VŠB Technická univerzita Ostrava Fakulta strojní Katedra pružnosti a pevnosti (339) MKP a MHP (Úlohy pro samostatnou práci studentů) NOSNÍK ŘEŠENÝ JAKO ROVINNÁ ÚLOHA POMOCÍ MKP A MHP Autoři: Martin Fusek, Radim Halama, Jaroslav Rojíček Verze: 0 Ostrava 2007
1 Zadání úlohy F A B p ρy h L/2 L Obr. 1 Úprava nosníku na rovinnou úlohu. Vetknutý ocelový nosník s obdélníkovým průřezem z obr.1 je zatížen osamělou silou na konci. Délka nosníku je L=5000mm, výška průřezu h=1000mm, šířku obdélníkového průřezu lze pro zjednodušení uvažovat jednotkovou. Cílem řešení je nalezení hodnot normálového a smykového napětí v bodech A a B s využitím MKP respektive MHP a jejich srovnání s analytickým řešením. Aby bylo možné řešit úlohu pomocí MHP programu ze cvičení, je nutný přechod na úlohu rovinné deformace. V takovém případě je však nutné uvažovat Poissonovo číslo rovno nule, protože u nosníku se předpokládá nulové normálové napětí ve směru kolmém na obr.1. Ve výpočtu uvažujte lineární isotropní materiál s elastickými konstantami E=210000MPa, µ=0. K řešení využijte program Ansys, program založený na MHP z knihy G.Beera Programming the Boundary Element Method a APDL Pre/PostProcessor ze cvičení předmětu MKP a MHP (http://www.339.vsb.cz/). 2 Popis řešení MHP Před samotným řešením je nutné rozbalení souboru MHP.zip umístěného na internetových stránkách Katedry pružnosti a pevnosti VŠB-TUO (http://www.339.vsb.cz/) v pracovním adresáři Ansysu (Working directory). Preprocessing Řešení MHP se zahájí instalací pomocných tlačítek, která se odkazují na makra APDL. V Input okně se zadá: NACTI.MAC Pro zobrazení tlačítek (Obr.2) je nutné vybrat položku: Ansys Utility menu (AUM) > MenuCtrls > Update Toolbar 2/11
Obr. 2 Pomocná tlačítka APDL Pre/PostProcessoru pro MHP V dalším postupu se budou vytvořená tlačítka používat postupně z leva doprava. Po stisknutí tlačítka MHP_UVOD se zadají základní volby pro řešení dle Obr. 3. Obr. 3 Úvodní volby zobrazené po stisknutí tlačítka MHP_UVOD Dále se lze držet instrukcí na obrazovce. Pro vytvoření sítě hraničních prvků se v Ansysu zvolí typ prvku Surf 153 (v Ansysu se prvky Surface effect používají pro zadání okrajových podmínek na povrchu, které nelze zadat přímo na konečné prvky, např. tečné povrchové napětí): Preprocessor > Element Type > Add/Edit/Delete /PREP7 ET,1,SURF153 Navíc je nutné nastavit, aby prvky byly bez meziuzlů (uvažují se lineární hraniční prvky). Nastaví se tedy hodnota keyoptionu 4 na 1 (Midside Nodes Exclude): Preprocessor > Element Type > Add/Edit/Delete tlač.options... KEYOPT,1,4,1 3/11
Obr. 4 Volba prvku Surf 153 Pro případné ověření konvergence MHP je výhodné zavést parametry definující rozměry v úloze: *SET,h,1000 *SET,L,5000 Nyní lze vytvořit geometrický model nosníku. Vygeneruje se obdélníková plocha L x h : Preprocessor > Modeling > Create > Areas > Rectangle > By Dimensions RECTNG,0,L,0,h, Následuje tvorba sítě prvků na hranici, například takto (rovnoměrná délka elementu 125mm): Preprocessor > Meshing > Size Cntrls > Manual Size > Global > Size... ESIZE,125,0, Preprocessor > Meshing > Mesh > Lines LMESH,ALL Vygenerováno bylo 96 elementů a 96 uzlů. Pokračuje se stisknutím tlačítka MHP_SIT (vypsání zadaných údajů a informací o síti do souboru INPUT.TXT). Dulezite je definovani oblasti, kterou chceme resit (u MHP lze resit i oblasti s nekonecnymi rozmery). V resenem pripade smeruji normaly prvku dovnitr resene oblasti zada se 1 (Obr.5). Pokud by bylo úkolem řešení napjatosti v nekonečné desce s obdélníkovým otvorem L x h bylo by nutné zadat hodnotu 2. Obr. 5 Definice řešené oblasti Obr. 6 Instrukce pro zadání okrajových podmínek Dále je vhodné držet se instrukcí na obrazovce (Obr. 6). Používaný program MHP umožňuje zadat okrajové podmínky v uzlech každého prvku, a to buď Neumannovu okrajovou podmínku (u úlohy pružnosti povrchové složky napětí) nebo Dirichletovu okrajovou podmínku (u úlohy pružnosti složky posuvů). Na jednom prvku může být však zadána okrajová podmínka jen jednoho typu. Vzhledem k dalšímu postupu je nutné vytvořit dvě komponenty prvků pomocí Component manageru. První bude zahrnovat prvky s Dirichletovou okrajovou podmínku, druhá pak prvky s nenulovou Neumannovou podmínkou (Obr.7). 4/11
Select > Component Manager... LSEL,S,,,4 ESLL,S CM,posuvy,ELEM LSEL,S,,,2 ESLL,S CM,napeti,ELEM Obr. 7 Vytvořené komponenty prvků. Dále lze postupovat zadáním okrajových podmínek jako u MKP posuvy se zadají na uzly a povrchová napětí na prvky SURF153. Vyberou se uzly odpovídající komponentě prvků s Dirichletovou okrajovou podmínkou (na obr.7 nahoře druhá ikona zprava pro vybrání prvků odpovídající komponentě POSUVY, potom přes Select Entities...) a zadají se nulové posuvy v ose X i Y: CMSEL,S,POSUVY NSLE,S Preprocessor > Loads > Define Loads > Apply > Displacement > On Nodes D,ALL,ALL,0,0 Pokračuje se aplikací tečné složky povrchového napětí. Dle Helpu programu Ansys (Obr.8) je zřejmé, že u zadané úlohy se má aplikovat napětí (PRESSURE) ve směru 2 (FACE 2). Obr. 8 Kladné směry tečné a normálové složky napětí pro prvek SURF153 Poněvadž normála prvků (osa Y) s Neumanovou okrajovou podmínkou (prvky na pravém okraji nosníku) směřuje doleva (Obr.5), aplikované kladné tečné napětí by směřovalo nahoru. Je tedy 5/11
nutné na komponentu prvků s Neumannovou okrajovou podmínkou zadat zápornou hodnotu p ρy =-10MPa: CMSEL,S,NAPETI Preprocessor > Loads > Define Loads > Apply > Pressure > On Elements SFE,ALL,2,PRES,,-10 Po vybrání všech entit a zobrazení prvků se získá Obr.9. ALLSEL,ALL EPLO Obr. 9 Aplikované okrajové podmínky Nyní již lze dokončit přípravu vstupních dat pro výpočet MHP. Po stisknutí tlačítka MHP_OP a zadání jmen komponent prvků odpovídajících Dirichletově a nenulové Neumannově okrajové podmínce se vytvoří v pracovním adresáři soubor INPUT.TXT a zapíší se do něj údaje o okrajových podmínkách (Obr.10). Po smazání přípony souboru (.TXT) již lze spustit program prog71.exe a získat tak výsledky posuvů a napětí na povrchu (v souboru BERESULTS). Obr. 10 Vytvořený vstupní soubor INPUT 6/11
Vstupní data (soubor INPUT) pro použitý program MHP lze vytvořit také ručně přímo např. pomocí NOTEPADU. Stručný popis struktury souboru INPUT je zřejmý z Obr. 10. Kromě výsledků v souboru BERESULTS byly vypsány také komplexní informace o výpočtu v souboru OUTPUT. Formát výpisu získaných výsledků na hranici (soubor BERESULTS) je stručně popsán na obr.11. Obr. 11 Získané výsledky na hranici v souboru BERESULTS Pokud je nutné určit výsledky také uvnitř tělesa nebo všechny složky tenzoru napětí (ve středech prvků) na povrchu, musí se použít program prog81.exe. Vstupní data tohoto programu musí být vepsána do textového souboru INPUT2 (bez přípony). U daného příkladu je úkolem určit velikost normálového a smykového napětí také na neutrální ose (v bodě B na Obr.1), proto se do souboru INPUT2 za definici hraničních prvků, kde se mají určit všechny složky tenzoru napětí,zapíší jeho souřadnice x=2500, y=500 (Obr.12). Obr. 12 Definice požadovaných dodatečných výsledků (na hranici i uvnitř) Nyní již lze dokončit výpočet MHP spuštěním programu prog81.exe. Požadované výsledky se zapíší do souboru OUTPUT (konec výpisu je na Obr.13). σ xa τ xya σ xb τ xyb Obr. 13 Dodatečné výsledky (na hranici i uvnitř) v souboru OUTPUT 7/11
Výsledky složek napětí na hranici jsou vždy vypočteny ve středech prvků, proto se hodnota normálového napětí Sx v bodě A získá průměrováním výsledků ze dvou prvků. Aby se zjistily čísla požadovaných prvků, určí se v Ansysu uzel odpovídající hornímu vláknu uprostřed nosníku a vyberou se prvky, které k němu náleží. Pak stačí již jen vypsat informace o vybraných prvcích (Obr.14). AUM > Select > Enities... (Nodes, By Location) NSEL,S,LOC,X,2499,2501 NSEL,R,LOC,Y,999,1001 ESLN,S elist Obr. 14 Výpis vybraných prvků Získané výsledky budou komentovány až v závěru srovnáním s výsledky MKP a analytickým řešením. 3 Řešení MKP Příprava konečnoprvkového modelu Na úvod je nutné definovat typ prvku (např. PLANE42). Preprocessor > Element Type > Add/Edit/Delete ET,2,PLANE42 Dále se nastaví úloha rovinné deformace pomocí nastavení prvku PLANE42 (Keyoption 3). Preprocessor > Element Type > Add/Edit/Delete tlač.options... KEYOPT,2,3,2 Nyní je nutné zadat materiál. Dle pokynů v zadání bude uvažován elastický isotropní materiál. Preprocessor > Material Props > Material Models MPTEMP,,,,,,,, MPTEMP,1,0 MPDATA,EX,1,,210000 MPDATA,PRXY,1,,0 Pro následnou tvorbu sítě je nutné vybrat všechny entity a změnit atributy pro síťování. AUM > Select > Everything ALLSEL,ALL AUM > Plot > Replot /REPLOT Preprocessor > Meshing > Mesh attributes > Default Attribs 8/11
TYPE,2 Preprocessor > Meshing > Mesh > Areas > Mapped > 3 or 4 sided AMESH,ALL Ukončí se preprocessor. Finish Výpočet a výsledky výpočtu MKP Přejde se do solution. /solu Může se nechat defaultní nastavení výpočtu, protože se řeší statická úloha (kvazistatická). Všechny okrajové podmínky již byly zadány při přípravě výpočtu MHP, proto již lze rovnou spustit řešení úlohy. Solution > Solve > Current LS SOLVE Pro zjištění průběhů a velikosti složek napětí se využije General postproc. FINISH /POST1 Visuální kontrolu lze provést vykreslením průběhu normálového napětí (Sx) viz obr. 15. General Postproc > Read results > Last set SET,LAST General Postproc > Plot Results > Contour Plot > Nodal Solu PLNSOL,S,X Obr. 15 Průběh normálového napětí u nosníku získaný pomocí MKP. 9/11
Výsledky uprostřed nosníku lze vypsat po vybrání potřebných uzlů. AUM > Select > Enities... (Nodes, By Location, X coordinates 2499,2501) NSEL,S,LOC,X,2499,2501 General Postproc > List Results > Nodal Solution (Stress/X- Component of stress) PRNSOL,S,COMP σ xa τ xya σ xb τ xyb Obr. 16 Výsledky pro uzly uprostřed nosníku. 4 Srovnání výsledků MKP a MHP S ohledem na předchozí text lze shrnout získané výsledky do tabulky 1. Po srovnání s analytickým řešením pro normálová a smyková napětí (s využitím Žuravského věty) lze konstatovat, že MKP u lineárních prvků dává v daném případě přesnější výsledky při použití ekvivalentní sítě na hranici. Tab. 1 Výsledky řešení úlohy. MHP MKP Analytické řešení σ xa [MPa] 149,19 150 150 τ xya [MPa] 0-3,44 0 σ xb [MPa] -7,41 0 0 τ xyb [MPa] -19,54-14,69-15 DOF 192 738 10/11
5 Postup řešení při použití připravených maker Pro usnadnění samostatné práce čtenářů tohoto učebního textu byly připraveny makra MHP.mac a MKP.mac, která jsou dostupná na http://www.339.vsb.cz/. Kroky pro řešení: 1. spuštění MHP.mac a vyplňování dialogových oken dle kapitoly 2 2. smazání přípony souboru INPUT.TXT 3. spuštění prog71.exe 4. vytvoření souboru INPUT2 dle popisu v závěru kapitoly 2 5. spuštění prog81.exe 6. odečtení výsledků ze souboru OUTPUT 7. spuštění MKP.mac pro snadné řešení MKP 6 Náměty na samostatnou práci Zkuste zjemnit síť modifikací počtu dělení čar v makru. Analyzujte vliv na konvergenci úlohy u MHP i MKP. Proveďte analogicky výpočet s kvadratickými prvky. Ověřte vliv singularity při určování výsledků uvnitř nosníku blízko hranice (zvolte bod blízko A - uvnitř nosníku). 11/11