Ohyb nastává, jestliže v řezu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj. dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řezu.

Transkript

1 Ohyb přímých prutů nosníků Ohyb nastává, jestliže v řeu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řeu Ohybový moment určíme jako součet momentů od všech silových účinků po jedné straně řeu vůči řeu (o tomto působu vyšetřování mluvíme též jako o metodě řeu) Pokud v řeu působí poue ohybový moment, hovoříme o čistém ohybu Ohybový moment bývá pravidla doprováen posouvající (smykovou) silou, tj silou ležící v rovině řeu Vyšetříme ji jako součet všech příčných sil po jedné straně řeu Ponamenejme, že vliv posouvající síly je u běžných nosníků (tj u nosníků, jejichž výška průřeu je malá ve srovnání s délkou) malý a le jej be újmy na přesnosti anedbat Úvahy o případech, kdy posouvající sílu anedbat nele (vysoké krátké nosníky) vycháejí a rámec tohoto kuru Vyšetřování vnitřních účinků demonstrujme na příkladu Vyšetřete průběh posouvající síly T a ohybového momentu pro adaný nosník Určení reakcí podmínek rovnováhy B0 R l + l 0 R 0 R B + l l 0 R B Posouvající síla: T R q x qx Určení maximálního momentu x qx R q x x d 0, qx 0 l x l q l o max ( l / ) 8

2 Úmluva o naméncích vnitřních účinků při postupu k řeu leva resp prava je patrna obráku Schwedlerova věta Vyjměme nosníku v místě x element o délce a koumejme jeho rovnováhu Složková podmínka rovnováhy T ( T+ dt) q 0 dt q Derivace posouvající síly je rovna áporně vatému spojitému obtížení omentová podmínka rovnováhy k bodu + d T + q 44 d T 0 Derivace ohybového momentu je rovna posouvající síle Extrém ohybového momentu je tedy nutno hledat v bodech, kde posouvající síla mění naménko Předcháející úvahy le shrnout dt 0 d d q, T, dt q Tyto vtahy jsou naývány Schwedlerova věta, někdy též jednotlivě Schwedlerovy věty Uplatní se při hledání maximálního ohybového momentu

3 Roložení normálových napětí při ohybu Uvažujme element nosníku vyřínutý dvěma soumenými řey kolmými na podélnou osu nosníku Před deformací jsou řey rovinné a rovnoběžné, po deformaci ůstávají rovinné, poue se vůči sobě navájem natáčí Původně přímá vlákna se akřivují, některá se protahují, jiná kracují ei nimi leží tv neutrálná vrstva (čerchovaná čára na obr), jejíž vlákna délku nemění Z obráku plynou následující vtahy: ε, ay,, y ρ ρ je poloměr křivosti Bude tedy ε y ρ a s uvážením Hookeova ákona Napětí lineárně roste se vdáleností od neutrálná vrstvy E σ E ε y cy ρ Neutrálná osa je průsečnice roviny řeu s neutrálnou vrstvou Neutrálná osa procháí těžištěm průřeu, což dokauje následující úvaha Při čistém ohybu je jediným vnitřním účinkem ohybový moment, tedy výsledná normálová síla v řeu musí být rovna nule N dn σ d cy d c y d 0 Poněvadž pro akřivený nosník je c 0, musí být yd 0 Tento integrál představuje statický moment plochy k neutrálné ose, který je nulový poue v případě centrální osy Neutrálná osa tedy procháí těžištěm

4 oment vnitřních sil k neutrálné ose d yσ d d y σ d r v r + y + y y cy d + cy d c y d + y d c J + D y Budou-li osy y, hlavní osy, je D y 0 a výra pro moment přejde ve tvar c J Nastává tv rovinný ohyb Rovinný ohyb nastane, je-li stopa ohybového momentu (průsečnice roviny, v níž působí dvojice sil vyvolávající ohybový moment, s rovinou řeu) totožná s jednou s hlavních os průřeu Neutrálná osa je pak na tuto osu kolmá Ze vtahu pro napětí a pro moment le pak psát E c J ρ ρ E J, σ y J Pevnostní podmínka při ohybu σ O e J σ ( y) O y J σ O e J 4

5 aximální napětí je v největší vdálenosti od neutrálné osy (body, ) Vniká jednoosá napjatost, tedy pevnostní podmínku le psát σ σ D Zavedeme-li a J W, o J je kvadratický moment k neutrálné ose, e vdálenost krajního e vlákna, W průřeový modul v ohybu, le pevnostní podmínku v ohybu psát o σ W o o σ D Pon Pro složené průřey nele W o sčítat či odčítat! Nejprve je nutno určit kvadratický moment složeného průřeu a poté tento dělit vdáleností krajního vlákna k ískání W o Deformace nosníků průhyby a natočení Při řešení budeme vyšetřovat tv průhybovou čáru, tj spojnici těžiště jednotlivých řeů nosníku Před deformací je to přímka, po deformaci křivka Předpoklady řešení Platí Hookeův ákon (lineární ávislost mei atížením a deformací) Jedná se o rovinný ohyb průhybová čára je funkcí poue souřadnice x ve směru podélné osy rovníku v v Průhyby jsou malé, průhybová čára je plochá 4 Jedná se o primatický nosník - E J const Řešení pomocí diferenciální rovnice průhybové čáry Pro nosník byl výše odvoen vtah pro poloměr křivosti (křivost) ρ, ρ je poloměr křivosti, ohybový moment, E modul pružnosti v tahu, J kvadratický moment průřeu k neutrálné osez matematiky je nám výra pro křivost ρ rovinné křivky v S uvážením předpokladu v ( ) << přesnosti psát x ± ρ v [ + v ], le tedy její kvadrát vůči anedbat a be újmy na 5

6 ± v, ρ po dosaení a ρ pak diferenciální rovnice průhybové čáry je v ±, v ϕ Znaménko diferenciální rovnice ávisí na volbě souřadnicového systému V technické praxi se pravidla volí kladný průhyb dolů, tj diferenciální rovnice průhybové čáry má tvar ( ) v x Použití této rovnice je patrno na příkladě Dáno : q, l, E, J Určeté průhyb v a úhel natočení ϕ nosníku Z podmínek rovnováhy určíme reakce R RB a T x a metodou řeu posouvající síla ( ) ohybový moment T R qx qx x x qx Rx qx 6

7 Diferenciální rovnice tedy bude po integraci v x qx x qx qx ϕ v + C, v Cx+ D 4 x qx 4 x, kde C, D jsou integrační konstanty Určíme je okrajových podmínek V našem případě je průhyb nad podporami, B nulový, tedy v ( 0 ) 0, v ( l) 0 Odtud D 0, C a funkce 4 úhlu natočení a průhybu jsou qx x qx ϕ , v ( x ) x x Průhyb a natočení v libovolném místě pak ískáme dosaením příslušné souřadnice Např 4 l 5 průhyb uprostřed nosníku x bude v( l / ) 84 Řešení pomocí diferenciální rovnice je snadné, pokud nosník má jen jedno pole Při více polích je nutno vyšetřit funkce průhybu ve všech polích i v případě, že nás ajímají deformace poue v konkrétním místě, navíc je nutno určovat integrační konstanty e soustavy rovnic okrajových podmínek Každé pole představuje integrační konstanty, tn že při například 5 polích je třeba řešit 0 rovnic o 0 nenámých Tuto nevýhodu odstraňuje metoda momentových ploch (ohrova metoda) etoda vycháí analogie dvou diferenciálních rovnic Schwedlerovy věty a diferenciální rovnice průhybové čáry: d q, d v jako jakési fiktivní spojité obtížení, bude ohybový moment odpovídající tomuto fiktivnímu obtížení odpovídat až na konstantu průhybu a předpokladu, že i okrajové podmínky obou diferenciálních rovnic jsou analogické, což ajistíme použití tv náhradního nosníku (vi tab níže) Chápeme-li výra Závěr: Zatížíme-li náhradní nosník fiktivním spojitým obtížením ve tvaru momentové plochy, bude posouvající síla od fiktivního obtížení odpovídat úhlu natočení a ohybový moment od fiktivního obtížení průhybu nosníku 7

8 ϕ [ T ], v [ ] fikt fikt skutečný nosník náhradní nosník Příklady užití metody: Vyšetřete průhyb uprostřed nosníku a natočení nad podporou Dáno F, l, E, J Z podmínek rovnováhy určíme reakce F R RB, metodou řeu pak průběh ohybového momentu a akreslíme momentovou plochu Touto momentovou plochou pak atížíme náhradní nosník a hledáme ohybový moment od tohoto fiktivního atížení (pro určení průhybu) a posouvající sílu (pro určení úhlu natočení) S využitím symetrie (nebo momentových podmínek rovnováhy) určíme fiktivní reakce: Fl U U B, U l 0, 4 Fl U U B 6 Úhel natočení nad podporou bude ϕ [ ] Fl fikt U 6 ( 0) T ( 0) 8

9 průhyb uprostřed nosníku bude v ( l / ) ( l / ) v l Fl l l [ ] U ( l / ) fikt Fl 6 4 l Fl Fl Staticky neurčité nosníky Je-li uložení nosníku takové, že máme více nenámých reakčních účinků, než neávislých podmínek rovnováhy (počet stupňů volnosti je áporný), jedná se o staticky neurčitou úlohu K vyřešení reakčních účinků a následnému dalšímu řešení nosníku musíme doplnit podmínky rovnováhy potřebným počtem dalších rovnic Tyto rovnice ískáme analýy přetvoření tv deformační podmínky Na této myšlence je aložena vyrovnávací (silová) metoda Postup je následující: Zakreslíme si veškeré reakční účinky v uložení nosníku a určíme, kolikrát je úloha staticky neurčitá, tj o kolik více je reakčních účinků než neávislých podmínek rovnováhy Odstraníme nadbytečné uložení tak, aby nosník byl uložen staticky určitě Připojíme k nosníku reakční účinky dle původního uložení 4 Formulujeme deformační podmínky tak, aby uvolněný nosník a původní nosník byly hlediska deformací ekvivalentní (tj odstranili-li jsme podporu, musíme přidat podmínku nulového průhybu v daném místě, při odstraněném vetknutí podmínky nulového natočení a nulového průhybu, při náhradě vetknutí podporou podmínku nulového natočení) Deformace v deformačních podmínkách vyjadřujeme pravidla metodou momentových ploch Tím jsme vytvořili výpočtový model s dostatkem rovnic pro vyřešení všech reakčních účinků Po jejich vyřešení postupujeme podle požadavků úlohy jako u nosníků staticky určitých Příklad vytvoření výpočtového modelu : 4 reakční účinky - R,R,, R x y B podmínky rovnováhy, přičemž e složkové podmínky ve směru x ihned plyne R 0 x Zbývají nenámé a dvě rovnice, úloha je x staticky neurčitá Jsou možné dva výpočtové modely 9

10 a) odstranění podpory B b) náhrada vetknutí podporou 0