U218 Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVUT v Praze. Seminář z PHTH. 3. ročník. Fakulta strojní ČVUT v Praze

Transkript

1 U218 Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVU v Praze Seminář z PHH 3. ročník Fakulta strojní ČVU v Praze U218 - Ústav procesní a zpracovatelské techniky 1 Seminář z PHH - eplo

2 U218 Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVU v Praze Přenos tepla Nestacionární vedení tepla v tuhých látkách 2 Seminář z PHH - eplo

3 U218 Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVU v Praze Nestacionární vedení tepla F. K. rovnice!! 2 ρ c p + u λ + 2µ d t! + (g) : d Q" Nestacionární vedení tepla stagnantním prostředím (tělesa a kapalina, ve které se neprojevuje přirozená konvekce) F. K. rovnice ρ c p λ + Q" t 2 ( g ) Nestacionární vedení bez vnitřního zdroje tepla Fourierova rovnice t λ ρ c p 2 a 2 a součinitel teplotní vodivosti (m 2 /s) 3 Seminář z PHH - eplo

4 U218 Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVU v Praze Biotovo číslo Bi Bi vnitřní termický odpor (kondukcí) vnější termický odpor (konvekcí) L / λ α L 1 / α λ α L λ součinitel přestupu tepla, charakteristický rozměr, tepelná vodivost tělesa.!!!!!!!!!!!!! NEJDŘÍVE VYPOČÍA Biotovo číslo!!!!!!!!!!!!! PROČ? MÁ VLIV NA ŘEŠENÍ!!!!!!!!!!!!! Případy A. Zanedbatelný vnitřní konduktivní termický odpor Bi << 1 B. Zanedbatelný vnější konvektivní termický odpor Bi >> 1 C. ermické odpory stejného řádu Bi 1 4 Seminář z PHH - eplo

5 U218 Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVU v Praze A. Zanedbatelný vnitřní konduktivní termický odpor Bi << 1 Dominance vnějšího konvektivního odporu. Zanedbatelný vnitřní konduktivní termický odpor teplotní gradienty uvnitř tělesa zanedbatelné (x, t) (t) teplota povrchu teplota tělesa Prakticky Bi < 0,1. Případy: ělesa: malý charakteristický rozměr (např. malé částice, dráty, tenké plechy). vysoká tepelná vodivost (např. kovy) malý součinitel přestupu tepla α (např. vzduch nebo jiné plyny) 5 Seminář z PHH - eplo

6 U218 Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVU v Praze F. K. rovnice v integrálním tvaru d dt ρ c p dv n q ds ρ c p n u ds + V S!! S!! V!# τ!# d Q " ( g) dv : dv + V ρ c p!! dv n q ds t V S eplota tělesa v čase t Bi << 1 : teplota tělesa a hustota tepelného toku q nezávisí na souřadnici lze i q umístit před integrál ρ c p V α ( f ) t S 6 Seminář z PHH - eplo

7 U218 Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVU v Praze Řešení: eplota tělesa v čase t Integrace: počáteční podmínka: teplota tělesa (t 0) 0 ( t) 0 f f exp α S ρ c V p t f teplota prostředí c p měrná tepelná kapacita ρ - hustota epelný tok povrchem tělesa S a objemu V v čase t ( ( t ) S Q" ( t) α ) f Celkové množství tepla převedeného povrchem tělesa za dobu t t S Q Q " α ( t) dt ρ c t p V ( 0 f ) 1 exp ρ c p V 0 Q ρ c p V ( 0 ( t)) 7 Seminář z PHH - eplo

8 U218 Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVU v Praze B. Zanedbatelný vnější konvektivní termický odpor Bi >> 1 Dominance vnitřního konduktivního termického odporu. Zanedbatelný vnější konvektivní termický odpor diference mezi S a f zanedbatelná ; těleso (x, t) teplota povrchu teplota prostředí Prakticky Bi > 100. Případy: Opačné případy než v předchozím případě, tj: ělesa: velký charakteristický rozměr nízká tepelná vodivost velký součinitel přestupu tepla α (např. kondenzující pára) Díly lisu Vítkovice Strojírenství a.s. sloup hydraulický válec 8 Seminář z PHH - eplo

9 U218 Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVU v Praze B1. Poloneomezené prostředí (polomasiv) Skoková změna teploty + OP I.druhu Počáteční podmínka (t,x) (t 0, 0 x < ) 0 Okrajové podmínky OP1: teplota stěny (t > 0, x 0) S OP2: teplota polomasivu (t > 0, x ) 0 Nestacionární teplotní profil + S erf ( η) erfc( η) bezrozměrná polohová souřadnice η : η 2 erf (x) Gaussův integrál chyb erfc(x) komplementární funkce Gaussova integrálu chyb erf(x) ; erf(x) + erfc(x) 1. x a t 9 Seminář z PHH - eplo

10 U218 Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVU v Praze Graf funkce erf(x), erfc(x) abulka funkce erf(x) 10 Seminář z PHH - eplo

11 U218 Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVU v Praze Seminář z PHH - eplo 11 eplotní gradient t a x S π η ) exp( ) ( 2 0 Hustota tepelného toku na povrchu poloneomezeného prostředí ) ( ) ( t a x q S S x x δ λ π λ λ Celkové množství tepla převedeného do prostředí plochou S za čas t t S t S a dt q S Q S S t x ) ( 2 2 ) ( δ λ π λ Penetrační hloubka konduktivního přenosu tepla δ t a π δ Interpretace: Za dobu t od okamžiku teplotního skoku na povrchu z 0 na S dojde v penetrační hloubce δ k relativnímu zvýšení teplotní diference o 21 % ( + 0,21).

12 U218 Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVU v Praze Použití pro konečná tělesa Řešení pro nestacionární vedení tepla v poloneomezeném prostředí použitelné s dostatečnou přesností i pro konečná tělesa s charakteristickým rozměrem L když Fo a.t/l 2 < 0,04 tj. (δ << L) 12 Seminář z PHH - eplo

13 U218 Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVU v Praze B2. Neomezená deska, neomezený válec, koule Okrajová podmínka I. druhu - teplota stěny S konst. eplotní profil OP. I.druhu : α 1/Bi 0 Použít grafy případ C: teplotní profil * f (x*, Fo) z grafu pro 1/Bi 0 13 Seminář z PHH - eplo

14 U218 Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVU v Praze C. ermické odpory stejného řádu Bi 1 Oba termické odpory jsou téhož řádu ; ani jeden nelze zanedbat. Na povrchu se uplatňují okrajové podmínky III. druhu. Prakticky 0,1 < Bi < 100. Fourierova rovnice t λ ρ c p 2 a 2 C1. Poloneomezené prostředí C2. Neomezená deska C3. Neomezený válec C4. Koule C5. 2D a 3D tělesa 14 Seminář z PHH - eplo

15 U218 Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVU v Praze C1. Poloneomezené prostředí (polomasiv) Skoková změna teploty + OP III.druhu Počáteční podmínka (t,x) (t 0, 0 x < ) 0 povrch x 0 Okrajové podmínky OP1: OP III.druhu OP2: teplota polomasivu (t > 0, x ) 0 Nestacionární teplotní profil Bi * erfc x 2 Fo * + exp( Bi * f ( Bi, Fo*) x x + Fo*) erfc Fo * + 2 Bi x Fo * bezrozměrná teplota Biotovo číslo Fourierovo číslo f * 1 f + Bi x 0 λ α x a t a t Fo* ( ) 2 L 2 fikt λ / α x souřadnice (počátek souřadného systému na povrchu polomasívu), f teplota prostředí, 0 počáteční teplota poloneomezeného prostředí, α součinitel přestupu tepla, erfc(x) komplementární funkce Gaussova integrálu chyb 15 Seminář z PHH - eplo

16 U218 Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVU v Praze Řešení v grafické formě eplota na povrchu poloneomezeného prostředí x 0 Bi x 0 * exp( Bi ) erfc( Fo *) x 16 Seminář z PHH - eplo

17 U218 Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVU v Praze C2. Neomezená deska!! POZOR!! počátek souřadného systému v ose desky H polovina tloušťky desky!!! Skoková změna teploty + OP III.druhu Počáteční podmínka (t, x) (t 0, -H x < H ) 0 Okrajové podmínky OP III.druhu Nestacionární teplotní profil v desce tloušťky 2H * f ( x*, Fo, Bi) bezrozměrná teplota bezrozměrná souřadnice polohy Biotovo číslo Fourierovo číslo * 0 f f f f 0 x α H x * Bi H λ Fo a t H 2 17 Seminář z PHH - eplo

18 U218 Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVU v Praze Řešení: * j 1 α j 2 sinα + sinα j j cosα j cos ( *) ( 2 ) α x exp α Fo j j α j vlastní (charakteristické) hodnoty musí splňovat rovnici: Bi α cotg α nekonečně mnoho α j Hustota tepelného toku na 1m 2 povrchu q α ( f S ) kde S f(t), která se vypočte z *(x* 1, Fo, Bi) Okrajová podmínka I. druhu - teplota stěny S konst. OP I.druhu : α 1/Bi 0 ; teplotní profil * f (x*, Fo) z grafu pro 1/Bi 0 18 Seminář z PHH - eplo

19 U218 Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVU v Praze Řešení v grafické formě A. Kutatěladze, Borišanskij: Sdílení tepla Neomezená deska povrch desky * 19 Seminář z PHH - eplo

20 U218 Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVU v Praze Neomezená deska osa desky * 20 Seminář z PHH - eplo

21 U218 Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVU v Praze B. Šesták, Rieger: Přenos hybnosti, tepla a hmoty 21 Seminář z PHH - eplo

22 U218 Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVU v Praze C3. Neomezený válec Skoková změna teploty + OP III.druhu Počáteční podmínka (t, r) (t 0, 0 r < R ) 0 Okrajové podmínky OP III.druhu Nestacionární teplotní profil ve válci o poloměru R * f ( r*, Fo, Bi) bezrozměrná teplota bezrozměrná souřadnice polohy Biotovo číslo Fourierovo číslo * 0 f f f f 0 r * r R Bi α R λ Fo a t 2 R 22 Seminář z PHH - eplo

23 U218 Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVU v Praze Hustota tepelného toku na 1m 2 povrchu q α ( f S ) kde S f(t), která se vypočte z *(r* 1, Fo, Bi) Okrajová podmínka I. druhu - teplota stěny S konst. OP I.druhu : α 1/Bi 0 ; teplotní profil * f (r*, Fo) z grafu pro 1/Bi 0 23 Seminář z PHH - eplo

24 U218 Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVU v Praze Řešení v grafické formě A. Kutatěladze, Borišanskij: Sdílení tepla Neomezený válec povrch válce * 24 Seminář z PHH - eplo

25 U218 Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVU v Praze Neomezený válec osa válce * 25 Seminář z PHH - eplo

26 U218 Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVU v Praze B. Šesták, Rieger: Přenos hybnosti, tepla a hmoty 26 Seminář z PHH - eplo

27 U218 Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVU v Praze C4. Koule Skoková změna teploty + OP III.druhu Počáteční podmínka (t, r) (t 0, 0 r < R ) 0 Okrajové podmínky OP III.druhu Nestacionární teplotní profil v kouli o poloměru R * f ( r*, Fo, Bi) bezrozměrná teplota bezrozměrná souřadnice polohy Biotovo číslo Fourierovo číslo * 0 f f f f 0 r * r R Bi α R λ Fo a t 2 R 27 Seminář z PHH - eplo

28 U218 Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVU v Praze Hustota tepelného toku na 1m 2 povrchu q α ( f S ) kde S f(t), která se vypočte z *(r* 1, Fo, Bi) Okrajová podmínka I. druhu - teplota stěny S konst. OP I.druhu : α 1/Bi 0 ; teplotní profil * f (r*, Fo) z grafu pro 1/Bi 0 28 Seminář z PHH - eplo

29 U218 Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVU v Praze Řešení v grafické formě Šesták, Rieger: Přenos hybnosti, tepla a hmoty 29 Seminář z PHH - eplo

30 U218 Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVU v Praze C5. 2D a 3D tělesa Základní jednorozměrná pole označení P * poloneomezené prostředí ( i ) D * neomezená deska ( j ) * neomezený válec V (r) Newtonův multiplikativní princip(1936) ěleso konečného rozměru průnik elementárních případů Příklad: Konečný válec průnik nekonečného válce a neomezené desky eplotní profil konečného válce: (, ) ( ) ( ) x x * r x V r D x 30 Seminář z PHH - eplo

31 U218 Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVU v Praze Platnost ento princip v zásadě vzato platí pro okrajové podmínky II. nebo III. druhu resp. II. druhu pro izolované stěny. Na protilehlých površích musí být hodnoty Biotova čísla Bi shodné, mohou se však lišit na površích sousedních. Radek 2005 v1 31 Seminář z PHH - eplo