Literatura [] lahovec, : Elektrotechnika nformatorium, Praha 999 [] lahovec, : Elektrotechnika nformatorium, Praha 00 [3] Feynman,, P, Leighton,,, Sands, M: Feynmanovy přednášky z fyziky s řešenými příklady Fragment, Havlíčkův rod 00 [4] Houdek, V: Obecná fyzika SPN, Praha 984 [5] Lepil, O, Šedivý, P: Elektřina a magnetismus Prometheus, Praha 000 [6] Maťátko, J: Elektronika DE SEVS, Praha 00 [7] Myslík, J: Hlavolamy z elektrotechniky EN, Praha 996 [8] Myslík, J: Elektrotechnika jinak EN, Praha 998 [9] auner, K: Elektronika ZČ, Plzeň 00 [0] Šedivý, P:Pokusy s operačními zesilovači Knihovnička fyzikální olympiády č MFY, Hradec Králové 998 [] Šedivý, P:Teplotní závislosti fyzikálních veličin Knihovnička fyzikální olympiády č 5 MFY, Hradec Králové 00 [] Vitamvás, Z: Teorémy při řešení elektrických obvodů SPN, Praha 975 Obsah ELEKTKÉ OVODY (Stejnosměrný proud) Studijní text pro soutěžící FO a ostatní zájemce o fyziku Miroslava Jarešová Úvod 3 ezistory 4 Vlastnosti rezistorů 4 ezistory s více než dvěma vývody 5 3 Měření elektrického odporu rezistoru 6 a) Metoda přímá 6 b) Metoda substituční 7 c) Metoda můstková 7 d) Měření elektrického odporu ohmmetrem 8 4 Spojování rezistorů 9 a) Spojování za sebou sériově 9 b) Spojování vedle sebe paralelně 9 Příklad regulace vytápění 0 5 Transfigurace Příklad drátěná krychle 3 vičení 6 Metody řešení elektrických obvodů 8 Skutečné a ideální zdroje elektrické energie 8 Kirchhoffovy zákony 0 Příklad 3 Kirchhoffovy zákony rovnice Příklad 4 výsledný odpor sítě 3 Příklad 5 D převodník 5 vičení 6 3 Princip superpozice 7 Příklad 6 princip superpozice 8 Příklad 7 princip stereofonního vysílání 8 Příklad 8 nekonečně rozlehlá čtvercová síť 30 4 Spojování zdrojů 3 a) Sériové spojení zdrojů 3 56
min = 0 i max, max = 0 i min Dostali jsme rovnice o neznámých 0, i : 0 = max max min min =5, V, max i = max min min max min Dále z výše napsaných rovnic dostaneme: = i =3kΩ, = 0 i =7,6 kω 0 b) Pomocí Nortonovy poučky 0 =, i = + Potom = i ( 0 ) Dle zadání max = i ( 0 min ), min = i ( 0 max ) Dostali jsme rovnice o neznámých 0, i : =0kΩ 0 = max max min min max min =5, 0 4, i = max 0 min =0kΩ Potom = 0 =3kΩ, = i i =7,6 kω Obě metody dávají stejné výsledky 3 Použitím Millmanovy poučky můžeme 4 zdroje napětí nahradit jediným onapětí : 4 r = 4 = r r Použitím Théveninovy poučky 0 = r/+r + r = 5 = 5 Postupným zjednodušováním obvodu s rezistory dostaneme = 5 i 3r + 5 3r, z čehož i = 3 r Proud protékající rezistorem pak bude 0 = 0 4 = =0,45 + i 0 +3r Napětí na rezistoru potom bude = =4,53 V 4 a) =, =, po dosazení do vztahu (6) a = b) Obvod lze zjednodušit na obvod obr 78, kde =, =, potom po dosazení do (6) b =,6 Úvod Studijní text Elektrické obvody je zaměřen na řešení elektrických obvodů stejnosměrného proudu Jsou zde popsány různé metody, jak řešit elektrické obvody obsahující rezistory Popis konkrétní metody je doplněn řešenými úlohami V textu je také celá řada úloh k řešení, aby si každý mohl sám zkusit, jak pochopil danou metodu, a zda je schopen ji použít k řešení zadaného problému Úlohy k samostatnému řešení jsou pak doplněny řešením uvedeným v závěru textu Při studiu textu se předpokládají základní znalosti o elektrických obvodech stejnosměrného proudu v rozsahu středoškolského učiva Text volně navazuje na současnou gymnaziální učebnici [5] V této učebnici je také uvedena metoda řešení elektrických obvodů pomocí Kirchhoffových zákonů Při formulaci těchto zákonů používá učebnice popis Kirchhoffova zákona pomocí elektromotorického napětí Tento přístup se velmi často objevuje ve středoškolských učebnicích fyziky My však budeme v převážné míře používat místo elektromotorického napětí svorkové napětí,kterésevevelkémíře využívá v elektrotechnice Vzájemný vztah mezi těmito napětími je objasněn ve studijním textu ílem studijního textu je seznámení s různými metodami řešení obvodů stejnosměrného proudu a jejich použitím Vzhledem k omezenému rozsahu je studijní text zaměřen pouze na řešení elektrických obvodů stejnosměrného proudu obsahujících rezistory Metody v textu použité je možno zobecnit i na obecnější obvody střídavého proudu obsahujících impedance 54 3
Odpor horní větve bude h = r 3 + r 5 + r 3 =3Ω,odpordolnívětveje d = r + r 6 + r =6Ω Pro náhradní odpor n platí n = h + d = Vnější odpor = r + n + r =7ΩProud = 0 + i = vičení žitím Kirchhoffových zákonů (viz obr 98) dostaneme: = + 3, 3 = 4 + 5, + = 0, 3 + 4 =0, 5 + 5 4 =0 m soustavy dostaneme: 5 = 0 8, = 5 = 0 8 5 Největší dovolené napětí je udáno výrobcem, po překročení tohoto napětí může dojít k poškození součástky 6 Teplotní součinitel odporu rezistoru T k udává největší poměrnou změnu odporu součástky odpovídající vzrůstu teploty o v rozsahu teplot, ve kterých je změna odporu vratná vrstvových rezistorů má T k hodnotu řádově (0 3 až 0 5 )K, podle technologie výroby může být kladný nebo záporný 7 Šumové napětí vzniká vlivem nerovnoměrného pohybu elektronů uvnitř materiálu mezi vývody rezistoru vznikají malé, časově nepravidelné změny potenciálu Kdybychom tyto změny zesílili a přivedli jako signál do reproduktoru nebo sluchátek, slyšeli bychom charakteristický zvuk šum elektrického obvodu Příčinou šumu je šumové napětí, které má dvě hlavní složky tepelné šumové napětí a povrchové šumové napětí Šumové napětí se udává v μv vztažených na V připojeného napětí vrstvových rezistorů s grafitovou vrstvou dosahuje šumové napětí přibližně 3μV/V, u metalizovaných rezistorů je menší 0 3 5 4 5 ezistory s více než dvěma vývody Pracují jako napěťové děliče Lze je rozdělit na dvě skupiny: Obr 98 žitím Kirchhoffových zákonů (viz obr 99) dostaneme: a) + 3 = 0, 3 + 3 3 = 0, + 3 3 = 0 Děliče s pevným, popř nastavitelným dělicím poměrem (rezistory s odbočkou) obr Děliče s plynule proměnným dělicím poměrem (potenciometry a odporové trimry) obr, 3 ( všech těchto rezistorů uvedených výše je dělicí poměr = ) 3 m této soustavy pro konkrétní hodnoty dostaneme: =, =, 3 =3 b) Změnou polarity zdroje se změní 3 rovnice soustavy: 3 3 =0 Nové Obr 99 řešení soustavy: =6,54, = 6,3, 3 =0,3 c) Musí platit = Po dosazení do soustavy rovnic v úloze a) a řešením této soustavy dostaneme = =4, 3 =8, 3 =0,375 Ω Obr ezistor s odbočkou Obr Potenciometr Obr 3 Odporový trimr 5 5
b) = 4 5 0 0 0 b) Metoda substituční 0 Obr 9 0 Do obvodu na obr 6 nejprve zařadíme neznámý rezistor o odporu x a změříme procházející proud Potom pomocí přepínače nahradíme měřený rezistor odporovou dekádou d (sada sériově spojených přesných rezistorů o známých odporech různé velikosti) Měření ukončíme, když v obou případech poteče obvodem stejný proud Pak platí x = d 0 d Obr 6 x c) Schéma lze překreslit na spojení dvou paralelních větví, přičemž odpor 0 mezi body O, lze nahradit dvěma paralelními rezistory, každý o odporu 0 Jedna z větví je znázorněna na obr 9 0 Obr 9 4 Úlohu lze řešit několika způsoby Platí =, 0 + + 3 0 0 z čehož = 0 0 způsob síť překreslíme dle obr93 (spojíme body se stejným potenciálem), pak podle obr 94 (všechny rezistory mají stejně velký odpor 0 Obr 93 Obr 94 Výsledný odpor je pak dán vztahem: = 0 + 0 4 + 0 4 + 0 = 3 0 způsob náhradní obvod ke schématu na obr 3 lze nakreslit také takto: c) Metoda můstková G G x a D 3 4 0 b n Obr 7 Obr 8 Základní zapojení Wheatstoneova můstku pro měření odporů je na obr 7, kde x je měřený rezistor, n je přesný rezistor o známém odporu (odporový normál) a G je galvanometr Potenciometr mezi uzly a je jezdcem rozdělen na dvě části o odporech a, b Při měření nastavíme polohu jezdce potenciometru tak, aby proud G procházející galvanometrem byl nulový V takovém případě platí =, 3 = 4 avuzlech, D je stejný potenciál Napětí = D, = D Po dosazení x = n, a 3 = b 4 m těchto rovnic dostaneme x = a a, z čehož x = n n b b Potenciometr Wheatstoneova můstku může být realizován jako odporový drát natažený mezi masívními svorkami a opatřený délkovou stupnicí Drát je po- x a = x D G 0 n b = l x 50 7
4 rčete velikost elektrického odporu nekonečných sítí znázorněných na obrázcích a) až d) V případech b) až d) mají všechny rezistory stejně velký odpor Odpor spojovacích vodičů a přechodový odpor v uzlech zanedbejte 4 Spojování rezistorů a) Spojování za sebou sériově 3 n a) 3 n Obr 9 b) c) Obr 84 Obr 85 Obr 86 Pro celkové napětí platí vztah = + + 3 + + n Podle Ohmova zákona platí =, =, 3 = 3, n = n Po dosazení do vztahu pro a úpravě dostaneme = ( + + 3 + + n )=, kde je výsledný odpor rezistorů spojených za sebou Pro výsledný odpor pak platí = + + 3 + + n Výsledný odpor sériově spojených rezistorů je roven součtu odporů jednotlivých rezistorů b) Spojování vedle sebe paralelně d) 3 n 3 n Obr 87 Obr 0 elkový proud je dán součtem jednotlivých proudů = + + 3 ++ n Podle Ohmova zákona platí =, =, =, 3 =,, n = 3 n Po dosazení dostaneme = + + 3 + + n 48 9
n = 0 0 X Y X 3 Y Obr X Y Přepínač Stupeň 3 regulace X X X V Y X X X Y X Y Y X 0 X X Y 0 Y X Y 0 X Y Y Y Y Y 0 n = 0 5 Transfigurace 0 Ve schématech elektrických sítí se často setkáváme s případem, že tři spotřebiče jsou spojeny do trojúhelníku, jak je znázorněno na obr Mnohdy je výhodné nahradit tuto trojici trojicí jiných spotřebičů spojených do hvězdy podle obr 3, tj trojúhelník nahradit hvězdou, neboli provést transfiguraci n 0 3 r 3 Obr 80 O r r Nemá-li být odpor elektrického obvodu závislý na počtu částí n, musíbýttento odpor roven právě hodnotě 0 Pro n =: = 0 +, + 0 0 + 0 =0 m této kvadratické rovnice dostaneme dva kořeny, smysl má pouze kladný kořen 0 =( 3 ) =0,73 Přechod z n = nan = provedeme tak, že nahradíme pravý koncový rezistor oodporu 0 rezistorem o odporu a na konec přidáme trojici, 0, (viz obr 80) 46 Obr Zapojení do trojúhelníku Obr 3 Zapojení do hvězdy Při provádění transfigurace je nutné, aby se hvězda chovala v síti stejně jako původní trojúhelník, tj aby mezi kteroukoli dvojicí svorek,, byly v obou případech odpory stejně velké Z tohoto požadavku vyplývají následující vztahy = r + r = ( + 3 ), () + + 3 = r + r 3 = ( 3 + ) + + 3, () = r 3 + r = 3( + ) + + 3 (3)
0 3 Obr 75 Podle zapojení na obr 74 bude napětí z = i i + 0 Pro dané hodnoty: 0 =0,8, i =5Ω, z =8V 9 Řetězový obvod 3 Obr 76 V této části se budeme zabývat obvodem, který je možno analyzovat a a pomocí sériových a paralel- ních zapojení Začneme jednoduchým obvodem, jehož schéma je 3 = + na obr 77 Je vidět, že celkový odpor obvodu je 3 = + b b Obr 77 Vezměme nyní obvod na obr 78 Zde lze provést náhradu koncové dvojice rezistorů rezistorem 3, rezistory 3, 4 pak nahradit rezistorem 5 a a a a Pravidlo: Odpor mezi kterýmikoli dvěma vrcholy trojúhelníku vyjádříme jako součet odporů vycházejících z odpovídajících bodů hvězdy zvětšený o jejich součin dělený zbývajícím třetím odporem hvězdy Příklad drátěná krychle Vypočítejte odpor drátěné krychle, jejíž každá hrana H má odpor 0, jestliže zdroj stejnosměrného napětí je připojen a) ke dvěma protějším vrcholům ( a G), b) ke středům dvou protějších hran, E F c) ke dvěma vrcholům tvořícím stěnovou úhlopříčku D ( a ), d) ke dvěma sousedním uzlům ( a E) Přechodové odpory v uzlech zanedbejte Obr 4 a) způsob: Každou ze šesti hran krychle vycházejících z protějších vrcholů a G je možno nahradit dvojicí paralelních drátů o polovičním průřezu, tedy sodporem 0 = 0 Pak budeme mít v síti mezi body a G celkem 6 paralelních větví, jedna z nich je E + EH + HG Jejíodporje = = 0 + 0 + 0 =5 0 Pro síť pak platí =6 = 6,takže = 5 5 0 6 0 G b b Obr 78 Pro rezistory 3, 4 a 5 na obr 78 platí 3 b 4 b 5 způsob: Proud vstupuje do krychle ve vrcholu a vystupuje z ní vrcholem G Vrcholy, D, E mají stejný potenciál ϕ,vrcholy, F, H stejný potenciál ϕ Můžeme tedy nahradit vrcholy, D, E uzlem o potenciálu ϕ, vrcholy, F, H druhým uzlem o potenciálu ϕ (viz obr 5) Všechny rezistory na obr 5 mají stejně velký odpor 0 3 = +, = +, 5 = + 3 4 3 + 3 Zkusme nyní vyřešit situaci, kdybychom do sítě na obr 78 přidávali další a další dvojice rezistorů a viz obr 79 G Obr 5 44 3
,5 0,5 /V t/ 0 0 0 0 40 60 80 00 Obr 70 Graf závislosti napětí na rezistoru 3 na teplotě 8 Nortonova poučka věta o náhradním zdroji proudu Podle Nortonovy poučky lze libovolný obvod složený z lineárních prvků nahradit vzhledem k libovolným dvěma svorkám obvodem skutečného zdroje proudu z z Obr 7 Pro uzel platí z Podle KZ pro smyčku na obvodu platí + z =0, z čehož = z Obdobně pro dostaneme = z Po dosazení za, do (7) dostaneme 0 i z Obr 7 z z =0, (3) z z z =0 z c) rčíme odpor Víme, že body, D mají stejný potenciál a můžeme je tedy spojit Totéž platí i o bodech F, H Pak můžeme nakreslit zjednodušené schéma tohoto obvodu: E 0 H F D G 0 0 0 0 Obr 6 0 0 ezistorem mezi spojenými body H F a D nepoteče proud (všechny popsané body mají stejný potenciál), tento rezistor nemusíme uvažovat, hrany HD a F vypustíme Pak můžeme psát: = 0 + + 0 0 + 0 +, 0 + 0 atedy = 3 4 0 d) K výpočtu odporu E použijeme poznatků z úlohy c) o spojování bodů se stejným potenciálem Pro řešení úlohy d) využijeme zjednodušené schéma zapojení z obr 6 úlohy c), které ještě dále zjednodušíme: E 0 0 5 0 0 Obr 7 Nyníjižmůžemepsát: E = 0 + odkud E = 7 0 0 + 0 +, 5 0 Poznámka Úlohy c), d) by opět bylo možno řešit pomocí výkonu (viz způsob úlohy a)), jen je třeba si dobře uvědomit, jakým způsobem zde dojde k rozdělení proudů a kterými větvemi proud vůbec nepoteče Po úpravě z ( + ) = z 4 5
5 V obvodu zakresleném na obr 4 je dáno: =Ω, =4Ω, 3 =5Ω, =4Ω, =0Ω, 3 =6Ω,r 5 =0,6 Ω,r 6 =4,3 Ω, 0 =0V, i = 3 Ω Stanovte proud protékající nerozvětvenou částí obvodu Při řešení úlohy použijte vhodným způsobem transfiguraci 0 4 4 r 5 Obr 64 Napětí na rezistoru 3 bude (podle obr 63) Obr 65 3 = 3 i + 3 0 3 r 6 3 Pro dané hodnoty: 0 =6V, i =50Ω, 3 =4V Příklad 3 teplotní závislost elektrického odporu V obvodu sestaveném podle obr 66 stanovte proud procházející rezistorem 3 v závislosti na teplotě ezistor t je teplotně závislý Je zhotoven z materiálu, jehož teplotní součinitel odporu je 4 0 3 K Přiteplotě0 máodpor 50 Ω ezistory,, 4 jsou teplotně nezávislé a mají stejný odpor, a to 50 Ω ezistor 3 je také teplotně nezávislý a má odpor 50 Ω Napětí zdroje = 0 V Nakreslete pro dané hodnoty graf závislosti napětí 3 (měřeném na rezistoru 3 )nateplotět rezistoru t v teplotním intervalu 0, 00 6 i + Obr 4 0 t i 3 0 3 3 3 4 Obr 67 Obr 66 6 Graf je možno vytvořit pomocí Excelu - viz [] 40 7
Výše uvedenou rovnici násobíme výrazem adostáváme ( z ) z z z =0 Po úpravě z ( + ) z =0 Napětí z na zátěži je z = + + z (8) Napětí na zátěži z můžeme rovněž vyjádřit rovnicí, která popisuje obvod skutečného zdroje napětí z = 0 i z (9) Náhradní obvod k tomuto vztahu je znázorněn na obr 59 z Z porovnání rovnic (8) a (9) pro z vyplývá definice Théveninovy poučky, že libovolně složitý obvod lze vzhledem k libovolným dvěma i svorkám nahradit obvodem skutečného zdroje z z napětí skutečného zdroje napětí je pak 0 napětí ideálního zdroje napětí, i je vnitřní odpor Napětí 0 v libovolně složitém obvodu sta- 0 novíme jako napětí naprázdno na výstupních svorkách Obr 59 Vnitřní odpor i v libovolně složitém obvodu stanovíme jako odpor mezi výstupními svorkami v případě, že je zátěž odpojena, všechny zdroje napětí zkratovány, případně zdroje proudu vyřazeny Na výstupních svorkách je napětí naprázdno 0 Pro obvod zatíženého děliče napětí (viz obr 60) platí 0 = +, (0) kde i je vnitřní odpor, který určíme jako odpor mezi výstupními svorkami v případě, že odpojíme zátěž a zdroj napětí zkratujeme, případně zdroj proudu vyřadíme Pro zatížený dělič (viz obr 6) platí vztah 0 0 Obr 8 Zatěžovací charakteristika lineárního zdroje k Při nulovém odebíraném proudu je svorkové napětí nezatíženého zdroje 0 = e Při zvětšování odběru proudu svorkové napětí zdroje klesá dle vztahu = 0 i Stejnou zatěžovací charakteristiku můžeme také získat při paralelním zapojení vnitřního odporu k ideálnímu zdroji proudu Pak bychom dostali (pomocí Kirchhoffova zákona viz další kapitola) = k, po dosazení ze vztahu i 0 = k i za k a úpravě bychom dostali vztah (7) Vzhledem k charakteru dalšího výkladu, který zasahuje ve větší míře již do oblasti elektrotechniky, budeme používat spíš názvosloví z elektrotechniky, tj příslušné vztahy budeme formulovat pomocí napětí 0 0 i Obr 9 Náhradní obvod pro zdroj elektrického napětí i k i Obr 30 Náhradní obvod pro zdroj elektrického proudu Skutečné zdroje, u kterých je i, nazýváme napěťově tvrdé (při změnách proudu dochází jen k velmi malým změnám výstupního napětí) Jsou to např akumulátory nebo stabilizátory napětí Skutečné zdroje, u kterých je i, nazýváme napěťově měkké Patří sem např stabilizátory proudu nebo elektronické generátory s velkým výstupním odporem i = + () 38 9
V daném obvodu zvolíme jeden uzel jako vztažný Zpravidla volíme uzel, ve kterém je spojeno nejvíce prvků Ostatní uzly očíslujeme a označíme napětí každého z uzlů vzhledem ke vztažnému uzlu Potom pro tyto očíslované uzly sestavíme rovnice podle KZ Získáme tolik rovnic, kolik bude očíslovaných uzlů m této soustavy rovnic určíme napětí mezi označenými uzly a vztažným uzlem Příklad metoda uzlových napětí Vyřešte příklad 0 pomocí metody uzlových napětí Při psaní rovnic podle Kirchhoffova zákona je nutné zachovat následující postup: Vyznačíme šipkami očekávané směry proudů v každé větvi obvodu zdrojů zakreslíme šipku pro napětí 0 od kladné k záporné svorce Zaoblenou šipkou vyznačíme směr postupu smyčkou Při psaní rovnice vyjdeme ze zvoleného uzlu a projdeme smyčkou ve zvoleném směru Součiny zapisujeme jako kladné, souhlasí-li směr postupu se směrem šipky u daného proudu Totéž platí pro zdroje napětí Příklad 3 Kirchhoffovy zákony rovnice 4 0 4 3 5 3 5 Sestavte pomocí Kirchhoffových zákonů soustavu rovnic, jejímž vyřešením bychom získali proudy, které protékají jednotlivými rezistory na obr 3 3 3 Obr 56 Za vztažný uzel O zvolíme uzel společný rezistorům 3, 5 Mezi uzly, a vztažným uzlem O označíme napětí, Pro uzel platí: 3 4 =0 Pro uzel platí: 4 5 =0 Po dosazení uzlových napětí dostaneme: 4 O 3 = 0, 4 5 = 0 Po dosazení konkrétních číselných hodnot: 4 36 0 = 0, = 0 3 0 Obr 3 K určení tří proudů budeme potřebovat tři rovnice Použijeme-li Kirchhoffův zákon na oba uzly a Kirchhoffův zákon na tři jednoduché obvody, které síť obsahuje, budeme mít k dispozici celkem 5 rovnic + 3 = 0, (8) + 3 = 0, (9) 0 = 0, (0) + 3 3 + 0 = 0, () + 3 3 0 + 0 = 0 () Je zřejmé, že dvě z těchto rovnic jsou nadbytečné Snadno nahlédneme, že rovnice (9) sestavená pro uzel je shodná s rovnicí (8), která byla sestavena
Podle Millmanovy poučky pro paralelní spojování zdrojů můžeme psát = 0 + i n = n 0 n + i Má-li být =,musíbýt + n i = n + i, odkud = i b) Je-li >,pak > i n 0 + n i > n 0 n + i,tjn + i >+ n i, odkud 5 Metoda smyčkových proudů Tato metoda využívá druhý Kirchhoffův zákon, který se vztahuje k napětí v uzavřené smyčce součet napětí v uzavřené smyčce je roven nule Při použití této metody zavedeme do každé smyčky smyčkový proud Smyčkové proudy označíme v každé smyčce libovolně Je výhodné volit smysl proudů ve všech smyčkách souhlasný Tyto smyčkové proudy jsou pro nás neznámé veličiny Je nutno sestavit tolik rovnic, kolik je v zapojení neznámých smyčkových proudů Tím dostaneme soustavu rovnic, jejímž řešením pak určíme smyčkové proudy Každým rezistorem společným dvěma smyčkám protékají dva proudy (dvou sousedních smyček) Po vypočtení příslušných smyčkových proudů určíme skutečné proudy, popř stanovíme napětí na jednotlivých rezistorech pomocí Ohmova zákona Vyjde-li nějaký proud záporný, znamená to, že má opačnou orientaci než jsme původně předpokládali Následující příklad popisuje použití metody smyčkových proudů Obr 33 Při libovolné volbě úplného stromu zůstává vždy stejný počet větví, které k němu nepatří Počet těchto větví je roven počtu nezávislých jednoduchých obvodů dané sítě Tyto obvody je účelné volit tak, že větev nepatřící k úplnému stromu doplníme větvemi úplného stromu Vznikne tak právě M nezávislých jednoduchých obvodů dané sítě Příklad 4 výsledný odpor sítě Stanovte výsledný odpor mezi uzly a (viz obr 34), jsou-li dány odpory všech rezistorů: =6Ω, =4Ω, 3 =5Ω, 4 =7Ω, 5 =3ΩŘešte pomocí a) Kirchhoffových zákonů, b) přeměny trojúhelníku na hvězdu 4 3 5 Obr 34 Příklad 0 metoda smyčkových proudů rčete proudy protékající jednotlivými rezistory v obvodu podle obr 54 4 3 5 Obr 54 =4V =V =Ω =Ω 3 =0Ω 4 =Ω 5 =Ω a) Pomocí Kirchhoffových zákonů D 4 3 3 3 + 3 5 Obr 35 zel : = +, Smyčka D: + 3 3 =0, Smyčka D: 4 ( 3 ) 5 ( + 3 ) 3 3 =0 Po dosazení hodnot odporů: 6 4 = 5 3, 7 3 =5 3 34 3
n Výsledný proud je pak = n j j= j = j= + n ij j= Z výsledků je zřejmé, že tyto zdroje můžeme nahradit zdrojem jediným o napětí 0 = n j a j= vnitřním odporem i = n ij (viz obr 5) j= Pak můžeme psát = 0 + i b) Paralelní spojení zdrojů Millmanova poučka 0 i Obr 5 Příklad 5 D převodník Na obr 38 je znázorněn invertující operační zesilovač Protože vstupní diferenciální napětí D je rovno virtuální nule a napětí neinvertujícího vstupu je nulové, bude napětí invertujícího vstupu také rovno nule Zesilovač napětí mezi oběma vstupy zesílí nekonečněkrát a vstupní odpor zesilovače je nekonečně velký Pak součet proudů na každém vstupu je nulový a rozdíl napětí mezi vstupy u u + = u =05 O D Obr 38 Platí =, = Napíšeme KZ pro uzel O: + =0 Po dosazení dostaneme = i i in n n Obr 5 Obr 53 žijeme principu superpozice a Kirchhoffovy zákony Pomocí Kirchhoffových zákonů určíme dílčí proudy od jednotlivých zdrojů, výsledný proud protékající spotřebičem je pak dán součtem těchto proudů Dostáváme i + =, odkud =, i i i + =, odkud =, i i in n + = n, odkud n = n in in Po sečtení těchto rovnic pro proudy dostaneme = n j = j= n j= j ij n j= ij i 0 Úpravou výše uvedeného schématu je možné vytvořit D převodník kážeme si, jak vytvořit takový čtyřbitový D převodník(vpraxisepoužívajíosmibitové, které ale pracují na stejném principu) Čtyřbitový D převodník může být realizován pomocí schématu na obr 39 Pomocí Kirchhoffových zákonů vyjádřete = ( a, b, c, d ) ZKZplyne: a b c d D a =8 0 a b =4 0 b c = 0 c d = 0 d Obr 39 = 0 3 a + b + c + d + =0, (3) 5 Podrobněji jsou funkce operačních zesilovačů popsány v [0] 3 5
Tento princip se využívá u stereofonního rozhlasového vysílání, které je realizováno tím způsobem, že se zvlášť snímá levý (L) a pravý (P) kanál Vysílané signály jsou M = L + P, S = L P Signál M je zpracováván monofonními přijímači Pokud signál zpracovávají stereofonní přijímače, zpracovává se signál M i S, a to tak, že se vytvoří jejich součet a rozdíl Výsledné signály pak jsou M + S = ( L + P )+ ( L P )= L, M S = ( L + P ) ( L P )= P Kirchhoffovy zákony 3 Obr 4 a) Vypočtěte proudy protékající rezistory,, 3 v obvodu na obr 4 b) Jak se změní hodnoty proudů v obvodu, jestliže u zdroje zaměníme polaritu? c) Jaká by musela být velikost odporu u rezistoru 3, aby rezistory a protékal stejně velký proud? Řešte pro hodnoty =Ω; =,5 Ω; 3 =Ω; =7V; =9V Metoda řešení elektrických obvodů pomocí Kirchhoffových zákonů se nejeví vždy jako výhodná v případě složitějších elektrických obvodů musíme řešit soustavy rovnic s vyšším počtem neznámých Z tohoto důvodu se postupně rozšířilo i použití dalších metod, které si dále ukážeme Příklad 8 nekonečně rozlehlá čtvercová síť rčete elektrický odpor mezi body a nekonečně rozlehlé čtvercové sítě (viz obr 48) Jednotlivé úsečky tvořící síť mají odpor 0 Mezi uzly, zapojíme dva do série spojené zdroje stejnosměrného proudu 0 Společný uzel obou zdrojů pak spojíme s nekonečnem (viz obr 49) nyní zdroj spojený s uzlem odpojíme Proud 0 se rozdělí do 4 větví, každou větví bude protékat (z důvodů symetrie) stejně velký proud 0 4 Obr 49 Obr 48 0 0 3 Princip superpozice V elektrické síti sestavené z lineárních zdrojů a lineárních spotřebičů můžeme uvažovat působení každého zdroje samostatně Výsledné proudy protékajícími jednotlivými větvemi, popř napětí na těchto větvích a jejich prvcích jsou algebraickými součty dílčích proudů a napětí vyvolaných jednotlivými zdroji, přičemž ostatní zdroje jsou vyřazeny (tj skutečné zdroje jsou nahrazeny svými vnitřními odpory, ideální zdroje napětí jsou nahrazeny zkraty a ideální zdroje proudu jsou odpojeny) Postup při řešení obvodu metodou lineární superpozice Vyznačíme polaritu jednotlivých zdrojů Vypočteme napětí nebo proud na uvažovaném prvku při působení jednoho zdroje, při ostatních zdrojích napětí nahrazených zkratem a vyřazených zdrojích proudu 3 To provedeme postupně pro každý zdroj 4 Výsledné napětí nebo proud na uvažovaném prvku jsou pak dány algebraickým součtem všech dílčích napětí nebo proudů 30 7
Příklad 6 princip superpozice V obvodu zapojeném podle obr 4 vypočtěte napětí na výstupních svorkách Napětí zdrojů jsou =0V, = 40 V, odpory rezistorů jsou =5Ω, =0Ω Obr 4 Obr 43 Obr 44 Napětí na výstupních svorkách stanovíme jako algebraický součet napětí vyvolaného zdrojem při zkratovaném zdroji napětí (viz obr 43) a napětí vyvolaného zdrojem při zkratovaném zdroji napětí (viz obr 44) Potom = +, = + Výsledné napětí na výstupních svorkách = + = + + Pro dané hodnoty =3V Příklad 7 princip stereofonního vysílání Na obr 45 je nakreslen elektrický obvod se dvěma zdroji napětí, ačtyřmi rezistory o stejném elektrickém odporu rčete napětí a Úlohu vyřešíme užitím principu superpozice Předpokládáme, že rezistory jsou připojeny pouze ke zdroji napětí Protože všechny rezistory mají stejný od- por, poteče jimi také stejně velký proud Platí = Potom = =, = = Nyní budeme uvažovat, že rezistory jsou připojeny pouze ke zdroji napětí Opětvšemirezistory poteče stejně velký proud Platí = Potom = =, = = Obr 46 Obr 47 3 udou-li napětí, působit současně, pak podle principu superpozice bude platit: = + = +, = + = Obr 45 Poznámky Výše uvedený obvod představuje zapojení, které umožňuje získat součet a rozdíl dvou napětí (resp polovinu součtu a rozdílu napětí) Zdroje napětí a se nijak neovlivňují 8 9
potom z čehož Po dosazení za = 0 3 a 8 0 + b 4 0 + c 0 + d 0 + =0, (4) ( d = + c + b + ) a 0 0 4 0 8 0 a úpravě dostaneme = 4 (8 d +4 c + b + a ) Poznámka Zavedením a = H, b = H, c = H, d = D H dostaneme = H (8D +4 + + ), 4 kde H je napětí logických vstupů v horní úrovni (zpravidla H =0, V,ale např v TTL obvodech H =3,5 V),,,, D {0, } jsou logické proměnné Potom odpojíme zdroj spojený s uzlem Proud 0 se opět (z důvodů symetrie) rozdělí do 4 větví, každou větví bude opět protékat proud 0 4 Po zapojení obou zdrojů podle principu superpozice teče mezi body, proud = 0 + 0 = 0 4 4 Napětí mezi uzly, pak je = 0 0 = 0 Z tohoto vztahu dostaneme, že odpor mezi body, je = 0 4 Spojování zdrojů Zkusme nyní principu superpozice použít při spojování (lineárních) zdrojů važujme n zdrojů o napětích,,, n a vnitřních odporech i, i,, in Tyto zdroje jsou zapojeny a) sériově, b) paralelně ke spotřebiči o odporu a) Sériové spojení zdrojů n i i in vičení PomocíKirchhoffovýchzákonůurčete velikost napětí elektrického obvodu na obr 40 0 Obr 40 Obr 50 Podle principu superpozice budeme uvažovat působení každého zdroje samostatně, tj jeden zdroj vždy necháme, ostatní nahradíme zkraty, výsledný proud pak sečteme Dostaneme = = n = = + i + i + + in + n, ij + n j= n + n j= ij, ij j= 6 3
m této soustavy obdržíme: = 75 3 0, = 5 3 0 elkovýproudje tedy = + =0 3 Výpočet napětí mezi body, : = D + D = + 4 ( 3 )=90,5 3 Výsledný odpor je = = 90,5 3 0 3 =4,55 Ω b) Pomocí transfigurace trojúhelník na hvězdu Obr 34 nejprve překreslíme na obr 36, potom dále na obr 37 D 4 3 Obr 36 5 žitím vztahů pro transfiguraci obdržíme: r = r = r 3 = r O D r 3 4 r Obr 37 = 4 Ω=,60 Ω, + + 3 5 3 = 0 + + 3 5 Ω=4 3 Ω, 3 = 30 Ω=,00 Ω + + 3 5 Odpor mezi body O, se nyní určí jako paralelní řazení rezistorů r 3 + 4 a r + 5,tj = + = 40 O r 3 + 4 r + 5 7, takže O =,95 Ω Výsledný odpor celého zapojení se určí = O + O = r + O =4,55 Ω 5 Tuto rovnici upravíme užitím vztahu G ij =,kdeg ij jsou vnitřní vodivosti zdrojů Po úpravě a vyjádření proudu dostaneme ij n j G ij Označíme-li n j G ij j= = + n = G ij j= 0 = i = j= n G ij j= n + G ij j= n j G ij j= n, (5) G ij j= n, (6) G ij j= pak = 0 (7) + i Z výsledku je zřejmé, že tyto paralelní zdroje můžeme nahradit zdrojem jediným o napětí 0 daným vztahem (5) a vnitřním odporu i daným vztahem (6) viz obr 5, 53 Proud protékající spotřebičem o odporu bude pak dán vztahem (7) V praxi se paralelně spojují jen zdroje se stejným elektromotorickým napětím, uvažte proč! Příklad 9 spojování galvanických článků Zapojíme-li n galvanických článků ( 0, i ) za sebou, prochází spotřebičem oodporu proud Zapojíme-li tyto články vedle sebe, prochází spotřebičem oodporu proud a) Jakou velký odpor musí mít spotřebič, aby =? b) Jaký musí být vztah mezi odpory, i, aby byla splněna podmínka >? a) Podle vztahů pro sériové zapojení zdrojů můžeme psát = n 0 + n i 4 33
pro uzel (po vynásobení minus jednou) Má-li síť obecně L uzlů, je jen (L ) rovnic tohoto typu lineárně nezávislých Podobně je tomu i s rovnicemi sestavenými podle Kirchhoffova zákona pro jednoduché obvody Lineárně nezávislých (a tudíž využitelných) rovnic tohoto typu je jen tolik, kolik je nezávislých jednoduchých obvodů sítě Jednoduchý obvod je nezávislý, obsahuje-li alespoň jednu větev, která není součástí žádného jiného nezávislého obvodu Označme počet jednoduchých nezávislých obvodů vsítim a počet všech větví (a tím i počet neznámých proudů) N Pak obecně platí N = M +(L ) Tento vztah určuje, kolik rovnic je třeba sestavit podle Kirchhoffova zákona 3 (L ) a kolik podle Kirchhoffova zákona 4 (M) Počet všech rovnic typu určíme tak, že spočítáme uzly, přičemž jeden vynecháme Počet rovnic typu M určíme tak, že od počtu všech větví sítě N odečteme (L ) V našem případě je L =an = 3, tj potřebujeme N (L ) = rovnice typu (podle KZ) Protože každá rovnice (0), (), () je lineární kombinací zbývajících dvou, je jedno, které dvě zařadíme do sestavované soustavy rovnic Vezmeme první dvě Hledané proudy budou řešením této soustavy rovnic + 3 = 0, 0 = 0, + 3 3 + 0 = 0 Poznámka Metoda úplného stromu Při praktickém řešení sítě je užitečné využít při volbě nezávislých jednoduchých obvodů tzv metody úplného stromu Úplný strom elektrické sítě je libovolná soustava větví sítě, která spojuje všechny její uzly, přičemž nevytváří žádnou uzavřenou smyčku Lze tedy přejít větvemi úplného stromu z libovolného uzlu do kteréhokoliv jiného uzlu, a to jediným možným způsobem Např úplným stromem sítě na obr 33 je kterákoliv ze tří větví Pro usnadnění praktického postupu je účelné překreslit si nejdříve danou síť zjednodušeně tak, že větve jsou znázorněny úsečkami (bez vyznačení zapojených prvků) Na obr 33 je znázorněno několik možností (ne všechny) volby úplného stromu určité sítě (úplný strom je tučně vyznačen) 3 dále budeme psát už jen zkráceně KZ 4 dále jen zkráceně KZ 4 a b c 3 5 Obr 55 Do jednotlivých smyček zavedeme smyčkové proudy a, b, c Dále napíšeme pro každou smyčku KZ: a + 3 ( a b ) = 0, 4 b + 5 ( b c )+ 3 ( b a ) = 0, c + 5 ( c b )+ = 0 Dostali jsme soustavu třech rovnic o třech neznámých Tuto soustavu nyní vyřešíme pro konkrétní hodnoty prvků Po dosazení a úpravě dostaneme: a 0 b 4 = 0, 0 a +4 b c = 0, b +3 c + = 0 m této soustavy dostaneme: a =4, b =, c = 6 ezistorem poteče proud a = 4, rezistorem 3 proud a b =, rezistorem proud c = 6, rezistorem 4 proud b =, rezistorem 5 proud c b = 8 Znaménka minus u rezistorů a 5 značí, že těmito rezistory protéká proud opačně, než jsme původně předpokládali Zkuste tuto úlohu vyřešit pomocí Kirchhoffových zákonů a obě metody pak porovnejte 6 Metoda uzlových napětí Tato metoda je založena na použití prvního Kirchhoffova zákona Je výhodné ji použít zejména v obvodech s paralelně řazenými členy 35
Kirchhoffovy zákony zel místo, kde se stýká dva a více vodičů Větev obvodu dráha mezi dvěma uzly tvořená jedním prvkem nebo několika prvky spojenými za sebou Smyčka uzavřená dráha v části obvodu tvořená větvemi První Kirchhoffův zákon Vyjadřuje zákon zachování elektrického náboje Stejnosměrný proud je dán elektrickým nábojem, který projde průřezem vodiče za jednu sekundu Tento náboj se nemůže ve vodiči nikde nahromadit ani vznikat Dělí-li se proud do několika větví, musí být součet proudů přicházejících do uzlu roven součtu proudů, které z uzlu odcházejí První Kirchhoffův zákon lze vyslovit také takto: n lgebraický součet všech proudů v uzlu se rovná nule, tj k =0 V této formulaci je však ještě nutná volba znamének proudů Zpravidla proudům přicházejícím do uzlu přiřadíme kladná znaménka, odcházejícím z uzlu pak záporná znaménka (viz obr 3) + 3 4 =0 Druhý Kirchhoffův zákon k= 3 4 Obr 3 Je důsledkem zákona zachování energie Napětí na každém spotřebiči elektrického obvodu je dáno prací potřebnou k přemístění elektrického náboje mezi svorkami spotřebiče Projde-li náboj po uzavřené dráze, musí být příslušná práce nulová, neboť náboj se vrátil na místo téhož potenciálu Druhý Kirchhoffův zákon lze vyslovit také takto : lgebraický součet všech svorkových napětí zdrojů a všech úbytků napětí na n spotřebičích se v uzavřené smyčce rovná nule, tj k =0 Ve středoškolských učebnicích fyziky, např v [5] je Kirchhoffův zákon definován pomocí elektromotorického napětí, ze kterého je lépe patrný výše jmenovaný důsledek zákona zachování energie Součet úbytků napětí na odporech je roven součtu elektromotorických napětí zdrojů V tomto textu budeme používat formulaci Kirchhoffova zákona pomocí svorkového napětí často používaného v elektrotechnice k= m této soustavy dostaneme: =0V, =6V Potom = = 4, = = 6, 3 = =, 3 4 =, 5 = =8 4 5 tato metoda dala stejné výsledky, které jsme získali metodou smyčkových proudů vičení 3 rčete proudy protékající jednotlivými rezistory v v níže uvedeném obvodu na obr 57 a) žitím principu superpozice, b) metodou smyčkových proudů, c) metodou uzlových napětí 3 Řešte pro hodnoty =7V, =9V, =Ω, =,5 Ω, 3 =Ω Porovnejte vhodnost jednotlivých metod při řešení této úlohy Obr 57 rčete proud protékající rezistorem 3 na obr 57 použitím Millmanovy poučky 7 Věty o náhradních zdrojích V této části se zaměříme na metody umožňující řešit složitější elektrické obvody Pomocí vět o náhradních zdrojích lze libovolně složitý obvod sestavený z lineárních prvků nahradit vzhledem k libovolným dvěma svorkám obvodem skutečného zdroje napětí nebo obvodem skutečného zdroje proudu a) Théveninova poučka věta o náhradním zdroji napětí z Obr 58 z z Pro uzel platí z =0 Použitím Ohmova zákona dostaneme z z z z =0 0 37
Metody řešení elektrických obvodů Skutečné a ideální zdroje elektrické energie deální zdroj napětí (schématická značka viz obr 5) je takový zdroj napětí, jehož vnitřní odpor je roven nule Na svorkách takového zdroje je tedy stále stejně velké napětí, které nezávisí na velikosti odebíraného proudu deální zdroj proudu (schématická značka viz obr 6) je takový zdroj proudu, který má nekonečně velký vnitřní odpor Tento zdroj dodává stále stejně velký proud bez ohledu na velikost odporu připojené zátěže 0 Obr 5 0 Obr 6 Skutečný zdroj můžeme nahradit ideálním zdrojem stálého napětí e, k němuž je sériově připojen pomyslný rezistor o odporu i, nebo ideálním zdrojem elektrického proudu 0, k němuž je paralelně připojen pomyslný rezistor oodporu i Skutečný zdroj napětí je tedy charakterizován svým tzv elektromotorickým napětím e (popř i e 0 svorkovým napětím 0 viz obr 7) a svým vnitřním odporem i Obr 7 Závislostnapětí na svorkáchlineárního zdroje, který dodává spotřebiči o odporu proud, je dána vztahem 0 Obr 60 Obr 6 Vztahy Théveninovy poučky je tedy možno použít: a) V případě, že máme zadán proud z zátěže Pak budeme napětí na zatěžovacím rezistoru počítat dle vztahu (9) b) V případě, že je dán odpor zatěžovacího rezistoru z Pak bude napětí na tomto rezistoru dáno vztahem z = Příklad použití Théveninovy poučky z i + z 0 () Vypočtěte napětí na rezistoru 3 v obvodu zapojeném podle obr 6 Napětí zdroje = V, odpory rezistorů = 00 Ω, =40Ω, 3 =5Ω, 4 =60Ω i 3 3 4 0 3 3 = e i, (7) kde i je úbytek napětí na vnitřním odporu Obdobně dle poznámky a obr 7 bychom mohli obdobný vztah napsat také pomocí napětí 0 : = 0 i Kdybychom zjišťovali závislost napětí na velikosti odebíraného proudu, dostali bychom tzv zatěžovací charakteristiku zdroje (viz obr 8) V elektrotechnice se kromě pojmu elektromotorické napětí zdroje e používá pojmu vnitřní (svorkové) napětí zdroje 0, přičemž platí 0 = e (viz obr 7) Po připojení zátěže oodporu pak můžeme psát = 0 i,kde = 0 je proud protékající obvodem i + 8 Obr 6 Obr 63 Sestavíme náhradní obvod podle definice Théveninovy poučky (obr 63) deální zdroj napětí 0 (obr 64) je Vnitřní odpor i (obr 65) je 0 = + 4 + + 4, i = ( + 4 ) + + 4 39
vičení Černá skříňka V černé skříňce (obr 8) jsou zapojeny tři rezistory, a to tak, že platí =Ω, 3 =Ω, 3 = Ω V černé skříňce jsou pouze rezistory rčete, jaké rezistory jsou v černé skříňce a jak jsou zapojeny 3 Obr 8 Pravidelný čtyřstěn rčete velikost elektrického odporu mezi body D, drátěného modelu pravidelného čtyřstěnu (viz obr 9) Odpor jedné hrany čtyřstěnu je 0, všechny hrany mají stejně velký odpor Obr 9 3 Pravidelný šestiúhelník rčete odpory mezi body, sítí vytvořených doplněním pravidelného šestiúhelníku Všechny úseky mezi uzly sítě mají stejně velký odpor 0 Přechodové odpory v uzlech zanedbejte Řešte pro všechny tři případy Odpor rezistoru t při teplotě t bude dán vztahem t = 0 ( + αδt) = 0 ( + αt) Obvod nahradíme zapojením podle obr 67 deální zdroj napětí 0 určíme dle obr 68 0 =, 04 = 4, 0 = 04 0 + t + 4 Vnitřní odpor i stanovíme podle zapojení na obr 69 0 i = + + t 4 t + 4 t 4 t 4 O O O Obr 68 Proud procházející rezistorem 3 bude Obr 69 Obr 0 Obr 4 Čtvercová síť rčete odpor mezi body, elektrické sítě znázorněné na obr 3 Mezi všemi uzly sítě je stejně velký odpor 0 Obr 3 = 0 i + 3 Po dosazení za 0, i, = = 4 = a úpravě dostaneme t 3 = (3 + 3 ) t + + 3, po dosazení vztahu pro t, úpravě a dosazení daných hodnot dostaneme Obr 3 00 0,t 3 = 0 65 000 + 0t Napětí 3 na rezistoru 3 je pak dáno vztahem 3 = 3 3, po dosazení za 3 3 = 00 0,t 65 + 0,t V 6 4
Mezi body a protéká proud třemi paralelními vodiči o odporu 0, mezi body a šesti a mezi body a G třemi takovými vodiči Pro celkový odpor této sítě tedy dostáváme: = + + G, = 0 3 + 0 6 + 0 3 = 5 6 0 způsob: Proud vstupující vrcholem do dané sítě se zde větví na tři proudy o velikosti 3, každý z nich se dále dělí na dva proudy o velikosti 6, do vrcholu G pak vstupují zase tři paralelní proudy o velikosti Pro celkový 3 výkon obvodu pak platí: =3 0 ( 3 Ztohoplyne = 5 6 0 ) ( ) ( ) +6 0 +3 0 = 5 6 3 6 0 Poznámka Úlohu a) je možno řešit také pomocí transfigurace, což ale není v tomto případě příliš vhodný postup, i když by vedl také k témuž výsledku b) Proud, který vstupuje středem hrany E, se rozděluje do dvou stejných větví, horní a dolní, které se spojují a vystupují z krychle společně ve středu hrany G Musí platit: = + =, d h h protože obě větve mají stejný odpor h = 0 + + 0,kde je odpor soustavy horních hran Pro platí: = + =, 0 0 0 z čehož = 0 Je tudíž h = 0 a celkový odpor krychle pak dostaneme jako paralelní kombinaci těchto odporů h,tj = +, z čehož 0 0 0 = 0 4 Označíme-li dostaneme i = +, 0 = (viz obr 7), z =( 0 z ) i (4) Pro napětí z jsme dostali shodný výraz s výrazem pro obvod skutečného zdroje proudu (obr 7) Nahradili jsme obvod původní obvodem skutečného zdroje proudu náhradního obvodu je 0 proud ideálního zdroje proudu a určí se jako proud, který prochází zkratovanými výstupními svorkami Vnitřní odpor i se určí stejným způsobem jako u Théveninovy poučky Vztahy Nortonovy poučky je tedy možno použít: a) V případě, že je dán proud procházející zátěží z, bude napětí na zatěžovacím rezistoru dáno vztahem (4) b) V případě, že je dán odpor zatěžovacího rezistoru, bude na něm napětí z = Příklad 4 Nortonova poučka i z i + z 0 (5) Stanovte napětí na rezistoru v zapojení podle obr 73 Napětí zdroje = V, odpory rezistorů =30Ω, =0Ω, 3 =60Ω z 3 Obr 73 0 i z Obr 74 Náhradní obvod definovaný Nortonovou poučkou je na obr 75 deální zdroj proudu 0 stanovíme ze zapojení na obr 75 0 = 3 + 3 Vnitřní odpor i stanovíme ze zapojení na obr 76 i = 3 + 3 43
Jsou-li odpory v trojúhelníku dány, lze z těchto vztahů snadno vyjádřit odpory ve hvězdě Nejlepší je všechny tři vztahy sečíst a součty na obou stranách dělit dvěma Dostaneme pomocný vztah r + r + r 3 = + 3 + 3 (4) + + 3 Když od vztahu (4) postupně odečítáme vztahy (), (), (3), dostaneme r = r = 3 + + 3, + + 3, 3 r 3 = + + 3 Pravidlo: Odpor mezi některým vrcholem a uzlem hvězdy vyjádříme jako zlomek, v jehož čitateli je součin odporů stýkajících se v odpovídajícím vrcholu trojúhelníku a v jehož jmenovateli je součet všech tří odporů tvořících trojúhelník Je možné provést i transfiguraci opačnou, tj vyjádřit odpory,, 3 pomocí odporů r, r, r 3 V tomto případě jde zřejmě o transfiguraci hvězdy na trojúhelník Při výpočtu postupujeme nejlépe takto: Ze vztahů (), (), (3) vyjádříme např poměry r : r 3 = : 3, (5) r : r 3 = : (6) Jestliže nyní z (5) vyjádříme 3 aze(6) a dosadíme do (), dostaneme vztah, z něhož po úpravách dostaneme a b 0 Obr 79 Odpor nekonečné sítě mezi svorkami a, b označíme 0 (viz obr 79) Je-li síť nekonečná, pak také odpor mezi svorkami a, b je 0 Pak platí 0 = + 0 +, tj 0 = + + 0 0 Dostaneme kvadratickou rovnici, ze které vyjádříme neznámou 0 (fyzikální význam má pouze kladné řešení): 0 = ( + +4 ) (6) Našli jsme výraz 7 pro odpor nekonečného řetězového obvodu skládajícího se z opakujících se sériových a paralelních rezistorů Příklad 5 řetězový obvod Na obr 80 je zakreslen elektrický obvod složený z rezistorů o stejném odporu Obvod lze rozložit na n stejných částí (n N) Obvod je ukončen rezistorem oodporu 0 rčete velikost odporu 0 tak, aby odpor elektrického obvodu byl stejný pro libovolné n 7 K témuž výsledku by bylo možno dospět i vhodným použitím Kirchhoffových zákonů a b a b = r + r + r r r 3 Dosazením do (6) a (5) dostaneme po úpravách = r + r 3 + r r 3 r, 3 = r + r 3 + r r 3 r 45
Po úpravě můžeme psát = + + + + 3 n Poznámka Vztah pro paralelní spojování rezistorů je možno přepsat také pomocí vodivosti G = Pak je možno psát G = G + G + G 3 + + G n Výsledná vodivost paralelně spojených rezistorů je určena součtem vodivostí jednotlivých rezistorů Příklad regulace vytápění Máme dva topné články o odporech a ( > ) Pomocí těchto článků chceme vytápět místnost s možností regulace jejího vytápění Kromě topných článků máme také k dispozici neomezený počet dvoupolohových spínačů a) rčete maximální počet stupňů regulace a naznačte realizaci takové regulace b) rčete nejmenší možný počet přepínačů, které je nutno použít k regulaci vúlozea) c) Nakreslete a zdůvodněte schéma zapojení pro tuto regulaci a) egulaci budeme provádět různým zapojením topných článků Za pomoci spínačů jsou možné čtyři stupně regulace (nesmíme zapomenout ještě na jednu polohu spínačů, a to když budeme chtět topení úplně vypnout): oba topné články jsou spojeny do série, pak = +, je zapojen pouze článek o odporu,pak =, je zapojen pouze článek o odporu,pak =, V oba topné články jsou spojeny paralelně, pak V =, + (V vypnuto) Je zřejmé, že platí > > > V b) Pro regulaci budeme potřebovat 5 různých poloh 4 stupně regulace + poloha vypnuto Potřebujeme tedy 3 přepínače, tj 3 = 8 možností (3 možnosti zůstanou nevyužity) c) K navrženému schématu zapojení vytvoříme tabulku všech možných poloh přepínačů a tomu příslušejících stupňů regulace Z předchozí úvahy je zřejmé, že obvod lze zjednodušit na případ n = Takto bychom mohli postupně zjednodušovat obvod pro libovolné n, avždy bychom dospěli ke stejné rovnici = 0 +, kterou jsme již vyřešili + 0 pro n = Pro libovolné n musí tedy být odpor obvodu (a tedy i rezistoru připojeného na konec obvodu) roven 0 =0,73 vičení 4 Posuvný odpor je zapojen jako potenciometr a připojen ke zdroji se svorkovým napětím (viz obr 8) Para- z lelně k části, jejíž odpor je X, jepřipojen spotřebič o odporu z rčete X z z a) proud z, který protéká spotřebičem, b) napětí z na spotřebiči Úlohu řešte pomocí Théveninova i Nortonova teorému Obr 8 V děliči napětí podle obr 8 mají být odpory rezistorů, stanoveny tak, aby napětí na rezistoru bylo max při odběru proudu min anapětí min Δ při odběru proudu max proveďte a) pomocí Théveninovy poučky, b) pomocí Nortonovy poučky Řešte nejprve obecně, potom pro =,00 V, max = 0 μ, min =80μ, max = 4,40 V, min =4,00 V Obr 8 3 V síti znázorněné na obr 83 vypočítejte proud, který protéká spotřebičem o odporu, anapětí na tomto spotřebiči Řešte nejprve obecně, potom pro hodnoty =V,r =Ω, =0Ω r r r r r r r r Obr 83 0 47
hyblivým jezdcem rozdělen na dva úseky Jsou-li a, b délky obou úseků drátu, pak a x = n b = x n l x Můstková metoda dává velmi přesné výsledky, pokud se měřený odpor x příliš neliší od známého odporu n V takovém případě se jezdec vyváženého můstku nachází blízko středu odporového drátu Poznámka Poslední tvrzení je možno dokázat pomocí diferenciálního počtu elativní odchylka l x + x d x (l x) dx l = = x x l x x(l x) dx l Výraz je minimální, je-li x(l x) maximální Výraz x(l x) nabývá x(l x) maxima pro x = l Z výše uvedeného postupu je vidět, že odpor měříme nejpřesněji, je-li dotyk jezdce přibližně v okolí středu můstku Prakticky to znamená odhadnout hodnotu odporu x a pak volit n přibližně stejně veliký Měření vyžaduje galvanometr s vyšší citlivostí d) Měření elektrického odporu ohmmetrem Většina univerzálních laboratorních měřicích přístrojů může být použita i jako ohmmetr, který se skládá z vestavěného zdroje, měřidla o odporu M asvorek pro připojení měřeného odporu itlivost měřidla je upravena tak, aby při zkratu svorek, kdy x = 0, nastala plná výchylka ukazatele označená na stupnici nulou Nulové výchylce ukazatele při rozpojených svorkách odpovídá nekonečně velký odpor Čím větší odpor připojíme, tím menší je výchylka ukazatele Přesnější ohmmetry pracují na principu Wheatstoneova můstku číslicových ohmmetrů je použit operační zesilovač ve funkci převodníku odpor napětí úloh vičení Úloha má dvě řešení (viz obr88, 89) Od jednoho řešení k druhému je možno přejít pomocí transfigurace 3 =3Ω =Ω Obr 88 Obr 89 ody, D mají stejný potenciál, proud mezi nimi nepoteče hranu D můžeme vynechat Potom = + +, z čehož = 0 0 0 0 3 Nakreslíme náhradní schémata pro jednotlivé případy Neoznačené rezistory v obr 90, 9, 9 mají elektrický odpor 0 Ze symetrie vyplývá možnost jednotlivá schémata ze zadání překreslit dle následujících obrázků a) = 4 3 0 0 0 3 0 Obr 90 0 8 49
3 Měření elektrického odporu rezistoru a) Metoda přímá Vychází z definičního vztahu pro elektrický odpor Napětí na rezistoru a proud procházející rezistorem měříme současně voltmetrem a ampérmetrem v jednom zapojení (viz obr 4, 5), kde 0 je ochranný rezistor + V V 0 + V 0 Náhradní schéma vychází z poznatků, že výsledný odpor dvou paralelně zapojených rezistorů každý o odporu 0 je 0 a že výsledný odpor dvou sériově zapojených rezistorů každý oodporu 0 je 0 Všechny rezistory na obr 95 mají odpor 0 Výsledný odpor = 3 Obr 95 0 3 způsob celkový výkon obvodu je roven součtu výkonů na jednotlivých rezistorech: ( ) ( ) ( ) ( ) P = 0 +4 0 +4 0 + 0, 4 4 P = = 3 0, V Obr 4 V Obr 5 z čehož = 3 0 Měření v zapojení podle obr 4 vede ke správnému výsledku, vezmeme-li vúvahuproud V, který prochází voltmetrem Platí = = V V Proud V určíme pomocí jednoho ze vztahů V = V, V = V VM, V VM kde V je odpor voltmetru, VM je zvolený rozsah voltmetru a VM je proud, který prochází voltmetrem při plné výchylce ukazatele V, VM jsou uvedeny v návodu dodávaném k přístroji Pokud je splněna podmínka V, můžeme proud procházející voltmetrem zanedbat a použít přibližný vztah = V V zapojení podle obr 4 musíme přihlížet k odporu ampérmetru (viz návod k přístroji) Platí = V Pokud je splněna podmínka, můžeme úbytek napětí na ampérmetru zanedbat a použít vztah = V 6 4 způsob ke schématu na obr 93 lze vytvořit náhradní schéma také takto (viz obr 96): Všechny rezistory na obr 96 mají odpor 0, výsledný odpor je pak Obr 96 = 3 0 5 žitím transfigurace (trojúhelník hvězda) dostaneme: r =Ω;r = =0,5 Ω;r 3 =0,4 Ω;r =3Ω;r =, Ω;r 3 = Ω (viz obr 97) r 5 r 3 r 3 r r r r i r 6 + Obr 97 5 0
ezistory ezistory jsou elektrické součástky, jejichž základní vlastností je elektrický odpor Podle konstrukčního provedení rozdělujeme rezistory na dvě skupiny: ezistory se dvěma vývody (pevné a nastavitelné) ezistory s více než dvěma vývody (rezistory s odbočkami a potenciometry) Jako nastavitelné rezistory (reostaty) pracují v elektrických obvodech většinou potenciometry nebo potenciometrické trimry, které mají jeden vývod odporové dráhy buď nezapojený, nebo spojený se sběračem Z technologického hlediska se rezistory dělí na: Vrstvové (odporový materiál ve formě vrstvy) dělí se na uhlíkové a metalizované Drátové (vinuté odporovým drátem) mají indukčnost, jsou vhodné pouze pro použití v obvodech se stejnosměrným proudem Vlastnosti rezistorů Jmenovitý odpor rezistoru je daný výrobcem, je stanoven ČSN 35800 V souladu s mezinárodně normalizovanými řadami odporů součástek pro elektrotechniku Nejpoužívanější jsou řady E6, E, E4 Tolerance jmenovitého odporu rezistoru rezistory jsou zařazeny do skupin, které se označují písmenovým kódem podle ČSN E 6 nebo barevným kódem podle ČSN 35803 Většina rezistorů se vyrábí s tolerancemi odporů ±0%, ±0%, ±5% 3 Jmenovité zatížení rezistorů je výkon, který se smí za určitých podmínek stanovených normou přeměnit v rezistoru na teplo, aniž by teplota jeho povrchu překročila přípustnou velikost Vrstvové rezistory se vyrábějí pro jmenovité zatížení 0,5 W až W, drátové rezistory W až 00 W 4 Provozní zatížení rezistorů největší přípustné provozní zatížení rezistoru je určeno největší teplotou povrchu součástky, při které ještě nenastávají trvalé změny jejího odporu ani podstatné zkracování jejího života Závisí na teplotě okolí, ve kterém rezistor pracuje, a na způsobu odvádění tepla z tělíska vičení 3 Ve všech případech a), b), c) dostaneme =, =, 3 =3 Proudy mají orientaci dle obr 99 Vytvoříme náhradní obvod dle obr 00 3 3 Obr 00 Platí = =0,6 Ω, + = + =7,8 V + Potom 3 = + 3 =3 vičení 4 Pomocí Théveninova teorému Na obr 80 je znázorněno oddělení spotřebiče od ostatních částí obvodu Tuto část lze nahradit zdrojem o vnitřním napětí 0 a vnitřním odporu i, přičemž 0 = X, X( X) i = a) Pro proud z pak dostaneme z = 0 X = z + i ( z + X) X X b) Pro napětí z na spotřebiči dostáváme z = z z = ( + X ) X Pomocí Nortonova teorému važujme paralelní kombinaci i a, proud 0 = Proud tekoucí X odporem i označíme i, proud tekoucí spotřebičem z Platí i + z = 0 ; z : i = i : z Odtud z = i 0, po dosazení za z + 0 = i X, X( X) X i = dostaneme z = ( z + X) X úlohy b) je shodné s řešením pomocí Théveninova teorému a) Pomocí Théveninovy poučky 0 = +, i = + Podle zadání úlohy má být: 4 53