MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH

Transkript

1 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. 6 Ing. Petra Schreiberová, Ph.D. Ostrava Ing. Petra Schreiberová, Ph.D. Vsoká škola báňská Technická univerzita Ostrava ISBN Tento studijní materiál vznikl za inanční podpor Evropského sociálního ondu (ESF) a rozpočtu České republik v rámci řešení projektu: CZ..7/../5.6, MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD

2 OBSAH CVIČENÍ Č Příklad... POUŽITÁ LITERATURA... CZ..7/../5.6

3 Cvičení č. 6 CVIČENÍ Č. 6 STRUČNÝ OBSAH CVIČENÍ: Určování deiničních oborů unkcí dvou proměnných Výpočet parciálních derivací prvního řádu Výpočet parciálních derivací prvního řádu v bodě Výpočet parciálních derivací všších řádů MOTIVACE: K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. V mnoha praktických problémech zjistíme, že určitá veličina závisí na dvou či více jiných veličinách. CÍL: Umět správně napsat omezující podmínk potřebné pro určení deiničního oboru. A následně umět daný deiniční obor znázornit. Pochopit princip parciálního derivování. CZ..7/../5.6

4 Cvičení č. 6. PŘÍKLADY Příklad : Určete a zakreslete deiniční obor unkcí. a) z 6 b) z ln(sin( )) c) z e d) z arcsin Řešení: a) v předpisu unkce se vsktují pouze odmocnin podmínk: 6 řešíme: 6 D {[, ] R :, (,, ) } b) podmínka: sin( ) > k π < < (k ) π, k Z osamostatníme : π kπ > > (k ) π D [, ] R : kπ > > (k ), k Z CZ..7/../5.6

5 CZ..7/../5.6 5 Cvičení č. 6 c) podmínk: e Vidíme, že pravá strana první podmínk je rovnicí kružnice se středem v počátku a poloměrem (tj. bod (,)) a druhá podmínka je splněna vžd, tzn., deiničním oborem budou všechn bod rovin kromě bodu (,) [ ] { } :, R D d) podmínka: Jedná se o soustavu nerovnic v podílovém tvaru. Vřešíme postupně a uděláme průnik: ) > < > < ) < > < >

6 Cvičení č. 6 6 Všechn výsledné podmínk zakreslíme a znázorníme deiniční obor dané unkce. Příklad : e Vpočítejte první parciální derivace unkce z ln ( sin( ) ) Řešení: První nalezneme parciální derivaci unkce podle proměnné, tzn., na proměnnou se budeme dívat jako na konstantu. z cos( ) sin( ) e Nní nalezneme parciální derivaci podle. z e e e cos( ) sin( ) Příklad : Vpočítejte druhé parciální derivace unkce z arcsin() Řešení: První parciální derivace: z z První parciální derivaci budeme znovu parciálně derivovat. ln ln CZ..7/../5.6

7 CZ..7/../5.6 7 Cvičení č. 6 ln 7 z ln ln 8 z Zbývá nám určit druhé parciální derivace z první parciální derivace podle. ln ln 8 z ln 7 z Příklad : Určete unkce ), ( v bodě [ ], A. Řešení: Z označení vidíme, že budeme hledat parciální derivaci čtvrtého řádu. Budeme třikrát podle a jednou podle. Záleží na nás, v jakém pořadí. ) ( ln ) ( ) (8 ) ( ) ( ln ) )( ( ) )( (8 v bodě: do výsledné čtvrté derivace dosadíme za a za 7 66 ) ( ) ( ln ) )( ( ) )( ( ) ( A

8 Cvičení č. 6 8 Další řešené příklad: Neřešené příklad: Určete deiniční obor unkce: a) z ln b) z { } arcsin [ D [, ] R : R {} ; ] D [, ] Vpočtěte všechn parciální derivace prvního řadu unkce: [ { R : ± } ] a) z ln( ) z, z z ( ) z ( ) b) z ( ), ( ) ( ) Najděte parciální derivace druhého řádu unkce: sin cos [ z sin, z cos sin, z cos ] a) z 5 b) z [ z 6 6, z, z ] Další příklad najdete ve sbírce úloh v kapitole 7. a 7.: CZ..7/../5.6

9 Použitá Literatura POUŽITÁ LITERATURA [] KREML P.a kol.: Matematika II.. Učební tet VŠB-TUO, Ostrava, 7, ISBN [] JARNÍK V.: Integrální počet I. Praha, 7. [] VRBENSKÁ H.: Základ matematik pro bakaláře II. Skriptum VŠB-TU, Ostrava, 8, ISBN [] elektronický učební tet: CZ..7/../5.6