TQ Řízení jakosti JiříMilitký Užitná hodnota Regulační diagramy Jakost textilních útvarů Užitná hodnota I Znaky jakosti jsou vyjádřené tzv. užitnými vlastnostmi, které jsou jednoduše měřitelné (pevnost, tažnost, navlhavost) mající u některých výrobků (např. oděvních textilií) malý význam, přímo neměřitelné (omak, vůně, komfort při použití, vzhled), které jsou zejména pro výrobky spotřebního charakteru rozhodující.
Užitná hodnota II K-tice užitných vlastností R,...,R K. a základě přímých a nepřímých měření lze stanovit ukazatele jakosti (průměr, rozptyl, kvantily, podíl prvků mimo meze atd.) x,...,x K. Tyto ukazatele charakterizují vhodným způsobem užitné vlastnosti. Funkční transformace (založená často na psycho-fyzikálních zákonech) definuje dílčí úroveň jakosti u i = f ( xi, KD, KH) K D je předepsaná hodnota užitné vlastnosti pro právě nevyhovující (u i = 0) a K H pro právě vyhovující (u i = ) výrobek u 0 O K x w i Užitná hodnota III Celková úroveň jakosti, označovaná jako užitná hodnota výrobku, je vhodný vážený obecný průměr dílčích úrovní i i u = ave( u, w) jsou váhy definující význam dané užitné vlastnosti a související s účelem použití výrobku. S ohledem na své vlastnosti (pro nulové u i vychází také u = 0) se obyčejně používá vážený geometrický průměr.
Problémy výpočtu U nalezení pokud možno úplné množiny významných užitných vlastností, stanovení jejich velikosti (měření), nalezení vhodných vah. Výrobce bude preferovat především dodržení technologických parametrů výroby a snažit se omezovat variabilitu produktů. Zpracovatel bude hodnotit zpracovatelské vlastnosti vstupujícího "meziproduktu" a jejich vliv na jakost vyráběného produktu. Spotřebitele budou zřejmě zajímat užitné vlastnosti, které nemusí přímo souviset s jakostí vyjádřenou z hlediska výrobce a zpracovatele (organoleptické vlastnosti, vzhled, životnost atd.). Použití U Protože je užitná hodnota u stanovena na základě experimentálních údajů, jde o náhodnou veličinu, pro kterou lze určit střední hodnotu E(u), rozptyl D(u) a interval spolehlivosti střední hodnoty. a základě těchto údajů lze pak porovnávat rozdíly mezi užitnými hodnotami výrobků s ohledem na přesnosti měření jednotlivých charakteristik. Komplexní charakteristika jakosti užitná hodnota se při řízení jakosti přímo ve výrobě uplatňuje velmi obtížně. Hodí se spíše pro komparaci finálních výrobků.
Regulační diagramy Použití Regulační diagramy patří k základním nástrojům pro regulaci jakosti při výrobních procesech. Dají se však použít zcela obecně všude tam, kde jsou postupně v čase získávány informace o jakosti. Umožňují pro procesy, které jsou statisticky regulovatelné (měřený znak jakosti má stejné v čase neměnné rozdělení) modifikovat výrobní procesy tak, aby procento zmetků (kdy znak jakosti leží mimo předepsané meze) bylo dostatečně malé. Hodí se velmi dobře zejména pro monitorování procesů pomocí počítače. Regulační diagramy Historie V květnu 94 navrhl W.A.Shewhart z Bell Telephone Laboratory první regulační diagram pro posouzení toho, zda je variabilita sledovaného procesního parametru způsobena náhodným kolísáním, nebo speciálními příčinami (seřízení strojů, změna surovin, atd.). Vsoučasné době představují Shewhartovy regulační diagramy v praxi nejrozšířenější typ, i když nejsou zdaleka univerzální.
Regulační diagramy Shewhartova typu centrální linie CL (standardní, očekávaná, cílová hodnota charakteristiky znaku jakosti) regulační meze (LCL a UCL). Tyto meze určují interval, ve kterém s velkou pravděpodobností leží charakteristiky znaku jakosti, pokud je proces v požadovaném stavu. Charakteristiky znaku jakosti mimo regulační meze. Proces je "mimo" požadovaný stav a je třeba provést korekce Charakteristiky znaků jakosti: průměr x S, směrodatná odchylka s, variační rozpětí R, podíl nestandardních výrobků P, počet defektních výrobků C a počet defektů na výrobek u. Regulační diagramy Ostatní Speciální typy regulačních diagramů jako jsou kumulativní součty (CUSUM), pohyblivé průměry (MA) atd. vycházejí z metod analýzy časových řad a konstrukčně se poněkud liší od regulačních diagramů Shewhartova typu. Vícerozměrné regulační diagramy pro více znaků jakosti současně
Regulační diagramy Dílčí výběry I Je-li měření znaku jakosti jednoduché a rychlé lze provést opakovaná měření (prakticky ve stejném čase) a získat (v různých časech) několik výběrů V,...,V M. Výběr V j :velikost, výběrový průměr x sj a rozptyl s j. Rozdělení výběrových průměrů x s je (d, s /) a výběrové průměry jsou vzájemně nezávislé. Odhadem střední hodnoty d je pak generální průměr d d = M M j= x sj Regulační diagramy Dílčí výběry II Odhadem směrodatné odchylky s je např. průměrná směrodatná odchylka M σ = s j MC. 4 j= C 4 je konstanta zajišťující nevychýlenost ( - ) s χ ( - ) σ Střední hodnota výběrové směrodatné odchylky je Γ(.) je gamma funkce. Γ(/ ) C 4 = D(s) = σ ( - C ) - Γ( - ) / ) 4 Pro odhad směrodatné odchylky s se také používá vztah Odhad s však již není nevychýleným E(s) = C4 σ σ - = + j= 4 - M s M j
Statistické základy H 0 : μ = 74 H : μ 74 Regulační diagramy x s pruhem I K posuzování stavu sledovaného procesu se využívají aritmetické průměry x Si (resp. obecněji parametr polohy). Vyžadují ke své konstrukci buď znalost parametrů d, s normálního rozdělení (ze kterého data pocházejí), resp. pouze znalost vhodných odhadů d a s. Z vlastností normálního rozdělení plyne, s jakou K σ d ± pravděpodobností se vyskytuje veličina x s v mezích Pro K =.96 to je 0.95 a pro K = 3.09 je to 0.999. V praxi se pro konstrukci regulačních mezí volí běžně hodnota K = 3, které odpovídá pravděpodobnost 0.9973 LCL = d - 3σ UCL = d + 3σ
Regulační diagramy x s pruhem II Vypočtené regulační meze jsou odhady regulačních mezí LCL a UCL. Veličina d má normální rozdělení a veličina s (jako průměr M nezávislých proměnných) má také přibližně normální rozdělení. Pak také LCL jako lineární kombinace d a s má přibližně normální rozdělení. D( UCL) = + 9( - C ) M E( UCL) = d + 3 σ = UCL σ 4 = Kσ C4 M Je zřejmé, že pravděpodobnost p, s jakou x S překročí regulační meze je závislá na M a. Pro M = 30 a = 5, je C 4 = 0.94 a p = 0.00378. Pravděpodobnost P, s jakou se x S vyskytuje v regulačních 3 p = - F mezích, je P = - p = 0.996 + M K Kritérium ARL I Pro posouzení regulačních diagramů je vhodné sledovat počet hodnot v regulačním diagramu L, který je třeba k tomu, aby bylo indikováno překročení regulačních mezí (run length). Pokud jsou výběrové průměry nezávislé, má veličina L geometrické rozdělení s pravděpodobnostní funkcí i- P(L = i) = p( - p ) i =,,3,... p je pravděpodobnost toho, že jeden výběrový průměr x S překročí regulační meze. Střední hodnota E(L) se označuje jako ARL E(L) = ARL = / p D(L) = D(ARL) = - p Pro regulační diagramy "x s pruhem" je v případě exaktních regulačních mezí LCL a UCL ARL = 370.37 a D(L) = 36 803.84. p
Kritérium ARL II Pro případ přibližných regulačních mezí počítaných z odhadů střední hodnoty a rozptylu jsou e j = x Sj - UCL e k = x Sk - UCL vždy pozitivně korelované. Pro korelační koeficient platí - - ρ(e j, e k) = [ + M( + K ) ] 9(- C ) 4 K = + C4 Změny ARL ejjednodušším typem změny stavu procesu vlivem speciálních příčin je posun střední hodnoty d na velikost d p. Pro tento případ je možno snadno určit, že pravděpodobnost, s jakou bude ležet x S v mezích LCL a UCL, je rovna p = Φ (A-3)+ Φ (A +3) A = (d - d p) σ Pro A = vyjde ARL = 43.89 a pro A = je ARL = 6.3. Také pro složitější změny stavu procesu lze buď analyticky, nebo na základě simulací určit ARL.
Regulační diagramy Předpoklady Při konstrukci regulačních diagramů "x s pruhem" se vychází z těchto předpokladů: A. rozdělení dat je alespoň přibližně normální, B. velikosti výběrů jsou stejné, C. měření jsou nezávislá, D. v datech nejsou vybočující měření (hrubé chyby). Obecně je tedy třeba jak ve fázi konstrukce, tak i ve fázi použití regulačních diagramů testovat předpoklady o datech, podobně jako při statistické analýze jednorozměrných výběrů enormalita I Často má sledovaný parametr sešikmené rozdělení (pevnost, koncentrace ve stopové analýze, atd.). Pro menší a střední šikmosti se nenormalita výrazně neprojeví, pokud je počet prvků v jednotlivých výběrech > 5. Pro větší šikmosti je možno použít řady technik: A. nalézt vhodnou normalizační transformaci (např. ve třídě Box- Coxovy rodiny mocninných transformací) a realizovat regulační diagramy v transformovaných proměnných. Jednoduché empirické pravidlo doporučuje použití logaritmické transformace dat, pokud jsou prvky ve výběrech řádově rozdílné.
enormalita II B. alezení vhodné teoretické hustoty pravděpodobnosti, resp. distribuční funkci F T a určení mezí LCL a UCL tak, aby F T(LCL) = - F T(UCL) = p/ kde standardně p = 0.007. Pro hledání F T je možné použít jak teoretických úvah, tak i celé řady exploratorních metod (např. Q-Q grafy, atd.). enormalita III C.Použití heuristické techniky, vycházející z pravděpodobnosti P x, že výběrové průměry x Sj leží pod generálním průměrem d. Tato pravděpodobnost se dá odhadnout z počtu výběrových průměrů x s ležících pod d P = x M Pro rozdělení sešikmené k vyšším hodnotám je pak M I Sj j [ x ] I = xsj [x ] Sj [x ] Sj Px UCL = d + 3σ LCL = d - 3σ > d I =0 xsj d ( - P ) x
Autokorelace Vlivem autokorelace dochází ke zkreslení regulačních diagramů "x s pruhem". apř. v případě pozitivní autokorelace roste počet případů, překračujících regulační meze, i když je proces v požadovaném stavu (falešný poplach). Pro případ autokorelace prvního řádu s autokorelačním koeficientem r platí pro střední hodnotu výběrového rozptylu vztah E(s ) = σ ( - ρ/) Při použití s tedy v případě pozitivní autokorelace vyjde rozptyl střední hodnoty podhodnocený (nesprávně menší). ěkteří autoři dooručují pro omezení vlivu autokorelace zvětšit regulační meze o faktor. / - ρ Často lze zdroje autokorelace indikovat a odstranit. Vybočující měření Vybočující měření zkreslují odhady d a s a vedou k rozšiřování regulačních mezí. Robustní náhrada ch rozptylů interkvartilovým rozmezím a = int[ / 4] + a b = - a + IQR = x (b) - x(a) Místo průměrů x Sj lze použít robustní odhady polohy G j, místo rozptylů robustní odhady rozptýlení s Rj a místo aritmetických průměrů d a σ robustní charakteristiky polohy T(G), T(s R ). UCL = T(G) + 3 T(s R) D(G) / E(T(s R)) LCL = T(G) - 3 T(s R) D(G) / E(T(s R)) Mediánové regulační diagramy, G j jsou mediány, s Rj jsou interkvartilové rozmezí a T(.) je aritmetický průměr. Pro normální rozdělení jsou robustní regulační diagramy méně efektivní. Pro mediánové diagramy a = 5 je směrodatná odchylka o faktor. větší, tj. meze jsou o 0% širší.
Regulační diagramy Hodnocení I Regulační diagramy "x s pruhem" jsou málo citlivé na malé systematické změny střední hodnoty d (trend). Pro tyto účely se konstruují ještě výstražné meze ve vzdálenostech ± s / a ± s / od generálního průměru d. Pro indikaci trendu se pak používá celá řada heuristických pravidel Regulační diagramy Hodnocení II Existuje ještě celá řada dalších heuristických pravidel, které mohou být pro speciální případy užitečné.
Regulační diagramy pro posouzení variability Tyto regulační diagramy umožňují posouzení úrovně variability procesu. Vycházejí opět z předpokladu normality nezávislosti výběru a konstantnosti rozptylů. Regulační diagram "s" má centrální linii s p = s C 4 a regulační meze LCL = s - p σ χ 0.00 ( - ) - UCL = s + p σ χ 0.999 ( - ) ( - ) χ r ( - ) je 00 n%ní kvantil chí-kvadrát rozdělení s - stupni volnosti. Volba n = 0.00 a n = 0.999 zajišťuje, že v regulačních mezích bude ležet (pokud je proces v požadovaném stavu) 99.8 % všech výběrových směrodatných odchylek. Regulační diagram R áhrada směrodatné odchylky s variačním rozpětím R R = x - x, () () x () je nejvyšší a x () nejmenší prvek výběru. Při konstrukci regulačního diagramu "R" se používá průměrné rozpětí R p z výběrů V,...,V M. Pro regulační meze platí LCL = R p - DR 3 p UCL = R p + DR 4 p Hodnoty D 3, D 4 souvisejí pouze s rozsahem výběru. Pro = 3 je D 3 = 0, D 4 =.575 pro = 5 je D 3 = 0, D 4 =.5 a pro = 0 je D 3 = 0.33, D 4 =.773. Dolní meze pro regulační diagramy "s" a regulační diagramy "R" ztrácejí smysl a často se definuje pouze horní regulační mez.
Regulační diagramy pro jednotlivé hodnoty V některých případech není možné provést prakticky ve stejném čase -tici měření pro sestavení výběru V. V řadě případů je také kolísání charakteristik sledovaného procesu příliš rychlé ve srovnání s měřením, takže "průměrování" postrádá smysl. Pak se konstruují regulační diagramy pro jednotlivá měření. Ty mají celou řadu nevýhod: - jsou citlivé na nenormalitu rozdělení znaku x (rozdělení průměru x s se více blíží normálnímu než rozdělení původních hodnot), - jsou málo citlivé na posun střední hodnoty - jsou negativně ovlivněny trendy v datech, - - jsou citlivé na velikosti výběru ze kterých se odhadují parametry rozdělení. Regulační diagramy pro jednotlivé hodnoty Vyjděme z předpokladu, že znak jakosti x má normální rozdělení (d, s ). Parametry d a s se odhadují z výběru velikosti. Vzhledem k tomu, že jde pouze o jeden výběr, je třeba aby > 50 a před vlastní analýzou bylo provedeno ověření normality, resp. identifikace vybočujících měření. Parametr d se odhaduje jako aritmetický průměr x s a odhadem parametru σ je výběrový rozptyl s. Vzhledem k tomu, že odpovídající směrodatná odchylka s je vychýleným odhadem, používá se místo ní nevychýlený odhad s = s/c LCL = x - 3s 4 S UCL = x S + 3s Do tohoto grafu se vynášejí přímo naměřené hodnoty znaku x.
Regulační diagramy pro pohyblivé rozpětí Místo výběrové směrodatné odchylky se v praxi s oblibou používá průměrného pohyblivého rozpětí MR = abs(x i - x i-) - S pomocí MR lze definovat odhad směrodatné odchylky (pro případ normálního rozdělení) σ ~ = π MR/ = 0.8865 MR i= UCL = x + 3 ~ σ LCL = x - 3 ~ σ S S = x +.6595 MR S = x -.6595 MR S Doporučená velikost výběru je = 300. Regulační diagramy pro diskrétní znaky I V řadě případů lze sledovaný znak jakosti rozdělit pouze do dvou kategorií - vyhovující a nevyhovující (zmetek). V různých časech lze získat z výběru velikosti celkový počet x (nevyhovujících). Podíl nevyhovujících výrobků je pak zřejmě P = Tento podíl je odhadem pravděpodobnosti výskytu nevyhovu-jících výrobků P. Je však třeba použít dostatečně vysoké (obyčejně > 500). Lze ukázat, že pro P nepříliš vzdálené od 0.5 a střední mají veličiny přibližně normované normální rozdělení (0,) Z = x x - P Z = P ( - P ) P - P P ( - P )/
Regulační diagramy pro diskrétní znaky II Regulační diagramy "np" pro počet nevyhovujících jednotek mají centrální linii P a regulační meze LCL = P - 3 P ( - P ) UCL = P + 3 P ( - P ) Vynáší se do nich počet nevyhovujících výrobků určený z výběrů velikosti. Regulační diagramy "p" pro podíl nevyhovujících výrobků mají centrální linii P a regulační meze LCL = P - 3 P ( - P )/ UCL = P + 3 P ( - P )/ Problém při použití těchto diagramů spočívá v tom, že platí velmi přibližně, zejména pro malá a P vzdálené od 0.5. Regulační diagramy pro diskrétní znaky III Pro malé výběry je možné použít korekční faktor () - a pak LCL = P - 3 P ( - P ) / - / ( ) UCL = P + 3 P ( - P ) / + / ( ) Přiblížení k normalitě lze docílit např. použitím arkussínové transformace A(P ) = arcsin P + 3/8 + 3/4 E(A(P )) = arcsin P D(A(P )) = Lze tedy sestrojit regulační diagram p do které se vynášejí A(P ) se střední linií arcsin [ P ] a regulačními mezemi LCL = arcsin( P ) -.5 UCL = arcsin( P ) +.5 4
Regulační diagramy pro diskrétní znaky IV V některých případech je regulovanou veličinou počet vad výrobku C. Při konstrukci regulačního diagramu se vychází z předpokladu, že parametr C má Poisonovo rozdělení. Velikost C se prakticky odhaduje jako průměrný počet vad C P určený z výrobků. Regulační diagramy "c" pak mají centrální linii C P a regulační meze jsou LCL = C P - 3 CP UCL = C P + 3 C Tyto limity vycházejí z aproximace Poissonova rozdělení rozdělením normálním. Zlepšení aproximace lze docílit vhodnou transformací. B(C) = C + C + kdy jsou toleranční meze B( C P ) ± 3 P Ověření typu diskrétního rozdělení I Obecně je důležité ověřit, zda diskrétní data pocházejí z binomického nebo Poissonova rozdělení a podle toho volit další zpracování. A. Pro Poissonovo rozdělení platí, že E(x) = l = D(x), tj. střední hodnota je totožná s rozptylem. Parametr λ se odhaduje jako aritmetický průměr λ = xs.při konstrukci regulačních diagramů Shewhartova typu se pak používá buď normalizační aproximace nebo vztahu mezi Poissonovým a chí-kvadrát rozdělením. B. Pro binomické rozdělení platí, že E(x) = n.p D(x) = n.p ( - p) To znamená, že rozptyl se nerovná střední hodnotě. Parametr p se odhaduje s pomocí výběrového aritmetického průměru
Ověření typu diskrétního rozdělení II Jednoduše lze ověřit shodu rozdělení diskrétních dat s Poissonovým a binomickým rozdělením s využitím grafu poměru frekvencí. Orientačně lze použít poměru rozptylů V = s /D(x) kde D(x) se dosazuje podle toho, které rozdělení se ověřuje. Pokud leží V mimo interval 0.8 V.5, ukazuje to, že dané rozdělení neaproximuje dobře experimentální data.