Univerzia Karlova v Praze Maemaicko-fyzikální fakula DIPLOMOVÁ PRÁCE Jakub Rada Oddělení majeku penzijního fondu od majeku klienů Kaedra pravděpodobnosi a maemaické saisiky Vedoucí diplomové práce: RNDr. Marcela Sředová Sudijní obor: Finanční a pojisná maemaika 2009
Tímo bych rád poděkoval RNDr. Marcele Sředové za ochou, čas a energii věnovanou konzulacím a odbornému vedení diplomové práce. Dále děkuji Pavlu Koudelkovi za souhlas k využií čásí diplomové práce a programu jím vyvořeným. Prohlašuji, že jsem svou diplomovou práci napsal samosaně a výhradně s použiím ciovaných pramenů. Souhlasím se zapůjčováním práce a jejím zveřejňováním. V Praze dne: Jakub Rada
ÚVOD...5 1. SOUČASNÝ PENZIJNÍ SYSTÉM...7 1.1. POROVNÁNÍ ZAHRANIČNÍCH SYSTÉMŮ S ČR...7 1.2. STÁTNÍ DŮCHODOVÉ POJIŠTĚNÍ V ČR PRVNÍ PILÍŘ...8 1.3. PENZIJNÍ PŘIPOJIŠTĚNÍ V ČR TŘETÍ PILÍŘ...10 1.3.1. Vznik a vývoj penzijního připojišění v ČR...10 1.3.2. Zákon o penzijním připojišění...13 1.3.3. Penzijní plán...14 2. PENZIJNÍ REFORMA...15 2.1. DRUHÁ ETAPA PENZIJNÍ REFORMY...16 2.1.1. Vyvoření rezervního důchodového fondu...16 2.1.2. Oddělení majeku penzijních fondů od majeku účasníků...17 3. TEORETICKÝ ZÁKLAD...21 3.1. METODA RIZIKOVĚ NEUTRÁLNÍCH VÝPOČTŮ...21 3.1.1. Základní pojmy...22 3.1.2. Rizikově neurální pravděpodobnosní míra...24 3.1.3. Doplňky...25 3.2. MODEL OKAMŽITÉ ÚROKOVÉ INTENZITY...26 3.3. MODEL CENY AKCIÍ...27 3.4. SIMULACE PROCESŮ METODOU MONTE CARLO...28 4. MODEL PENZIJNÍ SPOLEČNOSTI...29 4.1. DEMOGRAFICKÝ VÝVOJ...29 4.1.1. Vsup nových klienů...29 4.1.2. Odchody klienů...30 4.2. VÝVOJ ÚČTU KLIENTŮ...30 4.2.1. Invesiční sraegie...30 4.2.2. Klienské účy...31 4.2.3. Poplaky...32 5. VÝSLEDKY...33 5.1. ZÁKLADNÍ NASTAVENÍ MODELU...33 5.2. VARIANTY MODELU...38 5.2.1. Variana PS 1, PS 2...38 5.2.2. Variana PS 3...38 5.2.3. Variany VP 1, VP 2, VP 3, VP 4...39 5.3. VÝSLEDKY MODELOVÁNÍ...40 5.3.1. Výsledky zisků...41 5.3.2. Výsledky naspořených prosředků...44 ZÁVĚR...45 A. POPIS PROGRAMU...46 A.1. PS.XLS...46 A.1.1. Obsah jednolivých lisů...46 A.1.2. Průběh výpoču makra...49 LITERATURA...51
Absrak Název práce: Oddělení majeku penzijního fondu od majeku klienů Auor: Jakub Rada Kaedra: Pravděpodobnosi a maemaické saisiky Vedoucí diplomové práce: RNDr. Marcela Sředová e-mail vedoucího: sredova@generalippf.eu Absrak: Důchodový sysém prochází v posledních leech řadou reforem, jejichž dopad se projeví na všech účasnících ohoo sysému. Tao diplomová práce se zabývá současným savem penzijního připojišění v ČR a především pak jeho změnou, kerou přinese oddělení majeku klienů penzijních fondů od majeku akcionářů. Dále je zde rozebrán rizikově neurální přísup pro oceňování insrumenů obchodovaných na finančních rzích. Z něj pak vychází námi vyvořený model pro výpoče současné hodnoy budoucích zisků generovaných planými smlouvami, keré připadají na akcionáře. Teno model nám poslouží i k modelaci současné hodnoy objemu prosředků kliena penzijní společnosi, v závislosi na jím zvolené invesiční sraegii. Klíčová slova: penzijní reforma, penzijní připojišění se sáním příspěvkem, rizikově neurální přísup, oddělení majeku penzijního fondu od majeku klienů Absrac Tile: Separaion of pension fund asses o adminisraor and cliens pars Auhor: Jakub Rada Deparmen: Deparmen of Probabiliy and Mahemaical Saisics Supervisor: RNDr. Marcela Sředová Supervisor's e-mail adress: sredova@generalippf.eu Absrac: The pension sysem has been undergoing a wide range of reforms which will impac all he counerpars. This hesis deals wih he conemporary sae of he supplemenary pension insurance in he Czech Republic, primarily wih he change semming from he separaion of pension fund asses o adminisraor and cliens pars. In addiion, i focuses on a risk neural aiude o financial insrumen assessmen. I has become he background for our model of fuure profis presen value assessmen. Those profis which are generaed per a shareholder, as given by valid conracs. This model serves o derive presen clien asses in accordance wih he invesmen sraegy chosen by he clien. Keywords: Pension reform, supplemenary pension insurance, risk neural approach, separaion of pension fund asses o adminisraor and cliens pars
Úvod Již dlouhou dobu se éměř v celé Evropě a především v České Republice vedou rozsáhlé diskuse o penzijní reformě. Čím dál ím více se oiž ukazuje, že nynější sysém, založený na mezigenerační solidariě, se bez nějaké zásadní změny sane v horizonu několika málo le velkým problémem pro sání rozpoče. Důvodem je narůsající nepoměr mezi populací v produkivním a posprodukivním věku. Již v roce 2001 připadlo na 100 pracujících 43 lidí v důchodovém věku a prognózy do budoucna nejsou nijak příznivé. Odhady předpokládají, že v roce 2050 připadne na 100 pracujících éměř 80 důchodců. Z pohledu záěže pro sání rozpoče vořily mandaorní výdaje (zákonem dané, povinné výdaje sáního rozpoču, jejichž nejvěší podíl, éměř 80%, voří sociální ransfery ve formě sarobních, invalidních, siročích a osaních důchodů) v roce 2008 celých 52% celkových výdajů vlády. Vzhledem k ěmo číslům a jejich budoucímu růsovému rendu je zřejmé, že důchodová reforma je nevyhnuelná a její neprosazení může v budoucnu vés až k plaební neschopnosi sáu. Bohužel, jako i u osaních problémů ýkajících se veřejných financí, i zde se sekáváme s rozdílnými názory na o, jak danou reformu provés. Důvodem heerogeniy názorů je sře mnoha zájmových skupin. Počínaje odborníky, akcionáři a klieny penzijních fondů a konče poliiky, pro něž každé, byť z pohledu odborného správné rozhodnuí, může uškodi jejich populariě. A přiznejme si, že jakákoliv reforma v sobě nese nemalé počáeční výdaje, keré se jen ěžko budou obhajova před voliči. Navíc každý rozsáhlý zásah do již fungujícího sysému nemusí vždy přinés jeho zlepšení. Nejlepším příkladem oho je Maďarsko, jež sice zavedlo reformu penzijního sysému již v roce 1998, ale vzhledem k jejím nedosakům je udržielnos sáem řízeného prvního pilíře sejně španá, jako před reformou. Česká republika provedla první reformní kroky již v roce 1994, kdy zavedením penzijního připojišění se sáním příspěvkem oevřela možnos dobrovolného spoření na sáří. Vznikly ak první penzijní fondy. V počáečních leech figurovalo na Českém rhu až 46 fondů, keré se posupným slučováním, ale i nedosakem účasníků a krachem, zredukovaly na dnešních 10. Tímo krokem se však reforma penzijního sysému na dlouhou dobu zasavila. V roce 2007 se vyvořil harmonogram pro ři základní eapy penzijní reformy. Bohužel již první eapa měnící paramery sáního důchodového sysému, schválená v srpnu 2008, se oproi harmonogramu opozdila o více než půl roku. Takže ermín dokončení řeí eapy, kerá spočívá v zavedení druhého pilíře důchodového pojišění a možnosi zv. op-ou, odhadovaný na leden roku 2010 se zdá bý dosi nereálný. Tao diplomová práce, se zabývá především druhou eapou důchodové reformy, kerá spočívá v oddělení majeku akcionářů od majeku klienů sysému dobrovolného důchodového připojišění. Podle návrhu zákona druhé eapy důchodové reformy vyvoříme model, kerý by svým chováním odpovídal fungování penzijní společnosi, ak jak je popsána v návrhu Minisersva financí. 5
Naším cílem bude vypočía současnou hodnou budoucích zisků generovaných planými smlouvami penzijního připojišění. Tuo hodnou pak porovnáme s výsledky modelu sávajícího penzijního fondu, navrženého v diplomové práci Pavla Koudelky [13]. Srovnáním jednolivých výsledků se pokusíme ukáza dopad navrhované změny sysému na akcionáře a klieny penzijních společnosí. V první kapiole si popíšeme současný penzijní sysém. Zaměříme se především na současný sav dobrovolného penzijního připojišěný se sáním příspěvkem. Ve druhé kapiole pak podrobně rozebereme změny keré přinese penzijní reforma. Budeme se drže především návrhu Minisersva financí. Ve řeí kapiole si vyložíme eoreické pozadí rizikově neurálních výpočů, na kerých je náš model posaven. Ve čvré kapiole pak přesně popíšeme fungování námi vyvořeného modelu. V páé kapiole upřesníme nasavení modelu a vyhodnoíme dosažené výsledky. V příloze uvedeme echnický popis modelu. Na přiloženém CD naleznee námi vyvořený model a model Pavla Koudelky [13], kerý jsme použili pro srovnání. Oba yo modely byly vyvořeny v aplikaci MS Excel. Obsahem CD je i model pro simulaci vývoje cen akcií a úrokových měr vyvořený Pavlem Koudelkou [13] ve vývojovém prosředí Free Pascal. 6
1. Současný penzijní sysém 1.1. Porovnání zahraničních sysémů s ČR Nejprve se podívejme jak vypadají promyšlené a praxí odzkoušené penzijní sysémy pojisné ochrany ve vyspělých sáech západní Evropy. Tyo sysémy, ač v někerých aspekech odlišné, mají sejný účel, a o zajisi udržení dosaženého živoního sandardu i ve sáří. Všechny sojí v zásadě na řech základních pilířích: 1) sociální pojišění 2) penzijní pojišění 3) individuální pojišění a spoření První pilíř: je hlavní oporou celého sysému pojisné ochrany občanů. Je založen na mezigenerační solidariě, kdy peněžní prosředky v sysému zajišťuje zv. průběžné financování a mechanizmus ohoo sysému je v zásadě využíván veškerou populací. Účas v něm je povinná a povinné jsou i příspěvky do sysému. Do sociálního pojišění se řadí nejen důchodové pojišění, do kerého paří sarobní důchod, invalidní důchod, vdovský důchod, siročí důchod, ad., ale aké sociální podpora a sociální pomoc (maeřská dovolená, pomoc v případě sociální nebo hmoné nouze, ad.). Druhý pilíř: ve věšině případů se jedná o sysémy kolekivního pojišění založené na dobrovolnosi, keré jsou organizovány buď v podnicích pro vlasní zaměsnance nebo ve skupinách sdružujících různé profese, popřípadě i v jiných sociálních skupinách, keré byly vyvořeny pro eno účel. Základním principem ohoo pilíře je odložení nynějších příjmů, za účelem budoucí spořeby ve formě doplňkového důchodu. Třeí pilíř: plně vychází ze soukromé iniciaivy účasníka, je dobrovolným zdrojem pojisné ochrany občana, a je věšinou založen na komerčním přísupu. Příkladem jsou individuální živoní nebo důchodové pojišění. Současný sysém důchodového pojišění v České Republice je založený na dvou základních pilířích, a o na sáním důchodovém pojišění a na dobrovolném penzijním připojišění se sáním příspěvkem. První zmiňované je upravováno zákonem o pojisném na sociální zabezpečení, zákonem o důchodovém pojišění a v neposlední řadě i sání poliikou zaměsnanosi. Dobrovolné penzijní připojišění se sáním příspěvkem je upravováno zákonem o penzijním připojišění se sáním příspěvkem. Sysém kolekivního pojišění, jakožo zásupce druhého pilíře, v českém sysému neexisuje. 7
1.2. Sání důchodové pojišění v ČR první pilíř Sání důchodové pojišění je povinné, dávkově definované a průběžně financované. Základním principem ohoo pojišění je mezigenerační solidaria, kdy zdrojem pro financování dnešních důchodců jsou prosředky současně ekonomicky akivních jedinců odváděné formou důchodového pojišění. Výhody: Nevýhody: odolnos vůči cyklickému vývoji ekonomiky odolnos vůči inflaci možnos valorizace dávek zahrnuje všechny občany bez rozdílu garanováno sáem cilivos na demografický vývoj možnos vládních selhání snižuje individuální odpovědnos riziko mezigenerační nespravedlnosi, kdy výše příspěvku do sysému nemusí odpovída pozdější výši dávek přijímaných v důchodovém věku nahrazuje přirozenou mezigenerační solidariu solidariou anonymní Jako hlavní nevýhoda ohoo sysému se v průběhu le ukázala cilivos na demografický vývoj, kdy se sárnoucí populací klesá relaivní výše důchodu. Tabulka 1 ukazuje vývoj poču poplaníků a důchodců v leech 2001 2007. Vidíme, že poče poplaníků zde rose rychleji než poče důchodců, což může bý rochu zavádějící. Je však nuné si uvědomi, že i io dnes akivní jedinci zanedlouho dosáhnou důchodového věku a siuace se začne obrace. 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 Poče poplaníků 4 530 096 4 583 373 4 595 773 4 843 380 4 788 289 4 848 236 4 880 187 Poče sarobních důchodců 1 922 772 1 907 830 1 914 219 1 944 915 1 96 1870 1 995 350 2 028 865 Poče důchodců 2 584 018 2 577 798 2 590 844 2 625 685 2 645 100 2 68 3784 2 719 161 Tabulka 1: Vývoj poču důchodců a poplaníků k 31.12. daného roku Zdroj:ČSSZ 8
Podíváme-li se na budoucí vývoj poču lidí s nárokem na sarobní penzi (Graf 1), vidíme, že dle ěcho prognóz by poče důchodců v příších 40 leech mohl dosáhnou éměř 3,6 milionů. Graf 1: Odhad poču osob s nárokem na sarobní důchod do roku 2050 Zdroj:ČSSZ Ješě věší výpovědní hodnou má Graf 2, na kerém je parný zmenšující se rozdíl mezi počem lidí v produkivním a důchodovém věku, což je základní příčina budoucích problémů s nedosakem kapiálu pro výplau penzí. Graf 2: Očekávaný vývoj obyvael podle hlavních věkových skupin do roku 2050 Zdroj:ČSSZ 9
V následujícím grafu je pak znázorněn nezadržielně rosoucí rend sáních výdajů na důchody v posledních 18 leech. Graf 3: Roční výdaje na důchody v leech 1989 2007 Zdroj: ČSSZ 1.3. Penzijní připojišění v ČR řeí pilíř Jedná se o doplňkové, příspěvkově definované, kapiálově financované penzijní připojišění se sáním příspěvkem. Základními principy penzijního připojišění jsou dobrovolnos (eno sysém zabezpečení je pouze doplňkový a účas v sysému není obligaorní), občanský princip (pojišění je uzavřeno mezi občanem a penzijním fondem na základě smluvního vzahu) a sociální princip (sá vyplácí příspěvky účasníkům penzijního připojišění na degresivní bázi což znamená, že s rosoucím příspěvkem kliena rose i absoluní hodnoa sáního příspěvku, avšak relaivní hodnoa klesá). Pokud se však podíváme na údaje poskyované asociací penzijních fondů, zjisíme bohužel, že důchody přiznávané z ohoo pilíře se prozaím na příjmech důchodců podílejí jen minimální mírou. 1.3.1. Vznik a vývoj penzijního připojišění v ČR Vznik a rozvoj penzijního připojišění v ČR zahájilo v roce 1994 schválení zákona č. 42/1994 Sb., o penzijním připojišění se sáním příspěvkem. Cílem ohoo zákona bylo umožni zajišění doplňkových příjmů nad rámec důchodu ze základního povinného důchodového pojišění, a o na základě vlasního rozhodnuí účasníka. Již v omo roce získaly první penzijní fondy licence k poskyování penzijního připojišění se sáním příspěvkem v ČR. Jak bylo uvedeno na začáku, poče nově založených penzijních fondů se mezi ley 1994 a 1997 rozrosl na 46, avšak jen málo z nich se udrželo na rhu do dnes. 10
Důvody zániku jednolivých fondů byly různorodé. Nejvíce z nich (více jak 20) zaniklo v rámci fúzí s osaními penzijními fondy. Pě fondů bylo likvidováno s čásečnou náhradou vložených prosředků. Objem ěcho vložených prosředků však reprezenoval méně než 0,5% vložených prosředků v roce 2003 a méně než 2% z celkového poču účasníků v roce 2003. Tři penzijní fondy zanikly bez účasníků a dva fondy zanikly s plnou náhradou vložených prosředků. Poslední ři významné fúze proběhly v roce 2004, kdy se Penzijní fond České pojišťovny, a.s. sloučil s ABN AMRO Penzijním fondem, a.s., v roce 2005 se pak Československá obchodní banka a.s. sala majielem Hornického penzijního fondu Osrava, a.s. a na konci roku 2007, kdy Zemský penzijní fond přešel pod hlavičku ČSOB Penzijního fondu Progres. Jak je vidě z následující abulky (Tabulka 2), nejvěší nárůs nových členů byl během prvních 6 le fungování, j. do roku 2000, kdy do sysému vsoupilo více než 2 milióny lidí. Nejvěší meziroční přírůsky nových členů byly zaznamenány v roce 2000 (18,3%) a pak mezi ley 2005 2007, vždy kolem 10%. Když se podíváme na poče účasníků ke konci druhého kvarálu roku 2008, zjisíme, že vořil éměř 80% ekonomicky akivní populace, což je ve srovnání s vyspělejšími evropskými sáy více než poziivní číslo. Dalším důležiým fakem je rapidní nárůs poču penzijních pojišění s vedenými příspěvky zaměsnavaele v posledních osmi leech. Zde se projevuje daňové zvýhodnění příspěvků do penzijního připojišění ze srany zaměsnavaele. Neméně výrazný je i nárůs průměrného sáního příspěvku, připisovaného účasníkům, kerý je z velké míry důsledkem navyšujícího se průměrného měsíčního příspěvku účasníka. Teno průměrný měsíční příspěvek účasníka narosl z 326 Kč v roce 2000 na éměř 450 Kč v roce 2007, a ím se přiblížil hodnoě 500 Kč, při níž je možné pobíra maximální možný sání příspěvek 150 Kč měsíčně. Graf 4: Věková srukura účasníků penzijního připojišění Zdroj: ČNB Věkové srukura účasníků penzijního připojišění je relaivně neměnná. Z da poskynuých Českou národní bankou je parné, že celý kmen sárne (což je dobře vidielné na Grafu 4), a o bez ohledu nao, že sále více lidí vsupuje do sysému 11
penzijního připojišění. Nejpočenější skupinu účasníků penzijního připojišění voří lidé ve věkové kaegorii 50 až 59 le, což v roce 2004 vořilo éměř 30% z celkového poču účasníků. Věková kaegorie 60 až 69 le zahrnovala v roce 2004 přes 13% ze všech účasníků. Na druhou sranu nejmladší věková skupina 18 až 29 le zaujímala v roce 2004 pouze 11%. Rozdíl mezi počy účasníků penzijního připojišění vzhledem k pohlaví je neparný. V relaivním vyjádření se ženy na celkovém poču účasníků v roce 2004 podílely 53% a muži 47% proceny. 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2.q 2008 Penzijní připojišění 1) Poče v is. 2 372 2 534 2 622 2 740 2 964 3 280 3 594 3 936 4 079 Přírůsek (%) 18,3 6,8 3,5 4,5 8,2 10,7 9,6 9,5 3,6 Nová penzijní připojišění Poče v is. Penzijní připojišění s vedenými příspěvky zaměsnavaele 2) Poče v is. Sání příspěvky poukázané za příslušný rok Objem (mld. Kč) Příspěvky účasníků 3) Objem (mld. Kč) 595 408 347 372 436 544 559 586 312 416 568 650 728 802 928 1 029 1 130 1 185 2,5 2,7 2,8 2,9 3,2 3,7 4,2 4,7 2,5 9,1 10,0 11,0 11,8 13,1 15,3 17,6 20,2 10,4 Průměrný měsíční sání příspěvek Objem (Kč) 89,0 90,2 89,8 96,0 97,7 98,7 102,2 103,9 105,2 Průměrný měsíční příspěvek účasníka 3) Objem (Kč) 326,2 340,3 354,0 383,7 396,8 407,9 430,8 449,7 439,0 1) Sav ke konci období; údaj uvádí poče připojišění, kerá nejsou v evidenci ukončena 2) Sav ke konci období od účinnosi novely zákona č. 42/1994 Sb. zákonem č. 170/1999 Sb. (od 3.8.1999) 3) Příspěvky účasníků jsou uvedeny bez příspěvků placených zaměsnavaeli za své zaměsnance 4) Veškeré údaje jsou z evidence Minisersva financí a jsou uvedeny za příslušné období (pokud není uvedeno jinak) Tabulka 2: Informace o penzijním připojišění Zdroj: Minisersvo financí ČR 12
1.3.2. Zákon o penzijním připojišění Penzijní připojišění, keré je upravováno zákonem č.42/1994 Sb., prošlo za črnác le své exisence nemalým vývojem. V roce 1999 došlo k první změně, když byla posunua minimální věková hranice pro výplau sarobní penze, a ím i jednorázového vyrovnání, z 50 na 60 le věku účasníka. Zároveň byla prodloužena doba rvání penzijního připojišění nuná pro výplau éo penze z 36 na 60 měsíců. Za ěmio kroky sála snaha o posílení dlouhodobého charakeru penzijního připojišění. Dále bylo prodlouženo zvýšení sáního příspěvku o 25% z prvních dvou le na celou dobu rvání penzijního připojišění. Další změnu, novelu zákona o penzijním připojišění, přinesl vsup do Evropské unie v roce 2004. Hlavními změnami byla možnos připojišění cizinců, zasílání dávek do zahraničí, rozšíření možnosí invesování penzijních fondů, zvýšení jejich informační povinnosi vůči klienům a zpřísnění podmínek pro získání nároku na sarobní penzi. Podívejme se podrobněji na podmínky, keré nám zákon vymezuje. Účasníkem penzijního připojišění může bý fyzická osoba sarší 18 le s rvalým pobyem na území České republiky nebo na území jiného členského sáu Evropské unie, za podmínky, že je účasníkem důchodového pojišění nebo veřejného zdravoního pojišění v České republice. Účas v penzijním připojišění a výběr penzijního fondu je dobrovolný, lze však bý připojišěn v jednom okamžiku pouze u jednoho fondu. Penzijní fond musí mí formu akciové společnosi se sídlem v ČR, se základním jměním v minimální hodnoě 50 miliónů Kč, vořeným pouze peněžiými vklady, keré musí bý splaceny před podáním žádosi o udělení povolení ke vzniku a činnosi penzijního fondu. Součásí žádosi o povolení musí bý i návrh sauu, sanov a penzijního plánu penzijního fondu. Sau fondu vymezuje rozsah činnosi fondu, zaměření a cíle invesiční poliiky penzijního fondu, zásady hospodaření, způsob použií zisku, obchodní firmu a sídlo depoziáře, a způsob zveřejňování zpráv o hospodaření s majekem penzijního fondu a o změnách sauu spolu s informací o om, kde lze yo zprávy obdrže. Důležiý je i dodaek, že sau musí bý každému přísupný a účasník s ním musí bý seznámen před podpisem smlouvy. U příspěvků účasníka se sanovuje jejich výše na kalendářní měsíc, a nesmí bý nižší než čáska zakládající nárok na sání příspěvek. Příspěvek nemůže bý placen účasníkem současně u více penzijních fondů. Ze sáního rozpoču se pak poskyují příspěvky ve prospěch účasníků, jejichž výše závisí na výši příspěvku účasníka. Pro dosažení minimální hodnoy sáního příspěvku 50 Kč je nuné měsíčně přispíva 100 Kč, pro maximální výši sáního příspěvku 150 Kč pak minimálně 500 Kč měsíčně. Dělení zisku probíhá ak, že nejméně 5% připadá do rezervního fondu, 10% se rozdělí podle rozhodnuí valné hromady a 85% se použije ve prospěch účasníků a osob, jejichž penzijní připojišění zaniklo v roce, za kerý se zisk rozděluje. V případě, že hospodaření penzijního fondu skončí zráou, použije se ke kryí zráy nerozdělený zisk z minulých le a rezervní fond. Pokud ani yo zdroje nesačí, musí bý zráa kryá 13
snížením základního kapiálu. Zákon dále vymezuje kam a v jaké výši mohou bý prosředky penzijního fondu invesovány. Dozorem nad hospodařením penzijního fondu je pověřena Česká národní banka, kerá zjišěné skuečnosi uvádí každoročně ve výroční zprávě o výkonu dohledu nad finančním rhem. 1.3.3. Penzijní plán Penzijní plán je dokumen, kerý musí bý součásí smlouvy o penzijním připojišění, a ve kerém se dle zákona sanovují především druhy penzí a osaních dávek penzijního připojišění, způsob výpoču poskyovaných dávek, důvody vypovězení penzijního připojišění, výše příspěvků, podmínky odkladu nebo přerušení placení příspěvků a změny výše příspěvků, pravidla způsobu placení příspěvků a posup při jejich neplacení a v neposlední řadě i zásady podílu účasníků a příjemců penze na výnosech hospodaření penzijního fondu. Penzijní plán je sesavován jako příspěvkově definovaný, jde-li však o invalidní penzi, může bý definován i dávkově. Podmínky pro přiznání jednolivých dávek jsou dle již zmíněných novel následující: Penze doživoní pravidelná výplaa peněz. Výše vyplácené čásky se počíá dle pojisně maemaických zásad a závisí na úhrnu příspěvků zaplacených ve prospěch účasníka včeně sáních příspěvků, podílu účasníka na výnosech hospodaření penzijního fondu a věku, od kerého se poskyuje penze. Druhy penze: sarobní základní dávka musí bý sjednána vždy. Podmínky nároku jsou dosažení minimálně 60-i le věku a placení příspěvků po dobu minimálně 60-i měsíců invalidní podmínkou je přiznání plného invalidního důchodu z důchodového pojišění a doba placení příspěvků musí bý minimálně 60 měsíců. výsluhová podmínkou nároku je placení příspěvků po dobu nejméně 180 měsíců pozůsalosní je vyplácena v případě smri účasníka předem určené osobě. Doba placení příspěvků musí bý nejméně 36 měsíců. Jednorázové vyrovnání si může účasník zvoli namíso doživoní penze, po splnění již dříve uvedených podmínek. Jeho výše závisí na úhrnu příspěvků zaplacených ve prospěch účasníka včeně sáních příspěvků, podílu účasníka na výnosech hospodaření penzijního fondu. Odbyné náleží účasníku, jehož pojišění zaniklo, výpovědí nebo dohodou,za podmínky, že zaplail alespoň 12 kalendářních měsíců a není mu vyplácena penze a nedošlo-li k převodu příslušných prosředků do penzijního připojišění u jiného penzijního fondu. Nebo náleží fyzickým osobám určeným ve smlouvě, pokud účasník zemřel a nebyla mu vyplácena penze a nevznikl nárok na pozůsalosní penzi. Na rozdíl od jednorázového vyrovnání se sanoví jen jako úhrn příspěvků zaplacených účasníkem a podílu na výnosech penzijního fondu. Co se ýká sáních příspěvků, y jsou penzijním fondem vráceny Minisersvu financí. 14
2. Penzijní reforma O nunosi penzijní reformy jsme se zmínili již v minulé kapiole a nyní se zaměříme na o, co se od penzijní reformy očekává, jak by měla probíha a jaké výhody a nevýhody s sebou eno ří pilířový sysém přinese. Možnosí jak převoři sávající důchodový sysém je jisě mnoho, avšak odborníci spolu s vládou se shodli, že z hlediska finančního a z hlediska nunosi právních úprav ve sávajících zákonech, bude nejvýhodnější převoři současný dvou pilířový sysém na ří pilířový. Teno sysém předpokládá kromě sáního důchodového pojišění a dobrovolného penzijního připojišění i exisenci řeího pilíře, jehož podsaou je invesování prosředků účasníků do podílových fondů. Celá reforma byla rozdělena do ří eap. První eapa se ýká celého sysému důchodového a sociálního zabezpečení. Jedná se především o paramerické změny již sávajícího sysému. Hlavní změny jsou zvýšení důchodové hranice na 65 le (v základu u mužů i žen), posupné prodloužení doby pojišění pro vznik nároku na sarobní důchod na 35 le, nové vymezení invalidiy (řísupňový sysém) a zrušení doby sudia získané v období po 31. 12. 2009 jako náhradní doby pojišění, s výjimkou posuzování nároku na invalidní důchody. Cílem éo eapy je sníži dopady budoucího negaivního demografického vývoje na sání rozpoče. Podle odhadů by se v roce 2050 eno rozdíl mezi nereformovaným a reformovaným sysémem mohl pohybova kolem 1,2% HDP. Tao čás reformy vejde v planos 1. 1. 2010. Druhá eapa spočívá v oddělení majeku klienů od majeku akcionářů u sysému dobrovolného důchodového pojišění a možnosi poskyova různě zaměřené penzijní plány, včeně garanovaných. Dále by se měla zvýši moivace k vyšším příspěvkům jak ze srany kliena ak ze srany zaměsnavaele a k čerpání doživoní penze namíso jednorázového vypořádání či finanční anuiy. Navíc přináší garanci důchodu ve výši živoního minima. Mimo jiné dojde aké ke zrušení garance nulového zhodnocení a vyvoření zvlášního úču důchodové rezervy, jehož prosředky bude možné kapializova např. nákupem dluhopisů. Třeí eapa důchodové reformy by pak měla spočíva ve vyvoření dalšího dobrovolného pilíře důchodového sysému, založeného na sysému op-ou, kdy by měl každý právo při přechodu do ohoo pilíře přesměrova čás odvodů z veřejného důchodového sysému (bude se jedna nejspíše o 2% 5% ) do soukromých fondů s ím, že sám z vlasních zdrojů odvede do ěcho soukromých fondů ješě další 1% 2%. Výhody: růs míry úspor díky zhodnocení, keré umožňuje čásečně oevřený rh, ím by i naspořená čáska byla výrazně vyšší než v současném sysému individuální zodpovědnos, kdy každý by byl určiou mírou zodpovědný za zabezpečení svého sáří poziivní dopad na rh práce v podobě moivace k servání v zaměsnání 15
Nevýhody vysoká inflace by mohla mí nepříznivý dopad na reálnou hodnou důchodů snižuje míru solidariy ve společnosi chybí sání garance a může zde docháze k zv. morálnímu hazardu skryá a nepředvídaelná rizika spojená s invesováním na kapiálovém a finančním rhu V rámci deailnějšího popisu jednolivých eap rozebereme v další podkapiole dopady návrhů druhé eapy, keré byly předloženy odborníky k projednání vládě ČR, na účasníky a penzijní fondy. 2.1. Druhá eapa penzijní reformy 2.1.1. Vyvoření rezervního důchodového fondu Důvodem vyvoření rezervního důchodového fondu je nashromáždění dosaečného množsví vlasních zdrojů sáu pro účely finančního kryí nuných kroků důchodové reformy. Má zejména slouži na kryí výpadku čási příjmů důchodového sysému po zavedení op-ou, kdy si účasníci budou moci dobrovolně vybra mezi prvním pilířem nebo kombinovanou formou prvního pilíře se soukromými fondy. Podle předběžných kalkulací Minisersva financí by měl bý eno rezervní fond financován z kapializace výnosů z privaizace, dividend z účasí sáu v podnicích (např. ČEZ dle posledního rozhodnuí si sá ponechá podíl v éo společnosi a nedokončí dříve uvažovanou privaizaci) a čásečně i podílu na někerých jiných daňových sysémech, keré by byly přesouvány do důchodového sysému. K 1. březnu 2008 nabyl účinnosi zákon č. 26/2008, kerým se měnila rozpočová pravidla. Úprava obsažená v 36 ods.3 rozpočových pravidel obsahuje i zřízení jednoného úču rezervy pro důchodovou reformu, na kerý se převedou zůsaky již v minulosi zřízených účů sáních finančních akiv, a o zvlášního úču důchodového pojišění, na kerý se převádí případné přebyky sáního rozpoču z ročního hospodaření důchodového pojišění, a úču na kerém se sousředí výnosy z dividend z držby majekových účasí ve prospěch důchodové reformy. Meodika vorby rezervních prosředků se nemění, avšak prosředky z ohoo fondu se mohou využíva výlučně na základě rozhodnuí Poslanecké sněmovny na návrh vlády a pouze na kryí nákladů spojených s realizací důchodové reformy. Dále povoluje finanční invesování prosředků na omo úču, s cílem rozmnožování prosředků rezervy na důchodovou reformu a o výhradně do bezrizikových dluhopisů sáu a cenrálních bank zemí vymezených člensvím v OECD. V průběhu března 2008 byly prosředky z ohoo úču invesovány do poukázek České národní banky. K 3. dubnu 2008 činila ao invesice v nominální hodnoě 7,12 mld. Kč a sav peněžních prosředků na úču Rezerva na důchodovou reformu činil 83 011,25 Kč. 16
2.1.2. Oddělení majeku penzijních fondů od majeku účasníků Důvody pro oddělení majeku Podle současné právní úpravy je penzijní fond akciovou společnosí, kde veškerý majeek je ve vlasnicví penzijního fondu a účasníci jsou zde pouze v posavení věřielů. Do akového majeku paří mimo jiné příspěvky účasníků, řeích osob, sání příspěvky a zhodnocení ěcho prosředků. To s sebou přináší celou řadu problémů, keré jsou pořeba odsrani, ak aby penzijní pojišění plnilo svoji základní funkci doplňkového pilíře průběžného sysému. V případě úpadku Přesože dle poslední právní úpravy insolvenčního zákona, kerá je v účinnosi od 1. ledna 2008, jsou v případě úpadku penzijního fondu nároky účasníků posavené na úroveň pohledávek za majekovou podsaou, může nasa siuace, kdy ne všechny nároky účasníků penzijního fondu budou v rámci konkursu uspokojeny. Řešení: Po oddělení majeku bude jasně dáno, kerý majeek je vlasnicvím společnosi, a kerý účasníků penzijního připojišění. Tím se dosáhne oho, že majeek účasníků nebude spada do konkursní podsay. Neomezená výše nákladů Výše nákladů penzijního fondu není dnes nijak omezena. To v praxi vede, při navyšování nákladů, k menším výnosům připisovaným jak účasníkům penzijního připojišění ak akcionářům. Řešení: I eno problém reforma vyřeší. Po oddělení majeku se oiž penzijní fondy více přiblíží svým fungováním fungování invesičních společnosí, kdy za správu majeku účasníků budou inkasova úplau, jejíž horní mez bude zákonem sanovena a za její překročení budou sankcionovány. Nízká kapiálová přiměřenos Vzhledem k důchodové opci, kerou dnes penzijní fondy poskyují, se svým fungováním a podsaou blíží živoní pojišťovně. Současná právní úprava na ně ovšem neklade sejné požadavky na kapiálovou přiměřenos a vorbu echnických rezerv, jaké klade na živoní pojišťovny. Za ímo problémem sojí i fak, že penzijní připojišění není vyhraněným produkem. Probíhá oiž dvěmi fázemi. Ve spořící fázi se hospodářsky projevuje jako produk kolekivního invesování, avšak během výplaní fáze vykazuje znaky pojisného produku (v éo fázi se u něj projevuje značné pojisné riziko, keré je způsobeno mimo jiné i negaivním výběrem). Řešení: V rámci penzijní reformy se vybuduje paralelní sysém penzijních společnosí, keré již budou mí oddělený majeek, a do kerých bude moci vsoupi kdokoliv ze sávajícího sysému. Sarý sysém penzijních fondů poběží dále souběžně s novým, avšak bude uzavřený vůči novým účasníků. Tyo penzijní společnosi již nebudou moci vypláce doživoní penze. Tao funkce, a s ím i pojisná rizika, bude převedena na živoní pojišťovny. Nově budou moci penzijní fondy děla pouze jednorázová vypořádání a důchody na dobu jisou. Tím se vyřeší nynější problém s mnohdy nedosaečnou výší kapiálu. 17
Garance nezáporného ročního zhodnocení U penzijního fondu je, jak již jsme uvedli v předchozích kapiolách, vyžadován nezáporný roční hospodářský výsledek, kdy případná zráa je hrazena z rezervního fondu a v případě jeho vyčerpání pak z prosředku akcionářů (snížením akciového kapiálu). Je zřejmé, že o není v zájmu akcionářů, a proo je omuo požadavku do jisé míry podřízena i invesiční sraegie penzijního fondu, kerá vede k subopimálnímu zhodnocení prosředků účasníků, kdy méně konzervaivní invesiční sraegie by mohla v dlouhodobém invesičním horizonu zhodnoi prosředky účasníků lépe. Too je zároveň jeden z důvodů, proč nejsou účasníci ochoni přispíva do penzijního fondu vyššími čáskami. Za první dva kvarály roku 2008 činil průměrný měsíční příspěvek účasníka (bez příspěvku zaměsnavaele) 439 Kč, což je sále méně než hranice 500 Kč pro maximální sání příspěvek 150 Kč. Řešení: Základním zdrojem zisku pro nově vzniklé invesiční společnosi bude obhospodařování majeku účasníků za úplau. Účasník zároveň ponese i všechna rizika spojená s invesicemi svého majeku. Návrh, kerý bude vládě předložen, počíá se řemi pevně sanovenými invesičními sraegiemi, keré se budou liši svojí rizikovosí (a ím i výnosnosí). Každý si pak bude moci zvoli pro něj nejopimálnější formu zhodnocování svých prosředků. Od ohoo kroku si odborníci mimo jiné slibují i rosoucí výši příspěvků účasníků. Základní problémy spojené s oddělením majeku Oddělení majeku penzijních fondů, ač se zdá bý jednoduché, přináší řadu složiých oázek. Složios spočívá ve sávající srukuře akiv a pasiv a ve způsobu rozdělování zisku penzijních fondů, kdy míra reálného zhodnocení akiv penzijních fondů byla dlouhodobě neodpovídající vykazovaným ziskům a zhodnocení připisovanému účasníkům. Zásadním problémem edy je, že souče hodnoy všech akiv ve formě cenných papírů držených penzijními fondy, vkladů pokladní hoovosi a osaních pohledávek nedosahuje ani výše sumy prosředků účasníků penzijních fondů. Na uo sumu by se akiva dosala až po započení všeho hmoného majeku penzijních fondů. Nehledě nao, že při ocenění reálnou hodnoou by daný rozdíl, vzhledem k účením sandardům používaným penzijními fondy, byl daleko věší. Dalším obrovským problémem jsou náklady příších období (již zaplacené akviziční náklady na získání nových účasníků), keré na sraně akiv penzijních fondů vořili k 30.6.2008 3,8 mld. Kč. Reálná hodnoa éo bilanční položky je však nulová. To vše by při jednorázové ransformaci penzijních fondů na penzijní společnosi způsobilo značné problémy. Při oddělení majeku by yo rozdíly museli doplai buď akcionáři nebo účasníci. Obě srany se však omu brání, a o i přes o, že náklady příších období souvisí s fungováním penzijních fondů, o němž rozhodují akcionáři a ne účasníci, a udíž by právě oni na sebe měli vzí yo náklady. Jak je vidě problém oddělení majeku s sebou přinesl i nunos změny celého sysému penzijního připojišění. Ze všech varian, keré předložili zásupci jednolivých zájmových skupin, byla vybrána variana vyvořená Minisersvem financí ve spolupráci s Českou národní bankou, kerá předpokládá vznik zv. paralelního sysému. Teno návrh je podrobněji rozebrán v dalším exu. 18
Z osaních varian by měla bý zmíněna variana předložená Asociací penzijních fondů, jejíž hlavní myšlenkou je zavedení ransformačního fondu, kerý by byl složen pouze ze sávajících členů a jejím správcem by byla penzijní společnos. Dělení akiv současných penzijních fondů by proběhlo poměrovou meodou. V předložené analýze byl použi poměr 85:15 ve prospěch ransformačního fondu (85% nákladů příších období by se převedlo na ransformační fond). Teno návrh je výhodný pro akcionáře penzijních fondů a jeho snahou je převés co nejvěší čás nákladů na účasníky. Návrh na oddělení majeku předložený vládě k projednání Návrh variany oddělení majeku penzijních fondů předložený vládě byl vyvořen dle následujících zásad: minimalizova poškození účasníků penzijního připojišění výsledné řešení by mělo bý, jasné, provedielné, srozumielné a korolovaelné nunos přecenění všeho majeku dle ržních cen s využiím experních posudků Současné penzijní fondy zůsanou zachovány, ale nebudou už moci přijíma nové členy. Přechod sávajících klienů ze sarého na nový sysém bude povolený. Noví klieni již budou auomaicky zařazeni do nového sysému penzijních společnosí, keré bude možno založi, dle nové právní úpravy, vedle sávajícího sysému penzijních fondů. Tao paralelní srukura by měla zmírni dopady oceňovacích rozdílů a nákladů příších období. Záměrem návrhu je, aby nově založené penzijní společnosi byly ze zákona povinny voři rezervy, keré by poé byly použiy na umořování nákladů příších období penzijních fondů. Souběžné fungování obou sysémů by pak mělo zajisi dosaek času na vyvoření ěcho rezerv. Penzijní společnosi budou fungova na podobném principu jako invesiční společnosi. Jejich činnos bude zákonem omezena na správu účasnických fondů včeně sáního příspěvku a zprosředkování doživoní penze u vybrané živoní pojišťovny. Dále bude penzijní společnos účova o savu pohybu majeku, závazcích, nákladech a výnosech a výsledku hospodaření v účasnických fondech. Dohled bude vykonáva Česká národní banka ve spolupráci s Minisersvem financí, keré bude konrolova poskyování a vracení sáního příspěvku. Účasnický fond je definován jako soubor majeku náležející účasníkům penzijního připojišění a nebude mí sau právnické osoby. V návrhu se předpokládá, že každá penzijní společnos bude moci mí více účasnických fondů s různou invesiční sraegií. V zákoně by pak byly definovány ři ypy účasnických fondů dle invesiční sraegie, spolu s jejich invesičními limiy s ím, že každá penzijní společnos bude moci zakláda i jiné ypy. Jednolivé účasnické fondy pak budou mí svůj sau, ve kerém bude sanoveno invesiční zaměření fondu. Klien by pak mohl, na základě jedné smlouvy o penzijním připojišění, rozloži své prosředky do více účasnických fondů. Dále se uvažuje o odděleném vedení sáních příspěvků v konzervaivním účasnickém fondu (skládal by se pouze z vládních dluhopisů a jiných bezrizikových cenných papírů), a o vzhledem k nunosi vrace sání příspěvek v nominální výši. Podíl účasníka na majeku účasnického fondu bude vyjádřen počem penzijních jednoek, kerý se bude 19
měni v závislosi na výši zaplacených příspěvků a invesičních výnosech účasnického fondu. Osobní penzijní úče je úče, na kerém bude penzijní společnos evidova majeek a doposud neinvesované prosředky účasníka. Bude rozdělen na dva podúčy, a o na peněžní úče, na němž se budou evidova došlé příspěvky a majekový úče, na němž se budou evidova nakoupené penzijní jednoky. Zrušení garance alespoň nulového zhodnocení prosředků účasníků je daní za možnos vyššího zhodnocení prosředků účasníka.v novém sysému ponese účasník invesiční riziko spočívající v možnosi kolísání hodnoy vložených prosředků oběma směry. Úplaa za správu účasnických fondů by dle návrhu Minisersva financí měla bý pouze jediná. Měla by v sobě zahrnova veškeré náklady na zprosředkování, správu porfolia a činnos depoziáře. Výplaní fáze Současný sysém zabezpečuje kromě jednorázového vypořádání i doživoní penzi. To, jak jsem už uvedl dříve, s sebou nese značná rizika. Proo, dle nového návrhu, by penzijní společnosi mohly poskyova pouze jednorázové vyrovnání nebo důchod na dobu jisou (horní i dolní hranici éo doby bude sanovova zákon). Zákon by pak měl umožni penzijním společnosem, v případě zájmu kliena, sjedna jeho jménem doživoí důchod u živoní pojišťovny. Důvody k omuo kroku jsou zřejmé. Pokud by oiž chěla penzijní společnos poskyova doživoní penzi, musel by voři rezervy a ím by se zrail smysl oddělení majeku. Proo bude ao úloha, po dohodě Asociace penzijních fondů a Minisersva financí, převedena na živoní pojišťovny. Účasník edy po vzniku nároku na penzi bude moci zažáda penzijní společnos o převedení naspořených prosředků na smlouvu o důchodovém pojišění s pojišťovnou ve formě jednorázového pojisného. Podpora čerpání doživoní penze a moivace účasníků a zaměsnavaelům k vyšším příspěvkům jsou aké součásí návrhu, neboť aby fungovalo penzijní připojišění jako plnohodnoný řeí pilíř, kerý má ulevi průběžně placenému sysému, musí bý vklady účasníků daleko vyšší než doposud a musí bý podpořena jeho zajišťovací funkce. Snaha vlády je podpoři zajišťovací charaker produku. Již v dnešním sysému je jednorázové vypořádání znevýhodněno oproi doživoní penzi dodaečným zdaněním příspěvků zaměsnavaele, kerý dosahuje nezanedbaelných čásek. Přeso lidé ve věšině případů volí právě jednorázové vypořádání. Je o dáno hlavně nízkými příspěvky a ím i nízkými naspořenými čáskami. Vládní návrh předkládá dvě možnosi, jak moivova účasníky k volbě doživoní penze. Buďo daňově, kdy by doživoní penze byla zvýhodněna před důchodem na dobu jisou a a před jednorázovým vypořádáním, nebo dodaečným sáním příspěvkem, kerý by byl připsán účasníkům, keří si zvolí doživoní penzi. Bohužel moivova účasníky a zaměsnavaele k vyšším příspěvkům není ak jednoduché. A analýzami se ukázalo, že jakákoliv změna výše sáních příspěvků a změna limiů daňového zvýhodnění, by byla příliš nákladná, a účinek by nebyl zas ak výrazný. Proo návrh je, ponecha všechny paramery ak jak jsou, a jedinou moivací k vyšším příspěvkům edy zůsává možnos lepšího zhodnocení prosředků. 20
3. Teoreický základ K omu, abychom mohli přisoupi k vyvoření samoného modelu, je nuné shrnou zde někeré eoreické poznaky, keré poé prakicky využijeme. Někeré z nich se překrývají s poznaky uvedenými v práci Pavla Koudelky [13]. Jedná se především o modelování vývoje finančních akiv. Je nuné si však uvědomi, že pokud chceme porovnáva výsledky našeho modelu s výsledky modelu Pavla Koudelky, je nezbyné aby oba zmíněné modely měli sejné vsupy. Těmi jsou právě vývoje finančních akiv. V našem modelu budeme předpokláda, že každý z účasníků si při vsupu do penzijní společnosi bude moci zvoli jednu ze ří daných invesičních sraegií. Ty se mezi sebou budou liši jak rizikovosí ak i výnosnosí. Budeme uvažova porfolio složené pouze ze dvou finančních insrumenů. Prvním z nich budou akcie, keré by měly reprezenova u rizikovější a zároveň i výnosnější formu invesice. Druhou složku porfolia pak budou voři sání dluhopisy, keré předsavují bezrizikovou invesici. Pro náš model edy pořebujeme zná vývoj ceny akcií, dluhopisů a výnos z hoovosi na běžném úču, kerý poé budeme využíva při diskonování budoucích peněžních oků. V současné době je snaha zavés s rhem konzisenní oceňování závazků vyplývajících z pojisných smluv ak, aby bylo podobné s oceňováním insrumenů finančních rhů. Ty se oceňují reálnou hodnoou. Ta je podle IASC definována jako "čáska, za níž lze vyměni akivum, nebo vypořáda závazek mezi dobře informovanými, souhlasícími a nezávislými sranami". Budeme předpokláda rh bez ransakčních nákladů. Ohodnocení rizika je vyjádřeno rizikovými přirážkami k jednolivým rizikům a pro diskonování se použije bezriziková úroková míra. 3.1. Meoda rizikově neurálních výpočů V 70. leech 20. soleí přišli pánové Meron, Black a Scholes s novou formou oceňování akiv a závazků obchodovaných na finančních rzích, kerá je založena na meodě rizikově neurálních výpočů. Dle éo, eorie je závazek oceňován rhem jako sřední současná hodnoa příslušného oku. Při výpoču sřední hodnoy je nejdůležiějším krokem přechod od reálné, k pravděpodobnosní míře oceňovací. To znamená, že je o přechod k modelu, kde kromě modelu přirozeného vývoje známe ješě model oceňovací. Přiom se používá pravděpodobnosní míra neurální k riziku. Nebo-li míso pravděpodobnosní míry P, vyjadřující skuečná očekávání rhu, přejdeme k ekvivalení rizikově neurální pravděpodobnosní míře Q, vyjadřující rizikové přirážky vyžadované rhem pro obchodování akiva. Sřední hodnoa peněžního oku počíaná při pravděpodobnosní míře Q je pak sejná, nezávisle na volailiě a rozdělení daného oku. Exisence pravděpodobnosní míry Q, ekvivalenní s přirozenou pravděpodobnosní mírou P, je zaručena pouze za určiých podmínek. Daným předpokladem pro exisenci je rh na němž neexisuje arbirážní obchod. Tedy rh, na kerém není možné sesavi porfolio s nulovou invesicí v čase 0, pro keré zráa nasane s nulovou pravděpodobnosí a s kladnou pravděpodobnosí exisuje bezrizikový zisk. 21
3.1.1. Základní pojmy Oceňování finančních násrojů se provádí na základě informace, kerá je v době oceňování k dispozici. Dále předpokládejme, že se nacházíme v čase. Informace v čase je dána neklesajícím sysémem jevových polí (sigma-algeber) F = { F, 0 } F je vořeno jevy, u nichž je v čase známo zda nasaly či nenasaly. Zavádíme ím do jevového pole časovou dynamiku informaci pro pozorovaele, podle keré se rozhoduje. Dále uvažujme pravděpodobnosní prosor ( Ω, F, P ), kde P je přirozená pravděpodobnosí míra, reprezenující skuečná očekávání rhu. Pak zavádíme Obecnější definici Wienerova procesu { W, 0}, vzhledem k sousavě jevových polí F = { F, 0 } ako: 1. Pro 0, s > 0 mají přírůsky W+ s W normální rozdělení N(0,s) 2. Pro 0 je hodnoa W na základě F známá (nebo-li W je F měřielná) a pro u > je Wu W přírůsek nezávislý na jevech z F 3. { W, 0} má spojié rajekorie a W 0 = 0 s.j. 1 2 n Difúzní proces (Ioův proces) - Náhodný proces X = ( X, X,... X ), [ 0 T ] nazýváme difúzní proces pokud má sochasický diferenciál ve varu: 1 n kde a (, x) a (, x),... a (, x) (, X ) d + b(, X ) dw, [ 0 T ] dx = a,, ( ) T =,...vekorová funkce, ( ) ( ) bx, = b x,,...maicová funkce, [ ] i, j n n i= 1, i= 1 n 0, T, x R a obě funkce jsou lokálně inegrovaelné. 1 r ( ), W = W,... W je r-rozměrný Wienerův proces vzhledem k časové srukuře F, 0, T. dané neklesající sousavou jevových polí { [ ]} Teno model se skládá z drifové složky a(, X ) d modelující rend a difúzní složky b (, X ) dw modelující volailiu. V dalším výkladu budeme uvažova pouze jednorozměrný případ. Geomerický Brownův pohyb Nechť { W, 0} je Wienerův proces, pak W sochasický proces { X, 0}, definovaný X = e se nazývá geomerický Brownův pohyb. Pro nás bude důležiý především pro modelování cen akiv. Označme si { P, 0} cenu finančního akiva v čase 0, kerá se chová jako 22
geomerický Brownův pohyb. Ten můžeme vyjádři jako Ioův proces následujícího varu dp = µ Pd+ σpdw. V praxi však časo modelujeme až logarimickou cenu p = ln P. Po aplikaci logarimické ransformace pomocí Ioova lemmau dosaneme 2 σ dp = dln P = ( µ ) d+ σdw, 0. 2 2 σ Vidíme edy, že ao cena má drifový koeficien µ a difuzní koeficien σ. 2 Inegrováním pak dosáváme 2 σ p = ln P = p0 + ( µ ) + σw, 0, 2 odkud odlogarimováním dosáváme původní cenu 2 ( µ σ ) + σw 2 P, 0 = P0 e. { Z, [0, T]} nazveme F -adapovaný proces, když Z jsou F -měřielné náhodné veličiny pro každé [0, T] a { F, [0, T]} je filrace. reálné Samofinancující porfolio je porfolio jehož změna ceny je realizovaelná změnou cen jeho složek a přiom není nuné měni jeho složení. Maemaicky vyjádřeno: Označme B = e cenu jednokového množsví bezrizikového dluhopisu. Mějme porfolio jehož cenu v čase označíme V. Too porfolio se v čase skládá z množsví ϕ, ψ cenného papíru a bezrizikového dluhopisu (oo množsví předsavuje porfoliovou sraegii). Pak plaí, že V r = ϕ S + ψ B Pro jednoduchos předpokládejme, že ϕ, ψ jsou spojié funkce v. Porfolio pak nazveme samofinancující, když, dv = ϕ ds + ψ db. 23
Replikační porfolio je samofinancující porfolio poskyující replikaci výplay 0, T oceňovaného insrumenu, jehož hodnoa je v každém časovém okamžiku [ ] rovna hodnoě závazku v oméž čase. Maringal Spojiý proces je maringalem vzhledem k míře Q právě ehdy, když EQ ( Z ) < pro všechna a zároveň EQ ( Z Fs) = Zs pro 0 s Q P - pravděpodobnosní míry Q a P jsou ekvivalenní, pokud jsou definovány na sejném prosoru Ω a plaí A Q( A) P ( A) Ω, > 0 > 0 V dalším exu se omezíme jen na inerval [ 0,T ] a sysém jevových polí generovaný Wienerovým procesem W, edy F = σ{ W, s 0 }. 3.1.2. Rizikově neurální pravděpodobnosní míra s Pro ukázku rizikově neurálních výpočů nyní použijeme Black-Scholesův model. Důležié je uvés si zde předpoklady ohoo modelu. Podkladového akivum nevyplácí žádné dividendy a jeho cena se vyvíjí podle geomerického Brownova pohybu. Obchodování s podkladovým akivem je koninuální a jeho cenu je možné sanovi v každém okamžiku. Neexisence ransakčních nákladů a daní. Zapůjčení hoovosi je možné za konsanní bezrizikovou úrokovou míru. Všechna akiva jsou perfekně dělielná. Na rhu neexisují příležiosi pro arbiráž. Je umožněn prodej podkladového akiva se záměrem pozdější koupě (zv. prodej na kráko, shor sell). Sejně jako v našem modelu, uvažujme i zde porfolio vořené pouze akcií reprezenující rizikovou složku porfolia a bezrizikovým jednokovým dluhopisem. Cena akcie S a dluhopisu B v čase 0 se řídí danými rovnicemi: B = e r 1 2 σ W + ( µ σ ) 2 S = e, S = 1, 0 kde σ je volailia (koeficien difúze), µ je koeficien lokálního posunuí (drif) a r bezriziková inenzia úročení nezávislá na čase. 24
Hodnoa závazku v čase T v závislosi na hodnoě akiva v čase T bude reprezenována inegrovaelnou výplaní funkcí X(T). Naším cílem je ocenění ohoo závazku. To znamená budeme se snaži nají cenu replikačního porfolia K určení hodnoy závazku však pořebujeme nají pravděpodobnosní prosor s mírou ekvivalenní přirozené míře, vzhledem k níž bude proces diskonované ceny akcie maringalem. Maemaicky vyjádřeno, hledáme akový ( Ω, F, Q ), kde Q P a plaí, že Z = B S je maringalem vzhledem k míře Q. 1 Po vyjádření diferenciálu procesu diskonované ceny akcie dz = Z ( σ dw + ( µ rd ) ) a zavedení označení pro ržní cenu rizika γ = ( µ r)/ σ vidíme, že náš model splňuje předpoklady Cameron-Marin-Girsanovy věy. Pak edy exisuje míra Q ekvivalenní k P aková, že proces W = W +γ je Wienerovým procesem vzhledem k míře Q. Diferenciál procesu Z splňuje dz = σ ZdW a proces Z řízený ransformovaným procesem W, je maringalem vzhledem k míře Q. Míra Q je hledaná rizikově neurální míra a je dána vzahem dq = e dp T 1 2 γdw γ T 2 0 Rozepíšeme-li si očekávanou hodnou ceny akcie v čase vzhledem k míře Q ES = ESe r Q Q 0, je zřejmé proč je Q označována jako míra neurální vůči riziku. Její jednoznačnos zaručuje komplenos rhu. Shrnuím všech doposud uvedených fak dosáváme, že na komplením rhu bez arbiráže exisuje právě jedna rizikově neurální pravděpodobnosní míra. 3.1.3. Doplňky Co se ýká předpokladů Black-Scholesova modelu uvedených na začáku, je nuné říc, že věšina z nich není v praxi splněna. Nemůžeme edy rva v určié siuaci na Black-Scholesově modelu, ale je řeba vzí do úvahy ješě princip úspornosi modelu. Ten zjednodušeně říká, že není cílem použí složiý model v případě, kdy můžeme požadovaného výsledku dosáhnou i využiím jednoduššího modelu. Předpoklady nuné pro exisenci právě jedné rizikově neurální pravděpodobnosní míry nejsou vždy splněny. Na nekomplením rhu oiž exisuje více akových pravděpodobnosních rizikově neurálních měr, a je edy nuné zvoli jednu konkréní. Obvyklá meoda bývá volba rizikové přirážky, kerá odpovídá neržním rizikům. 25
3.2. Model okamžié úrokové inenziy K modelování budoucího vývoje úrokových měr budeme využíva difúzních modelů okamžié úrokové inenziy. Uvažujme bezrizikový bezkuponový dluhopis na časovém inervalu [0,T]. Tímo dluhopisem máme zaručený příslib jednokové plaby v čase T učiněný v čase 0. Cenu dluhopisu v čase označme PT ( ), T > 0, [0, T], kde PT ( ) je F měřielná náhodná funkce dvou proměnných, T, pro kerou plaí, že PT ( T ) = 1 (což vyjadřuje přislíbenou jednokovou plabu). Definujme průměrnou úrokovou inenziu v čase : R( T) Z oho lze snadno odvodi r ( T ) = r, pro kerou plaí e = P ( T ). log PT ( ) R( T) = r = T Pro dané reprezenuje funkce R ( T) jakožo funkce T výnosovou křivku. Okamžiou úrokovou inenziu pak dosaneme liminím přechodem pro T. r = LimR( T) = Lim = T + T + T T LHospial ' log PT ( ) log PT ( ) Za bezrizikové akivum budeme dále předpokláda referenční akivum B, jehož vývoj bude voři náhodný proces { B, [0, T ]}. Bude se jedna o kumulovaný výnos z půjčování na nekonečně krákou dobu, kde funkci úrokové sazby nahrazuje úroková inenzia r. To znamená, že přírůsek z do +Δ z jednokové čásky je r d. Poom db splňuje rovnici: db Pak hodnoa B referečního akiva v čase je = r B d, B = 1 0 B 0 = e rds s B V čase edy musíme mí množsví referenčního akiva, a o vzhledem k BT předpokladu jednokového množsví ohoo akiva v čase T. Tudíž plaí B PT ( ) = E F = Ee BT T rds s 0. 26
Mezi neznámější difúzní modely okamžié úrokové inenziy paří model Ho a Lee, Vašíčkův model nebo Hull-Whieův model. Ty všechny jsou podrobněji popsány např. v Mandl [15]. V éo práci podrobněji rozebereme obecný dvoufakorový model úrokové inenziy. Hlavní výhodou ohoo modelu oproi jednodušším modelům je marginalizace možnosi záporných úrokových sazeb, reálnější modelace cen dluhopisů v dlouhých časových horizonech (a o zejména díky posunům po celé délce výnosové křivky) a v neposlední řadě i přesnější kalibrace volailiy modelu dle daného rhu (o je dáno věším počem paramerů modelu). Okamžiá úroková inenzia v omo modelu je dána následující rovnicí: r = ϕ + x + y, (3.1) kde ϕ...funkce zajišťující kalibraci modelu vzhledem k výnosové křivce v čase 0 x, y...sochasické procesy s nulovou sřední hodnoou na počáku mající sochasické diferenciály: dx = axd+ σ dwˆ () 1 1 1 dy = ayd+ σ dwˆ (), 2 2 2 kde a1, a2, σ1, σ 2 jsou kladné konsany a Wˆ ˆ 1(), W2() jsou Wienerovy procesy při rizikově neurální pravděpodobnosní míře Q s korelací danou vzahem dwˆ () dwˆ () = ρd, 1 1 kde ρ je konsana vyjadřující okamžiou korelaci, ρ [ 1, 1]. Pomocí ohoo modelu jsme schopni namodelova vývoj cen bezrizikových dluhopisů s libovolnou dobou splanosi, ale i výnosu na běžném úču, kerý nám poslouží především pro diskonování peněžních oků. Co se ýká dluhopisů, budeme v našem modelu uvažova sání dluhopisy s dobou splanosi 5 le. Důvody vedoucí k éo volbě jsou uvedeny v dalších kapiolách. 3.3. Model ceny akcií Vzhledem k rozmaniosi finančního rhu by bylo dosi složié modelova ceny jednolivých akcií obsažených v porfoliu. Proo v daném modelu budeme uvažova rovnos mezi změnou ceny indexu dané skupiny akcií a výnosem z akcií. Vývoj ceny akciového indexu je možné vyjádři následující sochasickou diferenciální rovnicí ds = S ( rd+ ωdz ()), 27
kde ω je volailia nadvýnosu oproi bankovnímu úču a Z () je Wienerův proces při rizikově neurální pravděpodobnosní míře Q. V daném modelu je možné, po pařičné úpravě, uvažova i další závislosi např. na úrokových mírách. K omu je nuné zavés korelaci s vývojem úrokové inenziy danou vzahem dz dw () = ρˆ d, (3.2) i i kde W (), i = 1,2 jsou procesy řídící vývoj úrokové inenziy. i 3.4. Simulace procesů meodou Mone Carlo K simulaci ceny akcií a úrokové inenziy využijeme meodu Mone Carlo naprogramovanou Pavlem Koudelkou [13] v programovacím jazyce Pascal. Naším cílem bylo využí již oesovaný model vývoje finančních vsupů, kerý by nám umožnil konzisenní porovnání výsledků. Na o, abychom mohli porovna výsledky z našeho modelu s výsledky modelu penzijního fondu vyvořeného v diplomové práci Pavla Koudelky [13], je nezbyné mí sejné vsupy. Tudíž je nuné modelova ceny akcií a úrokovou inenziu pomocí sejné meody. Abychom však mohli simulova sochasické procesy pospané v předchozím exu, musíme přejí k jejich diskrénímu vyjádření. Uvažujme sochasickou diferenciální rovnici dz = ad () + bdw (), kde a (), b () jsou F - adapované náhodné procesy. Pak se výpoče hodnoy procesu Z daného předchozí diferenciální rovnicí, v čase vypoče pomocí následující rovnice. Z ( ) = Z ( ) + a ( )( ) + b ( ) Z, n+ 1 n n n+ 1 n n n+ 1 n n kde Zn, n= 1,2,... je posloupnos nezávislých náhodných veličin s normovaným normálním rozdělením a n, n + 1 jsou dva po sobě jdoucí časové okamžiky v simulaci. Dle diplomové práce Pavla Koudelky [13] bylo pro modelování zvoleno 480 ekvidisanních kroků na rok a doba vývoje byla zvolena 60 le. Tím jsme získali různé scénáře vývoje cen a výnosů jednolivých finančních násrojů, keré se saly vsupy pro náš model penzijní společnosi. 28
4. Model penzijní společnosi Hlavním cílem éo práce je porovna současnou hodnou budoucích zisků připadajících na akcionáře ze sávajících smluv penzijní společnosi (resp. penzijního fondu) ve sarém a novém sysému penzijního připojišění ČR. Jak již bylo uvedeno dříve, hlavní změnou oproi dosavadnímu sysému je oddělení majeku účasníků od majeku penzijní společnosi (akcionářů). Teno krok bude mí vliv jak na hodnou výnosů společnosi ak na hodnou naspořených příspěvků klienů. K omu, abychom oo porovnání mohli provés, bylo nuné vyvoři model penzijní společnosi, kerý bude fungova podle nově zákonem sanovených podmínek. Výsledky vypočené ímo modelem pak porovnáme s výsledky modelu současného sysému penzijního připojišění vyvořeného v diplomové práci Pavla Koudelky [13]. Oba dva modely využívají meodu rizikově neurálních výpočů za předpokladu exisence rizikově neurální míry používané oběma sranami ransakce pro oceňování reálnou hodnoou. V našem modelu se omezíme pouze na sochasické modelování vývoje finančních akiv. Nebudeme se zabýva modelováním fakorů, keré jsou specifické pro jednolivé smluvní srany (zdravoní sav, finanční siuace, ad.). Pro modelování úrokových měr a jiných finančních akiv bylo použio modelů popsaných v předcházející kapiole, jejichž přesné paramery si uvedeme později. Demografický vývoj a vývoj osaních paramerů modelu rozeberu v následujícím výkladu. 4.1. Demografický vývoj Díky změně v sysému fungování penzijních fondů a především díky oddělení majeku, můžeme modelova smlouvy jednolivě, se zohledněním demografického vývoje. Výhodou oho je možnos věší variabiliy a množsví invesičních sraegií pro jednolivé účasníky. To nám aké umožní lepší porovnání naspořených prosředků jednolivých účasníků v závislosi na jejich invesiční sraegii. Neméně významnou roli o bude hrá i na výši výnosů penzijní společnosi. 4.1.1. Vsup nových klienů K počáku simulace uvažujeme penzijní společnos s daným porfoliem smluv a daným počem klienů, keří mají zvolenou invesiční sraegii. Pro zohlednění možnosi předchozího penzijního připojišění klienů, uvažujeme, že prosředky naspořené v minulých leech jsou jednorázově zainvesovány k počáku prvního roku simulace. Příchod nových klienů v našem modelu neuvažujeme, s ohledem na o, že chceme, aby výsupem našeho modelu byla současná hodnoa budoucích zisků vyplývajících ze sávajících smluv. 29
4.1.2. Odchody klienů Dle navrhované změny zákona má penzijní společnos fungova podobně jako invesiční společnos. Jejich činnos bude zákonem omezena na správu účasnických fondů, včeně sáního příspěvku. Po splnění zákonem daných podmínek může klien požáda o jednorázovou výplau či převod naspořených prosředků na jím zvolenou penzijní pojišťovnu, kerá se posará o následnou výplau doživoní penze. Tím se velice zjednodušuje fungování penzijních společnosí. Proo můžeme v našem modelu uvažova pouze dva druhy odchodů: Odkup na žádos účasníka Ten může mí dva základní důvody. Prvním z nich je úmrí účasníka, keré bude v našem modelu závise na věku a pohlaví (budeme se řídi úmrnosními abulkami poskyovanými Českým saisickým úřadem). Druhým důvodem je přechod účasníka k jiné penzijní společnosi, popřípadě jeho úplný odchod ze sysému penzijního připojišění. Odkup smlouvy z druhého důvodu bude závise na věku účasníka a sáří jeho smlouvy. Budeme aké předpokláda, že odkupy bude možno provés pouze do doby, kdy vznikne nárok na jednorázové vyrovnání. Konkréní paramery uvedeme v kapiole zabývající se nasavením modelu. Jednorázové vyrovnání K omuo vyrovnání může dojí po vzniku nároku a požádání účasníka. Je nuné doda, že pro penzijní společnosi budou oba dva druhy odchodů pouze jednorázovou výplaou naspořených prosředků. 4.2. Vývoj úču klienů Vývoj finančních násrojů závisí z velké čási na klienem zvolené sraegii. Proo si v následující čási popíšeme jednolivé druhy sraegií a pak blíže rozebereme vývoj jednolivých účů kliena. 4.2.1. Invesiční sraegie Dle návrhu Minisersva financí by každá invesiční společnos měla nabíze minimálně ři invesiční sraegie. V našem modelu budeme uvažova, že yo ři invesiční sraegie jsou reprezenovány právě řemi účasnickými fondy, do kerých budou moci klieni invesova. Uvažujeme edy ři fondy reprezenující dané ři invesiční sraegie: růsový, vyvážený a konzervaivní. Ty se od sebe liší výnosnosí a rizikovosí, a o na základě poměru akcií a dluhopisů, keré daný fond obsahuje. Teno poměr je možné zvoli u každé sraegie (resp. fondu) libovolně, avšak předpokládá se, že sá bude eno poměr pro jednolivé invesiční sraegie přesně definova. Každý účasník pak má na začáku právo zvoli si libovolnou kombinaci ěcho ří sraegií. To znamená, že nemusí srikně dodržova jednu konkréní sraegii, ale může své prosředky libovolně rozděli mezi více invesičních sraegií. Jediné omezení bude akuální věk kliena. Z návrhu Minisersva financí oiž vyplývá, že by měli exisova dvě věkové hranice. 30
První z nich by měla bý někdy mezi 40. a 45. rokem živoa. Po dosažení éo věkové hranice by už klien nemohl invesova své peníze dle růsové sraegie. Druhá z nich by měla bý někde mezi 50. a 55. rokem živoa. Po dosažení éo věkové hranice by již klien nemohl invesova dle růsové ani vyvážené sraegie. Tao změna invesiční sraegie by měla probíha plně auomaicky a klien by měl bý o ní pouze informován. Důvodem pro eno krok je snížení rizika znehodnocení naspořených prosředků s blížícím se důchodovým věkem. Z návrhu není jasné, co se bude dí s již zainvesovanými prosředky kliena. My pro jednoduchos budeme předpokláda, že prosředky již zainvesované se budou dále zhodnocova dle dané sraegie a pouze nově invesované prosředky se budou invesova podle nově plané invesiční sraegie. Teno přesun bude v modelu probíha auomaicky, avšak věkové hranice lze libovolně změni. Případný přesun již zainvesovaných prosředků by s sebou přinesl nemalé problémy a oázky např. Má si společnos za přesun účova nějakou provizi? V jakém poměru se mají přerozděli prosředky mezi akcie a dluhopisy? Měl by se eno přesun realizova i v období krize, kdy by byl úče akcií na minimálních hodnoách?. Předpokládáme však, že vláda nakonec zvolí podobnou meodu, jako my v omo modelu. Klien po získání nároku na penzi nemusí v ekonomicky nepříznivé siuaci své prosředky vybíra a je na jeho rozhodnuí, zda počká či vybere své prosředky hned i za cenu nižšího zhodnocení. Další důležiá oázka je, zda bude možné invesova příspěvky sáu pouze podle konzervaivní sraegie, či bude možné yo příspěvky invesova i do osaních sraegií. V našem modelu je možné si na začáku zvoli, zda je o povoleno či nikoliv. To samo o sobě hraje významnou roli. Především pokud by klien musel při odkupu smlouvy vrace sání příspěvek Minisersvu financí v plné výši. Mohlo by oiž dojí k siuaci, kdy by naspořená hodnoa prosředků, kvůli volbě rizikovější invesiční sraegie, nesačila ani na pokryí ohoo závazku. 4.2.2. Klienské účy Jak už bylo zmíněno dříve, každý z klienů bude mí dva účy. Majekový a peněžní. Jelikož předpokládáme rozdělení invesice kliena pouze mezi akcie a dluhopisy (i když vždy v jiném poměru dle dané sraegie), budeme i majekový úče děli na akciový a dluhopisový. Peněžní úče - na eno úče bude klien zasíla své příspěvky. Dále mu na něj budou připisovány i příspěvky sáu. Budeme uvažova, že prosředky se na omo úču budou shromažďova až do okamžiku, kdy budou zainvesovány dle příslušné sraegie do akcií a dluhopisů. Zainvesována bude nasřádaná výše příspěvků snížená o poplaek za invesici. Úročení prosředků na peněžním úču kliena neuvažujeme. Majekový úče akciový Na eno úče bude na konci každého roku připsaný daný poče jednoek nakoupených akcií. Budeme předpokláda, že vývoj cen akcií se bude v průběhu roku vyvíje rovnoměrně. To znamená, že jesliže cena akcií byla na konci roku nižší než na začáku, budeme předpokláda, že v průběhu roku klesala cena akcie k éo hodnoě rovnoměrně. Analogicky omu bude i v případě růsu. Nákup poom provedeme za průměrnou cenu v polovině roku. Daný poče jednoek připíšeme na 31
majekový úče. Výjimku voří pouze počáeční jednorázový vklad dříve naspořených prosředků, u kerého realizujeme nákup akcií a dluhopisů již na počáku prvního roku za cenu planou k počáku prvního roku. Majekový úče dluhopisový Na eno úče bude ke konci každého roku připsán poče nakoupených dluhopisových jednoek. Předpokládáme, že finanční prosředky na nákup dluhopisů se sřádají celý rok a pak jsou jednorázově nakoupeny na konci daného roku. Jedinou výjimku voří dluhopisy nakoupené z již dříve naspořených prosředků. Ty se nakoupí již na začáku prvního roku simulace. Uvažujeme, že prosředky jsou invesovány do pěileých bezkupónových sáních dluhopisů. To znamená, že finanční prosředky jsou vždy v pěileých cyklech reinvesovány do nových dluhopisů. Navíc neuvažujeme, že by se z éo reinvesice plail nějaký poplaek penzijní společnosi. Předím, než přejdu k poplakům, keré musí klien plai, uvedu schéma, keré mapuje pohyb peněžních prosředků od kliena, až na jeho majekový úče. Too schéma odpovídá fungování našeho modelu. Schéma 1: Průběh při invesování peněz kliena 4.2.3. Poplaky V našem modelu budeme, v souladu s návrhem Minisersva financí, uvažova pouze jeden druh poplaku,kerý bude sržený z peněžních prosředků kliena vždy na počáku. To z důvodu ransparennosi a možnosi snadného porovnání jednolivých penzijních společnosí ze srany klienů. Teno poplaek by měl pokrý všechny budoucí náklady společnosi spojené se správou a vedením účů kliena. V našem modelu předpokládáme, že poplaek je vyměřen procenem z invesovaných prosředků. Model je však předpřipravený i pro zavedení druhého poplaku, jímž by mohl bý poplaek z realizovaného výnosu prosředků kliena. 32