Deformace nosníků při ohybu.

Transkript

1 Číslo projektu CZ.1.07/ / Autor Pavel Florík Předmět Mechanika Téma Deformace nosníků při ohybu Metodický pokyn výkladový text s ukázkami Deformace nosníků při ohybu. Příklad č.2 Zalomený vetknutý nosník z oceli profilu I je zatížen silou F 1 = 3500 N působící rovnoběžně s osou x a silou F 2 = 6500 N působící v polovině délky vetknutí kolmo na osu x. Podle obrázku. Zajímá nás, jak je velký celkový úhel natočení a průhyb nosníku, jestliže jsou jeho rozměry : I č.18 - ČSN nosník je ocelový, tedy E= 2, MPa délka nosníku : l = 1,5 m Poznámka: Na obrázku i na dílčích obrázcích pro další výpočet není zakreslen a zakótován úhel natočení α a to z toho důvodu, že program Power point to dostatečně kvalitně neumožňuje. Proto pouze připomínáme, že úhel natočení je svírán tečnou k ohybové čáře ( oranžová ) a podélnou osou nosníku Rozbor řešení: Tento příklad je ukázkou metody superpozice, tedy postupného skládání účinků. Pro řešení je nutno si představit, že se jedná o dva smostatné nosníky zatížené silami F 1 a F 2 ; přičemž každá působí na nosník zvlášť. Proto řešíme deformaci nosníku pro každou sílu zvlášť a nakonec dílčí výsledky sloučíme, tedy : α BC = α B1 + α B2 a y BC = y B1 + y B2 Ještě technická pozn. Tento program neumí pracovat s konstantou E (modul pružnosti v tahu), tedy

2 2 Deformace_nosniku_c.2.cdf s jejím označením. Takže místo E se bude ve výpočtech objevovat A Řešení: 1. Nosník rozdělíme na dva stejné nosníky,viz. obr. každý ale bude zatížen pouze jednou silou! Určíme velikost a průběh dílčího maximálního ohybového momentu Momax1 a 2 2. Vypočteme velikost momentové plochy S M 1 a 2 3. Vypočteme úhly natočení α B1 + α B2 a sloučíme je průřezové hodnoty profilu I 18 zjistíme ve Strojnických tabulkách. 4. Vypočteme průhyby y B1 a y B2 a opět je sloučíme ad. 1-1 : Nosník zatížený silou F1 Nosník je zatížen osamělou silou F 1, která působí na zalomeném konci.průběk Momax 1 je konstantní, protože v libovolném místě je určen velikostí Momax 1 = F 1.l/4. Ohyb zalomené části nosníku neřešíme. Momentová plocha S M1 má tedy tvar obdélníka a poloha težiště této plochy je : x T = l/2 -protože počítáme průhyb k bodu B!!! Deformace nosníku logicky probíhá v záporném směru, tzn. nahoru, proto ozn. mínus na ploše. Úhel natočení stanovíme podle poučky: α = velikost momentové plochy dělená tuhostí v ohybu. Momax 1 ClearAll[F 1, l] ClearAll::ssym : F 1 is not a symbol or a string. F 1 = 3500; l = NSolve Mo F 1 * l 4, Mo Mo

3 Deformace_nosniku_c.2.cdf 3 Momax 1 = N.mm ad 2-1: Výpočet S M1 Momax 1 = `*^6; l = Solve[S M1 Momax 1 * l, S M1 ] // N S M Velikost S M1 je N.mm 2 ad 3-1: Výpočet α B1 ; Dáno: A = 2, Mpa, J x = mm 4 [ST] POZOR!!! tento vykutálený program neumí pracovat s modulem pružnosti v tahu označeným E, proto jej nahrazujeme A S M1 = `*^9; J x = ; A = 2.1 * NSolve α B1 S M1 A * J x, α B1 {{α B }} {{α B `}} Úhel natočení α B1 má hodnotu -0, radiánů. ad 4-1: Výpočet průhybu y B1 průhyb stanovíme podle poučky: y = úhel natočení krát vzdálenost těžiště momentové plochy k místu kde nás průhyb zajímá. x T = 750; α B1 = ` Solve[y B1 x T * α B1, y B1 ] // N {{y B }} Průhyb y B1 = - 0, mm ad. 1-2 : Nosník zatížený silou F2 Nosník je zatížen osamělou silou F 2, která působí v polovině délky nosníku.průběk Momax 2 je lineární, a je určen velikostí Momax 2 = F 2.l/2. Momentová plocha S M2 = tedy tvar trojúhelníka a poloha težiště této [Momax 2].l/2 2 plochy je : x T = l/2 + 2/3.l/2 - protože zjišťujeme průhyb až v bodě B!!!. Deformace nosníku logicky probíhá v kladném směru, tzn.dolů, proto ozn. plus na ploše. má

4 4 Deformace_nosniku_c.2.cdf Úhel natočení opět stanovíme podle poučky : α = velikost momentové plochy dělená tuhostí v ohybu. ClearAll[F 2, l] ClearAll::ssym : F 2 is not a symbol or a string. F 2 = 6500; l = NSolve Mo F 2 * l 2, Mo Mo Momax 2 = 4, N.mm ad 2-2: Výpočet S M2 Mo = * 10 6 ; l = Solve S M2 Mo * l 2, S M2 // N 2 S M Velikost S M2 je 1,82813 x 10 9 ad 3-2: Výpočet α B2 ; Dáno: A = 2, Mpa, J x = mm 4 [ST] POZOR!!! tento vykutálený program neumí pracovat s modulem pružnosti v tahu označeným E, proto jej nahrazujeme A J x = ; A = ; S M2 = `*^

5 Deformace_nosniku_c.2.cdf 5 NSolve α B2 S M2 A * J x, α B2 {{α B }} Úhel natočení α B1 má hodnotu: + 0, radiánů. ad 4-2: Výpočet průhybu y B2 průhyb stanovíme podle poučky: y = úhel natočení krát vzdálenost těžiště momentové plochy k místu kde nás průhyb zajímá. ClearAll[l] l = NSolve x T l * l 2, xt {{x T 1250.}} x T2 = 1250; α B2 = ` Solve[{y B2 x T2 * α B2 }, {y B2 }] // N {{y B }} Průhyb y B2 = +0, mm ad.3 : Výpočet celkového úhlu natočení ClearAll[α B1, α B2 ] α B1 = `; α B2 = ` Solve[{α BC == α B1 + α B2 }, {α BC }] // N {{α BC `}} Celkový úhel natočení jde nahoru je tedy mínus a jeho hodnota je:0, radiánu. ad. 4 : Výpočet celkového průhybu y B1 = `; y B2 = ` NSolve[y BC == y B1 + y B2, y BC ] {{y BC `}} Celkový průhyb nosníku zatíženého dvěma osamělými silami je 0, mm. Závěr: Podle výsledků vidíme, že se celkový průhyb nosníku směřuje dolů - je tedy kladný. Do jeho hod-

6 6 Deformace_nosniku_c.2.cdf noty není započítán průhyb způsobený vlastní vahou nosníku / spojitým zatížením /. Skutečný průhyb nosníku by tedy byl daleko větší. Příklad k procvičení: Vypočtěte úhel natočení průhyb nosníku v bodě B, podle obrázku. Nosník ocelový, obdélníkového průřezu o stranách h = 80mm; b = 35 mm; F1= 200 N, F2 = 150 N; a = 1 m Zdroje Mechanika II Pružnost & pevnost L.Mrňák- A.Drdla SNTL Praha 1978 Strojnické tabulky Vávra a kol.