OHODNOCENÍ PORTFOLIA

Transkript

1 Univerzia Karlova v Praze Maemaicko-fyzikální fakula DIPLOMOVÁ PRÁCE Jana Horvahová OHODNOCENÍ PORTFOLIA ŽIVOTNÍHO POJIŠTĚNÍ Kaedra pravděpodobnosi a maemaické saisiky Vedoucí diplomové práce: Mgr. Helena Lazosová Sudijní program: Maemaika, Finanční a pojisná maemaika

2 Chěla bych poděkova vedoucí diplomové práce Mgr. Heleně Lazosové za všechny rady, připomínky a čas, kerý mi věnovala. Prohlašuji, že jsem svou diplomovou práci napsala samosaně a výhradně s použiím uvedených pramenů. Souhlasím se zapůjčováním práce. V Praze dne Jana Horvahová

3 Obsah Úvod 3 1 Typy živoních pojišění 4 2 Modelace porfolia živoní pojiš ovny Finanční oky a zisk porfolia živoního pojišění Princip ekvivalence Výpočení podklady Úročení Úmrnos Náklady a provize Sornovos Sanovení poču planých pojišění Tesování ziskovosi Vsupní daa modelace Modelové body Paramery pojisných produků Rizikové živoní pojišění běžně placené (RŽP) Finanční oky RŽP Zisk RŽP Kapiálové živoní pojišění běžně placené (KŽP) Finanční oky KŽP Zisk KŽP Flexibilní živoní pojišění běžně placené (FŽP) Finanční oky FŽP Zisk FŽP Invesiční živoní pojišění běžně placené (IŽP) Finanční oky IŽP Zisk IŽP Analýza modelovaného porfolia živoního pojišění Zdroje zisku Ukazaele ziskovosi Cilivos modelů na změny paramerů Konzervaivní odhad hodnoy zisku Závěr 55 Použiá lieraura 56 Přílohy 57 1

4 Název práce: Ohodnocení porfolia živoního pojišění Auor: Jana Horvahová Kaedra (úsav): Kaedra pravděpodobnosi a maemaické saisiky Vedoucí diplomové práce: Mgr. Helena Lazosová vedoucího: HLazosova@cpoj.cz Absrak: Tao diplomová práce se zabývá sudiem a zpracováním modelu finančních oků porfolia živoního pojišění vořeného čyřmi ypy pojišění, kerými jsou dočasné pojišění pro případ smri, pojišění pro případ smri nebo dožií, univerzální živoní pojišění a invesiční živoní pojišění. Pro každý z ěcho čyř ypů pojišění je deailněji definován jeden pojisný produk, pro kerý jsou odvozeny jemu příslušné finanční oky a zisk včeně popisu jednolivých zdrojů zisku. Dále je v práci popsáno využií modelace finančních oků pro esování ziskovosi. Součásí práce je numerická modelace finančních oků a zisku porfolia v aplikaci MS Excel spolu s výpočem současné hodnoy budoucích zisků a ukazaelů ziskovosi porfolia. Klíčová slova: živoní pojišění, finanční oky, zisk Tile: Evaluaion of Life Insurance Porfolio Auhor: Jana Horvahová Deparmen: Deparmen of Probabiliy and Mahemaical Saisics Supervisor: Mgr. Helena Lazosová Supervisor s address: HLazosova@cpoj.cz Absrac: This hesis describes cash flow modelling of a life insurance porfolio which breaks down ino four differen basic conrac srucures. These srucures are Term Insurance, Endowmen, Universal Life and Uni Linked. Each of hem are represened by an individual produc. For every individual produc, cash flows are creaed and evaluaed furher for profi and is sources. This hesis also inroduces he use of fuure cash flow modelling in profi esing. In order o provide deailed informaion on his concep, a prooype of he model office was creaed in MS Excel o show numerical example of cash flow, presen value of fuure profis and profiabiliy raios using real numbers for all assumpions. Keywords: Life Insurance, Cash Flow, Profi 2

5 Úvod Tao práce se zabývá modelací finančních oků porfolia živoního pojišění, kerá se v poslední době sává sále důležiější součásí akuárské praxe. Je základem pro sledování solvennosi a profiabiliy pojiš ovny a hraje důležiou roli při sanovování dalších podkladů pořebných pro řízení živoní pojiš ovny. Cílem práce je sudium a zpracování modelu finančních oků porfolia živoního pojišění vořeného z různých ypů pojišění, popis jednolivých zdrojů zisku porfolia se zohledněním budoucích rizik a vyhodnocení celkového přínosu různých ypů pojišění na zisk pojiš ovny. Součásí práce je přiom vyvoření numerické modelace porfolia v abulkovém procesoru MS Excel. První kapiola se zabývá ypy živoních pojišění na pojisném rhu v České republice a výběrem čyřech z nich, keré budou dále zkoumány v rámci éo diplomové práce. Jedná se o pojišění pro případ smri, pojišění pro případ smri nebo dožií, univerzální živoní pojišění a invesiční živoní pojišění. Pro každý z ěcho ypů pojišění je uvažován jeden pojisný produk, kerý je zahrnuý do vyvářené modelace porfolia živoní pojiš ovny. V druhé kapiole jsou popsány základní pojmy a principy modelace finančních oků a zisku živoního pojišění. Také jsou zde uvedeny možné způsoby využií modelace finančních oků v akuárské praxi. Z ěch je pak věší prosor věnován meodě esování ziskovosi (Profi Tesing) s popisem základních ukazaelů ziskovosi. Zároveň jsou v éo kapiole definovány používané výpočení podklady včeně nasavení jejich hodno pro modelaci pojisných produků porfolia. Ve řeí kapiole práce jsou popsána vsupní daa modelace a sanoveny modelové body, keré budou použiy pro aproximaci srukury smluv v porfoliu při numerické modelaci. Dále jsou zde specifikovány další pořebné paramery charakerizující pojisné produky porfolia. Následné čyři kapioly, j. čvrá až sedmá, jsou pak posupně věnovány jednolivým pojisným produkům vybraných ypů pojišění. Každý z nich je vždy nejprve popsán a následně jsou pro něj odvozeny jemu příslušné finanční oky a zisk, včeně jeho rozkladu podle zdrojů zisku. Součásí každé z ěcho kapiol je aké číselný příklad pro konkréní pojisnou smlouvu daného pojisného produku. Osmá kapiola je věnována celkové analýze modelovaného porfolia živoního pojišění. Je zde uveden přehled výsledků provedené numerické modelace zisku porfolia a rozbor vlivu jednolivých pojisných produků na jeho výši. Dále jsou v éo kapiole uvedeny výsledky provedeného výpoču ukazaelů ziskovosi a zkoumána cilivos modelů na změny vsupních paramerů. Nakonec je zde odvozeno, jaký vliv na výši zisku porfolia má použií konzervaivnějších předpokladů modelace. 3

6 1 Typy živoních pojišění Živoní pojišění vymezuje Zákon o pojiš ovnicví 363/1999 Sb. jako soubor následujících pojisných odvěví: 1. Pojišění pouze pro případ smri, pojišění pouze pro případ dožií, pojišění pro případ dožií se sanoveného věku nebo dřívější smri, pojišění spojených živoů, živoní pojišění s vrácením pojisného. 2. Svaební pojišění nebo pojišění prosředků na výživu děí. 3. Důchodové pojišění. 4. Pojišění podle bodů 1 až 3 spojené s invesičním fondem. 5. Kapiálové činnosi (a) umořování kapiálu založené na pojisně maemaickém výpoču, jimiž jsou proi jednorázovým nebo periodickým plabám dohodnuým předem přijay závazky se sanovenou dobou rvání a ve sanovené výši, (b) správa skupinových penzijních fondů, (c) činnosi doprovázené pojišěním zabezpečujícím zachování kapiálu nebo plabu minimálního úroku, (d) pojišění ýkající se délky lidského živoa, keré je upraveno právními předpisy z oblasi sociálního pojišění, pokud zákon umožňuje jeho provádění pojiš ovnou na její vlasní riziko. 6. Pojišění pro případ úrazu nebo nemoci, je-li doplňkem pojišění podle odvěví 1 až 5. Na pojisném rhu v České republice má sále významný podíl klasické (neinvesiční) pojišění. Tvoří je pojišění pro případ smri, pojišění pro případ dožií, smíšené pojišění (pojišění pro případ smri nebo dožií) a důchodové pojišění (o lze chápa jako speciální případ pojišění pro případ dožií s pravidelně se opakujícím plněním ve formě výplay důchodu). V poslední době však i v České republice dochází k rychlému rozvoji moderních vývojových věví živoního pojišění, kerými jsou univerzální (flexibilní, variabilní) živoní pojišění a invesiční živoní pojišění. Univerzální živoní pojišění obsahuje rizikové pojišění pro případ smri spojené se spořením. Na rozdíl od smíšeného pojišění se odděluje riziková složka a spořící složka s garanovaným minimálním zhodnocením. Pojiš ovna vede individuální úče kliena, na kerém jsou zaznamenávány plaby pojisného i srážky za převzaá rizika, správu pojišění ad. Invesiční živoní pojišění na rozdíl od klasického živoního pojišění poskyuje možnos volby alokace pojisného mezi fondy s různým invesičním zaměřením. Výše pojisného plnění je pak závislá na ržní ceně podílových jednoek kliena v invesičním fondu. Klien přiom nese celé invesiční riziko. Zároveň však má možnos zvoli si poenciální výnos a invesiční riziko rezervy pojišění. Podobně jako u univerzálního živoního pojišění má klien svůj individuální úče. 4

7 Univerzální živoní pojišění a invesiční živoní pojišění umožňují i další flexibiliu, kerá spočívá zejména v možnosi pružné realizace nejrůznějších změn. Typické pro ao pojišění je především: flexibilní pojisné kryí (možnos volby relaivně širokého rozpěí výše pojisné čásky pro případ smri k danému pojisnému, možnos změny rozsahu a výše pojisného kryí v průběhu pojišění), flexibilní pojisné (možnos volby výše pojisného ve sanovených mezích, možnos změny výše pojisného v průběhu pojišění, možnos přerušení placení, možnos vkladu mimořádného pojisného), mimořádné výběry (možnos čerpání čási hodnoy pojišění v průběhu pojišění). Pojisný rh nabízí i další možnosi pojišění nebo připojišění k výše uvedeným. Mezi nejdůležiější paří úrazové pojišění, pojišění pro případ nemoci nebo hospializace, pojišění vážných chorob, zprošění od placení pojisného (v případě rvalé invalidiy pojisníka). Také exisuje sdružené pojišění, skupinové pojišění, pojišění více živoů ad.členění současné nabídky pojisných produků na rhu v České republice dle České asociace pojiš oven (ČAP) (viz. [3]) je následující : Pojišění pro případ smri Kapiálové živoní pojišění Důchodové pojišění Pojišění pro děi a mládež Invesiční živoní pojišění Úrazové pojišění Kombinované pojišění Skupinové pojišění Pojišění léčebných výloh v zahraničí Pojišění vážných chorob Pojišění v případě hospializace Pojišění v případě nemoci Úvěrové pojišění Jiná pojišění Plaí přiom, že konkréní pojisné produky jednolivých pojiš oven spadající do sejné skupiny mají určiý společný základ, nicméně každá pojiš ovna si své produky dále deailněji definuje ak, aby vyhovovaly jejím vlasním pořebám (např. s ohledem na cílovou skupinu, kerou chce produkem oslovi). 5

8 V éo práci se omezíme na čyři ypy pojišění, kerým se budeme více věnova. Vybereme si přiom dva zásupce klasického živoního pojišění, a o pojišění pro případ smri a smíšené pojišění, dále budeme uvažova zásupce univerzálního živoního pojišění a invesičního živoního pojišění. Pro modelaci v další čási práce budeme uvažova porfolio hypoeické pojiš ovny, keré bude obsahova pojisné produky ěcho vybraných čyř ypů pojišění. Přiom u všech budeme uvažova běžný způsob placení pojisného s roční frekvencí. Skladba modelovaného porfolia pak bude následující: Rizikové živoní pojišění běžně placené (RŽP) dočasné pojišění pro případ smri běžně placené Kapiálové živoní pojišění běžně placené (KŽP) smíšené pojišění běžně placené Flexibilní živoní pojišění běžně placené (FŽP) univerzální živoní pojišění běžně placené s možnosí vloži dodaečné prosředky formou mimořádného pojisného Invesiční živoní pojišění běžně placené (IŽP) invesiční živoní pojišění běžně placené s možnosí alokace do dvou podílových fondů (akciový a dluhopisový) a s možnosí vloži dodaečné prosředky formou mimořádného pojisného Každému z ěcho uvažovaných pojisných produků bude dále věnována samosaná kapiola, ve keré budou podrobněji specifikovány a aké odvozeny jim příslušející finanční oky. 6

9 2 Modelace porfolia živoní pojiš ovny Při řízení živoní pojiš ovny je řeba sledova akuální sav porfolia živoní pojiš ovny a aké jeho očekávaný vývoj. Proces, při kerém se vedení společnosi snaží konrolova sav porfolia, nasavené předpoklady pro sanovení pojisného a rezerv a vliv dalších rozhodnuí při řízení společnosi na pojisné smlouvy, uvedený v [1], je zachycen na obrázku 1. Počáeční předpoklady Tes ziskovosi Akualizace předpokladů Modelace Moniorování Analýza kapiálových rezerv Výpoče ekonomických ukazaelů Obrázek 1: Znázornění konrolního cyklu živoní pojiš ovny Úlohou odpovědného pojisného maemaika je edy sledování všech relevanních aspeků finančního a demografického vývoje a všech relevanních aspeků používané sraegie řízení živoní pojiš ovny ak, aby mohl poskynou pořebné podklady pro další řízení pojiš ovny a doporuči vhodná opaření pro udržení finančního zdraví pojiš ovny, prospěšná pro pojišěné a, je-li o žádoucí, i pro akcionáře. Aby bylo možné eno úkol splni, je nuné vyváře modelace budoucích finančních oků porfolia s použiím nejlepších odhadů pořebných paramerů, na základě kerých lze sanovi pořebné výsupy pro sledování solvennosi a profiabiliy. 2.1 Finanční oky a zisk porfolia živoního pojišění Transakce, keré probíhají v pojiš ovně, můžeme modelova jako sysém finančních oků (Cash Flow, CF). Toky vsupující do ohoo sysému (Inflows) reprezenují výnosy pojiš ovny, mezi keré paří pojisné, invesiční výnos, nový kapiál, pojisné plnění od zajisielů ad. Toky vysupující ze sysému (Ouflows) reprezenují náklady pojiš ovny, mezi keré paří pojisné plnění, náklady, dividendy, pojisné pro zajisiele ad. Schéma akového sysému a jemu příslušející vyjádření změny hodnoy akiv pojiš ovny, uvedené např. v [6], je znázorněno na obrázku 2. Tao práce se bude zabýva porfoliem živoního pojišění a o zejména se zřeelem na vliv jednolivých ypů pojišění obsažených v porfoliu. Budeme edy zjednodušeně uvažova pouze následující finanční oky porfolia: P přijaé pojisné během období, I invesiční výnos za období, E náklady (včeně provizí) v období, X pojisné plnění (včeně podílu na zisku) během období. 7

10 Nový kapiál změna hodnoy Pojisné plnění Pojisné Náklady Invesiční výnos Pojisné plnění ze zajišění Různé Akiva Dividendy Pojisné za zajišění Různé Obrázek 2: Schéma sysému finančních oků pojiš ovny Celkový finanční ok v období je pak CF = P + I E X. (1) Pro vyjádření zisku odvozeného z celkového finančního oku je řeba ješě zohledni vorbu rezervy pojisného živoních pojišění. Jesliže označíme: IR zhodnocení finančního umísění rezervy pojisného živoních pojišění během období, R přírůsek rezervy pojisného živoních pojišění za období, lze zisk v období vyjádři jako P RO = CF + IR R. (2) Teno způsob sanovení finančních oků a zisku je uveden např. v [1]. Délky období jsou zpravidla uvažovány měsíční nebo roční. Sanovení zisku v jednolivých pojisných měsících je uvedeno např. v [9]. V [7] jsou pak popsány způsoby modelování finančních oků pro jednolivé pojisné roky. Dále je možné rozlišova oky na počáku a konci období. Pro roční modelaci pojišění pro případ smri nebo dožií s podílem na zisku, kde index 1 značí hodnou na počáku roku a index hodnou na konci roku, je v [7] definován zv. účení způsob modelování finančních oků, kerý voří souče pohybů, jež víceméně odpovídají posupům zaúčování finančních oků, jako: CF účení = Pojisné 1 Náklady 1 Provize Zúročení oků z počáku období ke konci období + + Zhodnocení finančního umísění rezerv Výplay PU v případě smri Výplay odbyného Výplay dožií Změna rezerv = = P 1 E 1 + I + IR X R (3) Tao definice neuvažuje finanční ok zaplacení daně z příjmů společnosi a případnou změnu kapiálu nuného ke kryí minimální míry solvennosi. Tyo oky budeme zanedbáva i v rámci éo práce. 8

11 Modelace finančních oků je základem zejména pro: Tesování ziskovosi (Profi Tesing) Jedná se o modelaci a analýzu finančních oků pro jednolivé pojisné smlouvy. Na základě výpoču současné hodnoy budoucích finančních oků (Presen Value of Fuure Profis, PVFP) a dalších kriérií je pak posuzována jejich ziskovos. Výpoče hodnoy společnosi Jedná se o modelaci a analýzu finančních oků pro celé pojisné kmeny pojisných produků v porfoliu pojišovny. Provádí se opě výpoče současné hodnoy budoucích finančních oků a dále se sanovuje impliciní hodnoa pojiš ovny (Embedded Value) či odhad ržní ceny pojiš ovny (Appraisal Value). Výpoče reálné hodnoy (Fair Value) Jedná se o výpoče založený na modelaci finančních oků, kerý má vyjádři reálnou hodnou pojisných závazků pojiš ovny. Sladění vývoje akiv a pasiv (Asse Liabiliy Maching, ALM) Jedná se o úpravu srukury finančního umísění ke kryí závazků vyplývajících z pojisných smluv. Tyo úpravy se provádějí na základě výpočů vývoje rezerv pojišovny (zejména durace rezerv) vycházejících z modelace finančních oků. Odhalení možného negaivního vývoje společnosi v budoucnosi Modely finančních oků jsou používány zejména odpovědným pojisným maemaikem, kerému by měly pomoci včas odhali možná budoucí rizika a sanovi pořebné dodaečné rezervy na jejich pokryí. Pro vybrané ypy pojišění si v dalších čásech práce odvodíme podrobnější vyjádření příslušných finančních oků a zisku. Pro jednolivé uvažované ypy pojišění si posupně vyvoříme modely finančních oků na roční bázi. Budeme přiom předpokláda, že pojisné, náklady a provize jsou finanční oky na začáku roku a zhodnocení finančního umísění, výplay pojisných událosí a odbyných a změna rezerv jsou finanční oky na konci roku. Vyvořené modely finančních oků budeme používa zejména pro vyjádření jednolivých zdrojů zisku a esování ziskovosi uvažovaných ypů pojišění. 2.2 Princip ekvivalence Základní princip, na němž jsou založeny pojisně-maemaické výpočy v živoním pojišění, vychází z požadavku, aby příjmy a výdaje pojiš ovny byly v rovnováze. Slovně můžeme eno princip ekvivalence formulova ak, že očekávaná počáeční hodnoa pojisného = = očekávaná počáeční hodnoa pojisného plnění. (4) Definujeme-li náhodnou veličinu L vyjadřující zráu pojiš ovny jako rozdíl mezi současnou hodnoou pojisného plnění a spláek pojisného vzaženou k počáku pojišění, pak princip ekvivalence lze vyjádři ak, že sřední hodnoa zráy pojiš ovny je nulová: E[L] = 0. (5) Pojisné splňující vzah (5), kdy nejsou uvažovány náklady, je zv. neopojisné. 9

12 Zavedeme-li si dále náhodnou veličinu L jako rozdíl mezi současnou hodnoou budoucích pojisných plnění a současnou hodnoou budoucích pojisných vzaženou k okamžiku od počáku pojišění, kde L 0 = L, můžeme vyjádři neorezervu pojisného živoních pojišění v čase jako V = E[L T > ]. (6) Bruopojisné se sanoví ak, aby se sřední současná hodnoa budoucích pojisných plnění a nákladů rovnala sřední současné hodnoě spláek bruopojisného vzhledem k počáku pojišění. Bruorezervu pojisného živoních pojišění po leech rvání pojišění lze vyjádři jako rozdíl mezi sřední současnou hodnoou budoucích pojisných plnění a budoucích nákladů a sřední současnou hodnoou budoucích spláek bruopojisného. V realiě živoního pojišění věšinou skuečné příjmy přesáhnou skuečné výdaje a vzniklý (nekalkulovaný) zisk pak pojiš ovna čásečně odčerpává na akcionářský zisk a čásečně přerozděluje zpě klienům jako jejich podíl na zisku. 2.3 Výpočení podklady V živoním pojišění rozlišujeme výpočení podklady prvního, druhého a řeího řádu. Výpočení podklady prvního řádu jsou eoreické výpočení podklady, keré se používají ke kalkulaci pojisného a ke sanovení echnických rezerv. Při určování jejich výše je kladen důraz na zásadu obezřenosi. V dalším exu budeme používa yo výpočení podklady prvního řádu: i echnická úroková míra q x pravděpodobnos úmrí α nezískaelské počáeční náklady α 1 získaelské počáeční náklady β inkasní náklady γ správní náklady Výpočení podklady druhého řádu voří odhady skuečných budoucích hodno výpočeních podkladů, keré jsou v okamžiku výpoču ješě neznámé. Jsou realisicky volené a používají se k prognóze budoucích příjmů a výdajů. Při modelaci odhadu budoucího zisku budeme používa následující výpočení podklady druhého řádu: i q x α ψ β γ ρ ϕ ai di očekávaná úroková míra v pojisném roce očekávaná pravděpodobnos úmrí očekávané nezískaelské počáeční náklady očekávané provize v pojisném roce očekávané inkasní náklady očekávané správní náklady očekávaná pravděpodobnos sorna pojišění v pojisném roce očekávané náklady na správu fondů invesičního živoního pojišění očekávaná míra zhodnocení akciového fondu v pojisném roce očekávaná míra zhodnocení dluhopisového fondu v pojisném roce 10

13 Výpočení podklady řeího řádu předsavují výši již známých skuečných hodno výpočeních podkladů. Tyo podklady nemáme pro námi vybrané ypy pojišění k dispozici. V dalším exu je edy nebudeme uvažova a omezíme se pouze na výpočení podklady druhého řádu. V případě, že bychom prováděli modelaci pro nějaký na rhu již exisující pojisný produk, ke kerému jsou již yo údaje k dispozici, bylo by možné dosadi výpočení podklady řeího řádu míso výpočeních podkladů druhého řádu a spočía ak skuečný zisk. V dalším exu éo podkapioly si podrobněji popíšeme používané výpočení podklady prvního a druhého řádu a aké sanovíme jejich číselné hodnoy používané pro modelaci Úročení V rámci živoního pojišění používáme polhůné složené úročení. Tedy při roční úrokové míře i lze hodnou jednokového kapiálu na konci n-ého roku vyjádři jako (1 + i) n. Diskonní fakor si označme jako v = i. (7) V dalším exu budeme jako i znači garanovanou roční echnickou úrokovou míru (TÚM), kerou rozumíme zaručený podíl na výnosech z finančního umísění v živoním pojišění. Maximální výše echnické úrokové míry je sanovena vyhláškou 303/2004 Sb. (s účinnosí od 6. kvěna 2004), kerou se provádí někerá usanovení zákona o pojiš ovnicví, a činí 2,4%. U všech modelovaných ypů pojišění budeme uvažova shodnou echnickou úrokovou míru, a o ve výši maximální echnické úrokové míry nabízené v současné době na rhu v České republice, edy i = 2, 4%. (8) Uvažovaná úroková míra použiá pro zhodnocení výnosů a pro diskonování budoucích finančích oků závisí na om, pro jaké účely je modelace finančních oků prováděna. Při esování ziskovosi (Profi Tesing) a radičním výpoču impliciní hodnoy pojiš ovny (Embedded Value) se sanovují budoucí výnosy z invesování na základě skuečné úrokové míry a k diskonování finančních oků se používá riziková diskonní míra (Risk Discoun Rae, RDR), kerá vyjadřuje požadovanou minimální míru výnosnosi kapiálu použiého na financování sjednaných pojisných smluv. Oproi omu při výpoču reálné hodnoy (Fair Value) jsou uvažovány spíše konzervaivnější předpoklady a pro sanovení budoucího invesičního výnosu a k diskonování budoucích finančních oků se používá bezriziková úroková míra (Risk Free Rae, RFR) planá k dau ohodnocení. V éo práci si nejprve odvodíme křivku bezrizikových úrokových měr způsobem popsaným v [10], na jejímž základě následně odhadneme výši očekávané skuečné úrokové míry a rizikové diskonní míry, keré budeme používa při modelaci. Budeme přiom vycháze z ržních sazeb úrokových swapů získaných z finančního serveru k Tyo sazby si označíme s paria, kde je doba do splanosi. Z ěcho koovaných sazeb získáme roční sazby s následujícím způsobem s = s paria 365, pro nepřesupný rok, = s paria, pro přesupný rok. (9)

14 K doplnění sazeb pro všechny pořebné roky = 1,..., N použijeme proložení meodou Nelson-Siegel, kdy var spoové křivky je vyjádřen jako Y = β 0 + (β 1 + β 2 ) 1 e γ γ β 2 e γ, (10) kde β 0, β 1, β 2, γ jsou paramery ovlivňující var křivky. S ím, že při aplikaci na výnosovou křivku s ročním úročením je řeba použí přepoče Y = ln(1 + Y (1) ), kde Y (1) je odpovídající spoová sazba na dobu le s ročním úročením. Pro odhad paramerů β 0, β 1, β 2, γ se používá nelineární meoda nejmenších čverců, kdy za počáeční hodnoy pro numerický algorimus je možné zvoli například β 0 = nejdelší pozorovaná sazba, β 1 = nejkraší pozorovaná sazba β 0, β 2 = 0 a γ = 2. Dále použijeme meodu přepoču kupónových sazeb na sazby bezkupónové nazývanou Boosrap. Bezkupónové sazby R dosaneme jako kde je diskonní fakor a R = DF ( 1 ) 1, = 1,..., N, (11) DF = 1 s ADF s (12) ADF = DF + ADF 1, je akumulační diskonní fakor. Následně lze spočía jednoleé forwardové sazby ADF 0 = 0 (13) F 1,1 = DF 1 DF 1, = 2... N, F 0,1 = R 1. (14) Dle výše popsaného způsobu odvození bezrizikových úrokových měr lze provés kalkulaci, jejíž výsledky jsou uvedené v abulce 1 a 2. Přiom kalkulace byla provedena v aplikaci MS Excel a použié numerické řešení odhadu paramerů pro Nelson-Siegel je β 0 = 0, , β 1 = 0, , β 2 = 0, 01352, γ = 1, Kalendářní rok Doba do splanosi s paria s R F 1, Y 2,76 % 2,80 % 2,80 % 2,80 % Y 2,98 % 3,02 % 3,03 % 3,26 % Y 3,16 % 3,20 % 3,21 % 3,58 % Y 3,29 % 3,34 % 3,35 % 3,76 % Y 3,40 % 3,45 % 3,47 % 3,94 % Y 3,48 % 3,53 % 3,55 % 4,00 % Y 3,55 % 3,60 % 3,63 % 4,07 % Y 3,61 % 3,66 % 3,69 % 4,16 % Tabulka 1: Odvození bezrizikových úrokových měr - 1.čás 12

15 Kalendářní rok Doba do splanosi s paria s R F 1, Y 3,67 % 3,72 % 3,76 % 4,25 % Y 3,71 % 3,76 % 3,81 % 4,30 % Y 3,80 % 3,86 % 4,31 % Y 3,79 % 3,84 % 3,89 % 4,32 % Y 3,87 % 3,93 % 4,35 % Y 3,89 % 3,96 % 4,35 % Y 3,86 % 3,92 % 3,99 % 4,35 % Y 3,94 % 4,01 % 4,35 % Y 3,95 % 4,03 % 4,35 % Y 3,97 % 4,05 % 4,35 % Y 3,98 % 4,06 % 4,35 % Y 3,94 % 3,99 % 4,08 % 4,35 % Y 4,01 % 4,09 % 4,35 % Y 4,02 % 4,10 % 4,35 % Y 4,02 % 4,11 % 4,35 % Y 4,03 % 4,12 % 4,35 % Y 4,04 % 4,13 % 4,35 % Y 4,05 % 4,14 % 4,35 % Y 4,05 % 4,15 % 4,35 % Y 4,06 % 4,16 % 4,35 % Y 4,06 % 4,16 % 4,35 % Y 4,07 % 4,17 % 4,35 % Y 4,07 % 4,18 % 4,35 % Y 4,08 % 4,18 % 4,35 % Y 4,08 % 4,19 % 4,35 % Y 4,09 % 4,19 % 4,35 % Y 4,09 % 4,20 % 4,35 % Y 4,09 % 4,20 % 4,35 % Y 4,09 % 4,20 % 4,35 % Y 4,10 % 4,21 % 4,35 % Y 4,10 % 4,21 % 4,35 % Y 4,10 % 4,22 % 4,35 % Y 4,10 % 4,22 % 4,35 % Y 4,11 % 4,22 % 4,35 % Y 4,11 % 4,22 % 4,35 % Y 4,11 % 4,23 % 4,35 % Y 4,11 % 4,23 % 4,35 % Y 4,11 % 4,23 % 4,35 % Y 4,12 % 4,24 % 4,35 % Y 4,12 % 4,24 % 4,35 % Y 4,12 % 4,24 % 4,35 % Y 4,12 % 4,24 % 4,35 % Y 4,12 % 4,25 % 4,35 % Y 4,12 % 4,25 % 4,35 % Y 4,12 % 4,25 % 4,35 % Y 4,13 % 4,25 % 4,35 % Y 4,13 % 4,25 % 4,35 % Tabulka 2: Odvození bezrizikových úrokových měr - 2.čás 13

16 Na základě ako získané křivky bezrizikových forwardových měr si zavedeme bezrizikovou úrokovou míru v pojisném roce jako RF R = F 1,1. (15) Odhad výše skuečné úrokové míry, jejíž očekávanou hodnou označíme i, bude závise na srukuře akiv, do kerých jsou prosředky invesovány, a na předpokládaném vývoji úrokových měr. Lze předpokláda, že hodnoa očekávaného invesičního výnosu i bude vyšší než bezriziková úroková míra. Pro sanovení hodnoy, kerou použijeme při modelaci, budeme předpokláda, že 65% finančních prosředků je invesováno do dluhopisů, 25% do akcií a zbylých 10% zůsává v hoovosi. Dále budeme zjednodušeně předpokláda, že v jednolivých pojisných leech dochází ke konsannímu zhodnocení ěcho finančních insrumenů roční úrokovou mírou, kerá je u dluhopisů 5%, u akcií 8% a u hoovosi 0%. Hodnoa očekávaného budoucího výnosu je pak spočena jako i = 65% 5% + 25% 8% + 10% 0% = 5, 25%. (16) Při omo nasavení plaí, že očekávaná míra zhodnocení je vyšší než bezriziková úroková míra. Dále je zohledněno o, že invesice do akcií je více riziková s vyšším očekávaným zhodnocením a invesice do dluhopisů je méně riziková s nižším očekávaným zhodnocením. Rizikovou diskonní míru lze sanovi na základě oceňovacího modelu kapiálových akiv (Capial Asse Pricing Model, CAPM) jako RDR = r 0 + (r T r 0 ) β, (17) kde r 0 je bezrizikový výnos, r T ržní výnos a β bea-fakor vyjadřující rizikovos společnosi. Hodnoa přičená k bezrizikovému výnosu ve vzahu (17) přiom vyjadřuje prémii za riziko. Při modelaci budeme předpokláda, že požadovaná výše prémie za riziko je 2,5%. Výše rizikové diskonní míry v pojisném roce je pak sanovena jako RDR = RF R + 2, 5%, (18) kde RF R je již dříve odvozená výše bezrizkových úrokových měr. Pro modelaci invesičního živoního pojišění si ješě zavedeme míru zhodnocení podílových fondů. Přípusné podílové fondy jsou dva, a o akciový a dluhopisový. Budeme přiom předpokláda, že v jednolivých pojisných leech dochází ke konsannímu zhodnocení sanovenou roční úrokovou mírou pro daný fond. Pro akciový fond budeme předpokláda zhodnocení roční úrokovou mírou a i = 8% a pro dluhopisový fond d i = 5% Úmrnos Pravděpodobnos úmrí q x je pravděpodobnos, že x-leá osoba zemře před dosažením věku x + 1. Pro pravděpodobnos přežií p x, což je pravděpodobnos, že se x-leá osoba dožije věku x + 1, poom plaí p x = 1 q x. (19) Hodnoy q x a p x jsou uváděny v úmrnosních abulkách (ÚT). Úmrnosní abulky jsou konsruovány zvláš pro muže a zvláš pro ženy. Východiskem pro úmrnosní abulky jsou míry úmrnosi podle věku a pohlaví, ze kerých se vypočíají pravděpodobnosi úmrí ve věku x. Z ěcho pravěpodobnosí lze odvodi další charakerisiky, např. pravděpodobnosi dožií, počy dožívajících se věku x, abulkové počy zemřelých ve věku x, abulkové počy žijících ve věku x ad. 14

17 Jesliže si označíme l x abulkový poče dožívajících se (hypoeický poče osob z generace l 0 současně narozených jedinců, keré se dožijí věku x), d x abulkový poče zemřelých (hypoeický poče osob z generace l 0 současně narozených jedinců, keré zemřou ve věku mezi x a x + 1), můžeme si zavés následující komuační čísla, kerá budeme dále používa při výpočech: D x = l x v x, C x = d x v x+1, N x = D k, M x = k=x C k. (20) k=x Pro všechny modelované ypy pojišění budeme používa jednoné úmrnosní abulky, a o Podrobné úmrnosní abulky za ČR a kraje za rok 2006 (viz. Příloha A) publikované Českým saisickým úřadem (ČSÚ) (viz. [5]), na základě kerých budeme sanovova pořebné hodnoy pravděpodobnosi úmrí. Dále budeme uvažova podúmrnos. Podúmrnos vyjadřuje podíl mezi očekávanou úmrnosí a úmrnosí vypočenou z úmrnosních abulek použiých pro výpoče pojisného. Podúmrnos v pojisném roce si přiom označíme jako π. Podúmrnos lze sanovi například ak, že se z pojisného kmene zjisí předpokládaný poče zemřelých za uplynulá období na základě pravděpodobnosi úmrí z úmrnosních abulek a porovná se se skuečným počem zemřelých. Lze očekáva, že vlivem počáečního underwriingu bude v prvních leech pojišění podúmrnos nižší než v následujících leech. S přibývajícími pojisnými léy se pak dá předpokláda, že se bude skuečná úmrnos kmene blíži úmrnosi globální populace. Časo se proo uvažuje posupný nárůs až na usálenou hodnou. Při modelaci všech uvažovaných ypů pojišění budeme předpokláda vývoj podúmrnosi uvedený v abulce 3. Pojisný rok Podúmrnos π 1. 40% 2. 50% 3. 55% 4. 60% 5. 65% % % 16. a další 90% Tabulka 3: Vývoj podúmrnosi Očekávaná pravděpodobnos, že osoba se vsupním věkem x zemře v průběhu pojisného roku, je pak q x+ 1 = q x+ 1 π. (21) 15

18 2.3.3 Náklady a provize Počáeční náklady jsou náklady spojené s uzavřením smlouvy, u kerých budeme pro jednoduchos předpokláda, že jsou uhrazeny pojiš ovnou v plné výši na počáku pojišění. Počáeční náklady se pak rozpočíávají sejnými splákami do každé plaby pojisného. Budeme dále rozlišova počáeční náklady získaelské a nezískaelské. Získaelské počáeční náklady α 1 jsou vynaloženy na provize pojisným agenům, obchodním zásupcům a makléřům. Sanovíme je jako procena z bruopojisného. Nezískaelské počáeční náklady α jsou pak všechny osaní počáeční náklady, edy náklady spojené se vsupní lékařskou prohlídkou, vydáním pojisky, zavedením pojisky do sysému, reklamou ad. Nezískaelské náklady sanovíme jako procena z pojisné čásky. Inkasní náklady β jsou náklady spojené s výběrem běžně placeného pojisného. Jedná se například o náklady vynaložené na disribuci složenek nebo párování předepsaného a zaplaceného pojisného. Tyo náklady jsou spláceny po celou dobu placení pojisného při každé úhradě pojisného. Hodnou inkasních nákladů přiom sanovíme jako procena z bruopojisného. Správní náklady γ jsou náklady spojené se správou pojišění. Tedy různé adminisraivní náklady, náklady vynaložené na korespondenci, správu budov, výpočení echniku, play zaměsnanců ad. Tyo náklady edy vznikají v každém roce rvání pojišění a jsou spláceny při každé úhradě pojisného. Jejich roční výši sanovíme jako procena z pojisné čásky. V případě, že doba placení je kraší než pojisná doba (např. při jednorázově placeném pojisném), se obvykle správní náklady dále rozlišují na správní náklady během celého rvání pojišění γ 1 a na správní náklady během placení pojisného γ 2. Celkové správní náklady jsou pak γ = γ 1 + γ 2. U důchodových pojišění se dále vyskyují náklady při výplaě důchodu δ, což jsou náklady spojené s výplaami důchodu a obvykle se sanovují jako procena z ročního důchodu. Někeré pojiš ovny slučují jednolivé výše uvedené náklady do jednoné správní přirážky ε, kerá se věšinou sanovuje jako procena z bruopojisného. Nasavení výše nákladových koeficienů je záležiosí profiabiliy daného produku. Pro modelované pojisné produky si sanovíme nákladové koeficieny používané jako výpočení podklady prvního řádu následujícm způsobem. Výši nezískaelských počáečních nákladů α sanovíme ak, aby pro referenční pojisnou čásku Kč byla uvažována čáska jednorázově vynaložená na počáku pojišění na yo účely ve výši 900 Kč. Získaelské počáeční náklady α 1 nasavíme ak, aby plailo, že pro referenční výši pojisného Kč je na počáku pojišení jednorázově vyplaceno Kč. Výši inkasních nákladů β nasavíme na 5%, akže při ročním pojisném ve výši Kč jsou roční inkasní náklady 500 Kč. Správní náklady γ sanovíme pro referenční čásku Kč ak, aby byla jejich roční výše 500 Kč. Plaí edy, že α = 0, 9%, α 1 = 25%, β = 5%, γ = 0, 5%. (22) 16

19 Tako definované hodnoy α, α 1, β a γ budou použiy pro všechy čyři uvažované ypy pojišění. K vhodnosi ohoo nasavení se ješě vráíme v rámci analýzy výsledků esování ziskovosi pojisných produků. Podklady druhého řádu sanovíme ak, aby pro inkasní a správní náklady plailo, že jejich hodnoy jsou o 20% nižší než v podkladech prvního řádu. Hodnoa očekávaných nezískaelských počáečních nákladů bude sejná jako v podkladech prvního řádu. To znamená, že α = α, β = 0, 8 β, γ = 0, 8 γ. (23) U všech modelovaných ypů pojišění budeme dále uvažova velikos provize ψ ze sjednaného ročního pojisného ve výši uvedené v abulce 4. Jedná se o provizi za sjednání vyplácenou na počáku prvního a druhého roku pojišění. Udržovací provizi v následujících leech pojišění neuvažujeme, sejně jako vracení provizí při sornu. Pojisný rok Provize ψ 1. 45% 2. 5% 3. a další 0% Tabulka 4: Provize U invesičního živoního pojišění budeme navíc uvažova náklady na správu fondů ϕ = 0, 35% z akuální hodnoy podílového fondu na konci jednolivých pojisných le Sornovos Sornovosí ρ si označíme očekávanou pravděpodobnos sorna pojišění v průběhu pojisného roku. Podobně jako podúmrnos se sornovos získává analýzou da pojisného kmene. Při modelaci budeme předpokláda vývoj sornovosi uvedený v abulce 5. Pojisný rok Sornovos ρ 1. 25% 2. 7% 3. 15% 4. 5% 5. 4% % 21. a další 2% Tabulka 5: Vývoj sornovosi 17

20 2.4 Sanovení poču planých pojišění Na počáku pojišění uvažujme jednu planou smlouvu, edy pro poče planých pojišení plaí l 0 = 1. (24) V průběhu pojisné doby dochází ke snižování poču planých pojišění o úmrí a sorna. Přiom očekávaný poče úmrí v průběhu pojisného roku je a očekávaný poče soren v průběhu pojisného roku je d = l 1 q x+ 1 (25) w = (l 1 d ) ρ. (26) Očekávaný poče planých pojišění v čase le od počáku pojišění pak můžeme vyjádři jako 2.5 Tesování ziskovosi l = l 1 d w = l 1 (1 q x+ 1) (1 ρ ). (27) Meoda esování ziskovosi (Profi Tesing) je založena na modelaci a analýze finančních oků smluv daného ypu pojišění v jednolivých pojisných leech. Teno přísup přiom zohledňuje fak, že přes případné zráy v počáečních leech pojišění může bý v dlouhodobém horizonu pojisný produk ziskový. Při výpoču se u zavedených pojisných produků používají podklady řeího řádu. V našem případě, kdy nemáme k dispozici podklady řeího řádu, získáme pouze odhad budoucího zisku. Teno přísup se v praxi používá při esování ziskovosi nových produků. Při esování ziskovosi se používají různá kriéria ziskovosi. V následujícím exu si zavedeme základní ukazaele ziskovosi uvedené např. v [2] a [8]. Výsky zisku (Profi Signaure) pro pojisnou smlouvu v pojisném roce je σ = l 1 l 0 P RO, (28) kde P RO je očekávaný zisk v roce pojisné smlouvy, l 0 očekávaný poče planých smluv na počáku pojišění a l 1 očekávaný poče planých smluv na počáku pojisného roku. Současná hodnoa očekávaných budoucích zisků (Presen Value of Fuure Profis) pro pojisnou smlouvu je pak sanovena jako P V F P = n =1 σ, (29) (1 + RDR k ) k=1 kde n je sjednaná pojisná doba a pro diskonování se používá riziková diskonní míra (RDR). 18

21 Míra zisku (Profi Margin) je vyjádřena jako podíl současné hodnoy očekávaných budoucích zisků a současné hodnoy očekávaného přijaého pojisného P M = P V F P l n 1 l P =1 (1+RDR k ) k=1 kde P 1 je očekávané přijaé pojisné na počáku pojisného roku,, (30) 0 (1 + RDR k ) = 1. Teno ukazael ziskovosi lze v praxi použí jako kriérium pro sanovení pojisného. Zisk jako proceno současné hodnoy provizních nákladů lze pak analogicky vyjádři jako podíl současné hodnoy očekávaných budoucích zisků a současné hodnoy očekávané provize P V F P l n 1 l C =1 (1+RDR k ) k=1 k=1, (31) kde C 1 je očekávaná výše vyplacené provize na počáku pojisného roku. Výše vyplacených provizí vyjadřuje úspěšnos prodeje. Teno ukazael ziskovosi edy může pojiš ovna použí jako kriérium pro regulaci objemu prodeje. Pro porovnání výnosu pojisného produku s alernaivními invesicemi na rhu se používá vniřní míra výnosnosi (Inernal Rae of Reurn), což je aková úroková míra IRR, kerá je řešením rovnice n =1 σ (1 + IRR) = 0. (32) Vniřní míra výnosnosi exisuje a je jednoznačně určena v případě, že v posloupnosi σ se změní znaménko právě jednou (j. všechny záporné členy předcházejí kladným a naopak). Posledním ukazaelem ziskovosi, kerý si uvedeme, je doba návranosi kapiálu. Jedná se o první j akové, že P V F P j > 0, kde P V F P j = j =1 σ, j = 1,..., n. (33) (1 + RDR k ) k=1 Sanovení kriérií pro uvedené ukazaele ziskovosi je součásí řízení živoní pojiš ovny. Inervaly, ve kerých by se měly hodnoy ukazaelů pohybova, jsou přiom sanovovány ak, aby pojisné produky byly ziskové a současně konkurenceschopné. Dále mohou bý zohledněny další požadavky managemenu pojiš ovny. Při esování ziskovosi je pak možné posoudi zda ziskovos jednolivých pojisných produků je v přijaelných mezích. Tesování ziskovosi se, jak bylo již dříve zmíněno, používá aké při vyváření nových produků a jejich oceňování, kdy paramery pojisných smluv jsou nasavovány ak, aby se hodnoy ukazaelů ziskovosi přibližovaly kriériím ziskovosi požadovaným pojiš ovnou. Jako součás esování ziskovosi se pak obvykle provádí aké esování cilivosi modelu na změny paramerů. Tak lze zjisi, na kerých paramerech daný yp pojišění nejvíce závisí. 19

22 3 Vsupní daa modelace Budeme uvažova porfolio pojiš ovny, keré voří pojisné smlouvy vybraných čyř ypů pojišění, kerými jsou rizikové živoní pojišění běžně placené (RŽP), kapiálové živoní pojišění běžně placené (KŽP), flexibilní živoní pojišění běžně placené (FŽP) a invesiční živoní pojišění běžně placené (IŽP). Zjednodušeně přiom uvažujeme, že všechny pojisné smlouvy mají počáek pojišění ve sejný den Pro smlouvy všech pojisných produků dále plaí, že povolený vsupní věk x je od 15 do 65 le. Přípusná pojisná doba n je od 5 do 55 le ak, aby plailo, že v době konce pojišění je věk pojišěné osoby maximálně 70 le. Sjednaná pojisná čáska K je v celých isícícikorunách v rozmezí od Kč do Kč. Frekvence placení je roční a splanos je vždy na počáku pojisného roku. U flexibilního a invesičního živoního pojišění klien může voli výši ročního běžně placeného pojisného BP v celých sokorunách v inervalu od Kč do Kč a vkláda mimořádné pojisné MP v celých sokorunách v neomezené výši vždy k počáku pojisného roku. U invesičního živoního pojišění dále klien volí pro běžné i mimořádné pojisné shodnou alokaci v procenech mezi dva invesiční fondy, kerými jsou akciový fond a fond dluhopisů. Alokaci do akciového fondu si označíme a r a alokaci do dluhopisového fondu d r. Pro hodnou alokace do každého invesičního fondu přiom plaí, že je dělielná pěi a souče alokací pro oba invesiční fondy je 100%. Základním vsupem pro modelaci porfolia je soubor da o sjednaných pojisných smlouvách splňujících výše uvedená krieria. Údaje o ěcho smlouvách vycházejí ze skuečných da, kerá byla modifikována ak, aby byly dodrženy zásady o ochraně da. Poče pojisných smluv dle pojisných produků a pohlaví je přiom uveden v abulce 6. Pojisný produk Muži Ženy Celkem RŽP KŽP FŽP IŽP Tabulka 6: Poče smluv v modelovaném porfoliu Nejvěší pojisný kmen má invesiční živoní pojišění, keré má sjednáno éměř polovina smluv v porfoliu. Druhý nejvěší je kmen flexibilního živoního pojišění, kerý voří více než čvrina sjednaných pojisných smluv. Jen o rochu menší je kmen kapiálového živoního pojišění, keré má sjednáno více než pěina smluv v porfoliu. Kmen rizikového živoního pojisění je nejmenší a voří jej pouhá dvaceina sjednaných smluv. U všech nabízených pojisných produků mají více pojisných smluv sjednáni muži než ženy. Nejvěší rozdíl v poču sjednaných smluv vzhledem k pohlaví je přiom u rizikového živoního pojišění, kde muži mají sjednané přibližně dvě řeiny smluv kmene. Nejmenší rozdíl je u kapiálového živoního pojišění, kde muži mají sjednáno 54% a ženy 46% smluv. 3.1 Modelové body Vzhledem k omu, že modelaci budeme provádě v MS Excel, byl by pořebný výpočení čas k simulaci všech smluv v uvažovaném porfoliu neúnosně velký. V akovém případě se používají akzvané modelové body (Model Poins), což jsou vhodně sanovené ypické 20

23 smlouvy zasupující určié množsví smluv v porfoliu. Srukura smluv v porfoliu je pak aproximována dosaečným počem zvolených modelových bodů spolu s počem planých smluv, keré jednolivé modelové body zasupují. Výběr vhodných zásupců smluv se provádí na základě analýzy pojisného kmene, kerá zkoumá charakerisické veličiny, jakými jsou pojisný produk, pohlaví, věk ad. V našem případě si pojisné smlouvy rozdělíme na osm skupin podle pojisných produků a pohlaví. Každou z ěcho skupin na ři podskupiny podle věku pojišěného a o ak, že v první podskupině jsou smlouvy se vsupním věkem pojišěného od 15 do 31 le, ve druhé podskupině jsou smlouvy se vsupním věkem pojišěného od 32 do 48 le a ve řeí podskupině jsou smlouvy se vsupním věkem pojišěného od 49 do 65 le. Pro každou podskupinu pak sanovíme jeden modelový bod. Modelové body budou mí průměrný vsupní věk, průměrnou pojisnou dobou a průměrnou pojisnou čásku v dané podskupině. Modelové body flexibilního a invesičního živoního pojišení pak dále budou mí průměrné běžně placené pojisné a průměrné mimořádně placené pojisné v jednom pojisném roce v příslušné podskupině. Modelové body invesičního živoního pojišění pak ješě budou mí průměrnou alokaci do jednolivých invesičních fondů v příslušné podskupině. Přehled ako sanovených modelových bodů spolu s počem smluv, keré reprezenují, je uveden v abulce 7. Poče Modelový Pojisný Pohlaví x n K BP M P ar dr smluv bod produk (Kč) (Kč) (Kč) (%) (%) 933 MB MB MB MB MB MB MB MB MB MB MB MB MB MB MB MB MB MB MB MB MB MB MB MB 24 RŽP muž RŽP muž RŽP muž RŽP žena RŽP žena RŽP žena KŽP muž KŽP muž KŽP muž KŽP žena KŽP žena KŽP žena FŽP muž FŽP muž FŽP muž FŽP žena FŽP žena FŽP žena IŽP muž IŽP muž IŽP muž IŽP žena IŽP žena IŽP žena Tabulka 7: Modelové body 21

24 Z paramerů modelových bodů a poču smluv, keré zasupují, lze pak vypozorova další vlasnosi pojisných kmenů jednolivých pojisných produků modelovaného porfolia. U rizikového živoního pojišění jsou přibližně dvě řeiny pojišěných ve sředním věku, čvrina pojišěných v mladším věku a šesina pojišěných ve sarším věku. U kapiálového a flexibilního pojišění je přibližně polovina pojišěných v mladším věku, řeina ve sředním věku a čvrina ve sarším věku. U invesičního živoního pojišění je přibližně jedna šesina pojišěných ve sarším věku a zbylé pojisky mají sjednáni éměř půl na půl klieni mladšího a sředního věku. Průměrná pojisná doba je nejkraší u invesičního živoního pojišění a o nezávisle na pohlaví a věku. Pro osaní pojisné produky plaí, že s rosoucím věkem pojišěného klesá výše průměrné sjednané pojisné doby. U flexibilního živoního pojišění je přiom průměrná pojisná doba smluv pojišěných osob v mladším a sředním věku vyšší než u osaních pojisných produků. Průměrná pojisná čáska je u rizikového živoního pojišění vyšší než u osaních pojisných produků. 3.2 Paramery pojisných produků Pro uvažované pojisné produky bude řeba zavés ješě další paramery a nasavi jejich hodnoy používané při modelaci. Pojisnou dobu n si rozdělíme na časové inervaly po jednolivých pojisných rocích. Akuálně probíhající pojisný rok si označíme jako. V průběhu pojišění pak bude nabýva hodno 1, 2,..., n. Na počáku pojišění bude = 0. Sornosrážku uplaňovanou z výše odbyného při sornu si definujeme jako 20%, 1 2, ς = 11, 5% 0, 5%, 2 < 18, (34) 2%, 18 <. Dále sanovíme výši podílu z výnosu rezerv resp. kapiálové hodnoy pojišění nad zaručeným výnosem přiznávaný klienovi jako a výši krácení podílu na výnosech v případě sorna jako Poplaek z mimořádného vkladu bude ve výši κ = 80% (35) λ = 25%. (36) η = 1%. (37) Procenní čás z běžně placeného pojisného, za kerou je v případě invesičního živoního pojišění možno nakupova podílové jednoky, je určena alokačním procenem a = { 85%, = 1, 95%, > 1. (38) Pro mimořádně placené pojisné v případě invesičního živoního pojišění plaí, že je po sržení poplaku za vklad celé alokováno do podílových fondů. 22

25 Pro podílové fondy bude dále plai, že nákupní cena podílové jednoky je vyšší než prodejní cena. Rozdíl mezi nákupní a prodejní cenou přiom sanovíme jako b = 5%. (39) Proceno správního poplaku srhávaného z hodnoy podílových fondů bude mí hodnou c = 0, 5%. (40) 23

26 4 Rizikové živoní pojišění běžně placené (RŽP) Prvním uvažovaným pojisným produkem modelovaného porfolia pojiš ovny je dočasné pojišění pro případ smri (Term Insurance) běžně placené. Pojisnou událosí je smr pojišěného před daem konce pojišění. Pojiš ovna vyplaí sjednanou pojisnou čásku K na konci roku, v němž osoba pojišěná ve věku x zemře, pokud k úmrí dojde před uplynuím pojisné doby n. Pojišění zanikne bez náhrady v případě sorna pojišění před uplynuím pojisné doby nebo při dožií se konce pojišění. 4.1 Finanční oky RŽP V dalším exu budeme dodržova konvenci, kdy pro finanční oky sanovené na základě podkladů 1. řádu budeme používa již dříve zavedené značení bez čárek např. P, E ad. a finanční oky sanovené na základě podkladů 2. řádu budeme označova čárkou např. P, E ad. Dále si zavedeme indikáor I [podmínka] = { 1, pokud podmínka je splněna, 0, pokud podmínka není splněna. (41) Finanční oky RŽP v pojisném roce jsou CF RZP = P 1 RZP E RZP 1 + I RZP X RZP, = 1,..., n. (42) Přiom předepsané pojisné je sanoveno na základě hodnoy příslušného bruopojisného jako kde P RZP 1 = B 1 x,n = K A1 x,n + α + γ ä x,n (1 β) ä x,n α 1, (43) A 1 x,n = M x M x+n D x, ä x,n = N x N x+n D x. (44) Očekávané náklady a provize jsou E RZP 1 = I [ = 1] α K + β P 1 RZP + γ K + ψ P 1 RZP. (45) Invesiční výnos odpovídá zúročení oků I RZP = (P RZP 1 E RZP 1 ) i. (46) Finanční ok pro pojisné plnění voří očekávané výplay při pojisné událosi smr X RZP = q x+ 1 K. (47) 24

27 Příklad 4.1: Modelace finančních oků RŽP pro modelový bod MB 2 je uvedena v abulce 8. Jedná se o smlouvu RŽP, kde pojišěný je muž se vsupním věkem 39 le, pojisnou dobou 15 le a pojisnou čáskou Kč. P RZP 1 E RZP 1 I RZP X RZP CF RZP Tabulka 8: Finanční oky RŽP 4.2 Zisk RŽP Rezerva pojisného živoních pojišění RŽP je sanovena na základě sejných podkladů jako pojisné a odpovídá příslušné bruorezervě. Přiom je řeba zohledni skuečnos, že dle plané legislaivy jsou případné záporné hodnoy rezerv pojisného živoních pojišění nahrazovány nulami. Rezerva vyvářená na konci pojisného roku je edy { bruo V RZP bruo RZP RZP Vx,n, Vx,n 0, = bruo RZP (48) 0, Vx,n < 0, kde bruo RZP Vx,n = K A 1 x+,n- + β Bx,n 1 ä x+,n- + K γ ä x+,n- Bx,n 1 ä x+,n-.(49) Očekávaný zisk RŽP v pojisném roce pak můžeme vyjádři jako P RO RZP = CF RZP + IR RZP R RZP, = 1,..., n, (50) kde je zhodnocení finančního umísění rezervy a je změna savu rezervy. IR RZP = V RZP 1 i (51) R RZP = (1 q x+ 1) (1 ρ ) V RZP V RZP 1 (52) 25