MATEMATIKA I. Marcela Rabasová

Transkript

1 MATEMATIKA I Marcela Rabasová

2 Obsah: 1. Úvod 1.1. Osnovy předmětu 1.2. Literatura 1.3. Podmínky absolvování předmětu 1.4. Použité označení a symbolika 2. Funkce jedné reálné proměnné 2.1. Definice 2.2. Vlastnosti funkce 2.3. Základní elementární funkce (ZEF) 2.4. Klasifikace elementárních funkcí 2.5. Limita a spojitost funkce 2.6. Derivace funkce 2.7. Průběh funkce 3. Lineární algebra 3.1. Aritmetické vektory 3.2. Matice 3.3. Soustavy lineárních rovnic 4. Analytická geometrie v prostoru 4.1. Geometrické vektory 4.2. Přímka v E Rovina v E 3

3 1. Úvod 1.1. Osnovy předmětu Funkce jedné reálné proměnné - definiční obor obor hodnot - funkce prostá inverzní ohraničená sudá lichá periodická monotónní - základní elementární funkce jejich vlastnosti a grafy - klasifikace elementárních funkcí - limita a spojitost funkce - derivace funkce: definice vzorce a pravidla pro derivování derivace funkce dané parametricky derivace vyšších řádů geometrický a fyzikální význam derivace L Hospitalovo pravidlo - průběh funkce: definiční obor sudost lichost periodičnost intervaly spojitosti a body nespojitosti průsečíky s osami intervaly monotónnosti a extrémy funkce konvexnost konkávnost a inflexní body funkce asymptoty Lineární algebra - aritmetické vektory: definice operace s vektory lineární závislost a nezávislost vektorů - matice: definice operace s maticemi hodnost matice determinant matice inverzní matice maticové rovnice - soustavy lineárních rovnic: Cramerovo pravidlo Gaussova eliminační metoda Frobeniova věta Analytická geometrie v prostoru - geometrické vektory: definice operace s vektory skalární vektorový a smíšený součin vektorů a jejich užití - přímka: rovnice přímky metrické úlohy vzájemná poloha dvou přímek - rovina: rovnice roviny metrické úlohy vzájemná poloha dvou rovin a roviny s přímkou 1.2. Literatura [1] Burda P.-Kreml P.: Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. Skripta VŠB Ostrava 24. ISBN [2] BurdaP.: Algebra a analytická geometrie. Skripta VŠB-TU Ostrava 1997 ISBN [3] Vrbenská H. Němčíková J.: Základy matematiky pro bakaláře I. Skripta VŠB-TUO Ostrava ISBN [4] Vrbenská H. Bělohlávková J.: Základy matematiky pro bakaláře II. Skripta VŠB-TUO Ostrava ISBN [5] Podmínky absolvování předmětu Podmínky pro udělení zápočtu: - 8% účast ve cvičení (2 % neúčasti lze omluvit) - odevzdání programů zadaných vedoucím cvičení v předepsané úpravě a termínu

4 - absolvování písemných testů (každý test je možno jednou opravit). Za splnění podmínek získá student 5 bodů. Za testy může získat student - 15 bodů. Student který získá zápočet bude hodnocen 5-2 body. Požadavky ke zkoušce: Podmínkou pro účast na zkoušce je zapsaný zápočet z příslušného předmětu. Písemná část zkoušky bude hodnocena - 6 body za její úspěšné absolvování bude považován zisk 25 bodů. Ústní část zkoušky bude hodnocena - 2 body za její úspěšné absolvování bude považován zisk 5 bodů. Po sečtení bodů získaných za zápočet písemnou a ústní část zkoušky bude student hodnocen slovy: výborně velmi dobře dobře a nevyhověl podle tabulky studijního a zkušebního řádu VŠB TUO viz. níže. Pro zapsání zkoušky podle tabulky musí student úspěšně absolvovat obě části kombinované zkoušky a dosáhnout potřebného počtu bodů. Bodové hodnocení: 86 1 b. výborně b. velmi dobře b. dobře 5 b. nevyhověl 1.4. Použité označení a symbolika Matematická logika: pq výroky negace: p není pravda že p konjunkce: p q p a zároveň q disjunkce: p q p nebo q implikace: p q jestliže p pak q ( z p vyplývá q) ekvivalence: p q p právě tehdy když q existenční kvantifikátor: existuje obecný kvantifikátor: pro všechna Množiny: býti prvkem množiny: nebýti prvkem množiny: rovnost množin: inkluze: sjednocení: průnik: a A a je prvkem A a A a není prvkem A A = B A rovná se B A B A je podmnožinou B A B x : ( x A x B) A B A je ( vlastní) podmnožinou B A B ( A B A B) A B A sjednoceno s B A B = { x : x A x B} A B průnik množin A a B A B = { x : x A x B}

5 rozdíl: prázdná množina: A B rozdíl množin A a B A B = { x : x A x B} Ø Číselné množiny: množina všech přirozených čísel: N = { } množina všech celých čísel: Z = { } množina všech racionálních čísel: Q = { p q : p Z q N} množina všech reálných čísel: R = ( ) množina všech iracionálních čísel: I = R - Q a b : a b R množina všech komplexních čísel: C = {[ ] } rozšířená množina reálných čísel: R = R { } množina kladných reálných čísel: R = { x R : x > } množina nezáporných reálných čísel: R = { x R : x } analogicky definujeme množiny: N R R Q Q Q Q Z Z Z Z otevřený interval od a do b: ( a b) = { x R : a < x < b} uzavřený interval od a do b: a b = { x R : a x b} polouzavřený interval od a do b: a b) = { x R : a x < b} ( a b = { x R : a < x b} δ -okolí bodu x R δ >: O ( x δ ) ( x δ x δ ) = x δ ) = x δ levé δ -okolí bodu x R δ >: O ( ( x pravé δ -okolí bodu x R δ >: O ( x δ ) = x x δ ) okolí ( resp. levé pravé okolí) bodu x R je okolí kde nezáleží na velikosti δ ozn. O x ) ( resp. O x ) O ( ) ) ( x ( prstencové δ -okolí bodu x R δ >: P ( x δ ) ( x δ x ) ( x x δ ) levé prstencové δ -okolí bodu x R δ >: P ( ( x ) pravé prstencové δ -okolí bodu x R δ >: P ( ( x ) prstencové okolí ( resp. levé pravé prstencové okolí) bodu nezáleží na velikosti δ ozn. P x ) ( resp. P x ) P ( ) ) ( = x δ ) = x δ x δ ) = x δ ( x x R je prstencové okolí kde