UNIVERZITA TOMÁŠE BATI VE ZLÍNĚ FAKULTA APLIKOVANÉ INFORMATIKY VYBRANÉ STATĚ Z PROCESNÍHO INŢENÝRSTVÍ cvičení 8 Hana Charvátová, Dagmar Janáčová Zlín 2013 Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu České republiky v rámci řešení projektu: MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD
2 Obsah... 3 Řešené příklady... 3 Příklady k procvičení... 9 Použitá literatura... 13 Seznam symbolů... 13
3 STRUČNÝ OBSAH CVIČENÍ: Výpočet teplotních polí při nestacionárním vedení tepla v tělese tvaru válce. MOTIVACE: Ohřev a chlazení je součástí mnoha technologických operací zpracování materiálů. Průběh těchto dějů významně ovlivňuje kvalitu výsledného produktu. Úkolem inženýra je umět navrhnout optimální postup těchto operací, což je v mnoha případech obtížné a proto je potřeba provést příslušné výpočty s využitím matematických modelů, popisujících daný děj. V tomto cvičení se zaměříme na popis nestacionárního vedení tepla v materiálech tvaru válce. Cíl: Uplatnění teoretických poznatků při řešení vybraných úloh nestacionárního vedení tepla zaměřených na výpočet teplotních polí v tělese tvaru válce. Řešené příklady Příklad 1 Polotovar z PVC tvaru válce o průměru 0,12 m, výšce 1,5 m o počáteční teplotě 15 C, které je vyhříván v ustalovací komoře suchým vzduchem o teplotě 65 C. Určete průběhy teplotních polí pro doby ohřevu 5 minut, 30 minut, 60 minut, 2 hodiny, 4 hodiny. Potřebné výpočty dokumentujte příslušnými tabulkami a grafy. Řešení: Výpočet teplotních polí provedeme na základě analytického řešení (1) modelu ohřevu (chlazení) tělesa tvaru válce: t t r, t 2 * o 1 n ( n ) (, ) 2 0 ( ) 1 2 2 1 ( ) 0 ( ) F O X F q O J X qn e n t p to J qn J qn qn J ( q ) (1)
4 kde symbol X představuje bezrozměrnou vzdálenost od osy symetrie, tj. r X (2) R Symbol Fo představuje Fourierovo číslo, které lze počítat podle vztahu (3) a Fo (3) 2 R Kořeny q n se při výpočtu teplotního pole ve válcovém tělese určí z rovnice (4) 1 J0 q q (4) J q Bi Ze zadání příkladu a z tabulek určíme potřebné vlastnosti PVC: součinitel tepelné vodivosti PVC = 0,155 W m -1 K -1, hustota PVC = 1465 kg m -3, měrná tepelná kapacita c p PVC = 1350 J kg -1 K -1. Určíme potřebné vlastnosti okolního prostředí (vzduchu) při střední teplotě t 0,5 ( t t ) str p o t 0,5 (15 65) 40 C (6) str Prandtlovo kritérium Pr 0, 73, součinitel tepelné vodivosti kinematická viskozita prost prost 2-1 -1 2,65 10 W.m.K, 5 2-1 1,76 10 m.s. (5) Výpočet součinitele přestupu tepla provedeme pro případ volné konvekce: Charakteristický rozměr pro svislý válec bude jeho výška d 0, 35 Teplotní objemová roztažnost:
5 1 T str (7) 1 313,15 1 0,003193358 K (8) Grashofovo kritérium: 3 g d ( t p to) Gr 2 (9) prost 3 9,80665 0,003193358 1,5 Gr 2 65 15 17060301633,553 (10) 0,0000176 Součin Grashofova a Prandtlova kritéria: Gr Pr 17060301633,5530,73 12496762364 (11) Nusseltovo kritérium: Nu C( Gr Pr) n (12) 7 13 Pro součin 210 Gr Pr 110 odečteme konstanty C a n Nusseltova kritéria: C 0,135, n 1/ 3 1/3 Nu 0,135 (12496762364) 313, 28 (13) Součinitel přestupu tepla: Nu d prost (14) 313,28 0,0265 5,5 W.m.K 0,35 2-1 (15) Biotovo kritérium: R Bi PVC (16)
6 5,5 0,06 Bi 2,143 0,155 (17) Teplotní vodivosti PVC: a PVC c PVC p PVC PVC (18) a PVC 0,155 0,784 10 m.s 1465 1350 7 2-1 (19) Určení kořenů q transcendentní rovnice (4) lze provést numericky pomocí vhodného matematického softwaru (Matlab, Maple, Mathematica, Microsoft Excel, apod.), případně lze kořeny určit méně přesnější grafickou metodu. Numericky nalezené kořeny: Obr. 1 Numericky vypočítané kořeny transcendentní rovnice (4) Výpočet průběhů teplotních polí: Pro výpočet teplotních polí využijeme matematický software (Matlab, Mathematica, Maple, Microsoft Excel, apod.). Pro vykreslení grafických závislostí naprogramuje rovnici Chyba! Nenalezen zdroj
7 odkazů. s požadovanými parametry. Při provádění výpočtu v programu Microsoft Excel provedeme výpočet teploty ve zvolených vzdálenostech materiálu a poté sestrojíme závislost teploty na vzdálenosti v materiálu. Obr. 2 Rozložení teploty ve válci při ohřívání po dobu 10 hodin Obr. 3 Teplotní pole v čase 5 minut
8 Obr. 4 Teplotní pole v čase 30 minut Obr. 5 Teplotní pole v čase 1 hodina Obr. 6 Teplotní pole v čase 2 hodiny
9 Obr. 7 Teplotní pole v čase 4 hodiny Příklady k procvičení Příklad 2 Polotovary z PVC tvaru válce o průměru 12 cm, výšce 1,5 m o počáteční teplotě 65 C jsou ochlazovány v ustalovací komoře suchým vzduchem o teplotě 15 C. Graficky znázorněte průběh teplotního pole pro stanovenou dobu ohřevu. a) Určete průběhy teplotních polí pro různé doby ohřevu (5 min, 30 min, 60 min, 2 hod., 4 hod.) b) Určete potřebnou dobu chlazení, jestliže má být 2 mm pod povrchem dosaženo teploty maximálně 40 C? c) Pro stanovenou dobu ohřevu vypočtěte teplotu uprostřed vzorku. Potřebné výpočty dokumentujte příslušnými tabulkami a grafy. Řešení úlohy je uvedeno v následujících obr.8 aţ obr.15.
10 Obr. 8 Výpočet součinitele přestupu tepla a Biotova kritéria Obr. 9 Kořeny transcendentní rov
11 Obr. 10 Teplotní pole po 5 minutách chlazení Obr. 11 Teplotní pole po 30 minutách chlazení Obr. 12 Teplotní pole po 1 hodině chlazení
12 Obr. 13 Teplotní pole po 2 hodinách chlazení Obr. 14 Teplotní pole po 4 hodinách chlazení Obr. 15 Výpočet doby chlazení pro dosažení teploty 40 C ve vzdálenosti 2 mm pod povrchem Obr. 15 Výpočet teploty ve středu vzorku pro stanovenou dobu chlazení
13 Úlohy se vztahují k této otázce: Způsoby řešení úloh nestacionárního sdílení tepla vedením v tuhých látkách. Použitá literatura [1] Kolomazník, K. Modelování zpracovatelských procesů, VUT Brno, FT Zlín, 1990 [2] Kolomazník, K. Analýza dynamických systémů, VUT Brno, FT Zlín, 1988 [3] Janáčová, D. a kol. Procesní inženýrství. Fyzikální, transportní a termodynamická data, UTB AC, Zlín, 2011, ISBN 978-80-7318-997-6 Seznam symbolů a - teplotní vodivost, [m 2.s -1 ] R - poloměr tělesa, [m] Bi - Biotovo kritérium [1] C - konstanta Nusseltova kritéria, [1] c - měrná tepelná kapacita, [kj.kg -1.K -1 ] p d - charakteristický rozměr, [m] Fo - Fourierovo kritérium (bezrozměrný čas) [1] g - gravitační zrychlení, [m.s -2 ] Gr - Grashofovo kritérium, [1] J 0 - Besselova funkce 1. druhu, 0. řádu, [1] J 1 - Besselova funkce 1. druhu, 1. Řádu, [1] n - konstanta Nusseltova kritéria, [1] Nu - Nusseltovo kritérum, [1] Pr - Prandtlovo kritérium, [1] t - teplota, [ C] t * - bezrozměrná teplota, [1] t o - teplota okolí, [ C] t -počáteční teplota materiálu, [ C] p t str - střední teplota, [ C] r - směrová souřadnice, [m] X - bezrozměrná směrová souřadnice, [1] - součinitel přestupu tepla, [W.m -2.K -1 ] - dynamická viskozita, [Pa.s] - součinitel tepelné vodivosti, [W.m -1.K -1 ] - hustota, [kg.m -3 ] - kinematická viskozita, [m 2.s -1 ] - čas, [s] Seznam indexů: PVC - polyvinylchlorid, prost. -okolní prostředí.