Základní pojmy výrokové logiky Výrok je každé sdělení, o němž má smysl říci, zda je pravdivé nebo nepravdivé. Přitom může nastat pouze jedna možnost. Výroky označujeme obvykle velkými písmeny A, B, C Pravdivému výroku přiřazujeme pravdivostní hodnotu 1 (p, true), nepravdivému výroku přiřazujeme pravdivostní hodnotu 0 (n, false). Příklady A: 8 je liché číslo. Nepravdivý výrok (ph(a) = 0) B: Praha je hlavní město. Pravdivý výrok (ph(b) = 1) C: 2+3 = 5 Pravdivý výrok (ph(c) = 1) Máš úlohu? Piš! Není výrok Není výrok Hypotéza je výrok, u něhož v daném okamžiku nejsme schopni rozhodnout o pravdivostní hodnotě, ale jistě některá z možností 1, 0 nastává. (Např.: 1. 4. 2050 bude pršet.) Příklad 1. Rozhodněte, zda jsou věty výroky, u výroků určete pravdivostní hodnotu: a) Matematika patří mezi humanitní vědy. b) V roce 2015 vyřeší vědci problém globálního oteplování Země. c) Žádné sudé číslo není prvočíslo. d) Absolutní hodnota reálného čísla je vždy kladné číslo. e) Kolik existuje přirozených čísel? f) Nečiň druhým to, co nechceš, aby tobě činili. g) Einstein zformuloval teorii relativity. h) Matematické poučky jsou pravdivé výroky. Negace výroku Negace výroku V je výrok Není pravda, že V ; negaci označíme pravdivostní hodnotu výroku. Příklad: V (V, nonv ). Negace mění A: Praha je hlavní město. A: Není pravda, že je Praha hlavní město. zkrácená verze negace: A: Praha není hlavní město. Výrok a jeho negace mají opačné pravdivostní hodnoty. Situaci znázorníme v tabulce pravdivostních hodnot. A A 1 0 0 1 Poznámka. Obsahuje-li výrok jednu z několika možností, musí jeho negace zahrnout všechny ostatní možnosti. 1 Výukový materiál pro předmět Matematika
Příklad 2. Negujte výroky (negaci vyslovte ve zkrácené formě). Rozhodněte o pravdivosti výroků. Máme právě hodinu matematiky. Matematika je považována za královnu věd. Rozdíl dvou přirozených čísel je opět přirozené číslo. Druhá odmocnina z nezáporného reálného čísla je nezáporné číslo. Přímka je jednoznačně určena dvěma různými body. Za dvacet let budeme běžně přistávat na Měsíci. Za domácí úkol jsme dostali dva obtížné příklady. Příklad 3. Vyberte správné negace daných výroků V: Mám hlad. V: Není pravda, že mám hlad. V: Mám jen na něco chuť. V: Nemám hlad. V: Mám žízeň. V: Přirozené číslo 4 je sudé. V: Přirozené číslo 4 není sudé. V: Přirozené číslo 4 je liché. V:Sudé číslo 4 není přirozené. V: Není pravda, že je přirozené číslo 4 sudé. V: Není pravda, že přirozené číslo není sudé. Příklad 4. Určete, které výroky mají stejnou pravdivostní hodnotu. (Jsou pravdivé/nepravdivé.) Číslo 6 je kladné. Není pravda, že číslo 6 není kladné. Není pravda, že číslo 6 je kladné. Je pravda, že číslo 6 není kladné. Je pravda, že číslo 6 je kladné. Číslo 6 je záporné. Číslo 6 není záporné. Číslo 6 je nezáporné. Je pravda, že číslo 6 není nezáporné. Není pravda, že číslo 6 není nezáporné Kvantifikované výroky Kvantifikované výroky vypovídají o určitém počtu, množství čísel, objektů, prvků aj. Slova všechna, každý, žádný, existuje aspoň n, existuje nejvýš n, existuje právě n nazýváme KVANTIFIKÁTORY. 2 Výukový materiál pro předmět Matematika
Kvantifikátory dělíme na dvě skupiny: a) obecné - každý, všichni (značí se ) nebo žádný b) existenční existuje aspoň jeden (značí se ) Přečtěte následující výrok: n N, n 1, k N, k < n Ke každému přirozenému číslu n, které je různé od jedné, existuje aspoň jedno přirozené číslo k, které je menší než číslo n. n N, m N, m n, m > n Význam kvantifikátorů (počet prvků, který kvantifikátory určují) a jejich negace: Kvantifikátor Počet prvků Negace každý je všechna přirozená čísla aspoň jeden není žádný není 0 aspoň jeden je je aspoň n n a více je nejvýš n 1 je nejvýš n n a méně je aspoň n + 1 je právě n n není právě n nebo je nejvýš n 1 nebo je aspoň n + 1 Příklad 5. Vyhledejte v následujícím textu kvantifikátory a vyjádřete je pomocí výše uvedených matematických kvantifikátorů. Ve třídě 1A je přesně 30 žáků. Všichni se učí nejméně dva cizí jazyky. Minimálně tři z nich ovládají více než dva jazyky, protože docházejí ještě do jazykové školy. Během školní docházky musí žáci zvládnout více než 2000 slovíček, z toho nejméně 20% patří odborné terminologii. Stává se, že někteří žáci požadavky nezvládají a musí někdy vyhledat pomoc vyučujících. Cvičení 1. Negujte výroky: Angličtinu studuje aspoň 20 žáků. Vstupné stojí nejvýš 100 Kč. V testu bylo 6 úloh. Každý žák OA se učí angličtinu. Žádný neví, kde jsou Domažlice. Angličtinu studuje nejvýš 19 žáků. Vstupné stojí aspoň 101 Kč. V testu nebylo 6 úloh. nebo V testu bylo nejvýš 5 úloh nebo tam bylo aspoň 7 úloh. Aspoň jeden žák OA se angličtinu neučí. Aspoň jeden ví, kde jsou Domažlice. 3 Výukový materiál pro předmět Matematika
Poznámka: V běžné řeči bychom negaci posledních dvou výroků vyslovili trochu jinak: Někteří žáci OA se angličtinu neučí. Někdo ví, kde jsou Domažlice. Příklad 6. Negujte výroky: Aspoň 5 žáků mělo z testu z MAT výbornou. Za hodinu spočítám nejvýš 8 příkladů. Každý žák ovládá negace výroků. S domácím úkolem neměl žádný žák problém. Vyučovací hodina trvá 45 minut. Všichni rodiče přišli na třídní schůzku včas. Cesta autobusem trvá nejvýš 10 minut. Na jízdenku potřebuji aspoň 50 Kč. Příklad 7. Vyhledejte v následujících výrocích kvantifikátory a výroky negujte: Nikdo o tom nevěděl. Všichni s návrhem souhlasili. Něco jsem slyšel. Na cestu na nádraží máme maximálně 20 minut. Přijdeme minimálně 4. Někteří studenti přednášku neslyšeli. Nikdo neodporoval. Něco se mi na řešení úlohy nelíbí. Úlohy Negujte výroky. a) Cosi mě probudilo ze spaní. b) Někdo se hlasitě smál. c) Nikdo mi nerozuměl. d) Všichni dělali, že nevidí, neslyší. e) Někteří žáci pojedou na lyžařský výcvik f) Lyžařský výcvik je pro všechny žáky povinný. g) Mohu ti půjčit nanejvýš 30 korun. 4 Výukový materiál pro předmět Matematika
h) Dnes ve třídě chybí 4 žáci. i) Mám nějaké pochybnosti o správnosti navrženého řešení. j) Kdosi na mě volal. k) Něco mě napadlo. l) Nikdo neudělal hrubou chybu. m) Někteří žáci spoléhají na pomoc spolužáků. n) TBT připravuje minimálně 15 žáků. o) Nikdo mi neodporoval. p) Něco se ti zdálo. q) Nic jsem neříkal. Složené výroky Výroky můžeme rozdělit do dvou skupin: jednoduché (elementární, atomární) nelze je rozdělit na další výroky, jsou tvořeny jednoduchými oznamovacími větami složené lze je rozložit na atomární výroky spojené logickými spojkami - souvětí Příklad 8. Rozhodněte, zda jsou dané výroky jednoduché nebo složené. Složené výroky rozložte na výroky jednoduché a nejděte logické spojky. 1) Petr je žákem 1. ročníku střední školy. 2) Petr studuje angličtinu a němčinu. 3) Jestliže se Petr na základní škole neučil angličtinu, pak se ji musí učit na střední škole. 4) Do kina půjdu, jen když budu mít hotové úkoly. 5) Absolutní hodnota každého reálného čísla je číslo nezáporné. 6) Každé přirozené číslo může být sudé nebo liché. 7) Trojúhelník je pravoúhlý jen tehdy, když pro jeho strany platí Pythagorova věta. 8) Každý bod číselné osy je obrazem právě jednoho reálného čísla. 5 Výukový materiál pro předmět Matematika
V hovorovém i spisovném jazyce používáme velké množství spojek. Jazyk výrokové logiky používá pěti základních spojek: Chceme vyjádřit, že Použijeme spojky Vznikne výrok Nazývá se výrok A neplatí není pravda, že A (A ) negace výroku A platí oba výroky A, B a, a zároveň, a současně, i A B konjunkce výroků A, B platí aspoň jeden z výroků A, B pokud platí A, platí i B (platnost A však není podmínkou) výroky A, B mají stejnou pravdivostní hodnotu nebo (v nevylučovacím smyslu) jestliže, pak když, potom... li, právě tehdy, když tehdy a jen tehdy, když A B disjunkce výroků A, B A B implikace (A implikuje B) A B ekvivalence výroků A, B Příklad 9. Pojmenujte následující složené výroky: Je zima a prší. konjunkce Sečteme-li dvě přirozená čísla, je výsledek opět přirozené číslo. Na výlet pojedeme vlakem nebo autobusem. Pomeranče si koupím jen tehdy, když nebudou mandarinky. Nebude-li pršet, nezmoknem. Hustě prší, ba dokonce hřmí. Na večírek půjdu, jen když nepůjde Karel. Pravdivostní hodnoty složených výroků Pravdivostní hodnoty složených výroků zobrazíme pomocí tabulky pravdivostních hodnot. A B A B A B A B A B 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 6 Výukový materiál pro předmět Matematika
Poznámka. Konjunkce je pravdivá jen tehdy, když jsou pravdivé všechny výroky. Disjunkce je pravdivá, je-li aspoň jeden z výroků pravdivý. Implikace je nepravdivá jen tehdy, když z pravdivého předpokladu (A) vyplývá nepravdivé tvrzení, jinak je pravdivá. (Neplatnost výroku A zaručuje platnost implikace A B) Ekvivalence je pravdivá, mají-li oba výroky stejnou pravdivostní hodnotu. Příklad 10. Přečtěte následující matematické zápisy jako konjunkci, disjunkci, implikaci nebo ekvivalenci a určete pravdivostní hodnotu výroků. a) 11 60 = 66 10 = 660 b) 9 10 10 9 c) 4 < 2 < 0 d) 1000 10 + 10 Příklad 11. Rozhodněte o pravdivosti implikací: a) Jestliže je 2 2 = 5, pak je 4 = 1. b) Jestliže je 3 7 25, pak je 3 2 = 9. c) Jestliže je 15: 5 = 3, pak je 42 6 7 =. d) Jestliže je 64 = 9, pak je 25 = 7. e) Jestliže je 3 4 = 13, pak je Pythagoras žákem OA. f) Je-li 13 sudé číslo, pak se Austrálie nachází na severní polokouli. g) Jestliže je 16 = 4 a 3 2 = 8, pak je 2 3 = 9. h) Jestliže je číslo 3 liché a číslo 2 je prvočíslo, pak je číslo 7 sudé. i) Jestliže je 3 < 4 < 0, pak je dnes 14. září. Příklad 12. Vyplňte tabulku pravdivostních hodnot: A B A A B B A B A A B (B A) A A (B A ) (A ) 1 1 1 0 0 1 0 0 7 Výukový materiál pro předmět Matematika
Výroková formule Výroková formule se skládá z výrokových proměnných (označují jednotlivé výroky), logických symbolů nebo závorek. [Např.: (A B) (C A)] Pravdivostním ohodnocením výrokové formule rozumíme tabulku pravdivostních hodnot, kterých může formule nabývat v závislosti na pravdivostních hodnotách atomárních výroků, které se ve formuli vyskytují. Cvičení 2. Sestavte tabulku pravdivostních hodnot formule (A B) (C A). Ve formuli se vyskytují 3 výrokové proměnné A, B, C. Tabulka pravdivostních hodnot bude tedy obsahovat 8 řádků ( 2 3 řádků), v nichž zkombinujeme všechny možnosti pravdivostních hodnot proměnných A, B, C. Vyplníme ještě dva pomocné sloupce pro formule A B, C A, abychom snadněji určili pravdivostní hodnoty celé formule. A B C C A B C A (A B) (C A) 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 Mezi výrokovými formulemi se vyskytují takové, které jsou vždy pravdivé (nezáleží tedy na pravdivostních hodnotách výrokových proměnných). Tyto formule nazýváme TAUTOLOGIE. Mezi výrokovými formulemi se vyskytují takové, které jsou vždy nepravdivé (nezáleží tedy na pravdivostních hodnotách výrokových proměnných). Tyto formule nazýváme KONTRADIKCE. Příklad 13. Vyhledejte mezi výrokovými formulemi tautologie, kontradikce. a) ( A B ) A b) ( A B) B c) ( ) A B A B A B 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 ( ) A B A A B ( ) A B A A B B A B A B A ( ) 8 Výukový materiál pro předmět Matematika
Obrácená a obměněná implikace Implikaci B A nazýváme implikací obrácenou k implikaci A B Implikaci B A nazýváme implikací obměněnou k implikaci A B. A B A B A B B A B A 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 Je vidět, že implikace a obměněná implikace mají stejné pravdivostní hodnoty ve všech řádcích tabulky. Takové formule nazýváme ekvivalentními formulemi (můžeme jednu z nich nahradit druhou). Poznámka. Implikace a obrácená implikace nejsou ekvivalentní formule! Příklad 14. Vyplňte tabulku pravdivostních hodnot, vyhledejte ekvivalentní formule. X Y X Y X Y (X Y) X Y X Y X Y (X Y ) X Y X Y Příklad 15. Rozhodněte, zda formule Z (X Y ), X Y Z vyjadřují totéž jako formule (X Z) Z, (X Z ) Y, (Z Y) X 9 Výukový materiál pro předmět Matematika
Příklad 16. Vyslovte obměny a obrácené implikace: Zajíždí-li řidič k chodníku, dává znamení o směru jízdy. Je-li vozovka dostatečně osvětlena, nejede řidič s dálkovými světly. Jestliže je řidič předjížděn, nezvyšuje rychlost vozidla. Negace složených výroků Příklad 17. Vyplňte tabulku pravdivostních hodnot a najděte ekvivalentní formule. A B A B A B (A B) A B (A B) A B (A B) A B A B A B Příklad 18. Zformulujte věty o negaci složených výroků: Negací konjunkce je Negací disjunkce je Negací implikace je Příklad 19. Odvoďte vzorec pro negaci ekvivalence, když víte, že A B (A B) (B A) 10 Výukový materiál pro předmět Matematika
Příklad 20. Negujte složené výroky: Je chladno a vlhko. Není chladno nebo není vlhko. Půjdu cvičit nebo do kina. Nepůjdu cvičit, ani nepůjdu do kina. Když budu mít čas, budu se dívat na televizi. Budu mít čas a nebudu se dívat na televizi. Do kina půjdu jen tehdy, když nepůjde Martin. Půjdu do kina a Martin půjde do kina nebo nepůjdu do kina a Martin nepůjde do kina. Mám hlad a žízeň. Pojedu vlakem nebo autobusem. Když napadne dost sněhu, pojedeme na hory. Na kole pojedeme jen tehdy, když nebude pršet. Když se oteplí, sejdeme se u školy a vyrazíme na výlet. Příklad 21: Negujte složené výroky: Včera byla bouřka, přívalový déšť a krupobití. Mám chuť na těstoviny nebo zeleninový salát. Nebude-li pršet, nezmoknem. Dnes se nebudu učit, ani nepůjdu cvičit. Odbočuje-li řidič vlevo, dává přednost protijedoucím vozidlům. K lékaři půjdu jen tehdy, když mi neklesne teplota. Pes, který štěká, nekouše. Když bude pršet nebo sněžit, zůstanu doma a budu si číst. Když nepřijede návštěva, mohu jít na procházku nebo do bazénu. Přijde Honza nebo Dana a určitě nepřijde Jitka. 11 Výukový materiál pro předmět Matematika
Sportovního kurzu se zúčastním jen tehdy, nebude-li program příliš náročný. Mám hlad a žízeň a nemám dost peněz na nákup potravin. Úlohy Negujte výroky a) 500 23 b) 10 3,5 14 c) Trojúhelník je pravoúhlý právě tehdy, když platí Pythagorova věta. d) Shodují-li se trojúhelníky ve dvou úhlech, jsou podobné. e) Kružnice jsou shodné právě tehdy, když mají stejný poloměr. f) Je-li součin dvou čísel roven nule, je aspoň jedno z nich rovno nule. g) Je-li součin dvou čísel kladný, jsou obě čísla kladná nebo obě záporná. h) Množiny nazýváme disjunktní, jestliže je jejich průnikem prázdná množina. i) Jestliže chcete jet na výlet vlakem, musí vás být aspoň 5. j) Jestliže každý spočítá jeden příklad, bude vám úkol trvat nejvýš 15 minut. k) Když chcete přijet včas, může vám cesta vlakem trvat nejvýš 65 minut nebo autobusem nejvýš 45 minut. l) Je-li 2 + 2 = 5, pak je 35 : 5 = 8 a 2 6 = 13. 12 Výukový materiál pro předmět Matematika