LIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení
|
|
|
- Milena Havlová
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 LIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení
2 Způsoby statistického šetření Vyčerpávající šetření prošetření všech jednotek statistického souboru (populace) Výběrové šetření ze základního souboru (populace) o rozsahu N vybereme jeho část, tzv. výběrový soubor, zkráceně výběr, o rozsahu n. Ze zpracovaných výsledků pak usuzujeme na vlastnosti celé populace Výhody: přesnost a detailnost zjištěných informací Nevýhody: personální, finanční a časová náročnost Výhody: menší personální, finanční a časová náročnost Nevýhody: mírou objektivnosti získaných informací je kvalita provedení výběrového šetření 011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
3 Náhodné výběry Používáme k modelování a zkoumání populace. Výběr musí být reprezentativní (všechny jednotky, z nichž se skládá populace, musí mít stejnou šanci na zařazení do zkoumaného výběru) Statistická indukce na základě zkoumání omezeného počtu statistických jednotek (výběru) usuzuje na vlastnosti celé populace. 011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
4 Parametry populace vs. výběrové charakteristiky Parametry základního souboru (populace) střední hodnota µ, rozptyl σ, směrodatná odchylka σ, pravděpodobnost π,. Parametry populace jsou konstantní hodnoty (pro určitou náhodnou veličinu, v pevném čase). Jestliže neznáme rozdělení náhodné veličiny, nedokážeme parametry většinou přesně určit. Parametry výběrového souboru jsou příslušné protějšky parametrů populace, ozn. výběrové charakteristiky. Výběrů ze základního souboru může být mnoho =>výběrové charakteristiky jsou proměnlivé (variabilní), proto mají charakter náhodných veličin, lze je popsat nějakým rozdělením, mají také svou střední hodnotu, rozptyl a všechny ostatní charakteristiky. 011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
5 Základní parametry populace a příslušné výběrové charakteristiky výběrové charakteristiky jsou náhodné veličiny, jejichž jednotlivé realizace lze získat výpočtem pozorovaných hodnot těchto charakteristik pro jednotlivé výběry o rozsahu n. (Např. Průměrný plat 0 občanů ČR je náhodná veličina. Výpočtem průměrného platu konkrétních 0 občanů získáme jednu realizaci tohoto průměru, výpočtem průměrného platu jiného vzorku 0 občanů ČR získáme jinou realizaci průměru.) výběrová rozdělení = rozdělení pravděpodobností výběrových charakteristik. 011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
6 Limitní věty Tvrzení, která jsou důležitá pro popis pravděpodobnostních modelů v případě rostoucího počtu náhodných pokusů. Zákon velkých čísel Zabývá se konvergencí výběrového průměru ke střední hodnotě v posloupnosti nezávislých veličin. Centrální limitní věta - zabývá se konvergencí rozdělení k normálnímu rozdělení, dvě dílčí formulace: Lindebergova-Lévyho věta Moivreova-Laplaceova věta 011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
7 Zákon velkých čísel Říká, že průměr nezávislých náhodných veličin se stejnými středními hodnotami konverguje podle pravděpodobnosti k jejich střední hodnotě. Důsledkem je Bernoulliho věta: Relativní četnost sledovaného jevu konverguje podle pravděpodobnosti k jeho pravděpodobnosti. Umožňuje experimentálně odhadovat neznámou pravděpodobnost pomocí pozorované relativní četnosti (viz. pravděpodobnost toho, že padne šestka na cinknuté kostce, cv.3). 011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
8 Lindebergova-Lévyho věta Aproximace rozdělení součtů náhodných veličin Jestliže X 1, X,, X n jsou nezávislé náhodné veličiny se stejným (libovolným) rozdělením, stejnými středními hodnotami a se stejnými (konečnými) rozptyly, pak jejich součet konverguje v distribuci k normálnímu rozdělení o parametrech: nµ;nσ. {X n }: - nezávislé NV - NV se stejným typem rozdělení Pak: - EX 1 =EX = =EX n - DX 1 =DX = =DX n <, X n = i= 1 Xi N nµ ; ( nσ ) 011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
9 Důsledek Linderbergovy-Lévyho věty Aproximace rozdělení průměru náhodných veličin Jestliže X 1, X,, X n jsou nezávislé náhodné veličiny se stejným (libovolným) rozdělením, stejnými středními hodnotami a se stejnými (konečnými) rozptyly, pak jejich průměr konverguje v distribuci k normálnímu rozdělení o parametrech: µ;σ /n. {X n }: - nezávislé NV - NV se stejným typem rozdělení Pak: - EX 1 =EX = =EX n - DX 1 =DX = =DX n <, X = n N µ σ n i i= 1 ; n X 011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
10 1. Zatížení letadla s 64 místy nemá překročit kg. Jaká je pravděpodobnost, že při plném obsazení bude tato hodnota překročena, jestliže má hmotnost cestujícího střední hodnotu 90 kg a směrodatnou odchylku 10 kg? 011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
11 Řešení: X i... hmotnost i-tého cestujícího Rozdělení NV neznáme, ale víme: EX i = 90 kg, DXi X celková hmotnost všech cestujících podle Lindebergovy- Lévyho věty: P X 64 = i = 1 X X n = ( X > 6000 ) = 0, 0014 i i = 1 N X i ( 90; n 10 ) N n Pravděpodobnost, že při plném obsazení bude překročena hodnota 6000 kg je 0,14 %. = 10 kg ( = 5760;64 10 = 6400), 011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
12 . Denní procento přijatých kalorií z tuku můžeme u Američanů modelovat normálním rozdělením se střední hodnotou 36 % a směrodatnou odchylkou 10 %. Předpokládejte, že jste náhodně vybrali 45 Američanů, určete: a) rozdělení průměrného procenta přijatých kalorií z tuků, b) pravděpodobnost, že 45 Američanů bude přijímat denně průměrně více než 40 % kalorií z tuku, 011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
13 Řešení: X i... denní procento přijatých kalorií z tuku u i-tého Američana X i N(36;100) a) X průměrné denní procento kalorií přijatých z tuku u 45 Američanů podle Lindebergovy-Lévyho věty: X = 45 X i i = 1 N ; 45 X N( 36;, ) Průměrné procento přijatých kalorií z tuků můžeme u 45 Američanů modelovat normálním rozdělením se střední hodnotou 36 % a směrodatnou odchylkou 1,5 %. 011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
14 Řešení: b) X průměrné denní procento kalorií přijatých z tuku u 45 Američanů X N( 36;, ) P ( X > 40 ) = 0, 004 Pravděpodobnost, že průměrné procento denně přijatých kalorií z tuku je u 45 Američanů větší než 40 % je 0,4%. 011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
15 3. Předpokládejme, že délku odevzdávaných seminárních projektů ze statistiky můžeme modelovat rovnoměrným rozdělením od 13 do 5 stran. Mějme cvičícího se 47 studenty, určete pravděpodobnost, že cvičící musí za semestr přečíst více než 1000 stran semestrálních projektů. 011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
16 Řešení: X i... délka i-tého odevzdaného smestrálního projektu X i R(13;5) Střední hodnotu a rozptyl dopočítáme podle vzorečků pro rovnoměrné rozdělení: E ( ) = = 19 D( X i ) X i X celková délka všech odevzdaných projektů podle Lindebergovy-Lévyho věty: X = i = 1 X i ( X > 1000 ) = 0, 097 Pravděpodobnost, že cvičící musí za semestr přečíst více než 1000 stran semestrálních projektů je 9,7 %. P N ( 13 5) 1 ( = 893;47 1 = 6768) = = Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
17 4. Předpokládejme, že světová třída vytrvalostních běžců uběhne maratón průměrně za 135 minut se směrodatnou odchylkou 14 minut. Nalezněte: a) rozdělení průměrného času na maratónu u 49 závodníků, b) pravděpodobnost, že průměrná doba na dokončení maratónu je u těchto 49 závodníků mezi 13 a 136 minutami. 011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
18 Řešení: a) X i... doba běhu i-tého závodníka Rozdělení NV neznáme, ale víme: EX i 135 min, DX = 14 min, = i X průměrná doba běhu 49 závodníků podle Lindebergovy- Lévyho věty: X = 49 X ; 49 i i = 1 N = 7 = X N( 135;4 ) Průměrný čas běhu maratónu u 49 závodníků můžeme modelovat pomocí normálního rozdělení se střední hodnotou 135 minut a směrodatnou odchylkou minuty. 011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
19 Řešení: b) P X ( 13 < X < 136) = 0, 65 průměrná doba běhu 49 závodníků X N( 135;4 ) Pravděpodobnost, že průměrná doba na dokončení maratónu je u 49 závodníků mezi 13 a 136 minutami je 6,5 %. 011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
20 Moivreova-Laplaceova věta Vyjadřuje konvergenci binomického rozdělení k normálnímu rozdělení ( n;p ); EX = np; DX = np( -p) X Bi 1, pak pro dostatečně velká n: X ( ; ( p) ) N np np 1 Aproximace dává dobré výsledky, když: { } 5 np ( 1 p) > 9 nebo min np; np( 1 p) > 011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
21 Další aplikace CLV Aproximace výběrové relativní četnosti normálním rozdělením: π ( 1 π) p N π; n Aproximace Poissonova rozdělení normálním rozdělením: ( ) t X Po λt, EX = λt, DX = λ pak pro dostatečně velké t platí, že X můžeme aproximovat norm. rozdělením X N λt, λt ( ) Aproximace průměrného počtu výskytu události za časovou jednotku normálním rozdělením: Nechť Y je průměrný počet výskytu události za časovou jednotku, pak: λ Y N λ, t 011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
22 Oprava na spojitost Oprava na spojitost (u pravděpodobnostní funkce): Jestliže aproximujeme diskrétní náhodnou veličinu spojitou, pak: ( X = a) = P( a 0 5 X < a+ 0,5) P, Obecně oprava na spojitost: Posouzení vhodnosti použití opravy na spojitost provádíme vždy při řešení konkrétního příkladu důsledným převodem pravděpodobnosti výskytu náhodné veličiny na nějakém intervalu na vztah mezi distribučními funkcemi v příslušných bodech.
23 5. Na telefonní ústřednu je napojeno 3000 účastníků. Každý z nich bude volat telefonní ústřednu během hodiny s pravděpodobností 10%. Jaká je pravděpodobnost, že během následující hodiny zavolá ústřednu: a) právě 300 účastníků? b) více než 310 účastníků? c) mezi 00 a 450 účastníky(včetně)? 011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
24 Řešení: X počet účastníků volajících ústřednu (z 3000) X Bi(3000;0,1) a) 3000! P( X = 300) = ( 0,1 ) 300 ( 0, 9) !300! Na kalkulačce nelze vypočítat => aproximujeme pomocí Moivreovy-Laplaceovy věty: EX=n p DX=n p (1-p) X Bi(3000;0,1) X N(3000 0,1;3000 0,1 0,9) X N(300;70) P ( X = 300) = 0 oprava na spojitost: P ( 99,5 X < 300,5 ) = P( X < 300,5 ) P( X < 99,5 ) = 0, 04 Pravděpodobnost, že během následující hodiny zavolá ústřednu právě 300 účastníků je,4 %. 011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
25 Řešení: b) Aproximujeme pomocí Moivreovy-Laplaceovy věty: X Bi(3000;0,1) X N(300;70) P ( X > 310) = 1 P( X 310) oprava na spojitost: P ( X > 310 ) = 1 P( X < 310,5 ) = 0, 61 Pravděpodobnost, že během následující hodiny zavolá ústřednu více než 310 účastníků je 6,1 %. 011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
26 Řešení: c) Aproximujeme pomocí Moivreovy-Laplaceovy věty: X Bi(3000;0,1) X N(300;70) P ( 00 X 450) = P( X 450) P( X < 00) = 1 Pravděpodobnost, že během následující hodiny zavolá na ústřednu mezi 00 a 450 účastníky (včetně) je 100 %. Použitá aproximace dává velmi dobré výsledky (velmi blízké skutečným), protože je splněna podmínka, že: np(1- p)>9, (70 > 9). 011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
27 6. Sekretářka Petra píše na stroji rychlosti 50 úhozů / min. Při této rychlosti udělá průměrně 3 chyby za 10 minut. Jaká je pravděpodobnost, že při 30 minutovém diktátu udělá více než 10 chyb? 011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
28 Řešení: P ( X > 10) = 1 P( X 10) = 094, X počet chyb v diktátu (30 minut) X Po(9) = 1 Srovnání s výpočtem pomocí centrální limitní věty: Poissonovu náhodnou veličinu s parametrem λt můžeme aproximovat pro dostatečně velká λt normálním rozdělením s parametry: µ=λt, σ =λt. X N(9;9) P Výsledky obou postupů se liší o 0,015, to je asi 5%ní chyba (0,015/0,94 100%). k 9 k! 011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA 10 k = 0 e 9 průměrný počet chyb za 30 min = 1 e ! ( X > 10) = 1 P( X 10) = 1 P( X < 105, ) = 1 F ( 105, ) = 1 Φ 05 (, ) = , = 0, ! ! 105, 9 = 1 Φ 9 =
29 011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
30 χ - rozdělení (Pearsonovo) Mějme nezávislé náhodné veličiny Z 1, Z,, Z n. i = 1,.. n : Z N 01 ; Pak X = n i= 1 i ( ) X χ n Z i n počet sčítaných nezávislých veličin = počet stupňů volnosti = jediný parametr rozdělení ( χ ) n D( χ ) n = n E n = x p... tabelovány 011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA Hustota pravděpodobnosti χ rozdělení
31 χ - rozdělení - vlastnosti Součet nezávislých náhodných veličin s χ rozdělením má opět χ rozdělení a počet stupňů volnosti je roven součtu stupňů volnosti jednotlivých veličin v součtu. X i χ, X = χ, n i n i pak ( i ) ( i ) Jestliže provedeme náhodný pokus spočívající v náhodném výběru o rozsahu n z populace podléhající normálnímu rozdělení s rozptylem σ. Pro uvedený výběr určíme výběrovou směrodatnou odchylku s. Lze ukázat, že náhodná veličina ( n 1) s σ máχ rozdělení s n-1 stupni volnosti. ( n 1) s Xi N ( µ ; σ ) χ n 1 σ X χ n i 011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
32 χ - rozdělení - použití ( n 1) σ s je testová statistika pro testy o rozptylu (je-li výběr z N(0;1)) χ se používá při testování nezávislosti kategoriálních veličin (testy nezávislosti v kontingenční tabulce) Test dobré shody (testování toho, zda data pocházejí z určitého rozdělení). Se vzrůstajícím počtem stupňů volnosti se χ rozdělení blíží normálnímu rozdělení N(n;n). 011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
33 7. Odvoďte distribuční funkci a hustotu pravděpodobnosti náhodné veličiny X, která má rozděleníχ n s jedním stupněm volnosti. 011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
34 Řešení: X = Z Z N(0;1) => X χ 1 Náhodná veličina X je funkcí náhodné veličiny Z (náhodná veličina s rozdělením χ 1 nabývá pouze kladných hodnot): pro x>0: pro x Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) Φ Φ 1 Φ Φ Φ = = = = = = = < < = < = < = x t x t dt e π dt e π x x x x x x Z x P x Z P x X P x F ( ) 0 = x F Náhodné výběry Limitní věty Další spojitá rozdělení Test
35 Řešení: Hustotu pravděpodobnosti určíme jako derivaci distribuční funkce: pro x>0: f ( x) ( ) ( ( ) ) ( ) x x d Φ x df = = = φ dx dx x x = πx e pro x 0: f ( x) ( ) df x = dx = Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
36 Studentovo rozdělení (t rozdělení) Z a X jsou nezávislé náhodné veličiny, kde ( 0; 1), X χ Z N, náhodná veličina T má studentovo rozdělení s n stupni volnosti Z Tn = t n X n n E ( T n ) = 0 D( T n ) = n t p tabelovány pro n (v praxi n>30) se Studentovo t rozdělení blíží normovanému normálnímu rozdělení. n pak Hustota pravděpodobnosti Studentova t rozdělení 011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
37 Studentovo rozdělení - vlastnosti Pokud náhodné veličiny X 1,X,...,X n mají normální rozdělení N(µ;σ ) a jsou navzájem nezávislé, pak náhodná veličina definována jako X µ n s má Studentovo t rozdělení s (n-1) stupni volnosti: X s µ n t n Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
38 Studentovo rozdělení - použití Studentovo t rozdělení má uplatnění zejména při modelování založeném na analýze malých výběrů. X s µ n je testovou statistikou využívanou při testování střední hodnoty (neznáme-li σ a jde-li o výběr z N(0;1)). Užívá se k testování hypotéz o shodě středních hodnot dvou náhodných výběrů, se stejnými předpoklady jako v předcházejícím případě - navíc musí být tyto výběry nezávislé. Rozdělení je vhodným prostředkem pro analýzu výsledků regresní analýzy. 011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
39 Fisher-Snedecorovo rozdělení V a W jsou nezávislé náhodné veličiny, obě s rozdělením chí-kvadrát, s různým počtem stupňů volnosti: V χ, W χn, pak m V m W n = n pro n n F = F m, n E ( F ) > D( F ) n n 1 + m = pro n ( n ) ( n 4) Hustota pravděpodobnosti Fisher-Snedecorova rozdělení > 4 F p = F 1 p 1 ( m, n) 011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
40 Fisher-Snedecorovo rozdělení - vlastnosti Mějme dva výběry z normálního rozdělení. i = 1,,.. n1, kde n1 je rozsah prvního výběru: X1 i N µ 1; σ1 j = 1,,.. n, kde n je rozsah druhého výběru: X j N µ ; σ Nechť výběrové rozptyly S 1, S a jsou náhodné veličiny definované jako S 1 = n ( X X ) ( X j X ) n1 i= 1 1i 1 j= 1, S = n1 1 n 1 ( ) ( ) pak S σ S σ 1 1 F n 1 1, n Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
41 Fisher-Snedecorovo rozdělení - použití Široké uplatnění, zejména při hodnocení výsledků statistických analýz. Používá se především testy o shodnosti rozptylů dvou náhodných výběrů testy o shodě středních hodnot pro více náhodných výběrů, v analýze rozptylu testy v regresní analýze 011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
42 8. Firma Edison vyrábí žárovky Ed. Životnost těchto žárovek je průměrně 5 let se směrodatnou odchylkou 6 měsíců. Žárovky jsou vyráběny na dvou linkách. Předpokládejme, že obě linky mají srovnatelné parametry, tj. že průměrná životnost a variabilita životnosti žárovek Ed vyrobených ve firmě Edison nezávisí na tom, na jaké lince byly vyrobeny. Pro ověření kvality výroby bude testována životnost 0 žárovek z linky 1 a 30 žárovek z linky. Jaká je pravděpodobnost, že u vzorku z linky 1 bude zjištěn více než dvojnásobný rozptyl oproti rozptylu zjištěnému u vzorku z linky? 011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
43 Řešení: S 1 S rozptyl životnosti zjištěný u vzorku z linky 1 rozptyl životnosti zjištěný u vzorku z linky Hledáme pravděpodobnost, že, tzn. S S. 1 > S 1 > S S P S 1 > =? Za předpokladu, že oba vzorky jsou výběrem z normálního rozdělení, platí: S1 σ1 F n 1 1, n 1 S σ 011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
44 Řešení: Ze zadání předpokládáme, že rozptyl životnosti žárovek vyrobených na jednotlivých linkách je stejný: σ = 1 σ Pak Testujeme: 0 žárovek z linky 1 => n 1 = 0 a 30 žárovek z linky => n = 30. S P S S S 1 > = 1 F19 9 F n 1 1, n 1 1,, ( ) S S F 19, 9 Pravděpodobnost, že u vzorku z linky 1 bude zjištěn více než dvojnásobný rozptyl oproti rozptylu zjištěnému u vzorku z linky je přibližně 4,5 %. 011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
45 Test 011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
46 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
47 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
48 . Výběrový průměr je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) populační charakteristika. 011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
49 . Výběrový průměr je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) populační charakteristika. 011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
50 3. S rostoucím rozsahem výběru se obvykle rozptyl průměru a) snižuje, b) zvyšuje, c) nemění. 011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
51 3. S rostoucím rozsahem výběru se obvykle rozptyl průměru a) snižuje, b) zvyšuje, c) nemění. 011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
52 4. Statistická indukce je a) experiment, b) metoda, která umožňuje odhadnout vlastnosti výběru na základě znalostí vlastností populace, c) zobecnění statistických výsledků získaných zpracováním výběru na celou populaci, d) metoda sběru dat. 011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
53 4. Statistická indukce je a) experiment, b) metoda, která umožňuje odhadnout vlastnosti výběru na základě znalostí vlastností populace, c) zobecnění statistických výsledků získaných zpracováním výběru na celou populaci, d) metoda sběru dat. 011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
54 5. Zákon velkých čísel v důsledku říká, že při dostatečném rozsahu výběru a) má průměr normální rozdělení, b) má průměr Studentovo rozdělení, c) se střední hodnota přibližuje teoretické hodnotě průměru, d) se relativní četnost přibližuje teoretické hodnotě pravděpodobnosti. 011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
55 5. Zákon velkých čísel v důsledku říká, že při dostatečném rozsahu výběru a) má průměr normální rozdělení, b) má průměr Studentovo rozdělení, c) se střední hodnota přibližuje teoretické hodnotě průměru, d) se relativní četnost přibližuje teoretické hodnotě pravděpodobnosti. 011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
56 6. Pro modelování průměru výběru dostatečně velkého rozsahu je vhodné použít rozdělení a) normální, b) Pearsonovo ( χ ), c) Studentovo, d) Fisher-Snedecorovo. 011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
57 6. Pro modelování průměru výběru dostatečně velkého rozsahu je vhodné použít rozdělení a) normální, b) Pearsonovo ( χ ), c) Studentovo, d) Fisher-Snedecorovo. 011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
58 7. Pro modelování průměru výběru malého rozsahu je vhodné použít rozdělení a) normální, b) Pearsonovo ( χ ), c) Studentovo, d) Fisher-Snedecorovo. 011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
59 7. Pro modelování průměru výběru malého rozsahu je vhodné použít rozdělení a) normální, b) Pearsonovo ( χ ), c) Studentovo, d) Fisher-Snedecorovo. 011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
60 8. Pro modelování relativní četnosti ve výběru o dostatečném rozsahu je vhodné použít rozdělení a) normální, b) Pearsonovo ( χ ), c) Studentovo, d) Fisher-Snedecorovo. 011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
61 8. Pro modelování relativní četnosti ve výběru o dostatečném rozsahu je vhodné použít rozdělení a) normální, b) Pearsonovo ( χ ), c) Studentovo, d) Fisher-Snedecorovo. 011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
62 9. Pro modelování rozptylu výběru z normálního rozdělení je vhodné použít rozdělení a) normální, b) Pearsonovo ( χ ), c) Studentovo, d) Fisher-Snedecorovo. 011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
63 9. Pro modelování rozptylu výběru z normálního rozdělení je vhodné použít rozdělení a) normální, b) Pearsonovo ( χ ), c) Studentovo, d) Fisher-Snedecorovo. 011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
64 10. Pro modelování poměru rozptylů dvou výběrů z normálního rozdělení je vhodné použít rozdělení a) normální, b) Pearsonovo ( χ ), c) Studentovo, d) Fisher-Snedecorovo. 011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
65 10. Pro modelování poměru rozptylů dvou výběrů z normálního rozdělení je vhodné použít rozdělení a) normální, b) Pearsonovo ( χ ), c) Studentovo, d) Fisher-Snedecorovo. 011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU Ostrava, STATISTIKA
ÚVOD DO TEORIE ODHADU. Martina Litschmannová
ÚVOD DO TEORIE ODHADU Martina Litschmannová Obsah lekce Výběrové charakteristiky parametry populace vs. výběrové charakteristiky limitní věty další rozdělení pravděpodobnosti (Chí-kvadrát (Pearsonovo),
Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový
ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN
ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN Rovnoměrné rozdělení R(a,b) rozdělení s konstantní hustotou pravděpodobnosti v intervalu (a,b) f( x) distribuční funkce 0 x a F( x) a x b b a 1 x b b 1 a x a a x b
Limitní věty teorie pravděpodobnosti. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jestliže opakujeme nezávisle nějaký pokus, můžeme z pozorovaných hodnot sestavit rozdělení relativních četností
KGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení
Vybraná rozdělení náhodné veličiny
3.3 Vybraná rozdělení náhodné veličiny 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Rozdělení Z 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Život je umění vytvářet uspokojivé závěry na základě nedostatečných předpokladů.
Přednáška. Další rozdělení SNP. Limitní věty. Speciální typy rozdělení. Další rozdělení SNP Limitní věty Speciální typy rozdělení
VI Přednáška Další rozdělení SNP Limitní věty Speciální typy rozdělení Rovnoměrné rozdělení R(a,b) Příklad Obejít celý areál trvá strážnému 30 minut. Jaká je pravděpodobnost, že u vrátnice budete čekat
Test z teorie VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY
VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY Test z teorie 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodný výběr Nechť X je náhodná proměnná, která má distribuční funkci F(x, ϑ). Předpokládejme, že známe tvar distribuční funkce (víme jaké má rozdělení) a neznáme parametr
Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.
Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která
Test z teorie VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY
VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY Test z teorie 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový
ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN
ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)
Charakterizace rozdělení
Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf
Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a
Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a báli jste se zeptat Jedinečnou funkcí statistiky je, že umožňuje vědci číselně vyjádřit nejistotu v jeho závěrech. (G. W. Snedecor)
Biostatistika Cvičení 7
TEST Z TEORIE 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový průměr je a) náhodná veličina, b) konstanta,
10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.
0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti
Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti
3.2 Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti Bůh hraje se světem hru v kostky. Jsou to ale falešné kostky. Naším hlavním úkolem je zjistit, podle jakých pravidel byly označeny, a pak toho využít pro
Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou
Přednáška X. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných
Přednáška X. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných Testování hypotéz o podílech Kontingenční tabulka, čtyřpolní tabulka Testy nezávislosti, Fisherůvexaktní test, McNemarůvtest Testy dobré shody
populace soubor jednotek, o jejichž vlastnostech bychom chtěli vypovídat letní semestr Definice subjektech.
Populace a Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 1 populace soubor jednotek, o jejichž vlastnostech bychom
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 8. KAPITOLA STATISTICKÉ TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ 22.11.2016 Opakování: CLV příklad 1 Zadání: Před volbami je v populaci státu 52 % příznivců
8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.
8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované
E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =
Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní
Pravděpodobnost, náhoda, kostky
Pravděpodobnost, náhoda, kostky Radek Pelánek IV122 Výhled pravděpodobnost náhodná čísla lineární regrese detekce shluků Dnes lehce nesourodá směs úloh souvisejících s pravděpodobností připomenutí, souvislosti
Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze
Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Náhodná veličina X se nazývá spojitá, jestliže existuje nezáporná funkce f : R R taková, že pro každé a, b R { }, a < b, platí P(a < X < b) = b a f
Cvičení ze statistiky - 7. Filip Děchtěrenko
Cvičení ze statistiky - 7 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Probrali jsme spojité modely Tyhle termíny by měly být známé: Rovnoměrné rozdělení Střední hodnota Mccalova transformace Normální rozdělení Přehled
Tomáš Karel LS 2012/2013
Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma 5. Některá významná rozdělení A. Diskrétní rozdělení (i) Diskrétní rovnoměrné rozdělení na množině {,..., n} Náhodná veličina X, která má diskrétní rovnoměrné
Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.)
Lékařská biofyzika, výpočetní technika I Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Přírodovědecká fakulta, katedra informatiky josef.tvrdik@osu.cz konzultace úterý 14.10 až 15.40 hod. http://www1.osu.cz/~tvrdik
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz.
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2015/2016 Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Obsah: Výběrová rozdělení
Téma 22. Ondřej Nývlt
Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti
SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. 7. cvičení
SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI 7. cvičení Intenzita poruch Funkce modelující dobu do výskytu události životnost, dobu do poruchy, dobu do relapsu (návratu onemocnění), apod. používáme spolu s distribuční
PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii přednáška 8. Statistické usuzování, odhady
PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii přednáška 8 Statistické usuzování, odhady Výběr od deskripce k indukci Deskripce dat, odhad parametrů Usuzování = inference = indukce Počítá se s náhodným
ÚVOD. Rozdělení slouží: K přesnému popisu pravděpodobnostního chování NV Střední hodnota, rozptyl, korelace atd.
ROZDĚLENÍ NV ÚVOD Velké skupiny náhodných pokusů vykazují stejné pravděpodobnostní chování Mince panna/orel Výška mužů/žen NV mohou být spojeny s určitým pravděpodobnostním rozdělení (již známe jeho hustotu
VYBRANÁ ROZDĚLENÍ. DISKRÉTNÍ NÁH. VELIČINY Martina Litschmannová
VYBRANÁ ROZDĚLENÍ DISKRÉTNÍ NÁH. VELIČINY Martina Litschmannová Opakování Základní pojmy z teorie pravděpodobnosti Co je to náhodná veličina (dále NV)? Číselné vyjádření výsledku náhodného pokusu. Jaké
X = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní
..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X
P13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod.
P13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod. Matematický přístup k výsledkům únavových zkoušek Náhodnost výsledků únavových zkoušek. Únavové
Statistická analýza dat v psychologii. Věci, které můžeme přímo pozorovat, jsou téměř vždy pouze vzorky. Alfred North Whitehead
PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 8 Statistické usuzování, odhady Věci, které můžeme přímo pozorovat, jsou téměř vždy pouze vzorky. Alfred North Whitehead Barevná srdíčka kolegyně
12. cvičení z PST. 20. prosince 2017
1 cvičení z PST 0 prosince 017 11 test rozptylu normálního rozdělení Do laboratoře bylo odesláno n = 5 stejných vzorků krve ke stanovení obsahu alkoholu X v promilích alkoholu Výsledkem byla realizace
Náhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost
Pravděpodobnost Náhodné veličiny a jejich číselné charakteristiky Petr Liška Masarykova univerzita 19.9.2014 Představme si, že provádíme pokus, jehož výsledek dokážeme ohodnotit číslem. Před provedením
Aproximace binomického rozdělení normálním
Aproximace binomického rozdělení normálním Aproximace binomického rozdělení normálním Příklad Sybilla a Kassandra tvrdí, že mají telepatické schopnosti, a chtějí to dokázat následujícím pokusem: V jedné
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4 J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015
Bakalářské studium na MFF UK v Praze Obecná matematika Zaměření: Stochastika. 1 Úvodní poznámky. Verze: 13. června 2013
Bakalářské studium na MFF UK v Praze Obecná matematika Zaměření: Stochastika Podrobnější rozpis okruhů otázek pro třetí část SZZ Verze: 13. června 2013 1 Úvodní poznámky 6 Smyslem SZZ by nemělo být toliko
Příklady na testy hypotéz o parametrech normálního rozdělení
Příklady na testy hypotéz o parametrech normálního rozdělení. O životnosti 75W žárovky (v hodinách) je známo, že má normální rozdělení s = 5h. Pro náhodný výběr 0 žárovek byla stanovena průměrná životnost
Pravděpodobnost, náhodná proměnná. Statistické metody a zpracování dat. III. Pravděpodobnost, teoretická rozdělení. Pravděpodobnost, náhodná proměnná
Pravděpodobnost, náhodná proměnná Statistické metody a zpracování dat III. Pravděpodobnost, teoretická rozdělení Petr Dobrovolný Popisné a průzkumové metody umožňují přehledné shrnutí informací, které
Minikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1
Minikurz aplikované statistiky Marie Šimečková, Petr Šimeček Minikurz aplikované statistiky p.1 Program kurzu základy statistiky a pravděpodobnosti regrese (klasická, robustní, s náhodnými efekty, ev.
Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413
Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413 Konzultace 3 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky jiri.cihlar@ujep.cz Kovariance, momenty Definice kovariance: Kovariance náhodných veličin Dále můžeme dokázat:,
Normální rozložení a odvozená rozložení
I Normální rozložení a odvozená rozložení I.I Normální rozložení Data, se kterými pracujeme, pocházejí z různých rozložení. Mohou být vychýlena (doleva popř. doprava, nebo v nich není na první pohled vidět
NÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení
NÁHODNÁ VELIČINA 3. cvičení Náhodná veličina Náhodná veličina funkce, která každému výsledku náhodného pokusu přiřadí reálné číslo. Je to matematický model popisující více či méně dobře realitu, který
Náhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek
Náhodná veličina Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 10. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 71 Obsah 1 Náhodná veličina 2 Diskrétní náhodná veličina 3
Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost
Inovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie
http://aplchem.upol.cz CZ.1.07/2.2.00/15.0247 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Základy zpracování dat chemometrie, statistika Doporučenáliteratura
Diskrétní náhodná veličina
Lekce Diskrétní náhodná veličina Výsledek náhodného pokusu může být vyjádřen slovně to vede k zavedení pojmu náhodného jevu Výsledek náhodného pokusu můžeme někdy vyjádřit i číselně, což vede k pojmu náhodné
Intervalové Odhady Parametrů
Parametrů Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze
MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH Cvičení 7 Rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny Mgr. Petr Otipka Ostrava 2013 Mgr. Petr Otipka
pravděpodobnosti, popisné statistiky
8. Modelová rozdělení pravděpodobnosti, popisné statistiky Rozdělení pravděpodobnosti Normální rozdělení jako statistický model Přehled a aplikace modelových rozdělení Popisné statistiky Anotace Klasickým
TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ STATISTICKÁ HYPOTÉZA Statistické testy Testovací kritérium = B B > B < B B - B - B < 0 - B > 0 oboustranný test = B > B
TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ Od statistického šetření neočekáváme pouze elementární informace o velikosti některých statistických ukazatelů. Používáme je i k ověřování našich očekávání o výsledcích nějakého procesu,
Cvičení ze statistiky - 8. Filip Děchtěrenko
Cvičení ze statistiky - 8 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Dobrali jsme normální rozdělení Tyhle termíny by měly být známé: Centrální limitní věta Laplaceho věta (+ korekce na spojitost) Konfidenční intervaly
MATEMATICKÁ STATISTIKA
MATEMATICKÁ STATISTIKA 1. Úvod. Matematická statistika se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného procesu, se snažíme popsat
15. T e s t o v á n í h y p o t é z
15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:
Statistika. Teorie odhadu statistická indukce. Roman Biskup. (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at) .
Statistika Teorie odhadu statistická indukce Intervalový odhad µ, σ 2 a π Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 21. února 2012 Statistika
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Testování hypotéz Nechť X je náhodná proměnná, která má distribuční funkci F(x, ϑ). Předpokládejme, že známe tvar distribuční funkce (víme jaké má rozdělení) a neznáme parametr
I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com)
Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz Princip: Ověřování určitého předpokladu zjišťujeme, zda zkoumaný výběr pochází ze základního souboru, který má určité rozdělení zjišťujeme,
správně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B.
Zkouška z předmětu KMA/PST. Anotace předmětu Náhodné jevy, pravděpodobnost, podmíněná pravděpodobnost. Nezávislé náhodné jevy. Náhodná veličina, distribuční funkce. Diskrétní a absolutně spojitá náhodná
Statistika II. Jiří Neubauer
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Zaměříme se především na popis dvourozměrných náhodných veličin (vektorů). Definice Nechť X a Y jsou
Základy teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie
p(x) = P (X = x), x R,
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
marek.pomp@vsb.cz http://homel.vsb.cz/~pom68
Statistika B (151-0303) Marek Pomp ZS 2014 marek.pomp@vsb.cz http://homel.vsb.cz/~pom68 Cvičení: Pavlína Kuráňová & Marek Pomp Podmínky pro úspěšné ukončení zápočet 45 bodů, min. 23 bodů, dvě zápočtové
Náhodné chyby přímých měření
Náhodné chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně pravděpodobná.
y = 0, ,19716x.
Grafické ověřování a testování vybraných modelů 1 Grafické ověřování empirického rozdělení Při grafické analýze empirického rozdělení vycházíme z empirické distribuční funkce F n (x) příslušné k náhodnému
Jednofaktorová analýza rozptylu
I I.I Jednofaktorová analýza rozptylu Úvod Jednofaktorová analýza rozptylu (ANOVA) se využívá při porovnání několika středních hodnot. Často se využívá ve vědeckých a lékařských experimentech, při kterých
KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC
Přednáška 03 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC jiri.cihlar@ujep.cz Diskrétní rozdělení Důležitá diskrétní rozdělení pravděpodobnosti
1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat
1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat J. Jarkovský, L. Dušek, S. Littnerová, J. Kalina Význam statistické analýzy dat Sběr a vyhodnocování dat je způsobem k uchopení a pochopení
Testy. Pavel Provinský. 19. listopadu 2013
Testy Pavel Provinský 19. listopadu 2013 Test a intervalový odhad Testy a intervalové odhady - jsou vlastně to samé. Jiný je jen úhel pohledu. Lze přecházet od jednoho k druhému. Například: Při odvozování
STATISTICKÉ ZJIŠŤOVÁNÍ
STATISTICKÉ ZJIŠŤOVÁNÍ ÚVOD Základní soubor Všechny ryby v rybníce, všechny holky/kluci na škole Cílem určit charakteristiky, pravděpodobnosti Průměr, rozptyl, pravděpodobnost, že Maruška kápne na toho
Náhodné (statistické) chyby přímých měření
Náhodné (statistické) chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně
Základní typy pravděpodobnostních rozdělení
Základní typy pravděpodobnostních rozdělení Petra Schreiberová, Jiří Krček Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava Ostrava 208 OBSAH Diskrétní rozdělení
Tomáš Karel LS 2012/2013
Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není
KGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 5. Odhady parametrů základního souboru Mgr. David Fiedor 16. března 2015 Vztahy mezi výběrovým a základním souborem Osnova 1 Úvod, pojmy Vztahy mezi výběrovým a základním
Přednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení
Přednáška 9 Testy dobré shody Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení χ 2 test dobré shody ověření, zda jsou relativní četnosti jednotlivých variant rovny číslům π 01 ;
Tomáš Karel LS 2012/2013
Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není
NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN?
NÁHODNÉ VELIČINY GENEROVÁNÍ SPOJITÝCH A DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN, VYUŽITÍ NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI, METODY TRANSFORMACE NÁHODNÝCH ČÍSEL NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN. JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU
VYBRANÉ DVOUVÝBĚROVÉ TESTY. Martina Litschmannová
VYBRANÉ DVOUVÝBĚROVÉ TESTY Martina Litschmannová Obsah přednášky Vybrané dvouvýběrové testy par. hypotéz test o shodě rozptylů (F-test), testy o shodě středních hodnot (t-test, Aspinové-Welchův test),
VŠB-TU OSTRAVA, FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY, KATEDRA APLIKOVANÉ MATEMATIKY. Statistika. Vzorce a tabulky
VŠB-TU OSTRAVA, FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY, KATEDRA APLIKOVANÉ MATEMATIKY Statistia Vzorce a tabuly Martina Litschmannová 3. března 05 Oficiální vzorce a tabuly KOMBINATORIKA Bez opaování Uspořádané
Rozhodnutí / Skutečnost platí neplatí Nezamítáme správně chyba 2. druhu Zamítáme chyba 1. druhu správně
Testování hypotéz Nechť,, je náhodný výběr z nějakého rozdělení s neznámými parametry. Máme dvě navzájem si odporující hypotézy o parametrech daného rozdělení: Nulová hypotéza parametry (případně jediný
Pravděpodobnostní rozdělení
Náhodná proměnná Pravděpodobnostní rozdělení Základy logiky a matematiky, ISS FSV UK Martin Štrobl Tento pomocný materiál neobsahuje všechnu látku k danému tématu, pouze se zaměřuje na pochopení důležitých
Testy dobré shody Máme dvě veličiny, u kterých bychom chtěli prokázat závislost, TESTY DOBRÉ SHODY (angl. goodness-of-fit tests)
Testy dobré shody Máme dvě veličiny, u kterých bychom chtěli prokázat závislost, např. hmotnost a pohlaví narozených dětí. Běžný statistický postup pro ověření závislosti dvou veličin je zamítnutí jejich
Odhad parametrů N(µ, σ 2 )
Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný
prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií
prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman Kotecký, 2011 Pravděpodobnost
Dobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze
Dobývání znalostí Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Dobývání znalostí Pravděpodobnost a učení Doc. RNDr. Iveta Mrázová,
Jana Vránová, 3. lékařská fakulta UK
Jana Vránová, 3. lékařská fakulta UK Vznikají při zkoumání vztahů kvalitativních resp. diskrétních znaků Jedná se o analogii s korelační analýzou spojitých znaků Přitom předpokládáme, že každý prvek populace
Příklady: - počet členů dané domácnosti - počet zákazníků ve frontě - počet pokusů do padnutí čísla šest - životnost televizoru - věk člověka
Náhodná veličina Náhodnou veličinou nazýváme veličinu, terá s určitými p-stmi nabývá reálných hodnot jednoznačně přiřazených výsledům příslušných náhodných pousů Náhodné veličiny obvyle dělíme na dva záladní
MATEMATICKÁ STATISTIKA. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
MATEMATICKÁ STATISTIKA Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Matematická statistika Matematická statistika se zabývá matematickým
Testování hypotéz testy o tvaru rozdělení. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistickou hypotézou se rozumí určité tvrzení o parametrech rozdělení zkoumané náhodné veličiny (µ, σ 2, π,
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 010 1.týden (0.09.-4.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza
4EK211 Základy ekonometrie
4EK211 Základy ekonometrie ZS 2015/16 Cvičení 1: Opakování ze statistiky LENKA FIŘTOVÁ KATEDRA EKONOMETRIE, FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE Z čeho studovat 1) Z KNIHY Krkošková,
1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.
VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:
Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008
Diskrétní náhodná veličina November 12, 2008 (Náhodná veličina (náhodná proměnná)) Náhodná veličina (nebo též náhodná proměnná) je veličina X, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu.