíme zdroj napětí s efektivní hodnotou U = 23 V. Na rezistoru je napětí U = 12 V. Jaké napětí je na induktoru? U L = U U = = 11 V? Chyba! To by platilo u rezistorů. A co fázový posun? Oběma prvky protéká stejný proud (je to jedna trubka ). Napětí na rezistoru je ve fázi s proudem, ale u induktoru se před proudem předbíhá o ¼ 2. Pokud napětí nakreslíme tak, aby na sebe navazovala stejně, jako součástky v obvodu, dostaneme pravoúhlý trojúhelník: Û L Û Î Û Známe přeponu a jednu odvěsnu trojúhelníka. Pomocí Pythagorovy věty můžeme snadno spočítat délku zbývající odvěsny U L UL = q U 2 U 2 = p =196:2V. : Díky fázovému posunu tak neplatí jednoduchá lineární matematika a na reaktančních prvcích může být napětí mnohem vyšší, nežli bychom mohli očekávat ze zkušenosti s odporovými obvody. Pokračujme v našem příkladu dále. Víme, že na rezistoru má být napětí U = 12 V. Dejme tomu, že tepelný výkon rezistoru má být P = 6 W

6 Obvodem pak musí téci proud I = P U =5A = 6 12 indukčností, aby na rezistoru bylo požadovaných 12 V? =5A. Jaká musí být velikost Známe napětí na indukčnosti - U UL L = : 196:2 V. Víme, že induktorem teče proud 5 A. Mezi napětím a proudem na induktoru platí vztah U = j!li. V tomto případě nás ale nezajímá, že se napětí předbíhá před proudem o ¼ 2. Mezi velikostí napětí a proudu pak platí vztah Výraz U L =!LI = X L I X L =!L nazveme reaktancí induktoru. Její jednotkou je Ð. Odtud pak snadno vypočteme indukčnost L = U L!I = 196:2 1 ¼ 5 : =:125 H. Můžeme napsat U = I( + X L )? Ne, nejsme u odporových obvodů. Tento výraz tvrdí, že na cívce je 11 V. My ale už víme, že to není pravda. Jak je to tedy správně? U = I( L )=I(+Z L ) Jak se převádí složkový tvar komplexního čísla na exponenciální? U = p (e fug) 2 +(Im fug) 2 e Pythagorova věta! ImfUg j arctan efug. Ano, zde se skrývá potřebná Použít reaktanci pro vyjádření velikosti napětí a proudu má smysl pouze na jednom reaktančním prvku (induktor, kapacitor), ne na jejich kombinaci s odporem. eaktance je imaginární část impedance. Terminologie: = e fzg reaktance, X = Im fzg G = e fyg konduktance, B = Im fyg reaktance, susceptance - 6 -

7 Obvodový prvek reaktance X susceptance B C 1!C L!L!C Tak, jako jsme u odporů mohli vypočítat celkový odpor sériového a / nebo paralelního spojení odporů, v harmonickém ustáleném stavu můžeme vyjádřit celkovou impedanci Z =. Fázor proudu, který teče naším obvodem, je 1!L I = U A + j!l = j 1 ¼ :125 =2:66 4:264j =5e 1:2j A, a fázory napětí na rezistoru a na induktoru jsou U = I = 24 5 e 1:2j = 12 e 1:2j V, U L = j!l I = j 1¼ :125 5 e 1:2j = 196:25 e :549j V. Elementární obvody dělič napětí 2 nebo více pasivních obvodových prvků zapojených sériově společná obvodová veličina proud I U 1 jx U 2 I = U 1 U 2 = jx I = jx U 1 jx U 2 = U 1-7 -

8 jx k Snadno lze rozšířit pro N prvků: U k = U 1, MX NX m + jx n m=1 m=1 n=1 k na reaktančním prvku, resp. U k =U U 1 MX NX m + jx n na rezistoru. k n=1 dělič proudu 2 nebo více pasivních obvodových prvků zapojených paralelně společná obvodová veličina napětí I 1 I jx U U = ZI = jx I I 1 = U = I jx 1 jx I 1 = I ozšíření pro N obvodových prvků je komplikovanější Z = à X M m=1 1 + m NX n=1! 1 1 = jx n à X M G m + m=1! 1 NX jb n n=1 Připadají Vám vzorce pro oba děliče povědomé? měly by, od těch odporových se liší pouze tím, že zde počítáme s komplexními čísly. Obdobné je to se všemi metodami a teorémy platnými pro odporové obvody metodou postupného zjednodušování, Kirchhofovými zákony, Théveninovým a Nortonovým teorémem, - 8 -

9 Co když spojíme dva zdroje sériově, nebo paralelně? Spojit paralelně dva ideální zdroje napětí, nebo sériově dva ideální zdroje proudu o různé velikosti je samozřejmě nesmysl (jak by to asi dopadlo?). Můžeme ale spojit dva zdroje napětí sériově: u 1 (t) =U 1m sin(! 1 t) u 2 (t) =U 2m sin(! 2 t + '). Jaké bude výsledné napětí? T 1 Pokud bude! 1 =! 2 a platí T 1 T 2 = k 1 k 2,! 1 = 2¼ T 1,! 2 = 2¼ T 2, pak to bude nesinusový časový průběh, který se bude opakovat s periodou T = k 2 T 1 = k 1 T 2. Pokud bude! 1 =! 2 =!, pak dostaneme opět sinusový průběh. Buď můžeme použít součtové vzorce pro funkci sin, a pracně dojít k výsledku, nebo využít fázory a jednoduše je sečíst. Př.: u 1 (t) =2sin(1t), u 2(t) 2 =3sin(1t + ¼ 4 ). U 1 = 2 V, U 2 U2 = 3e j ¼ 4 V. U = U 1 + U 2 =2+3e j ¼ 4 =41:213+21:213j =46:352 e j:475 u(t)=46:352sin(1t +:475)V Sčítat můžeme pouze fázory napětí (nebo proudů) se stejnou frekvencí ω! - 9 -